第6章
结构位移计算

一、填空题

1 互等定理只适用于______体系。反力互等定理、位移互等定理是以______定理为基础导出的。 [哈尔滨工业大学2007研]

【答案】 线弹性；功的互等

【解析】 因为互等定理中采用的位移计算公式都是在线弹性假定下求出的，所以互等定理只适用于线弹性结构。互等定理包括功的互等定理、位移互等定理及反力互等定理，其中反力互等定理、位移互等定理均基于功的互等定理导出，是功的互等定理的特殊情况。

2 如图6-1所示结构，支座A顺时针转动了θ，支座E的弹簧刚度为k，则铰C左右截面的相对转角为______。 [浙江大学2006研]

【答案】 2θ

【解析】 在铰C左右两端施加一对单位力偶（ ），取左半部分结构进行分析，可得支座A的弯矩M _A ＝2（逆时针）。根据虚功原理，则铰C左右截面相对转角为：

3 如图6-2所示结构中，杆AB、BE截面抗弯刚度为EI，杆DC的抗拉刚度为EA，则D结点的水平位移为______。 [西南交通大学2006研]

【答案】 F _P a ³ /（EI）（→）

【解析】 在B点施加水平向右的单位集中力，分别作出结构在外荷载F _P 和单位集中力下的弯矩图M _P 和M ₁ ，如图6-3所示。

两图图乘得：Δ _Cy ＝ [1/（EI）] （1/2×a×a×2F _P a）＝F _P a ³ /（EI）（→）。

4 如图6-4所示两图的图乘结果为______。 [湖南大学2007研]

【答案】 －25abl/（48EI）

【解析】 根据图乘法的计算原则，需根据刚度变化分两段进行图乘，则图乘结果为：

－（2la/3×5b/8）/（EI）－（2la/3×5b/8）/（4EI）＝－25abl/（48EI）

5 如图6-5所示桁架各杆的EA相同，AB杆的转角大小为______，方向为______。 [国防科技大学2006研]

【答案】 P/（EA）；顺时针

【解析】 在AB杆两端施加一对顺时针的集中力，大小为1/a，分别计算结构在外荷载P和单位集中力下的各杆的轴力。

外荷载P作用下：N _AD ＝N _AB ＝＋P，N _BC ＝0， ；

一对顺时针的单位集中力作用下：N _AC ＝N _AB ＝0，N _AD ＝＋1/a，N _CB ＝－1/a。

代入位移计算公式可得转角：θ _AB ＝（∑ N ( — ) N _P l）/（EA）＝（P·a·1/a）/（EA）＝P/（EA）。

6 如图6-6（a）所示结构，各杆长均为l，各杆刚度均为EI，弹性刚度系数k＝3EI/l ³ ，A点的水平位移为______，方向为______。 [中南大学2005研]

【答案】 Pl ³ /（EI）；水平向右

【解析】 A点的水平位移由外荷载P产生的位移和和弹簧变形产生的位移两部分组成。

①由外荷载产生的位移

在A点施加一个水平向右的单位力并作出相应的弯矩图M ₁ 及荷载P作用下的弯矩M _P 图，如图6-6（b）所示。图乘运算得：Δ _AH1 ＝2×（1/2）×l×Pl×（2/3）×l/EI＝2Pl ³ /（3EI）（→）。

②由弹簧变形产生的位移

荷载P的作用下，弹簧压缩量为Pl ³ /3EI，代入位移计算公式可得：

Δ _AH2 ＝－∑R _C ＝－ [－1×Pl ³ /（3EI）] ＝Pl ³ /（3EI）（→）

综上，A点的水平位移为Δ _AH ＝2Pl ³ /（3EI）＋Pl ³ /（3EI）＝Pl ³ /（EI），方向水平向右。

二、选择题

1 如图6-7（a）所示为刚架在荷载作用下的M _P 图，曲线为二次抛物线，横梁的抗弯刚度为2EI，竖柱为EI，则横梁中点K的竖向位移为（　　）。 [哈尔滨工业大学2008研]

A．87.75/（EI）↓

B．43.875/（EI）↓

C．94.5/（EI）↓

D．47.25/（EI）↓

【答案】 B

【解析】 在横梁中点K处施加一个竖直向下的单位力，作出对应的弯矩图M ₁ 图，如图6-7（b）所示。利用图乘法，将M _p 图分为两个图形的组合，可得K点处的位移为：

Δ _K ＝2×（2/3×3×9×5/8×3/2）/（2EI）＋（1/2×6×3/2×12）/（2EI）＝43.875/（EI）（↓）

2 如图6-8（a）所示结构EI＝常数，若要使B点水平位移为零，则P ₁ /P ₂ 应为（　　）。 [浙江大学2007研]

A．10/3

B．9/2

C．20/3

D．17/2

【答案】 C

【解析】 利用结构位移计算反推荷载。在B点施加一个水平向右的单位力，作出对应的弯矩图M ₁ 及结构在外荷载作用下的弯矩图M _P ，如图6-8（b）所示。利用图乘法可得B点水平位移计算式为：

