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在某些估值中，风险不仅是离散的，而且是序列性的。也就是说，要让资产具有价值，它就必须要通过一系列的测试。任何节点上的测试失败都会导致整体价值的损失。比如说，正在对人体进行测试的药物就属于这种情况。在美国，任何药物要想进入市场销售，必须通过美国食品药品监督管理局（FDA）的三个阶段审批程序。在这三个阶段中，未通过任何一个测试都会导致药物失去上市机会。决策树不仅可以让我们分阶段考虑风险，还可以针对每个阶段的结果设计适当的响应方式。
理解决策树的第一步是区分根节点、事件节点、决策节点和终端节点：
·根节点代表决策树的起点，即决策者可能面对的决策选择或不确定结果。这个阶段的目标是估计现阶段风险投资的价值。
·事件节点代表一项冒险性赌博可能出现的结果：一种药物能否通过FDA审批程序的第一阶段，就是一个典型的例子。我们必须根据目前掌握的信息，判断可能出现的结果和发生某种结果的可能性。
·决策节点表示决策者可以做出的选择——在得到市场测试结果之后，产品从测试市场扩展到国内市场。
·终端节点往往表示初期风险结果和相关对策的最终结果。
我们不妨考虑一个非常简单的例子。假设你有机会选择接受确定的20美元或是参加一场赌博，在这场赌博中，你赢得50美元和10美元的概率均为50%。图3-1显示了这场赌博的决策树。
请注意决策树中的各关键要素。首先，只有事件节点代表不确定的结果，并具有与之相对应的概率。其次，决策节点代表一种选择。在纯粹的预期价值基础上，赌博的收益（预期价值30美元）要超过有保证的固定收益20美元；后一个分支上的双斜杠表示该方案不会被选中。尽管这个例子可能过于简单，但它包含了构建决策树的全部要素：
（1）将分析过程划分为风险阶段。制定决策树的关键，是概括未来你需要面对的风险阶段。在某些情况下，如FDA批准程序，这些风险很容易确定，因为只有两个结果：要么是药物获得批准进入下一阶段，要么被否决。但在其他情况下，这种判断可能非常困难。例如，针对新消费品的检验市场可能会产生数百种潜在结果，在这种情况下，我们必须针对测试市场的各种结果创建一个离散序列。
图3-1 一个简单的决策树
（2）在每个阶段，估计出现各种结果的概率。在确定每个阶段的风险和结果之后，还要计算出现各种结果的概率。除全部可能结果的概率之和必须等于1这个显而易见的要求之外，分析人员还需要考虑，后个阶段出现的各种结果的概率是否会受到此前阶段结果的影响。例如，当测试市场结果只能按平均水平生成时，在国内市场成功推出产品的概率会如何变化？
（3）定义决策点。在决策树中嵌入决策点。在这个阶段上，我们需根据对早期阶段结果的观察以及对未来阶段发生进程的预期，确定自己的最优方案。以测试市场为例，你可以在测试市场结束时确定对产品进行第二轮市场测试、放弃产品还是直接进行国内市场的推广。
（4）计算终端节点的现金流和价值。决策树过程的下一步，就是估计各终端节点位置的最终现金流及价值。在某些情况下，这种计算很容易实现，比如放弃对产品进行市场测试，因为它只需计算在产品营销测试上的花费即可。而在其他情况下，这种计算可能非常复杂，比如相同产品的国内市场推广，因为它需要你估计产品在整个使用期限内的预期现金流，并将这些现金流折扣为现值。
（5）返回决策树。决策树分析的最后一步是沿着决策树反向“折回”，在这个步骤中，需要将期望值沿着决策树进行反向折算。如果节点是事件节点，预期值须按照出现各种结果的概率进行加权平均计算；如果为决策节点，预期值须按每个分支计算，并选择最高值（作为最优决策）。这一过程的终点，就是当期资产或投资的预期价值。
决策树会生成两个关键性输出结果。第一个结果就是贯穿于整个决策树的当期预期值。这个预期值包含了因风险而带来的潜在升值和贬值以及你针对这种风险需要采取的措施。实际上，这与我们在第2章中讨论的风险调整值类似。第二个结果是在终端节点形成的价值区间，它需要将潜在风险纳入投资中。
为演示建立决策树模型所涉及的步骤，我们以一家仅生产一种产品的小型生物科技公司为例对其进行估值。假设它研发了一种治疗1型糖尿病的药物，该药物已通过初步临床检验，并即将进入FDA审批程序的第一阶段。
在审批的三个阶段中，假设你在每个阶段得到的补充信息包括：
·第一阶段：该项目预计将耗资5000万美元，而且需要招募100名志愿者来测试药物的安全性和服用剂量；测试期预计将持续一年。该药物成功通过第一阶段检验的概率为70%。
