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1 一个经济体中有两类消费者与两种商品。类型A与类型B的消费者分别有如下形式的效用函数：
U A （X 1 ，X 2 ）＝4X 1 －X 1 2 /2＋X 2
U B （X 1 ，X 2 ）＝2X 1 －X 1 2 /2＋X 2
其中，X 1 是产品1的消费数量，X 2 是产品2的消费数量，消费数量非负。产品1的价格为p，产品2的价格是1。所有消费者的初始禀赋都为100。总共有N个A类消费者与N个B类消费者。假设某个垄断企业以不变的单位成本c生产产品1，且该垄断企业只能定一个统一的价格。请推导出该垄断企业的最优产量与定价，并说明在c满足什么条件时，该垄断企业会同时向两类消费者提供产品。 [中国人民大学2020研]
解： 由题意知，消费者效用最大化问题为：
由消费者均衡条件可知，对单个A类消费者有：MU 1 /MU 2 ＝p 1 /p 2 ，即4－X 1 A ＝p。
对单个B类消费者有：MU 1 /MU 2 ＝p 1 /p 2 ，即2－X 1 B ＝p。
所以全体A类和B类消费者需求量分别为：X 1 A ＝（4－p）N，X 1 B ＝（2－p）N。
因此，垄断企业的利润函数为：
π＝pX 1 －cX 1 ＝（p－c）X 1 ＝（p－c）（X 1 A ＋X 1 B ）＝（6p－2p 2 －6c＋2pc）N
此时∂π/∂p＝（6－4p＋2c）N＝0；
解得：p＝（c＋3）/2。
因此最优产量为：X 1 ＝X 1 A ＋X 1 B ＝（6－2p）N＝（3－c）N。
当p≥c时，即（c＋3）/2≥c，c≤3时，垄断企业才会向消费者提供商品。
由消费者的均衡条件可知，A和B对于产品1的需求曲线方程分别为：4－X 1 A ＝p；2－X 1 B ＝p，所以A愿意为产品1支付的最高价格为4，B的最高价格为2。
如果厂商同时为两个消费者提供产品，价格满足p≤2，所以c≤1。
2 设有两个生产某种商品的相同厂商，并且它们是市场上仅有的两个厂商。它们的成本由C 1 ＝60Q 1 和C 2 ＝60Q 2 给出，其中Q 1 是厂商1的产量，Q 2 是厂商2的产量。价格由下列需求函数给出：P＝300－Q，其中Q＝Q 1 ＋Q 2 。
（1）求出古诺-纳什均衡，并算出各厂商在该均衡中的利润。
（2）假设这两个厂商为了使共同利润最大化组成了一个卡特尔（两个厂商势均力敌，平分市场）。它们将生产多少？算出各厂商的利润。
（3）设厂商1是该行业中唯一的厂商。市场产量和厂商1的利润与（2）中求出的结果有何不同？
（4）回到（2）部分的双寡头，假设厂商1遵守协定，但厂商2通过增产欺诈。厂商2将生产多少？各厂商的利润是多少？[暨南大学2019研]
解： （1）该寡头市场的需求函数为：
P＝300－Q＝300－（Q 1 ＋Q 2 ）
由于两厂商按古诺模型行动，则首先可得到两厂商的反应函数。
厂商1的利润函数为：
π 1 ＝PQ 1 －TC 1 ＝（300－Q 1 －Q 2 ）Q 1 －60Q 1 ＝240Q 1 －Q 1 2 －Q 1 Q 2
利润最大化的一阶条件为：
dπ 1 /dQ 1 ＝240－2Q 1 －Q 2
厂商1的反应函数为：
Q 1 （Q 2 ）＝（240－Q 2 ）/2
厂商2的利润函数为：
π 2 ＝PQ 2 －TC 2 ＝（300－Q 1 －Q 2 ）Q 2 －60Q 2 ＝240Q 2 －Q 2 2 －Q 1 Q 2
利润最大化的一阶条件为：
dπ 2 /dQ 2 ＝240－2Q 2 －Q 1
厂商2的反应函数为：
Q 2 （Q 1 ）＝（240－Q 1 ）/2
由厂商1和厂商2的反应函数构成以下方程组：
解得：
Q 1 ＝Q 2 ＝80
根据市场需求函数，可得产品的市场价格为：
P＝300－Q＝300－（Q 1 ＋Q 2 ）＝300－（80＋80）＝140
最后，厂商1和厂商2的利润函数分别为：
π 1 ＝240Q 1 －Q 1 2 －Q 1 Q 2 ＝6400
π 2 ＝240Q 2 －Q 2 2 －Q 1 Q 2 ＝6400
（2）假定两厂商联合行动组成卡特尔，追求共同利润最大化，则有卡特尔的利润函数：
π＝P（Q 1 ＋Q 2 ）－TC 1 －TC 2
（300－Q 1 －Q 2 ）（Q 1 ＋Q 2 ）－60Q 1 －60Q 2 ＝－Q 1 2 －Q 2 2 －2Q 1 Q 2 ＋240Q 1 ＋240Q 2
利润最大化的一阶条件为：
dπ/dQ 1 ＝－2Q 1 －2Q 2 ＋240＝0
dπ/dQ 2 ＝－2Q 2 －2Q 1 ＋240＝0
则有：
Q 1 ＋Q 2 ＝120
两个厂商平分市场，则有：
Q 1 ＝Q 2 ＝60
厂商1和厂商2的利润分别为：
π 1 ＝240Q 1 －Q 1 2 －Q 1 Q 2 ＝7200
π 2 ＝240Q 2 －Q 2 2 －Q 1 Q 2 ＝7200
（3）厂商1是该行业中唯一的厂商，则有：
π 1 ＝PQ 1 －TC 1 ＝（300－Q 1 ）Q 1 －60Q 1 ＝240Q 1 －Q 1 2
当市场产量（也就是厂商1的产量）为120时利润取得最大值，这个值等于（2）中的市场总产量。
（4）厂商1遵守协定，产量为60。在此情况下，厂商2的利润函数为：
π 2 ＝PQ 2 －TC 2 ＝（300－Q 1 －Q 2 ）Q 2 －60Q 2 ＝－Q 2 2 ＋180Q 2
当厂商2为了取得最大利润，会把产量定为90。厂商2的最大利润为：
π 2 ＝－Q 2 2 ＋180Q 2 ＝8100
此时，厂商1的利润为：
π 1 ＝PQ 1 －TC 1 ＝（300－Q 1 －Q 2 ）Q 1 －60Q 1 ＝5400
3 考虑一个有三家企业的行业，企业进行古诺竞争。每家企业的边际生产成本均是0。市场的反需求函数为P（Q）＝60－Q，其中Q＝q 1 ＋q 2 ＋q 3 为三家企业的总产出。
（1）计算古诺竞争的均衡。
（2）企业2与企业3决定合并，合并后的边际成本仍然为0，在企业2和企业3合并后，三家企业各自的状况是变好还是变坏？
