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1 某公司预期未来3年股利收益分别是5元/股，7元/股，6元/股，当前资本成本率5%。 [天津大学2019研]
（1）股价20元/股，问股价被高估还是低估？
（2）当前股价40元/股，3个月远期期货43元/股，无股利，年利率5%，问如何套利？
答： （1）股价＝未来所有股利的贴现值，有公式：
其中，P代表股价；D代表各期股利；R代表资本成本率；带入数值则有：
由于16.29元＜20元，所以股价被高估了。
（2）假定该股票的即期价格为S 0 ，T是远期合约到期的时间，r是以连续复利计算的无风险年利率，F 0 是远期合约的即期价格，如果F 0 ＞S 0 ×e rT ，套利者可以买入股票同时卖空股票的远期期货合约；如果F 0 ＜S 0 ×e rT ，套利者可以卖空股票同时买入股票的远期期货合约。
此时，由于S 0 ×e rT ＝40×e 0.05 ×3/12 ＝40.5元＜43元。
所以，投资者可以买入股票，同时卖空远期期货合约来套利，合约到期，即三个月后，投资者可获利：43－40.5＝2.5元。
2 某投资者手头有¥10000资金，现打算进行为期1年的股票及其衍生品投资。已知股票当前价格为¥100/股，以此股票为标的资产的1年期远期协议的价格为¥110/股，以此股票为标的资产、执行价格为¥110/股的1年期看涨期权的价格为¥20。假设1年期无风险利率为10%。考虑并比较如下几种投资策略：
策略1：利用手头资金直接买入100股股票。
策略2：利用手头资金作为保证金（保证金比例为20%），做多500份以股票为标的资产的远期协议；（假设保证金账户的资金的1年期利率水平同样为10%）
策略3：额外借入¥40000买入500股股票；（假设1年期的借款利率同样为10%）
策略4：买入500份看涨期权。
（1）利用1年后如下可能的股票价格，计算每种策略下投资者账户最终的资金总额和相应的收益率（需给出必要的计算步骤）。
（2）根据（1）的计算结果，至少给出两点经济预示（尤其是金融中“杠杆”的作用）。 [电子科技大学2016研]
答： （1）设资金总额为C，收益率为Y。
①一年后股价为¥120/股时
策略1：C＝120×100＝¥12000，Y＝（12000－10000）/10000＝20%。
策略2：做多远期协议，一年后按协议价格¥110/股买入500股标的股票导致盈利C 1 ＝500×（120－110）＝¥5000，同时保证金账户资金的收益C 2 ＝10000×10%＝¥1000，资金总额C＝10000＋C 1 ＋C 2 ＝10000＋5000＋1000＝¥16000，收益率Y＝（16000－10000）/10000＝60%。
策略3：C＝120×500－40000×（1＋10%）＝¥16000，Y＝（16000－10000）/10000＝60%。
策略4：C＝（120－110）×500＝¥5000，Y＝（5000－10000）/10000＝−50%。
②一年后股价为¥110/股时
策略1：C＝110×100＝11000，Y＝（11000－10000）/10000＝10%。
策略2：C 1 ＝500×（110－110）＝0，同时保证金账户资金的收益C 2 ＝10000×10%＝1000，资金总额C＝10000＋C 1 ＋C 2 ＝10000＋0＋1000＝11000，收益率Y＝（11000－10000）/10000＝10%。
策略3：C＝110×500－40000×（1＋10%）＝11000，Y＝（11000－10000）/10000＝10%。
策略4：执行价格也为¥110/股，此时可以选择不行权。C＝10000－20×500＝0，Y＝（0－10000）/10000＝－100%。
③一年后股价为¥100/股时
策略1：C＝100×100＝10000，Y＝（10000－10000）/10000＝0%。
策略2：C 1 ＝500×（100－110）＝－5000，同时保证金账户资金的收益C 2 ＝10000×10%＝1000，资金总额C＝10000＋C 1 ＋C 2 ＝10000－5000＋1000＝6000，收益率Y＝（6000－10000）/10000＝－40%。