·第二阶段：将在两年期内针对250名志愿者测试该药物治疗糖尿病的有效性。这一阶段将花费1亿美元，而且只有在治疗1型糖尿病的效果上具有统计显著性，该药物才能进入下一阶段测试。这种药物治愈1型糖尿病的概率有30%，同时治愈1型及2型糖尿病的概率为10%，治愈2型糖尿病的概率为10%。
·第三阶段：测试范围将扩大到4000名志愿者，以确定服用该药物的长期影响。如果该药物的测试对象仅限于1型或2型糖尿病患者，那么，这一阶段将持续4年，费用为2.5亿美元；有80%的成功概率。如果同时对两种类型的糖尿病患者进行测试，那么，该阶段将持续4年，耗资3亿美元；有75%的成功概率。如果该药物通过全部三个阶段的测试，则药物的开发成本及各年度的现金流如表3-4所示。
表3-4 开发成本和年度现金流
假设公司的资本成本是10%。
现在，我们可以根据掌握的信息绘制该药物开发的决策树。我们首先以图3-2表示决策树，图中具体列示了相应的开发阶段以及每个阶段的现金流及其概率。
图3-2 药物开发的决策树（亿美元）
决策树显示出在每个阶段上测试取得成功的概率，以及在每个步骤上的新增现金流或边际现金流。显然，完整描述各个阶段需要大量的时间，因此，我们有必要对各路径的预期现金流采取时间价值的概念。通过时间价值效应，并使用10%的资本成本作为折现率，我们可以计算出各路径现金流的累计现值（折算到今日），如图3-3所示。
图3-3 终端节点现金流的现值：药物开发的决策树（亿美元）
请注意，计算第三阶段开发后形成的现金流现值，我们可以得到另外7年的折现值（以反映这笔现金流经历三个阶段所需要的时间）。在这个过程的最后一步中，沿着决策树反向折算并估计各决策阶段上的最佳对策，我们即可得到该开发项目的期望价值，如图3-4所示。
图3-4 药物决策树的折回过程（亿美元）
鉴于成功的不确定性，这款新药在目前的预期价值为5036万美元。这个价值反映了在整个开发过程中的各种可能性，并体现了在每个决策分支上应予以放弃的次优选择。比如说，在药物通过第三阶段测试后，继续开发药物的选项优于在全部三种情况下做出放弃选择的方案——无论是对1型、2型还是两者兼有的情况。此外，决策树还提供了一系列可能的结果。最差的结果是治疗1型及2型糖尿病的药物在第三阶段的测试中遭遇失败（按目前计算的开发成本价值为3.663亿美元）。而最好的结果则是针对两种类型糖尿病开发的药物获得批准（现值为8.8705亿美元）。
在决策树的最后一组分支中，出现了一个令人费解的要素。开发治疗2型糖尿病药物的现值为负值（-9743万美元）。既然是负数，公司为什么还要开发这种药物呢？因为在这个过程的最后放弃药物开发，其净现值只会更低（约合-3.2874亿美元）。另一种理解这种情况的方法，就是观察仅针对治疗2型糖尿病开发药物的边缘效应。在公司花费资源完成全部三个阶段的测试后，这些测试即成为沉没成本，因而不再是影响决策的要素。
在第三阶段之后，继续开发这款药物的边际现金流带来了正的净现值4.51亿美元（即第7年的现金流）。
在决策树的每个阶段上，我们都必须根据当期的边际现金流进行决策判断。反向折回决策树可以让我们了解这款药物在审批过程中每个阶段的价值。
总之，按照这个决策树，我们对这款糖尿病治疗药物的估值为5036万美元，进而可以把这个结论延伸到拥有该药物所有权的公司。决策树提供了我们在公司通过这些测试过程中应该掌握的有价值的信息。比如说，如果初步测试取得成功，那么这家公司的价值将跃升至9337万美元。在随后的测试中，如果该药物有望治疗1型和2型糖尿病，则公司估值将进一步提高到5.7371亿美元。
决策树可以处理某些类型的风险，但并非放之四海而皆准。实际上，决策树尤其适合于顺序出现的风险；分阶段批准的FDA审批流程就是一个很好的例子。而同时影响到资产的若干风险显然无法利用决策树法轻易建模。
和情景分析一样，决策树通常也只是根据离散性结果来判断风险。同样，FDA的审批流程当然不存在这个问题，因为它只有两种可能的结果——成功或失败。而大多数风险的结果则体现为一个更大的区间，因此，为确保估值结果符合决策树的模型框架，我们必须将它们表示为离散性结果。
如果风险表现为序列性，且可归类为非连续数据，那么我们所面临的估计问题或许就不存在简单的答案。尤其是在需要估计针对每个结果的现金流及其概率时，难度尤为突出。以药物开发为例，我们必须估计每个阶段的成本和成功概率。对于这些估计，我们的优势就是可以借鉴经验数据：进入每个阶段的药物继续进入下一个阶段的概率，以及与药物测试相关的历史成本。就成功概率而言，不同药物在第一阶段测试中取得成功的概率存在很大差异——有些药物确实比其他药物更艰难，而且误差也会渗透到决策树中。