（3）三家企业达成卡特尔协议对每家企业而言是否是个好主意？[中国人民大学2020研]
解： （1）由题意可知：
第一家企业的利润函数为：π 1 ＝P（Q）q 1 ＝（60－q 1 －q 2 －q 3 ）q 1 ；
由利润最大化条件可知：60－2q 1 －q 2 －q 3 ＝0；
同理可得：60－q 1 －2q 2 －q 3 ＝0；60－q 1 －q 2 －2q 3 ＝0。
联立以上各式，可解得：q 1 ＝q 2 ＝q 3 ＝15。
因此，在古诺竞争条件下有q 1 ＝q 2 ＝q 3 ＝15，P＝15。
（2）记合并后，企业1的产量为Q 1 ，企业2和企业3的总产量为Q 2 ，则：
企业1的利润函数为π 1 ′＝P（Q）Q 1 ＝（60－Q 1 －Q 2 ）Q 1 ；
由利润最大化条件可知：60－2Q 1 －Q 2 ＝0；
同理可得：60－Q 1 －2Q 2 ＝0。
联立解得：Q 1 ＝Q 2 ＝20，此时价格为P＝20。
因此，企业1的利润为：π 1 ′＝20×20＝400；
企业2和企业3的利润为：π 2 ′＝π 3 ′＝0.5×20×20＝200。
而合并前各企业的利润为：π 1 ＝π 2 ＝π 3 ＝15×15＝225。
所以合并后企业1的状况变好，而企业2和企业3的状况变坏。
（3）三家企业达成卡特尔协议时，记总产量为Q，则：
利润函数为：π＝P（Q）Q＝（60－Q）Q；
由利润最大化条件可知：60－2Q＝0；
解得：Q＝30；代入反需求函数中可得：P＝30。
此时各企业所得利润为：1/3×30×30＝300＞225，所以三家企业达成卡特尔协议对每家企业而言是个好主意。
4 一条河的上游有一家造纸厂，成本函数为C 1 ＝P 2 ＋（x－2） 2 ，其中P表示纸的产量，x表示造纸时所产生的污染物，该污染物被直接排放到河中。同时，在河的下游有一家渔场，成本函数为C 2 ＝F 2 ＋2x，其中F表示鱼的产量，假设纸和鱼的销售价格都是给定的，分别为8和4。求：
（1）造纸厂生产的纸张的数量和排放的污染物数量分别是多少？渔场所生产的鱼的数量是多少？此时造纸厂排放污染物的私人边际成本和社会边际成本分别是多少？
（2）如果造纸厂和渔场合并为一家企业，该企业生产的纸张数量、排放污染物的数量以及所生产鱼的数量分别是多少？[暨南大学2018研]
解： （1）①对于造纸厂而言，可以控制的变量为P和x，为极大化利润，即：
根据一阶条件，有∂π 1 /∂P＝8－2P＝0，∂π 1 /∂x＝－2（x－2）＝0，解得P＝4，x＝2。
又因为A＝∂ 2 π 1 /∂P 2 ＝－2，B＝∂ 2 π 1 /∂P∂x＝0，C＝∂ 2 π 1 /∂x 2 ＝－2，AC－B 2 ＝4＞0，且A＜0，所以P＝4，x＝2时π 1 有极大值，代入得π 1max ＝16。
即造纸厂生产的纸张数量为4，排放的污染物数量为2。
②对于渔场而言，受到造纸厂排污x＝2的影响，此时利润函数为
根据一阶条件，有∂π 2 /∂F＝4－2F＝0，解得F＝2。
又因为∂ 2 π 2 /∂F 2 ＝－2＜0，所以F＝2时π 2 有极大值，代入得π 2max ＝0。
即渔场所生产的鱼的数量是2。
③造纸厂排放污染的私人边际成本为∂C 1 /∂x＝2（x－2）＝0；
社会边际成本为∂C 1 /∂x＋∂C 2 /∂x＝2（x－2）＋2＝2。
（2）当两家厂商合并为一家企业时，设该家企业为企业3，此时企业3面临的利润函数为π 3 ＝8P＋4F－P 2 －（x－2） 2 －F 2 －2x。
分别对P、F、x求偏导，由一阶条件有∂π 3 /∂P＝8－2P＝0，∂π 3 /∂F＝4－2F＝0，∂π 3 /∂x＝－2（x－2）－2＝0，解得P＝4，F＝2，x＝1。代入二阶导数均小于零，因此此时π 3 有极大值17。
所以，此时生产4单位纸，2单位鱼，排放1单位污染物。
5 若某消费者消费两种商品X和Y，无差异曲线的斜率的绝对值处处等于Q Y /Q X ，其中Q X 、Q Y 分别是商品的消费数量X和Y。
（1）说明对X的需求与Y的价格无关，且X的需求价格弹性为1；
（2）若P X ＝1，P Y ＝3，则实现消费者均衡时MRS XY 是多少？
（3）X商品的恩格尔曲线形状如何？消费者对X的需求的收入弹性为多少？[武汉大学2015研]
解： （1）消费者均衡时，MRS XY ＝Q Y /Q X ＝P X /P Y ，即P X Q X ＝P Y Q Y 。
又因为P X Q X ＋P Y Q Y ＝M，故Q X ＝M/（2P X ），可见消费者对商品X的需求与商品Y的价格无关。
X的需求价格弹性为E X ＝－（dQ X /dP X ）·（P X /Q X ）＝[M/（2P X 2 ）]·（2P X 2 /M）＝1。
（2）已知P X ＝1，P Y ＝3，消费者均衡条件为：MRS XY ＝P X /P Y ＝1/3。
（3）因为X＝M/（2P X ），所以dM/dX＝2P X ＞0。
若以M为纵轴，X为横轴，则恩格尔曲线是从原点出发，一条向右上方倾斜的直线，其斜率为dM/dX＝2P X 。
消费者对X的需求收入弹性为：E M ＝（dX/dM）·（M/X）＝[1/（2P X ）]·2P X ＝1。
6 某消费者有480元收入用于消费。效用函数是U＝XY，X的价格为8，Y的价格为12，试计算：
（1）为达到消费者均衡，应各消费多少单位的商品？
（2）货币的边际效用和总效用各是多少？
（3）若X的价格提高21%，Y的价格不变，则为了保持效用不变，收入应增加多少？[武汉大学2017研]
解： （1）由题意知消费者的效用函数为：U＝XY，预算约束为：8X＋12Y＝480。
构造拉格朗日方程：L＝XY－λ（8X＋12Y－480）。
分别求L关于X，Y，λ的偏导数并令其等于零得：
解得：X＝30，Y＝20，λ＝5/2。
即为达到消费者均衡，应消费30单位的商品X，20单位的商品Y。
（2）λ即为货币的边际效用，因此由（1）知，货币的边际效用为5/2，总效用U＝XY＝600。