策略3：C＝100×500－40000×（1＋10%）＝6000，Y＝（6000－10000）/10000＝－40%。
策略4：执行价格为¥110/股，此时可以选择不行权。C＝10000－20×500＝0，Y＝（0－10000）/10000＝－100%。
④一年后股价为¥90/股时
策略1：C＝90×100＝9000，Y＝（9000－10000）/10000＝－10%。
策略2：C 1 ＝500×（90－110）＝－10000，同时保证金账户资金的收益C 2 ＝10000×10%＝1000，资金总额C＝10000＋C 1 ＋C 2 ＝10000－10000＋1000＝1000，收益率Y＝（1000－10000）/10000＝－90%。
策略3：C＝90×500－40000×（1＋10%）＝1000，Y＝（1000－10000）/10000＝－90%。
策略4：执行价格为¥110/股，此时可以选择不行权。C＝10000－20×500＝0，Y＝（0－10000）/10000＝－100%。
（2）从（1）中可以的得到的经济预示
①金融中“杠杆”的作用实际上就是以小博大，就是以相对较小的本金，来获取杠杆，从而获得更大的投资额，谋求更高的收益。（1）中的投资策略2利用保证金制度进行投资，策略3是借入资金进行投资，两者均属于杠杆投资，两个策略的杠杆率均为1∶4，因此策略3的收益与策略2的收益在不同的股票价格下均相同，与不使用杠杆的策略1相比，策略2和策略3在市场行情好时放大了投资收益，但在市场行情差时也放大了损失。由此可见，金融杠杆投资所带来的收益波动率更大，风险更高，适合于更能够承担风险的投资者。
②策略4中的期权投资同样属于杠杆投资，期权投资相比策略2的保证金杠杆及策略3的借贷杠杆优越之处在于其在保留杠杆投资高收益可能的同时将最坏情况下的损失锁定在一定水平，即无论股价跌到何种水平，投资者的损失至多为期权费，本题中投资者将所有资金投入，因此最坏情况收益率为－100%。这种对最坏损失的保护的代价是市场行情好时投资者的收益需要扣减掉期权费成本，因此同等情况下收益比普通杠杆投资低。本题中股价为120时其他策略获得收益，但策略4依然有－50%的损失。
3 某美国公司向德国出口机器，三个月后收回货款500万欧元。为防止外汇风险以欧式期权保值。期权协议价格1欧元＝0.4500美元，卖出40份欧元期货期权，期权费为每欧元2美分。如果三个月后欧元汇率发生下列变化：1欧元＝0.4100美元；1欧元＝0.4300美元；1欧元＝0.4700美元。试计算三种汇率变化情况下该公司的损益，并说明各种情况下是否该行权？ [武汉大学2015研]
答： 由题干可知，为防止外汇风险，该美国公司卖出了欧元期货看涨期权，期权买方付出期权费买入欧元期货看涨期权。因此，当欧元升值，买方选择执行期权；当欧元贬值，则放弃行使期权。
（1）当1欧元＝0.4100美元时，由于到期时汇率低于协议价格，欧元贬值，买方不执行期权。该公司的总收益为期权费＋货款，即500×0.02＋500×0.4100＝215（万美元）。
（2）当1欧元＝0.4300美元时，由于到期时汇率低于协议价格，买方不执行期权。该公司的总收益为期权费＋货款，即500×0.02＋500×0.4300＝225（万美元）。
（3）当1欧元＝0.4700美元时，由于到期时汇率高于协议价格，买方执行期权。该公司的总收益为期权费＋货款，即500×0.02＋500×0.4500＝235（万美元）。
在没有期权时，公司的收益分别为205万美元、215万美元、235万美元。因此，三种情况下公司的损益分别为10万美元、10万美元、0美元。
4 3月15日，某公司预计6月15日将有一笔10000000美元收入，该公司打算将其投资于美国30年期国债。3月15日，30年期国债的利率为9.00%，该公司担心到6月15日利率会下跌，故在芝加哥期货交易所进行期货套期保值交易。具体操作过程如下表所示，请计算下表问号“？”处的盈亏数据。 [南京大学2014研]
答： 现货市场盈亏＝10000000×（7%－9%）×90/360＝－50000（美元）。
