4-2 重力势能

只有当我们的公式包含了所有形式的能量时才能理解能量守恒。我想在这里讨论一下地球表面附近的重力势能的公式，并用一种与历史无关的方式来导出它，这种推导方式只是为这堂课想出来的，也就是说一种推理思路，为的是要向你们说明一个值得注意的情况：从几个事实和严密的推理出发可以推断出很多有关大自然的知识。它也表明了理论物理学家是投身于怎样的一类工作。我们这里的推理仿照了卡诺讨论蒸汽机效率时所使用的极其杰出的论证方式 。

让我们考虑一种起重的机械，它有这样的特点：用降低一个重物的方法来提高另一个重物。此外还假设：在这种起重机械中 不可能有永恒的运动 （事实上，根本不存在什么永恒运动，这正是能量守恒定律的一般表述）。在定义永恒运动时必须特别小心。首先，我们定义起重机械的永恒运动。假如我们提起和放下一些重物并使机械回复到原来的状态后，发现最后的结果 是提升了一个重物 ，于是我们就有了永恒运动的机械，因为我们可以利用被提起的重物使另外的一些东西运转。这就是说，提起重物的机械 精确地 回到 原来的状态 ，而且是完全独立完成的——它没有从外界（就像布鲁斯的积木）取得能量来抬高这个重物。

图4-1所示是一台很简单的起重机械。这台机械举起三个单位的重物。我们把这三个单位的重物放在一个秤盘里，在另一端秤盘内则放置一个单位的重物。但是，为了使机械实际上能工作，我们必须在左边减去一点点重量。另一方面，我们可以通过降低三个单位的重物来升高一个单位的重物，只要我们在右边的盘子里提起一点点重量。当然，我们认识到，对于任何 实际 的起重机械来说，为了使它运行，必须施加一点额外的作用。这一点我们暂时不去考虑。理想的机械并不需要额外的作用，然而它们事实上是不存在的。我们实际使用的机械在某种含义上可以说 几乎 是可逆的，即假如降低一个单位的重物能使这种机械提升三个单位的重物的话，那么降低三个单位的重物也能使这种机械把一个单位的重物提升到接近原来的高度。

我们设想存在着两类机械：一类是 不 可逆的，它包括所有的真实的机械；另一类是可逆的。当然实际上它是不可能达到的，不管我们怎样仔细地去设计轴承、杠杆，等等。但是，我们假设有这样的东西——一台可逆机，在它使一个单位（1 lb或任何其他单位）重的物体降低一个单位距离的时候提起了三个单位的重物。把这台可逆机称为A机。假定它使三个单位的重物升高的距离是 x 。此外，假设还有另一台机械——B机，它不一定是可逆机，并且也使一个单位的重物降低一个单位距离，不过使三个单位的重物升高的距离是 y 。我们现在可以证明 y 不会高于 x ，这就是说，不可能建造这样一种机械，能把重物提得比可逆机所提到的高度还要 高 。让我们来看看为什么是这样。假设 y 大于 x 。我们用B机使一个单位的重物降低一个单位距离，这使三个单位的重物升高距离 y 。然后，我们可以使这个重物从 y 降到 x ，获得 自由的能量 ，再利用可逆机A反向运转，使三个单位的重物降低 x 而使一个单位的重物升高一个单位距离。这样，一个单位的重物回到了原来的高度，而这两台机械又处于初始的备用状态！因此，假如 y 高于 x ，那么就会有永恒运动，但我们已经假设这是不可能的。于是利用这些假定，我们就能够推导出 y不会比x高 ，因此在所有可能设计的机械中，可逆机是最好的。