（3）X的价格提高21%，那么现在X的价格为8×（1＋21%）＝9.68，保持效用U＝600不变时，寻求支出最小化，所以新的拉格朗日方程为：φ＝9.68X＋12Y－γ（XY－600）；
分别求X，Y，γ的偏导数得：
解得：X＝300/11，Y＝22。
所以，应该增加的收入为：9.68×300/11＋12×22－480＝48（元）。
7 竞争性市场下有3个完全相同的企业，生产相同产品。市场的反需求曲线为p（Q）＝1－Q，Q＝q 1 ＋q 2 ＋q 3 。每个企业成本为零。
（1）古诺模型下各企业的利润。
（2）若其中两个公司合并，企业各自的利润分别是多少？
（3）若三个公司合并，利润为多少？
（4）若他们可以生产类似但不完全相同的产品，那么两个公司合并是否有利可图？为什么？[北京大学2016研]
解： （1）厂商i的利润函数为：
利润最大化的一阶条件为：
由此可得各厂商的反应函数分别为：q 1 ＝（1－q 2 －q 3 ）/2，q 2 ＝（1－q 1 －q 3 ）/2，q 3 ＝（1－q 1 －q 2 ）/2。
联立各企业的反应函数，可得古诺均衡解为：q i ＝1/4，p＝1/4，π i ＝1/16，其中i＝1，2，3。
即古诺模型下各企业的利润均为1/16。
（2）由题意，不妨设企业1和2合并为企业4，则企业4的利润函数为：π 4 ＝p 4 q 4 ＝（1－q 3 －q 4 ）q 4 ；
利润最大化的一阶条件为：dπ 4 /dq 4 ＝1－q 3 －2q 4 ；
故厂商4的反应函数为：q 4 ＝（1－q 3 ）/2。
同理可得厂商3的反应函数为：q 3 ＝（1－q 4 ）/2。
联立两个反应函数，得到古诺均衡解为：q 3 ＝q 4 ＝1/3，p＝1/3，π 3 ＝π 4 ＝1/9。
若企业1和2平分利润，则：π 1 ＝π 2 ＝1/18。
即若其中两个公司合并，合并的两个公司利润均为1/18，未合并的那个公司利润为1/9。
（3）三企业合并时，其利润函数变为：π＝pQ＝（1－Q）Q；
利润最大化的一阶条件为：dπ/dQ＝1－2Q＝0；
解得：Q＝1/2，p＝1/2，π＝1/4。
若三企业平分利润，则各自利润为：π 1 ＝π 2 ＝π 3 ＝1/12。
（4）如果他们可以生产类似但不完全相同的产品，那么每个企业都有一定的垄断势力，此时两个企业合并，可以增强这种垄断势力，而不必和第三个企业在相同的产品上竞争。因此，这是有利可图的。
8 某消费者的效用函数为U＝（x 1 ，x 2 ）＝x 1 1/3 x 2 2/3 ，x 1 和x 2 分别为两种商品的消费量，消费者收入为100，两种商品现在价格分别为P 1 ＝1，P 2 ＝2，求：
（1）消费者最优消费的x 1 和x 2 量。
（2）如果第一种商品价格由1提高为2，其他因素不变，则价格上升对第一种商品的消费量影响的总效应有多少？按照Slutsky分解原理，收入效应和替代效应分别是多少？
（3）计算第一种商品价格从1变化为2，要保持原有效应不变的收入补偿数额。[中国人民大学2017研]
解： （1）由题意知，消费者的效用函数为U＝x 1 1/3 x 2 2/3 ，预算约束为：x 1 ＋2x 2 ＝100。
因此可以建立拉格朗日方程：ϕ＝x 1 1/3 x 2 2/3 －λ（x 1 ＋2x 2 －100）。
消费者效用最大化的一阶条件为：
∂ϕ/∂x 1 ＝（1/3）x 1 － 2/3 x 2 2/3 －λ＝0
∂ϕ/∂x 2 ＝（2/3）x 1 1/3 x 2 － 1/3 －2λ＝0
∂ϕ/∂λ＝－（x 1 ＋2x 2 －100）＝0
解得：x 1 ＝x 2 ＝100/3，即最优消费量为x 1 ＝x 2 ＝100/3。
（2）当P 1 ＝2时，新的预算约束为x 1 ＋x 2 ＝50，按照（1）的解法算得：x 1 ＝50/3，x 2 ＝100/3，所以总效应为：Δx 1 ＝50/3－100/3＝－50/3。
根据柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，商品x 1 和商品x 2 的马歇尔需求函数分别为：x 1 ＝I/（3P 1 ），x 2 ＝2I/（3P 2 ）。
根据Slutsky分解原理，总效应＝替代效应＋收入效应。斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化，价格变化前的消费束是（100/3，100/3），价格变化后要使消费者仍消费原来的消费束，收入应为：I′＝2×100/3＋2×100/3＝400/3。在此收入下的预算约束为x 1 ＋x 2 ＝200/3，故x 1 ＝x 1 （2，2，I′）＝I′/（3P 1 ）＝200/9。
所以斯拉茨基替代效应为：Δx 1 s ＝x 1 （2，2，I′）－x 1 （1，2，I）＝（200/9）－（100/3）＝－100/9。
收入效应为：Δx 1 m ＝Δx 1 －Δx 1 s ＝－50/9。
（3）按照希克斯分解原理，总效应＝替代效应＋收入效应。替代效应是在保持效用水平不变的条件下的变动，由（1）知原来的总效用水平为U（x 1 ，x 2 ）＝100/3。
当P 1 ＝2时，在保持既定效用水平的情况下，寻求支出最小化，构造新的拉格朗日方程：
对x 1 ，x 2 ，γ求偏导得：
解得：
在新的价格下，要保持效用不变，则收入补偿额为：
9 某企业的生产需要使用两种要素，其生产技术为f（x 1 ，x 2 ）＝（min{x 1 ，2x 2 } α ），其中x 1 和x 2 为两种要素的使用量。企业可以同时调整两种要素的投入量。假定产品的市场价格外生给定为p，且w 1 和w 2 表示外生给定的两种要素的价格。请回答：
（1）该厂商的要素需求函数和利润函数。
（2）为使得本题的解有意义，你需要对参数α施加何种限制？[中国人民大学2019研]
解： （1）由该厂商的生产函数f（x 1 ，x 2 ）＝（min{x 1 ，2x 2 } α ）可知其要素使用原则为x 1 ＝2x 2 ，则其产量Q＝f（x 1 ，x 2 ）＝x 1 α ＝（2x 2 ） α ，其利润函数为：
