第7章
力法

一、填空题

1 如图7-1（a）所示桁架，EA为常数，若采用如图7-1（b）所示基本体系，则力法典型方程中的Δ _1P 为______。 [西南交通大学2007研]

【答案】 F _P /（2k）

【解析】 此题需要特别注意弹簧在求解力法典型方程时对自由项Δ _1P 的影响，单位荷载下的基本结构杆件的内力均为零；在F _P 作用时，弹簧的压缩量为F _P /（2k）；在单位荷载作用下，弹簧处的约束反力为1（向左）；所以 。

2 如图7-2所示对称结构，结点C的弯矩等于______，______侧受拉。 [浙江大学2006研]

【答案】 0；下

【解析】 对称结构作用反对称荷载，取半结构如图7-3（a）所示；该半结构为静定体系，可作出对应的弯矩图如图7-3（b）所示，可知C点的弯矩为零，下侧受拉。

3．如图7-4所示结构，EA＝常数，中部水平横杆内力N＝______。 [哈尔滨工业大学2008研]

【答案】 0

【解析】 该结构为对称结构。将荷载P分解为同方向的两个P/2（反对称力）和反方向的两个P/2（正对称力），对称结构在反对称荷载下只产生反对称的力，再根据结点平衡可知在这种情况下，指定杆的内力为零；对称结构在对称荷载作用下只产生对称的力，再根据结点平衡可知，指定杆的内力为零。综上，两者相加得到中部水平横杆最终的内力N＝0。

二、选择题

1 如图7-5所示对称结构，其半结构计算简图为（　　）。 [哈尔滨工业大学2007研]

A．

B．

C．

D．

【答案】 A

【解析】 从位移的角度考虑，对称结构在对称荷载作用下，只存在对称的位移即为竖向位移，不存在反对称的位移即为水平位移；不存在哪个方向的位移，在哪个方向上就有约束，所以该题不存在水平位移，只存在水平约束。

2 用力法计算如图7-6所示结构时，使其典型方程中副系数全为零的力法基本结构是（　　）。 [天津大学2005研]

A．

B．

C．

D．

【答案】 D

【解析】 该结构为三次超静定结构，若使典型方程中副系数全为零，即在三个单位荷载下的弯矩图两两图乘均为零，D图所示基本结构在三个单位荷载作用下的弯矩图如图7-7所示，显然两两图乘均为零。

3 如图7-8（a）所示结构，如取图7-8（b）所示为力法基本结构，则力法方程的系数Δ _2C 等于（　　）。 [浙江大学2007研]

A．－b

B．0

C．b

D．a

【答案】 B

【解析】 将移动的支座处视为多余约束时，Δ _2C ＝0，因为基本结构不需要考虑支座位移带来的影响，但在力法典型方程的右侧会出现已知的a、b。

4 如图7-9所示结构，若取支座A反力为力法基本未知量X ₁ ，则当I ₁ 增大时，δ ₁₁ 为（　　）。 [浙江大学2006研]

A．变小

B．变小

C．不变

D．取决于I ₁ /I ₂ 的值

【答案】 A

【解析】 δ ₁₁ 为基本结构在单位多余未知力下的弯矩图（为三角形）的自乘，EI ₁ 、EI ₂ 必定在分母的位置，当I ₁ 增大，I ₂ 不变时，δ ₁₁ 的值一定减小。

5 如图7-10所示结构EI为常数，中间截面C及AB杆内力应满足（　　）。 [西南交通大学2008研]

A．M≠0，Q＝0，N＝0，N _AB ≠0

B．M＝0，Q≠0，N＝0，N _AB ≠0

C．M＝0，Q≠0，N＝0，N _AB ＝0

D．M≠0，Q≠0，N＝0，N _AB ＝0

【答案】 C

【解析】 对称结构在反对称的荷载作用下，在中间截面处只存在反对称的内力，所以C截面存在剪力Q，不存在弯矩M和轴力N；AB杆的轴力为N _AB 是对称的，故也不存在。

6 如图7-11所示2个结构，材料、外形、荷载和支撑均相同，它们左柱上端的弯矩关系是（　　）。 [中南大学2003研]

A．M _DC ＞M _BA

B．M _DC ＜M _BA

C．M _DC ＝M _BA

D．不一定

【答案】 A

【解析】 超静定结构的弯矩是按刚度分配的，显然CD杆与横梁的刚度比是AB杆与横梁刚度比的两倍，故DC端分配到的弯矩比BA端分配到的弯矩多，故M _DC ＞M _BA 。

7 力法基本方程使用条件是（　　）构成的超静定结构。 [宁波大学2009研]

A．弹塑性材料

B．任意变形的任何材料

C．微小变形且线弹性材料

D．任意变形的线性弹性材料

【答案】 C

【解析】 力法是指解除超静定结构的多余联系而得到静定的基本结构，以多余未知力作为基本未知量，根据基本体系应与原结构变形相同而建立的位移条件，首先求出多余未知力，然后由平衡条件计算其余反力、内力的方法。无使用条件的限制，可以应用于任何变形的任何材料，有使用条件的是求典型方程系数的公式。