决策树的期望值在很大程度上取决于我们会在决策点保持自律性的假设。换句话说，如果在一个测试市场失败，我们即放弃最优决策，并依据这个假设计算预期值，那么如果管理者决定对市场测试失败，并继续全力推出这款产品，整个过程和预期价值的完整性自然也会不复存在了。
最后，对完全依赖单一产品或资产的公司进行估值时，决策树是最有效的。在前述的生物技术公司估值案例中，我们假设公司的全部价值取决于一款糖尿病药物能否顺利通过审批。但如果假设公司在未来还有可能开发出其他药物，那么我们得到的估值可能就不符合实际了。在这种情况下，这些新药可能会带来额外的价值。
决策树到底是折现现金流估值法的替代还是补充呢？这个问题很有趣。有些分析师认为，决策树考虑到好结果和坏结果的概率，并据此进行了风险调整。在现实中，他们还声称，用于估计决策树现值的正确折现率应该是无风险利率。他们认为，采用风险调整后的折现率会重复计算风险。但除非发生特殊情况，否则他们的推理是不正确的：
· 预期值未经风险调整 ：就决策树而言，我们是以可能发生的结果及其发生概率来估计预期现金流的，由此获得的概率加权预期值是未经风险调整的。而使用无风险利率时唯一可以提出的理由就是，嵌入不确定结果中的风险属于特定资产的风险，因而是可以通过多样化投资得到分散的。在这种情况下，风险调整折现率应该是无风险利率。比如说，在FDA药物开发审批的例子中，我们可以据此解释，当我们面对的唯一风险就是药物能否取得批准的风险时，我们为什么要使用无风险利率对前7年的现金流进行折现。而在第7年后，由于还要面对市场因素等风险，因此风险调整后的利率将高于无风险利率。
· 重复计算风险 ：我们必须保持谨慎的是，务必不要重复计算决策树中的风险，也就是说，在使用风险调整后的折现率时，不要试图以人为抬高的折现率去反映前期阶段失败的概率。这种现象的常见例子是针对风险投资的估值。在对年轻的初创企业进行估值时，风险投资者的传统方法是根据预测收益及未来收益的倍数来估计退出价值，然后以目标收益率对退出价值进行折现。比如说，对目前仍在亏损但预计5年后可创造1000万美元盈利的公司（假设公开上市后的预计市盈率为40），这家初创企业目前的价值可计算如下（假设目标收益率为35%）：
公司在5年后的价值=第5年的盈利×PE=10×40=4（亿美元）
公司目前的价值=4亿美元/1.35 5 =8920（万美元）
图3-5 初创企业的决策树
但需要提醒的是，考虑到这家年轻的初创企业可能无法存续下去的概率，我们将目标收益率设定为较高水平（35%）。实际上，我们可以将上述过程构建成为一个简单的决策树模型，如图3-5所示。
根据风险投资家所面临的风险，我们假设r为正确的折现率。对于上述的计算过程，我们假设这个创业公司的折现率为15%。代入风险投资家对公司的8920万美元估值，我们可以得出失败情况下的公司价值：
预计价值=8920万美元=（4亿美元/1.35 5 ）×p
为得到p，我们将成功的概率估计为44.85%。按照决策树中的这个概率估计值，假设我们采用正确的折现率，那么我们将得到与风险资本家相同的预期价值。如使用35%的目标率作为决策树中的折现率，则会导致价值大幅下降，因为在这种情况下，风险被重复计算了两次。出于相同的逻辑，我们还可以解释，在估计决策树中生物技术药物的价值时，使用高折现率为什么会降低药物的价值。尤其是在折现率已反映出药物不能投入商业化生产的概率时，使用高折现率降低价值的情况尤为明显。如审批过程的风险仅针对特定药物，因而是可以多样化手段予以分散的，那么决策树分析就应选择适中的折现率，即便对有很大可能性未通过批准过程的药物也是如此。
· 正确的折现率 ：如果决策树中采用的合适折现率应反映未来不可分散的系统风险，那么决策树中不同节点上的折现率就有可能不同，而且极有可能是不同的。比如说，如果产品在市场测试阶段大获全胜，就可能得到比平均市场测试结果情况下更具预测性的现金流。此时，我们可以采用较低的折现率对前者进行估值，并采用较高的折现率对一般情况进行估值。在药物开发的例子中，如果药物对两种类型的糖尿病均有疗效，那么，预期现金流可能比仅针对单一类型糖尿病有效情况下更为稳定。因此，我们可以对前者带来的现金流采用8%的折现率，而对后一种情况采用适中的折现率。
基于如上讨论，我们可以看到，决策树绝非是风险调整估值法的替代。相反，它只是以另一种不同的方式，调整难以体现到预期现金流或风险调整折现率中的离散型风险。