π＝pQ－w 1 x 1 －w 2 x 2 ＝px 1 α －w 1 x 1 －w 2 x 1 /2
其一阶条件为：dπ/dx 1 ＝αpx 1 α － 1 －w 1 －w 2 /2＝0；
解得：
故该厂商的要素需求函数为：
利润函数为：
（2）为使得本题的解有意义，参数α需满足以下条件：
①要素使用量x 1 ≥0，要素使用量x 2 ≥0，则α＞0。
②要素需求是自身价格的减函数，即：
则α＜1。
③利润函数是产品价格的增函数，即：∂π/∂p＞0，易得当α＜1时，∂π/∂p＞0恒成立。
综上所示，需要对参数α施加的限制为0＜α＜1。
10 在一个纯交换的经济中有两个人，消费者A和消费者B，市场上有两种商品，即面包x 1 和牛奶x 2 。两个人的初始禀赋为W A ＝（2，5），W B ＝（10，15），他们的效用函数分别为u A （x 1 ，x 2 ）＝x 1 0.6 x 2 0.4 ，u B （x 1 ，x 2 ）＝x 1 ＋lnx 2 。假设消费者对两种商品的消费都严格大于零。
（1）求解消费者的契约曲线。
（2）求解一般均衡时的价格与资源分配状况（提示：可把一种商品的价格标准化为1）。
（3）假设P 1 ＝P 2 ＝1，求出两人对两种商品的需求和两种商品的过剩需求，此时市场出清吗？哪种商品的相对价格偏贵了？[上海财经大学2018研]
解： 为简便符号，设面包为x，牛奶为y，则消费者A和消费者B的效用函数分别为：
u A （x，y）＝x A 0.6 y A 0.4
u B （x，y）＝x B ＋lny B
（1）由题意知，消费者A和消费者B面临预算约束：x A ＋x B ＝2＋10；y A ＋y B ＝5＋15。
消费者的契约曲线，又称交换的契约曲线，指的是埃奇沃思盒状图中，不同消费者的无差异曲线切点的轨迹。在本题中，消费者的契约曲线表示两种产品在两个消费者之间的所有最优分配（即帕累托最优状态）的集合，需满足的条件为：MRS xy A ＝MRS xy B ，即MU x A /MU y A ＝MU x B /MU y B ，即0.6x A － 0.4 y A 0.4 /（0.4x A 0.6 y A － 0.6 ）＝1/（1/y B ），解得：y B ＝3y A /（2x A ）。
则消费者契约曲线为：x A ＝3y A /[2（20－y A ）]（0≤x A ≤12，0≤y A ≤20）。
（2）假设面包价格为1，即p x ＝1，牛奶价格为p，即p y ＝p。
消费者A的效用最大化条件为：MU x A /MU y A ＝p x /p y ，即3y A /（2x A ）＝1/p①
消费者A的预算约束为：p x x A ＋p y y A ＝2p x ＋5p y ，即x A ＋py A ＝2＋5p②
联立①②可得消费者A的消费选择：x A ＝3（2＋5p）/5，y A ＝2（2＋5p）/（5p）。
消费者B的效用最大化条件为：MU x B /MU y B ＝p x /p y ，即y B ＝1/p③
消费者B的预算约束为：p x x B ＋p y y B ＝10p x ＋15p y ，即x B ＋py B ＝10＋15p④
联立③④可得消费者B的消费选择：x B ＝9＋15p，y B ＝1/p。
联立y A ＝2（2＋5p）/（5p），y B ＝1/p和y A ＋y B ＝5＋15，解得p＝0.1。
则p x /p y ＝10，x A ＝1.5，y A ＝10，x B ＝10.5，y B ＝10。
即一般均衡时，面包价格是牛奶的10倍，消费者A消费1.5单位面包，10单位牛奶，消费者B消费10.5单位面包，10单位牛奶。
（3）由题意知，面包和牛奶价格均为1，即p＝1。
则由（2）可知，消费者A的消费选择：x A ＝3（2＋5p）/5＝4.2，y A ＝2（2＋5p）/（5p）＝2.8；
消费者B的消费选择：x B ＝9＋15p＝24，y B ＝1/p＝1。
又因为消费者A和消费者B面临预算约束：x A ＋x B ＝2＋10，y A ＋y B ＝5＋15，所以两人对面包的过剩需求为4.2＋24－（2＋10）＝16.2，对牛奶的过剩需求为2.8＋1－（5＋15）＝－16.2，此时市场不出清，牛奶的相对价格偏贵了。
11 某消费者对商品x和商品y的效用函数为u（x，y）＝x－0.5x 2 ＋y。商品x的价格为p，商品y的价格标准化为1。问题：
（1）写出该消费者对商品x的需求函数。
（2）假定商品x由一个具有规模报酬不变生产技术的垄断厂商提供，单位成本为0.4元。求产品定价、消费者剩余、生产者剩余。
（3）若x由两个厂商供给，单个产品成本为0.4，两个厂商之间进行古诺竞争，求均衡时的市场定价、生产者剩余和消费者剩余。[中国人民大学2018研]
解： （1）为使效用最大化，则有MU x /p x ＝MU y /p y ，可以得到：（1－x）/p＝1，则x＝1－p即为消费者对x的需求函数。
（2）设该市场有n个和该消费者一样的其他消费者，对需求加总得到市场上的总需求函数为q＝nx＝n（1－p），反需求函数p＝1－q/n。由于单位成本AC＝0.4，则TC＝0.4q，边际成本MC＝0.4，而边际收益：
垄断厂商极大化收益时，有MR＝MC，则1－2q/n＝0.4，q＝0.3n，代入反需求函数，得p＝0.7，消费者剩余为：
生产者剩余为总利润π＝（p－AC）×q＝0.09n。
（3）对两个厂商而言，面临的市场反需求函数均为p＝1－（q 1 ＋q 2 ）/n。
则厂商1的利润函数为π 1 ＝pq 1 －c 1 q 1 ＝[1－（q 1 ＋q 2 ）/n]q 1 －0.4q 1 ，对q 1 求一阶偏导等于0，得厂商1对厂商2的反应函数为q 1 ＝（0.6n－q 2 ）/2，同理解得厂商2对厂商1的反应函数为q 2 ＝（0.6n－q 1 ）/2，联立两个反应函数，解得古诺均衡解q 1 * ＝0.2n，q 2 * ＝0.2n。
代入反需求函数有均衡定价为p * ＝0.6，消费者剩余：
生产者剩余是两家厂商利润函数之和，为π＝（p－AC）×q＝0.08n。