期货市场盈亏＝（92－91）×100×1000＋（15－5）/32×100×1000＝131250（美元）。
5 一家公司的投资组合经理正在使用资本资产定价模型来为他的客户推荐投资产品。已知以下市场信息：
（1）计算每只股票的预期收益率和阿尔法值（α）。
（2）请分别为如下两位投资者推荐股票X或股票Y：投资者A希望将所选择的这只股票加入到已有的完全分散化的股票投资组合中。投资者B将仅投资于所选择的这一只股票。 [北京航空航天大学2014研]
答： （1）根据CAPM模型，股票X的预期收益率E（X）＝5%＋0.8×（14%－5%）＝12.2%，阿尔法值（α X ）＝15%－12.2%＝2.8%；股票Y的预期收益率E（Y）＝5%＋1.5×（14%－5%）＝18.5%，阿尔法值（α Y ）＝17%－18.5%＝－1.5%。
（2）投资者A应选择Y股票，投资者B应选择X股票。因为投资者A持有的是风险已经完全分散化的股票投资组合，此时加入任何一个有风险的股票都会使投资组合的风险增大，所以应该选择风险程度较低的股票，即选择标准差较小的股票Y；因为股票X的阿尔法值大于零，股票Y的阿尔法值小于零，可知股票X被低估，股票Y被高估，所以投资者B应该买入被低估的股票X，等待股票价格上涨后再卖出以赚取收益。
6 某美国投资者以6%的年利率借入10万美元，期限6个月，然后，该投资者将美元兑换成英镑投资于年利率为8%的债券，纽约外汇市场的行市如下：£/US$＝1.7651/62，6个月远期差价为80/50。问£/US$六个月的远期汇率是多少？如何利用远期外汇交易进行套期保值？试计算套期保值的收益。 [武汉大学2014研]
答： （1）如果标价中将买卖价格全部列出，并且远期汇率的点数也有两个，则无需考虑两种标价法的区别，只要按照下面的规则就可正确计算远期汇率：①若远期汇率的报价大数在前，小数在后，表示单位货币远期贴水，计算远期汇率时应用即期汇率减去远期点数；②若远期汇率的报价小数在前，大数在后，表示单位货币远期升水。由题意知，英镑远期贴水，远期汇率＝£/US$＝1.7651/62－80/50＝1.7571/1.7612。
（2）利用远期外汇交易进行套期保值：
①该投资者以6%的年利率借入10万美元，并按即期汇率将美元兑换成英镑，可兑换的英镑数为：（10/1.7662）万英镑。
②将英镑投资于年利率为8%的债券，6个月后的本息和为：（10/1.7662）×（1＋8%×6/12）≈5.89（万英镑）。
③将英镑兑换成美元：5.89×1.7571≈10.35（万美元）；偿还借款：10×（1＋6%×6/12）＝10.3（万美元）。
④利用远期外汇交易进行套期保值得到的收益为：10.35－10.3＝0.05（万美元）。
7 假定某投资组合是有效的投资组合，该投资组合的标准差是18%，市场的预期收益率是16%，市场的标准差是24%，投资组合的预期收益率是15%，根据资本市场线，求无风险收益率为多少。 [江西财经大学2013研]
答： 资本市场线的表达式为：E（r P ）＝r f ＋[E（r M ）－r f ]×σ P /σ M ，其中r P 为任意有效组合P的收益率，r f 为无风险收益率，r e ＝[E（r M ）－r f ]/σ M 为资本市场线的斜率，σ P 为有效组合P的标准差。
因此，由题中数据可得，σ P ＝18%，E（r P ）＝15%，E（r M ）＝16%，σ M ＝24%。同时，可以求出资本市场线的斜率：r e ＝（0.16－0.15）/0.24＝1/24。
根据资本市场线的表达式得到：E（r P ）＝r f ＋r e ×σ P ⇒15%＝r f ＋1/24×18%＝15%。
解得，r f ＝14.25%，因此无风险收益率为14.25%。
8 假定你投资了450元在一个年利率为12%、期限为2年的金融产品上，那么2年后你将得到多少钱？其中多少是单利？多少是复利？ [广东财经大学2013研]
答： 2年后将得到：450×（1＋12%） 2 ＝564.48（元）
复利的利息为：564.48－450＝114.48（元）
单利的利息为：450×12%×2＝108（元）