我们还可以看出所有的可逆机提升的高度一定 完全相同 。假定B的确也是可逆的。当然，前面关于 y 不会高于 x 的论据现在同样成立，但是我们也可以把这两台机械的工作顺序倒过来，即反之论证 x 不高于 y 。这一点是很值得注意的，因为它使我们能够在 不考察 内部机制 的情况下分析不同的机械对物体可以提升的高度。我们立刻知道，如果有一个人制作了一组极其精巧的杠杆，利用这组杠杆使一个单位的重物降低一个单位距离就可以把三个单位的重物提升到某一个高度，把这组杠杆和一个具有同样用途的简单的可逆的杠杆作比较就可以知道，它不会比简单的可逆的杠杆提得更高，而是或许还会低一些。假如这个人的机械是可逆的，我们也能精确地知道它可以提得多高。概括地说就是：每一台可逆机械无论怎样运转，当它使一个单位的重物下降一个单位距离时，总是会使三个单位的重物提升同样的距离 x 。很清楚，这是一条非常有用的普遍定律。接下来的问题自然是 x 是多少？

假如我们有一台可逆机，它能在3对1时提升距离 x 。在图4-2中，我们在一个固定的多层架子上放置三个球。另外有一个球放在离地面1 ft的台上。这台机械可以使一个球降低1 ft来抬高三个球。现在，我们来这样安排：设容纳三个球的升降台有一层底板和两层架子，间隔正好是 x 。其次，容纳球的多层架的间隔也是 x ［图4-2（a）］。首先我们使小球从多层架水平地滚到升降台上的架子中去［图4-2（b）］，我们假设这并不需要能量，因为高度并没有改变。于是开动可逆机进行工作：它使一个球降到底层，而使升降台升高距离 x ［图4-2（c）］。由于我们已经巧妙地安排了多层架，于是这些球又和架子相平。接着我们把球卸到了多层架上［图4-2（d）］。卸了球以后，我们可以使机械回复到初始状态。现在在上面三层架子上有三个球，在底部有一个球，但奇怪的是从某种观点上讲，我们根本没有使其中 两 个升高，因为，无论如何第二层和第三层架子像以前一样里面装着球。因此，最后的效果是使 一个 球升高了3 x 距离。假如3 x 超过1 ft，那么我们就可以把小球 放下 来使机械回到初始状态［图4-2（f）］，这样就能使这个装置再次运转。所以3 x 不可能超过1 ft，因为如果3 x 超过1 ft，我们就能创造出永恒运动。同样，使整台机械反向运行，我们可以证明， 1 ft不能超过3x ，因为这是一台可逆机。所以 3x既不 大于也不小于1 ft ，这样我们只是通过论证就发现了一条规律， x ＝1／3 ft。显然，这条规律可以推广为：开动一台可逆机使1 lb重物降下一定距离，那么这台机械可以使 p lb重物提高那段距离的1／ p 。另一种表示结果的说法是：3 lb乘以所提高的距离（在我们的问题中是 x ），等于1 lb乘以所降低的距离（在这种情况下是1 ft）。如果我们先把所有的球的重量分别乘以它们现在所在的高度，然后使机械运转，再把所有的球的重量乘以它们所在的高度，得出的 前后结果不会有任何改变 （我们必须把例子中只移动一个重物的情况推广到当我们降低一个重物就能提升几个不同的重物的情况——但这是不难的）。

我们把重量和高度的乘积之和称为 重力势能 ——这是一个物体在空间上与地球之间的相互关系而具有的能量。那么，只要我们离地球不是太远（当位置很高时重力要减弱），重力势能的公式就是

（一个物体的重力势能）＝（重量）×（高度）．（4．3）

这是一条十分优美的推理思路。唯一的问题在于，或许这并不是实际的情形（无论如何，大自然无须按我们的推理行事）。例如，也许永恒运动事实上是可能的。某些假设可能是错误的，或者我们的推理或许有错误，所以验证总是必要的。事实上， 实验证明 它是正确的。

那种与物体间相对位置有关的能量的一般名称就称为 势能 。当然，在上面的特殊情况中，我们则称它为 重力势能 。如果我们克服电力做功，而不是克服重力做功，即用许多杠杆“提升”一些电荷使之离开其他的电荷，那么所包含的能量就称为 电势能 。一般的原则是能量的变化为有关的力乘以力所推过的距离，而且这是一般的能量变化