12 假设一下竞争性市场上有N（N≥2）家生产相同产品的企业。企业之间进行价格竞争的博弈。企业i的生产总成本是c i q i ，其中q i 是产量。市场上的总需求是Q，消费者总是从出价低的厂商那购买产品。当有几家企业同时报出最低价时，总需求Q在不同企业之间平分。
（1）假定c i ＝c，i＝1，2，…，N，请找出纯策略的纳什均衡。
（2）假定c 1 ＜c 2 ≤c j ，j＝3，…，N，请证明纯策略的纳什均衡不存在。
（3）假定c 1 ＜c 2 ≤c j ，j＝3，…，N，但是消费者有一定的品牌忠诚度：如果多个企业同时报出相同最低价，消费者总是从指数（i＝1，2，…，N）最低的那个企业那里购买产品。例如，企业1和企业2同时报出最低价格，消费者会从企业1那里购买所有Q产量的产品。请找出纯策略的纳什均衡。[北京大学2018研]
解： （1）由于企业之间进行价格竞争的博弈，假设均衡时N家厂商的定价分别是p 1 ，p 2 ，…，p i ，…，p n 。首先，由于厂商定价一定不低于平均成本，所以p 1 ，p 2 ，…，p i ，…，p n 均大于等于c。其次，均衡时不会有厂商定价严格大于c，因为消费者总是从出价低的厂商那购买产品，所以只要其他厂商定价略小于c，定价严格大于c的厂商就会失去全部市场份额。综上所述，所有厂商都会定价为c，即纯策略的纳什均衡为：
p 1 ＝p 2 ＝…＝p i ＝…＝p n ＝c
（2）第一种解法：
先讨论N＝3时的纳什均衡。因为企业i生产总成本是c i q i ，所以有AC i ＝MC i ＝c i ，即每个企业可能的最低定价都是c i 。下面在企业3采取最低定价c 3 的前提下，讨论企业1和企业2的定价策略。
①若企业1定价为c 3 ，企业2定价为c 3 的收益是（c 3 －c 2 ）Q/3，定价为c 2 ＋ε 1 的收益为ε 1 Q，定价为c 2 的收益是零，所以企业2的最优选择是定价为c 2 ＋ε 1 ，其中（c 3 －c 2 ）/3＜ε 1 ＜c 3 －c 2 ，且无限接近于c 3 －c 2 ；反之，若企业2定价为c 2 ＋ε 1 ，企业1的最优选择是定价为c 2 ＋ε 2 ，其中0＜ε 2 ＜ε 1 ，且无限接近于ε 1 ，而不是定价为c 3 。
②若企业1定价为c 2 ＋ε 3 ，其中0＜ε 3 ＜c 3 －c 2 ，企业2的最优选择是定价为c 2 ＋ε 4 ，其中0＜ε 4 ＜ε 3 ，且无限接近于ε 3 ；反之，若企业2定价为c 2 ＋ε 4 ，企业1的最优选择是定价为c 2 ＋ε 5 ，其中0＜ε 5 ＜ε 4 ，且无限接近于ε 4 ，而不是定价为c 2 ＋ε 3 。
③若企业1定价为c 2 ，企业2只能采取最低定价c 2 ；反之，若企业2定价为c 2 ，企业1的最优选择是定价为c 1 ＋ε 6 ，其中0＜ε 6 ＜c 2 －c 1 ，且无限接近于c 2 －c 1 ，而不是定价为c 2 。
④若企业1定价为c 1 ＋ε 7 ，其中0＜ε 7 ＜c 2 －c 1 ，企业2只能采取最低定价c 2 ；同③，当企业2定价为c 2 时，企业1的最优选择不是定价为c 1 ＋ε 7 。
⑤若企业1定价为c 1 ，企业2只能采取最低定价c 2 ；同③，当企业2定价为c 2 时，企业1的最优选择不是定价为c 1 。
而纳什均衡指的是这样一种局面：当博弈中其他参与者不改变自己策略时，每个参与者都不会改变策略。因此，当N＝3时，纯策略的纳什均衡不存在。
同理，易得当N＞3时，纯策略的纳什均衡也不存在。
得证。
第二种解法：
考虑除企业1之外的其他企业的决策，他们的定价一定不能低于自己的边际成本C j （j＝2、3、4……）否则就会亏损，完全信息价格博弈情形下，企业1知道其他企业定价一定会在自己的边际成本之上，故企业1的最优选择是C 2 －ξ（ξ趋向于0），由于P 1 ＝C 2 －ξ，而ξ是不确定的，所以纯策略纳什均衡不存在。
（3）先讨论N＝3时的纳什均衡。因为企业i生产总成本是c i q i ，所以有AC i ＝MC i ＝c i ，即每个企业可能的最低定价都是c i 。下面在企业3采取最低定价c 3 的前提下，讨论企业1和企业2的定价策略。
①若企业1定价为c 3 ，企业2定价为c 3 的收益是0，定价为c 2 ＋ε 1 的收益为ε 1 Q，定价为c 2 的收益是零，所以企业2的最优选择是定价为c 2 ＋ε 1 ，其中0＜ε 1 ＜c 3 －c 2 ，且无限接近于c 3 －c 2 ；反之，若企业2定价为c 2 ＋ε 1 ，企业1的最优选择是同样定价为c 2 ＋ε 1 ，而不是定价为c 3 。
②若企业1定价为c 2 ＋ε 2 ，其中0＜ε 2 ＜c 3 －c 2 ，企业2的最优选择是定价为c 2 ＋ε 3 ，其中0＜ε 3 ＜ε 2 ，且无限接近于ε 2 ；反之，若企业2定价为c 2 ＋ε 3 ，企业1的最优选择是同样定价为c 2 ＋ε 3 ，而不是定价为c 2 ＋ε 2 。
③若企业1定价为c 2 ，企业2只能采取最低定价c 2 ；反之，若企业2定价为c 2 ，企业1的最优选择是定价为c 2 。这是一个纳什均衡。
④若企业1定价为c 1 ＋ε 4 ，其中0＜ε 4 ＜c 2 －c 1 ，企业2只能采取最低定价c 2 ；同③，当企业2定价为c 2 时，企业1的最优选择是定价为c 2 ，而不是定价为c 1 ＋ε 4 。
⑤若企业1定价为c 1 ，企业2只能采取最低定价c 2 ；同③，当企业2定价为c 2 时，企业1的最优选择是定价为c 2 ，而不是定价为c 1 。
因此，当N＝3时，存在一个纯策略的纳什均衡：p 1 ＝p 2 ＝c 2 ，p 3 ＝c 3 。
同理，易得当N＞3时，同样存在一个纯策略的纳什均衡：p 1 ＝p 2 ＝c 2 ，p 3 ＝c 3 ，…，p j ＝c j ，…，p N ＝c N 。
得证。
13 一个二手车市场有10000辆车。这些车的价值均匀的分布在5000到15000美金之间。二手车车主愿意以车的真实价值的售价出售该车。二手车买主无法评估每辆二手车的真实价值，他们的需求取决于二手车市场的所有车的平均价值（AP）以及二手车的售价（P），即需求Q＝1.5×AP－P。