－（1/2×l×l×2P ₂ l/3）/（EI）－（1/2×l×l×P ₂ l）/（EI）＋（1/2×l×P ₁ l/4×l）/（EI）＝0

解得：P ₁ /P ₂ ＝20/3。

3 如图6-9所示桁架，C点的水平位移（　　）。 [西南交通大学2008研]

A．向左

B．向右

C．等于零

D．不定，取决于A ₁ /A ₂ 值

【答案】 D

【解析】 在外荷载F _P 下，根据节点法可判断AC杆轴力为拉力，符号为正，BC杆轴力为压力，符号为负。在C点施加一个水平向右的单位力，可判断AC杆的轴力为拉力，符号为正，BC杆轴力也为拉力，符号为正。

根据计算桁架位移的公式得：Δ _CH ＝∑ N ( — ) N _P l/（EA），可知C点水平位移的正负不能确定，取决于A ₁ /A ₂ 值。

4 如图6-10所示两种梁的状态下所产生的支座反力关系为（　　）。 [国防科技大学2006研]

A．m ₁₁ ＝m ₁₂

B．m ₁₂ ＝R ₂₁

C．R ₂₁ ＝R ₂₂

D．m ₁₁ ＝R ₂₂

【答案】 B

【解析】 根据反力互等定理，支座1发生单位位移所引起的支座2的反力，等于支座2发生单位位移所引起的支座1的反力。因此m ₁₂ ＝R ₂₁ ，B项正确。

5 用图乘法求位移的必要条件之一是（　　）。 [宁波大学2009研]

A．单位荷载下的弯矩图为一直线

B．结构可分为等截面直杆

C．所有杆件EI为常数且相同

D．结构必须是静定的

【答案】 B

【解析】 图乘法求位移的必要条件包括：①杆轴为直线；②EI为常数；③ M ( — ) 和M _P 两个弯矩图中至少有一个是直线图形。B项，变截面直杆可根据截面刚度不同分段利用图乘法求解位移，因此B项不是图乘法求位移的必要条件。

三、判断题

1 静定结构在产生支座沉降时，其位移与结构的刚度有关。（　　） [中南大学2003研]

【答案】 错

【解析】 静定结构在温度变化、支座沉降时，静定结构不会产生内力，但会产生位移。支座沉降时，结构产生刚体位移，其位移与结构的刚度无关。

2 如图6-11所示结构EI＝常数，求K点的竖向位移时，由图乘法得：Δ _K ＝（1/EI）×ω ₁ y ₁ 。（　　） [天津大学2003研]

【答案】 错

【解析】 图示情况下不能直接进行图乘计算，应分段进行计算。 M ( — ) 图的三角形部分对应与M _P 图相同的范围内的弯矩图进行图乘，此时的M _P 图应按照叠加法重新画出，方可进行计算。

四、分析计算题

1 如图6-12所示桁架各杆刚度为EA，弹性支座刚度为EA/a，试计算桁架各杆的轴力，并求结点7的竖向位移。 [武汉科技大学2007研]

解： 取基本体系如图6-13所示。

则力法基本方程为：

式中，Δ _k 为弹性支座处变形。根据题意，弹性支座处的变形为：Δ _k ＝X ₁ /（EA/a）＝X ₁ a/（EA）。

由于结构是对称的，所以只需研究半边结构，如表6-1所示。

则有：

代入力法基本方程中可求得X ₁ ＝F，表的最后一列是各个桁架的内力。节点7的位移为Δ ₇ ＝X ₁ a/（EA）＝Fa/（EA）（↓）。

2 求如图6-14所示结构A、B相对竖向线位移，EI＝常数，a＝2m。 [宁波大学2009研]

解： （1）若求AB的相对竖向位移，需分别在AB两点加一对单位力，其中A点的力竖直向下，B点的力竖直向上。由静力平衡条件可知，此时结构的支座反力为0，故此时的弯矩图如图6-15所示。

（2）绘制结构在原荷载作用下的弯矩图，如图6-16所示。

（3）由图乘法可得，AB的相对竖向位移为：Δ＝2×（1/3）×2×2q×（3/4）×2/（EI）＝4q/（EI）（↓↑）。

3 求如图6-17所示结构A点竖向位移Δ _Ay ，已知EI为常数。 [西南交通大学2007研]

解： 在A处加一个竖直向下的单位力，求解支座反力。由静力平衡条件可得两端支座均为1/2，绘制弯矩图，如图6-18所示。

均布荷载作用下，根据静力平衡条件，可得左侧支座反力为：F _x ＝ql，F _y ＝ql/4，右侧支座反力为：F _y ＝ql/4。绘制均布荷载作用弯矩图，如图6-19所示。

利用图乘法，可得A的竖直位移为：

4 结构的支座移动情况如图6-20所示。求铰B两侧截面的相对转角φ _B 。 [国防科技大学2006研]

解： 在铰B处施加一对单位力偶，基本体系如图6-21所示。

由图示结构可知，弯矩作用在基本结构上。因此D支座的反力为0。取AB段为隔离体，并对B点取矩得：

∑M _B ＝0，解得M _A ＝1。所以相对转角为：Δφ _B ＝－∑F _RC ·φ＝0.001rad（ ） GFNSwAud3y46i0O65nr/WxZVcJOiCVHK/QsCAQDVVFAdx6n8EDrvE+1pdAcvd05n