任务1.1
数制与码制

人们在生产和生活中，创造了各种不同的计数方法。采用何种方法计数，是根据人们的需要和方便而定的。由数字符号构成且表示物理量大小的数字和数字组合，称为数码。多位数码中每一位的构成方法，以及从低位到高位的进制规则，称为数制（或计数制），又称进制。在数字电路中，往往用“0”和“1”组成的二进制数码表示数值的大小或者一些特定的信息，这种具有特定意义的二进制数码称为二进制代码，代码的编制过程称为编码。

1.1.1 数制

1．几种常用的数制

我们在日常生活中，习惯于用十进制，但在数字电路及其系统中，常用的是二进制。除此之外，还有八进制、十六进制等数制。

通常，十进制数用（ N ） ₁₀ 或（ N ） _D 表示，二进制用（ N ） ₂ 或（ N ） _B 表示，八进制用（ N ） ₈ 或（ N ） _O 表示，十六进制用（ N ） ₁₆ 或（ N ） _H 表示。

（1）十进制（Decimal）

十进制是我们最熟悉的一种数制，它的基数为10，用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共10个数码（或系数），按“逢十进一”的规律计数，例如，9+1=10。

任何一个十进制数都可以写成以10为底的幂的求和式，即其位权展开式为

式中， i 为位数，从整数最低位（个位）依次往高位， i 分别取0、1、…、 n -1共 n 位整数位，从小数最高位（十分位）依次往低位， i 分别取-1、-2、…、 -m 共 m 位小数； a _i 为第 i 位的数码；10 ⁱ 为第 i 位的权值。

例如，（143.75） ₁₀ = 1 × 10 ² + 4 × 10 ¹ + 3 × 10 ⁰ + 7 × 10 ^-1 + 5 × 10 ^-2

式中的注脚10表示十进制，或者说以10为“基数”；各位数的权为10的幂；1、4、3、7、5称为系数。

（2）二进制（Binary）

数字系统中广泛采用二进制数，这是因为数字电路通常只有两种基本状态，比如电位的高和低、脉冲的有和无、晶体管的导通和截止。二进制中只有0、1两个数字符号，基数为2，计数规律是“逢二进一，借一当二”，例如，1+1=10。

任何一个二进制数都可以表示成以2为底的幂的求和式，即其位权展开式为

例如，（10010） ₂ = 1 × 2 ⁴ + 0 × 2 ³ + 0 × 2 ² + 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ⁰ = （18） ₁₀

从上例可以看出，5位二进制数（10010） ₂ 可以表示为十进制数（18） ₁₀ 。由于数值越大，二进制的位数就越多，读写不方便，且容易出错。所以，数字系统中还用到八进制和十六进制。

（3）八进制（Octal）

八进制的数码为0、1、2、3、4、5、6、7共8个数码，基数为8。它的计数规则是“逢八进一，借一当八”，例如，7+1=10。

其位权展开式为

例如，（116） ₈ = 1 × 8 ² + 1 × 8 ¹ + 6 × 8 ⁰ = （78） ₁₀

（4）十六进制（Hexadecimal）

十六进制是以16为基数的计数体制，它有0～9、A、B、C、D、E、F共16个数码，其计数规则是“逢十六进一，借一当十六”，例如，F+1=10。

其位权展开式为

例如，（3F） ₁₆ = 3 × 16 ¹ + 15 × 16 ⁰ = （63） ₁₀

2．数制转换

二进制、八进制、十六进制转换成十进制时，只要将它们按位权展开式展开，将各项相加，便可得到相应进制数对应的十进制数，这里不再赘述。

（1）十进制数转换成非十进制数

把十进制数转换成为非十进制数可用“除基数取余法”。它是将十进制数逐次除以转换数的基数，并依次记下余数，直到商为0。最先得到的余数为转换数的最低位，最后得到的余数为转换数的最高位。