（1）如果二手车买主根据整个二手车市场来估计平均价值AP，那么AP将是多少？二手车的均衡价格将是多少？
（2）在（1）的均衡中，最终实际交易的二手车的平均价值应为多少？
（3）如果二手车买家根据实际交易的二手车的平均价值修改他们对AP的估计，新的二手车均衡价格应该为多少？这时，交易的二手车平均价值又当为多少？
（4）这样下去，会存在一个价格和交易量为正的市场均衡吗？[中央财经大学2018研]
解： （1）整个二手车市场的平均价值（即均匀分布的期望）为：AP＝（5000＋15000）/2＝10000（美金）。
由于买主无法判断二手车的真实价值，因此买主只愿意支付二手车的平均价值，二手车的均衡价格为10000美金，真实价值不大于10000美金的二手车可以成交。
（2）由于买方只愿意购买10000美金以下的二手车，因此实际价值高于10000美金的二手车将不会在市场上出售，最终实际交易的二手车价值均匀分布在5000到10000美金之间，故实际交易的二手车的平均价值为：AP′＝（5000＋10000）/2＝7500（美金）。
（3）由（2）可知，新的二手车均衡价格为7500美金，此时交易二手车的平均价值为AP″＝（5000＋7500）/2＝6250（美金）。
（4）这样下去，二手车买主会不断压低其意愿支付价格，以至于不会有二手车买主愿意出售所拥有的车辆，因此该市场不存在价格和交易量为正的市场均衡。
14 一家垄断的钢铁厂的成本函数为：C（q）＝q 2 ＋60q＋100。该企业面临的需求曲线为：p＝200－q，但是钢铁厂每生产1单位的钢铁将产生0.1单位的污染物z，即z＝0.1q。清理污染的成本函数为：污染总成本＝100＋400z，其中z为污染物数量。
（1）如果企业可以自由排放污染物，其产品价格和产出水平是多少？
（2）假定生产者必须内部化其外部性，即它必须支付污染成本，则其产品价格和产出水平为多少？
（3）上述计划是否能够消除污染？请分别计算出（1）和（2）两种情形下的污染物数量。
（4）假定政府希望通过用税收减少企业的污染排放。如果政府希望减少的污染物排放量与（2）中相同，则应该怎样设计税收政策？[中央财经大学2018研]
解： （1）当企业可以自由排放污染物时，企业的总成本就是生产成本，此时企业的利润函数为：
π（q）＝p（q）q－C（q）＝（200－q）q－（q 2 ＋60q＋100）＝－2q 2 ＋140q－100
利润最大化的一阶条件为：dπ/dq＝－4q＋140＝0。
解得q＝35；p＝165。即当企业自由排放污染物时，产品价格为165，产出水平为35。
（2）当企业需要内部化负外部性时，企业的总成本函数变为：
TC（q）＝（q 2 ＋60q＋100）＋（100＋400z）＝q 2 ＋100q＋200
企业的利润函数为：
π（q）＝p（q）q－TC（q）＝（200－q）q－（q 2 ＋100q＋200）＝－2q 2 ＋100q－200
利润最大化的一阶条件为：dπ/dq＝－4q＋100＝0。
解得：q＝25；p＝175。即当企业支付污染成本时，产量为25，价格为175。
（3）企业不考虑污染成本时的污染物为：z 1 ＝0.1×35＝3.5。
企业支付全部污染成本时的污染物为：z 2 ＝0.1×25＝2.5。
所以生产者内部化其外部性的计划可以减少一部分污染，但不能完全消除污染。
（4）①如果政府对企业征收从量税，设政府对每单位产出征收t单位的税收，此时企业的成本为：
TC（q）＝q 2 ＋60q＋100＋tq＝q 2 ＋（60＋t）q＋100
此时企业的利润函数为：
π（q）＝（200－q）q－[q 2 ＋（60＋t）q＋100]＝－2q 2 ＋（140－t）q－100
利润最大化的一阶条件为：dπ/dq＝－4q＋（140－t）＝0。
如果政府希望减少的污染物排放量与（2）相同，则企业生产q＝25，代入上式得：t＝40。
②如果政府对企业征收总量税，设政府对该企业征收T单位的税收。此时企业的成本为：
TC（q）＝q 2 ＋60q＋100＋T
此时企业的利润函数为：
π（q）＝（200－q）q－（q 2 ＋60q＋100＋T）＝－2q 2 ＋140q－（100＋T）
利润最大化的一阶条件为：dπ/dq＝－4q＋140＝0。
解得q＝35，不能达到减少污染量的目的。
综上所述，政府对企业每单位产出40单位的税收，可以使污染排放量减少到与（2）相同的水平。
15 设某消费者的效用函数为柯布-道格拉斯型的，即U＝x α y β ，商品x和商品y的价格分别为P x 、P y ，消费者的收入为M，α和β常数，且α＋β＝1。
（1）求解消费者关于商品x和商品y的消费函数；
（2）证明：当商品x和商品y的价格与消费者的收入同时变动一个相同比例时，消费者对两种商品的需求关系维持不变；
（3）证明：消费者效用函数中的α和β分别为消费者用于购买商品x和商品y的支出占消费者收入的份额。[南开大学2014研]
解： （1）根据题设条件，该消费者的最优化问题为：
解得x * ＝（αM）/P x ，y * ＝（βM）/P y 。
（2）假定消费者的收入和商品x和商品y的价格同时变为tM、tP x 和tP y （t＞0），消费者关于商品x和商品y的需求为：x ** ＝（αtM）/（tP x ）＝（αM）/P x ，y ** ＝（βtM）/（tP y ）＝（βM）/P y 。即消费者对两种商品的需求关系维持不变。
（3）证明：
商品x的消费支出占消费者收入份额为xP x /M＝[P x （αM）/P x ]/M＝α。
商品y的消费支出占消费者收入份额为yP y /M＝[P y （βM）/P y ]/M＝β。
说明消费者效用函数中的α和β分别为消费者用于购买商品x和商品y的支出占消费者收入的份额。
16 某人的效用函数为U＝x 1/3 y 2/3 ，收入为m，其中x和y的价格分别为p 1 ，p 2 。
（1）求出消费者均衡时，该人对x，y两商品的需求函数。