（能量的变化）＝（力）×（力的作用所通过的距离）．（4．4）

随着课程的进展我们还要讲到其他的种种势能。

在许多情况下能量守恒原理对于推断会发生什么事都是非常有用的。在高中你们已学过许多有关不同用途的滑轮和杠杆的定律。我们现在可以看到所有这些“定律” 都是一回 事 ，并且不需要记往75条法则。一个简单的例子是如图4-3所示的一个光滑斜面，很巧，这是一个边长为3—4—5的三角形。我们在斜面上用滑轮挂上一个1 lb重的物体，而在滑轮的另一端悬挂一个重物 W 。我们想知道为了平衡在斜面上的1 lb重物， W 必须是多重？怎样来求出答案呢？假如我们说情况正好是平衡的话，那就是可逆的，因而可以使重物上下移动。所以，我们可以考虑下述情况。起初，如图4-3（a）所示，1 lb重物在斜面底部，而重物 W 在斜面的顶端。当 W 以一种可逆的方式滑下去后，1 lb的物体就在斜面顶部，而 W 经过的距离就是斜边的长度，如图4-3（b）所示，即5 ft。我们使1 lb重的重物只 提高了 3 ft而使 W 降低了 5 ft ，所以， W ＝3／5 lb。注意，我们是从 能量守恒 ，而不是从力的分解来得出这个结论的。然而在这里，巧妙总是相对的。可以用另一种更高明的方法来推导这个结果，这个由斯蒂维纳斯所发现的方法就铭刻在他的墓碑上。图4-4说明这个重物一定是3／5 lb，因为这个圆球链并没有转动，很明显，链条的下端的部分是为自身所平衡的，所以一边三个重物的拉力必须与另一边五个重物的拉力平衡，即按边长的比例。从图中你们可以看到， W 一定是3／5 lb。

现在用图4-5所示的螺旋起重器这个比较复杂的问题来说明能量原理。转动螺旋的把柄长为20 in，螺纹为每英寸10圈（即10 in ^－1 ）。我们想知道，为了举起1 t（约2 000 lb）的重物，在把柄上要施加多大的力？假如我们要使1 t重物升高1 in，就必须使把柄转10圈。把柄转一次时大约走过126 in，所以它总共要走过1 260 in。如果我们利用各种滑轮之类的机械，就可以用加在柄的端点上的一个未知的小重物 W 来举起1 t的重物。我们发现， W 大约是1．6 lb。这就是能量守恒的一个结果。

在图4-6中我们举一个稍为更复杂一点的例子。一根8 ft长的棒，一端被支撑着，在棒的中间有一个60 lb的重物，离支点2 ft处还有一个100 lb的重物。假如不考虑棒的重量，为了保持它的平衡，我们要在棒的另一端加多大的力？假设在棒的那一端放上一个滑轮，并在滑轮上悬挂一个重物 W ，为了使棒平衡， W 应当是多重？我们设想 W 落下任意一段距离，为了简便起见，设它下降了4 in，那么这两个重物要升高多少呢？棒的中心升高了2 in，而离固定端2 in处的那一点升高了1 in，所以，各个重物与高度的乘积之和不变。这个原理告诉我们， W 乘以下降的4 in，加上60 lb乘以升高的2 in，再加上100 lb乘以升高的1 in，其和必定是零

－4 W ＋2×60＋1×100＝0， W ＝55 lb．（4．5）

这就是说，为了使棒平衡，必须加上一个55 lb的重物。用这种方法，我们可以得出“平衡”定律——复杂的桥梁建筑的静力学，等等。这种处理问题的方法称为 虚功原理 ，因为为了进行这种论证，我们必须 设想 系统移动一下——即使它实际上没有移动，甚至不能移动。为了运用能量守恒的原理，我们用了很小的假想的运动。 EPjYv/QskECSFl0VflvyQycwIGkMuLXrs4D9OE74IcYsUJCAJS7EROJgWp6cUxQ3