例如，将十进制数157转换为二进制数的步骤如下：

可得（157） ₁₀ =（10011101） ₂

（2）二进制数与八进制数之间的转换

1）二进制数转换成八进制数。从低位到高位“三位并一位”，不足三位用0补足，分组后将每三位二进制数组用对应的八进数来代替，再按顺序排列写出对应的八进制数。

例如，（10110001） ₂ =（010，110，001） ₂ =（261） ₈

2）八进制数转换成二进制数。可以概括为“一位拆三位”，并去掉整数部分最高位的0即可。

例如，（315） ₈ =（011，001，101） ₂ =（11001101） ₂

（3）二进制数与十六进制数之间的转换

1）二进制数转换成十六进制数。从低位到高位“四位并一位”，不足四位用0补足，分组后将每四位二进制数组用对应的十六进数来代替，再按顺序排列写出对应的十六进制数。

例如，（10111100010） ₂ =（0101，1110，0010） ₂ =（5E2） ₁₆

2）十六进制数转换成二进制数。可以概括为“一位拆四位”，并去掉整数部分最高位的0即可。

例如，（8D3C） ₁₆ =（1000，1101，0011，1100） ₂ =（1000110100111100） ₂

几种进制数的对照表见表1-1。

1.1.2 码制

码制即编码的方式。在数字系统中，用0和1组成的二进制数码不仅可以表示数值的大小，而且还常用来表示数字、文字或符号等特定信息，这种具有特定意义的二进制数码称为二进制代码。二进制代码的编制过程称为“编码”。编码的形式有很多，本节只介绍常用的二-十进制编码（又称为BCD码）和格雷码。

1．常用的BCD码

BCD码是用一个4位二进制代码表示1位十进制数字的编码方法。4位二进制有16种不同的状态组合，从中取出10种组合来表示0～9十个数字，可以有多种组合方式，因此BCD码有许多种，见表1-2。

（1）有权BCD码

1）8421BCD码。从表1-2可以看出，8421BCD码是选取0000～1001这10种状态来表示十进制数0～9的，1010～1111为不用状态。8421BCD码实际上就是用按自然顺序的二进制数来表示对应的十进制数的。因此，这种编码最自然和简单，很容易识别和记忆，与十进制数之间的转换也比较方便。

8421BCD码和一个4位二进制数一样，从高到低的位权值分别是8、4、2、1，故称为8421BCD码。在这种编码中，1010～1111这6种状态是不用的，称为禁用码。用8421BCD码可以十分方便地表示任意一个十进制数。例如，十进制数1314用8421BCD码表示为

（1314） ₁₀ =（0001 0011 0001 0100） _8421BCD

2）5421BCD码。从表1-2可以看出，5421BCD码是选取0000～0100和1000～1100这10种状态来表示十进制数0～9的，0101～0111和1101～1111这6种状态为不用状态。5421BCD码从高到低的位权值分别是5、4、2、1。

可以看出，8421BCD码和5421BCD码都是用位权值来命名的，所有又称为有权码。

（2）无权BCD码（余3码）

余3码选取的是0011～1100这10种状态，与8421BCD码相比，对应相同十进制数均要多3，故称为余3码。要将一位十进制数转换成余3码，只要先将十进制数转换成8421BCD码，然后再加上（0011） ₂ 即可。可以看出，余3码不是用位权值来命名的，所有又称为无权BCD码。

2．其他常用的编码

（1）格雷码

格雷码又称为循环码。它有一个显著特点，即任意两个相邻的数所对应的代码之间只有一位不同，其余位都相同。这一特点使它在代码的形成和传输时引起的误差比较小。4位循环码的编码表见表1-3。

格雷码和余3码均属于无权BCD码，无权BCD码没有确定的权值，但它们各有特点，在不同的场合可以根据需要选用。

（2）奇偶校验码

信息的正确性对数字系统和计算机系统有着重要的意义，但在信息的存储和传送过程中，常由于某种随机干扰而发生错误。所以希望在传送代码时能进行某种校验以判断是否发生了错误，甚至能自动纠正错误。

奇偶校验码就是一种具有自动检错的代码。这种代码由两部分组成：一部分是信息位，可以是任意一种二进制代码（如8421BCD码）；另一部分是校验位，它仅有一位。常见的奇偶校验码见表1-4。

从表1-4可以看出校验位数码的编码方式：作为“奇校验”时，使校验位和信息位所组成的每组代码中含有奇数个“1”；作为“偶校验”时，使校验位和信息位所组成的每组代码中含有偶数个“1”。

奇偶校验码常用于代码的传送中对代码接收端的奇偶性进行检查：与发送端的奇偶性一致，则可认为接收的代码正确；否则，接收的代码错误。 XUBEQRp+3x5KQDma6IY+1oRGTEC3z0WrLYLGIMCa0MuHdVSMyoArWkWRTR2S9I9h