（2）求该消费者的间接效用函数。
（3）验证罗伊恒等式。[南开大学2017研]
解： （1）在达到消费者均衡时，有：
构造拉格朗日方程有：
最大化条件是一阶导等于零，则有：
解得：x＝m/（3p 1 ），y＝2m/（3p 2 ）。
所以x的需求函数是x＝m/（3p 1 ），y的需求函数是y＝2m/（3p 2 ）。
（2）由（1）可得间接效用函数：V（p 1 ，p 2 ，m）＝U（x，y）＝2 2/3 m/（3p 1 1/3 p 2 2/3 ）。
（3）罗伊恒等式描述的是需求函数和间接效用函数之间的关系，即：
在本题中，由（2）中的间接效用函数可得：
所以，罗伊恒等式得到验证。
17 某航空公司只有一条航线，同时售票给休闲旅客和商务旅客。休闲旅客的周需求函数为Q T ＝6000－10P，商务旅客的周需求函数为Q B ＝1000－P。如果每张票的边际成本为200美元。
（1）该航空公司如何设定休闲票和商务票的价格？
（2）如果政府强制要求所有票价必须一致，则该航空公司如何定价？两类消费者在该价格上的需求弹性是多少？
（3）假设该航空公司每周最多只能售出1300张票，则分别应当给两类消费者售出多少张票，定价多少？[中山大学2015研]
解： （1）已知休闲旅客的周需求函数为Q T ＝6000－10P，反需求函数为：P＝600－0.1Q T ，则边际收益函数为：MR＝600－0.2Q T 。当航空公司实现利润最大化时，有边际收益等于边际成本，即MR＝MC。又已知边际成本为200美元，于是有：600－0.2Q T ＝200。解得：Q T ＝2000，将其代入需求函数，可以得到：P＝400（美元）。
已知商务旅客的周需求函数为Q B ＝1000－P，反需求函数为：P＝1000－Q B ，则边际收益函数为：MR＝1000－2Q B 。当航空公司实现利润最大化时，有边际收益等于边际成本，即MR＝MC。又已知边际成本为200美元，于是有：1000－2Q B ＝200。解得：Q B ＝400，将其代入需求函数，可以得到：P＝600（美元）。
因此，航空公司设定的休闲票和商务票的价格分别是400美元和600美元。
（2）当航空公司在两个市场上实行统一的价格时，即P＝P 1 ＝P 2 ，市场总需求函数为：Q＝Q T ＋Q B ＝6000－10P＋1000－P＝7000－11P；则反需求函数为：P＝（7000－Q）/11；
此时航空公司的利润为：π＝PQ－TC＝[（7000－Q）/11]Q－200Q＝（4800Q－Q 2 ）/11；
利润最大化的一阶条件为：dπ/dQ＝（4800－2Q）/11＝0。
解得：Q * ＝2400。
代入需求函数，得P * ＝4600/11（美元），代入休闲旅客和商务旅客的周需求函数中得到：Q T ＝20000/11，Q B ＝6400/11。
两个市场的消费者的需求价格弹性不同，应该用点弹性公式E d ＝－（dQ/dP）·（P/Q）。
将P * 、Q T 、Q B 代入式子可以得到E dT ＝23/10，E dB ＝23/32。
（3）该航空公司每周最多只能售出1300张票，满足Q T ＋Q B ＝1300，Q B ＝1300－Q T 。
航空公司的利润函数为：π＝TR－TC＝P T Q T ＋P B Q B －TC＝（600－0.1Q T ）Q T ＋（1000－Q B ）Q B －200（Q T ＋Q B ）＝（600－0.1Q T ）Q T ＋（Q T －300）（1300－Q T ）－200×1300＝－1.1Q T 2 ＋2200Q T －650000；
利润最大化的一阶条件为：π′＝－2.2Q T ＋2200＝0。
解得：Q T ＝1000，Q B ＝300，P T ＝500，P B ＝700。
18 假设某个产品的市场需求曲线如下：p＝100－0.5（q 1 ＋q 2 ），在该产品市场上只有两家企业进行生产，他们各自的成本函数为：
c 1 ＝5q 1
c 2 ＝0.5q 2 2
（1）在斯塔克伯格模型（Stackelberg Model）中，谁会成为领导者？谁会成为追随者？
（2）该市场最后的结果是什么？为什么？[中山大学2016研]
解： （1）先求古诺均衡：
两个企业追求利润最大化，一阶条件为：
∂π 1 /∂q 1 ＝95－0.5q 2 －q 1 ＝0
∂π 2 /∂q 2 ＝100－0.5q 1 －2q 2 ＝0
进而得到企业1的反应函数为：q 1 ＝95－0.5q 2 。
企业2的反应函数为：q 2 ＝50－0.25q 1 。
由两家企业的反应函数：
解得q 1 ＝80，q 2 ＝30。
若企业1成为领导者，必须有q 1 ≥80；若企业2成为领导者，则必须有q 2 ≥30。
要使企业1成为领导者，其必须满足的条件是对企业2的任何先行产量决策，企业1均采取战略使对方利润为负，即：
解得：200－2q 2 ＜q 1 ＜190－q 2 。
对于企业2的任何产量先行决策q 2 ＞10，只要企业1威胁其产量q 1 满足上式，即此时企业2利润为负，则企业2就不敢先行动；而q 2 ＜10时，与先行动者的q 2 ≥30矛盾。
当企业1先行动时，企业2决策：q 2 ＝50－0.25q 1 。
企业1决策：
解得：q 1 ＝280/3≈93.33。
企业1的产量决策范围为80≤q 1 ≤93.33。
而企业2要惩罚企业1为领导者必须满足：
解得：190－q 1 ＜q 2 ＜100－0.5q 1 ，进一步得：q 1 ＞180。
这与80≤q 1 ≤93.33矛盾。
当企业2先行动时，企业1决策：q 1 ＝95－0.5q 2 。
企业2决策：
解得：q 2 ＝35。
企业2的产量决策范围为30≤q 2 ≤35。
故在斯塔克伯格模型中，只可能企业1成为领导者，企业2成为追随者。
（2）企业1先行动时，q 1 ＝280/3，q 2 ＝80/3，π 1 ≈3266.67，π 2 ≈711.11；
企业2先行动时，q 1 ＝77.5，q 2 ＝35，π 1 ＝3003.125，π 2 ＝918.75；