8 如图7-12所示结构用力法求解时，基本结构不能选（　　）。 [哈尔滨工业大学2007研]

A．C为铰结点，A为固定铰支座

B．C为铰结点，D为固定铰支座

C．A、D均为固定铰支座

D．A为竖向链杆支座

【答案】 D

【解析】 力法的基本结构是无多余约束的几何不变体系；当A为竖向链杆时，根据两刚片规则，易判断出原结构会变为几何瞬变体系。

三、判断题

1 如图7-13（a）所示桁架结构可选用图（b）所示的体系作为力法基本体系。（　　） [西南交通大学2008研]

【答案】 对

【解析】 力法的基本结构是无多余约束的几何不变体系；对图7-13（b）进行几何组成分析：去掉一个二元体，根据三刚片规则，三刚片通过不共线的三个铰相联，为无多余约束的几何不变体系。

2 除荷载外，支座移动，温度改变，制造误差等外因均不引起任何结构产生内力。（　　） [湖南大学2003研]

【答案】 错

【解析】 对于静定结构除荷载外，支座移动，温度改变，制造误差等外因均不引起任何结构产生内力；但对于超静定结构荷载、支座移动，温度改变，制造误差等外因均会引起结构产生内力。

3 用图乘法计算超静定结构的位移时，虚拟状态的弯矩图可取任一力法基本结构对应的 M ( — ) 图。（　　） [中南大学2005研]

【答案】 对

【解析】 由于超静定结构的内力并不因为所取的基本结构不同而有所改变，因此可以将其内力看作是按任一基本结构求得；故在计算超静定结构的位移时，也就可以将所设单位力施加于任一基本结构作为虚力状态。

四、分析计算题

1 用力法计算如图7-14所示结构，并作结构的M图。 [西南交通大学2008研]

解： 题图所示体系为对称体系，可以将荷载变化成两部分，一个是对称荷载，另一个是反对称荷载。当荷载简化为反对称荷载时，取左半部分为研究对象（如图7-15a），基本体系如图7-15b所示。

则力法的基本方程为δ ₁₁ X ₁ ＋Δ _1P ＝0，利用图乘法可得δ ₁₁ ＝5l ³ /（6EI），Δ _1P ＝－F _P l ³ /（4EI），代入力法方程，解得X ₁ ＝3F _P /10。画出弯矩图如图7-16所示。

由于是对称结构，不计中间的竖杆的变形，因此对称荷载作用下，弯矩图也为0。故可知系统的弯矩图就是反对称的弯矩图。

2 用力法计算如图7-17所示结构的弯矩图，写出分析过程。 [东南大学2005研]

解： 将荷载分解成两种，一种为对称荷载，另一种为反对称荷载。对于对称荷载，由于机构对称荷载对称，所以两边荷载抵消，不会产生弯矩，故不考虑。因此，只需考虑反对称荷载，此时的受力图如图7-18所示。

只需研究半个结构，此时横梁中只有剪力，故取基本结构如图7-19（a）所示；体系在单位荷载作用下的弯矩图 M ( — ) ₁ 如图7-19（b）所示；去掉X ₁ 后，绘制此时的弯矩图M _P ，如图7-19（c）所示。

力法的典型方程为δ ₁₁ X ₁ ＋Δ _1P ＝0，由图乘法可求得方程中的常数项和系数分别为

δ ₁₁ ＝1/（2EI）×（1/2×4×4×2/3×4＋1/2×4×4×2/3×4）＋1/（EI）×（4×6×4）＝352/（3EI）

Δ _1P ＝－1/（2EI）×（1/2×4×4×2/3×350）－1/（EI）×（4×6×（200＋350）/2）＝－22600/（3EI）

代入方程，可得X ₁ ＝64.205kN，利用弯矩的叠加原理，可求得最后的弯矩图如图7-20所示。

3 如图7-21所示结构内部温度升高30℃，外部温度不变，绘制结构弯矩图，并计算E点的竖向位移。已知结构杆件截面为矩形，截面高h＝0.6m，材料线性膨胀系数α，EI为常数。 [武汉科技大学2009研]

解： 用力法求解。将题图简化为图7-22（a）所示结构，作出单位荷载下的弯矩图如图7-22（b）所示。

则有

代入正则方程，可得X ₁ ＝－35αEI/3，弯矩图如图7-22（c）所示，则E点的位移为

4 试用最简便的方法计算如图7-23所示结构，并作M图，各杆EI＝常数。 [福州大学2007研]

解： 题图所示结构对称，荷载对称，所以可取半结构进行分析。在中间竖杆处断开，并加滑动支座，如图7-24（a）所示。

在竖杆的下支座加向下的单位位移，采用位移法进行计算，由于为基本结构，则可画出此时的弯矩图如图7-24（b）所示，M _P 图如图7-24（c）所示。

则由图乘法可得系数和自由项分别为k ₁₁ ＝15i/l ² ，F _1P ＝－ql/2，所以位移为Δ ₁ ＝－F _1P /k ₁₁ ＝ql ³ /（30i），根据弯矩叠加可得所求最终弯矩图如图7-25所示。