9 甲公司借入固定利率资金的成本是10%，浮动利率资金的成本是LIBOR＋0.25%；乙公司借入固定利率资金的成本是12%，浮动利率资金的成本是LIBOR＋0.75%。假定甲公司希望借入浮动利率资金，乙公司希望借入固定利率资金。甲乙公司均需要借入一笔5年期的100万借款。问：
（1）哪家公司在浮动利率市场上有竞争优势？
（2）给出合适的贷款和互换方案，使两家公司受益相同。
（3）在此方案下，甲公司5年内能节省多少利息费用？ [上海大学2012研]
答： （1）甲乙两家公司的相对优势情况如下表：
由表中数据可得，甲比乙固定成本少2%，甲比乙浮动利率少0.5%，2%大于0.5%，因此就两公司而言，甲公司具有固定利率融资相对比较优势，乙公司具有浮动利率融资相对比较优势，即乙公司在浮动利率市场上有相对竞争优势。
（2）如果甲公司借入固定利率资金，乙公司借入浮动利率资金，则二者借入资金的总成本为：LIBOR＋10.75%。
如果甲公司借入浮动利率资金，乙公司借入固定利率资金，则二者借入资金的总成本为：LIBOR＋12.25%。
由此可知，第一种筹资方式组合发挥了各自的优势能降低筹资总成本，共节约1.5%，但是，这一组合不符合二者的需求，因此，应进行利率互换。
互换过程为：甲公司借入固定利率资金，乙公司借入浮动利率资金，并进行利率互换，甲公司替乙公司支付浮动利率，乙公司替甲公司支付固定利率。
为了使两家公司受益相同，即平分这节约的1.5%，甲公司和乙公司各自获利1.5%÷2＝0.75%。
利率互换的过程如下图所示。
在这一过程中：
①甲公司需要向固定利率债权人（如：商业银行）支付10%的固定利率，向乙公司支付的浮动利率可以根据其获利0.75%求得，具体求解如下：LIBOR＋0.25%－0.75%＝LIBOR－0.5%。
由于与乙公司发生利率互换，甲公司得到乙公司的10%的固定利率，因此，甲公司的融资总成本为：10%－10%＋LIBOR－0.5%＝LIBOR－0.5%，收益0.75%。
②乙公司需要向浮动利率债权人（如：商业银行）支付LIBOR＋0.75%的浮动汇率，向甲公司支付10%的固定汇率，并受到甲公司LIBOR－0.5%的浮动利率，乙公司的融资总成本为：LIBOR＋0.75%－（LIBOR－0.5%）＋10%＝11.25%，收益＝12%－11.25%＝0.75%。
（3）甲公司每年能节约的利息率为0.75%，因此，5年能节约的利息费用为：100×0.75%×5＝3.75（万元）。
10 目前，外汇市场上加拿大元对日元的即期汇率为1加元＝113日元，一年期远期汇率为1加元＝100日元。加拿大元的年利率为5%，日元的年利率为2%。
（1）请证明是否存在套利空间？
（2）如果可以套利，并且你可以动用1000加元或113000日元，那么你将如何套利？套利后的利润是多少（用加元表示）？ [浙江工商大学2012研]
答： （1）通过即期汇率估算远期汇率，1加元一年后是1.05加元，113日元一年后是113×1.02＝115.26日元，那么预期的加拿大元对日元的远期汇率1加元＝115.26/1.05＝109.77（日元），而一年期远期汇率为1加元＝100日元，故存在着套利空间。
（2）当不买远期时，即直接将1000加元存入银行，一年后变为：1000套利的核心是“买低卖高”，远期合约中的日元被高估，因此卖出远期合约，买入即期日元。持有1000加元，兑换成113000日元，在日本以2%的年利率投资。一年后，资金为113000×（1＋2%）＝115260（日元），通过固定下来的远期价格换算成为115260/100＝1152.6（加元）。
若是不进行套利操作，也就是持有1000加元在本国投资，一年后获得1000×（1＋5%）＝1050（加元）。
套利的利润为1152.6－1050＝102.6（加元）。
11 已知无风险收益率为5%，市场预期收益率为17%，某股票β系数为1.40，求其要求收益率。 [东北财经大学2003研]
答： 由资本资产定价模型：E（R i ）＝R f ＋β i [E（R m ）－R f ]，其要求收益率＝5%＋1.40×（17%－5%）＝21.8%。
即其要求收益率为21.8%。