两企业同时行动时，q 1 ＝80，q 2 ＝30，π 1 ＝3200，π 2 ＝900。
博弈的支付矩阵为：
可见对任何企业，先行动均为占优策略，故市场的最后结局为古诺均衡。企业1生产80，企业2生产30。
19 假设一个消费者的收入为28，效用函数为u＝min{3x 1 ，x 2 }，x 1 和x 2 分别是商品1和商品2的数量。
（1）如果商品1和商品2的价格分别为1和2，求解消费者的最优决策。
（2）假设其他条件不变，如果商品2的价格由2下降到1，求解这一个变化带来的替代效应和收入效应。[中山大学2017研]
解： （1）将消费者的收入用y表示，商品1和商品2的价格分别用p 1 和p 2 表示。
消费者的效用函数为：u＝min{3x 1 ，x 2 }，说明商品1和商品2是互补品，在进行最优决策时有3x 1 ＝x 2 ，且消费者为实现效用最大化，会将全部收入用于商品消费，即有p 1 x 1 ＋p 2 x 2 ＝y。
因此，消费者在最优决策时对商品1和商品2的消费量分别为：
x 1 ＝y/（p 1 ＋3p 2 ）
x 2 ＝3y/（p 1 ＋3p 2 ）
因此，当p 1 ＝1，p 2 ＝2，y＝28时，求得x 1 ＝4，x 2 ＝12，此时，消费者效用水平为u＝12。
（2）当商品2的价格为p 2 ′＝1时，根据（1）中的方法求解得到商品1和商品2的消费量分别为x 1 ′＝7，x 2 ′＝21。由此可知，商品2价格变化产生的总效应为x 2 ′－x 2 ＝21－12＝9。
①希克斯替代效应和收入效应
为保持原有效用水平u＝12，消费者在新的价格水平（1，1）下的支出最小化问题为：
求解可得：x 1 ″＝4，x 2 ″＝12。
所以，商品2价格下降的替代效应为：x 2 ″－x 2 ＝12－12＝0。
收入效应为：总效应－替代效应＝（x 2 ′－x 2 ）－（x 2 ″－x 2 ）＝x 2 ′－x 2 ″＝21－12＝9。
②斯勒茨基替代效应和收入效应
要使得购买力保持不变，消费者在新的价格水平（1，1）下，则收入水平应调整为：y′＝x 1 ＋x 2 ＝4＋12＝16。
在该收入水平下，满足最优决策3x 1 ＝x 2 ，所以，消费者对商品2的消费量为：x 2 ″＝12。
因此，斯勒茨基替代效应为：x 2 ″－x 2 ＝12－12＝0。
斯勒茨基收入效应为：总效应－替代效应＝9－0＝9。
可见，互补品价格发生变化时，只存在收入效应，不存在替代效应。
20 给定生产函数F（K，L）＝β 0 ＋β 1 （KL） 1/2 ＋β 2 K＋β 3 L，其中K为资本，L为劳动。
（1）求该生产函数满足规模报酬不变的条件。
（2）给定资本价格r，求最优的要素投入比K/L。
（3）计算资本和劳动的产出弹性。[中山大学2018研]
解： （1）生产函数满足规模报酬不变要求F（λK，λL）＝λF（K，L），即：β 0 ＋β 1 λ（KL） 1/2 ＋β 2 λK＋β 3 λL＝β 0 λ＋β 1 λ（KL） 1/2 ＋β 2 λK＋β 3 λL。
则该生产函数满足规模报酬不变的条件是β 0 ＝0。
（2）由生产函数可知MP K ＝β 1 K － 1/2 L 1/2 /2＋β 2 ，MP L ＝β 1 K 1/2 L － 1/2 /2＋β 3 。
给定资本价格r，设劳动价格为w，则最优要素投入比需满足MP K /MP L ＝r/w，解得：
（3）资本和劳动的产出弹性分别为：
21 某一个地区的纸品市场的需求曲线和供给曲线如下：Q d ＝160000－2000P，Q s ＝40000＋2000P。其中，Q d 是需求数量；Q s 是供给数量，单位是百吨；P表示每百吨的价格。由于没有任何废水排放管制措施，造纸厂向河中排放了大量废水。这些由于污染所产生的边际外部成本由曲线MEC＝0.0006Q s 给出。
（1）在没有任何管制措施下，竞争性的产出和价格是多少？
（2）计算社会最优的产量和价格。
（3）解释为什么（1）和（2）中的答案不同。
（4）如果政府打算对纸张生产征收单位产出税，税率设置在什么水平比较合适？[中山大学2016研]
解： （1）市场均衡时有需求数量等于供给数量，即：
解得：Q＝100000，P＝30。即在没有任何管制措施下，竞争性的产出为100000百吨，价格为30元/百吨。
（2）污染的边际成本为：MEC＝0.0006Q s 。
由供给函数可得造纸厂的私人边际成本即为：MC Z ＝P＝0.0005Q s －20。
社会的边际成本为：MC＝MEC＋MC Z ＝0.0006Q s ＋0.0005Q s －20＝0.0011Q s －20。
由需求函数可得社会的边际收益为：MR＝P＝80－0.0005Q d 。
社会最优的条件为社会边际成本等于社会边际收益，有：MC＝MR，Q s ＝Q d 。
解得：Q＝62500，P＝48.75。即社会最优的产量为62500百吨，价格为48.75元/百吨。
（3）（1）的答案是根据厂商个人利益最大化得到的，它忽略了污染的外部成本，而（2）的答案是基于整个社会的利益所考虑，考虑了外部成本，因此最后得出的答案是社会的最优量小于个人的最优量。可以通过图9来说明。
图中水平直线D＝MR是某竞争厂商的需求曲线和边际收益曲线，MC则为其边际成本曲线。由于存在着生产存在外部不经济（例如生产造成的污染），故社会的边际成本高于私人的边际成本，从而社会边际成本曲线位于私人边际成本曲线的上方，它由虚线MC＋ME表示。虚线MC＋ME与私人边际成本曲线MC的垂直距离，亦即ME，可以看成边际外部不经济，即由于厂商增加一单位生产所引起的社会其他人所增加的成本。竞争厂商为追求利润最大化，其产量定在价格（亦即其边际收益）等于其边际成本处，即为X * ；但使社会利益达到最大的产量应当使社会的边际收益（可以看成为价格）等于社会的边际成本，即应当为X ** 。因此，生产的外部不经济造成产品生产过多，超过了帕累托效率所要求的水平X ** 。
图9 生产的外部不经济
（4）假设每单位产品征收t的税，则：
解得：t＝37.5。
如果政府打算对纸张生产征收单位产出税，则单位产出税为37.5元/百吨。