1.3　考研真题详解

一、选择题

1 函数 在 内（　　）。 [数二2015]

A．连续

B．有可去间断点

C．有跳跃间断点

D．有无穷间断点

【答案】 B

【解析】 因为

所以f（x）在x＝0点左右极限都存在且 ，又f（x）在x＝0无定义，根据间断点定义及性质判断， f（x）有可去间断点x＝0。

2 设{x _n }是数列，下列命题中不正确的是（　　）。 [数三2015研]

A．若 ，则

B．若 ，则

C．若 ，则 ，则

D．若 ，则

【答案】 D

【解析】 数列收敛，则它的任何无穷子列均收敛，所以AC两项正确；一个数列存在多个无穷子列，如果这些子列的并集包含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的。因D项中两个无穷子列的并集未包含原数列所有项，B项正确，D项错误。

3 下列曲线有渐近线的是（　　）。 [数一、数二、数三2014研]

A．y＝x＋sinx

B．y＝x ² ＋sinx

C．y＝x＋sin（1/x）

D．y＝x ² ＋sin（1/x）

【答案】 C

【解析】 对于y＝x＋sin（1/x），可知

故y＝x＋sin（1/x）有斜渐近线y＝x。

4 当x→0 ^＋ 时，若ln ^α （1＋2x），（1－cosx） ^1/α ，均是比x高阶的无穷小，则α的取值范围是（　　）。 [数二2014研]

A．（2，＋∞）

B．（1，2）

C．（1/2，1）

D．（0，1/2）

【答案】 B

【解析】 当x→0 ^＋ 时ln ^α （1＋2x）～（2x） ^α ，（1－cosx） ^1/α ～（x ² /2） ^1/α ＝（1/2） ^1/α ·x ^2/α

由题意可知 ，所以α的取值范围是（1，2）。

5 设 ，则当n充分大时，下列正确的有（　　）。 [数三2014研]

A．|a _n |＞|a|/2

B．|a _n |＜|a|/2

C．a _n ＞a－1/n

D．a _n ＜a＋1/n

【答案】 A

【解析】 因为 ，所以∀ε＞0，∃N，当n＞N时，有|a _n －a|＜ε，即a－ε＜a _n ＜a＋ε， ||a|－ε|＜|a _n |≤|a|＋ε，取ε＝|a|/2，则知|a _n |＞|a|/2。

6 设P（x）＝a＋bx＋cx ² ＋dx ³ ，则当x→0时，若P（x）－tanx是比x ³ 高阶的无穷小，则下列选项中错误的是（　　）。 [数三2014研]

A．a＝0

B．b＝1

C．c＝0

D．d＝1/6

【答案】 D

【解析】 当x→0时，tanx＝x＋x ³ /3＋o（x ³ ），故

得a＝0，b＝1，c＝0，d＝1/3。

7 设cosx－1＝xsinα（x），其中|α（x）|＜π/2，则当x→0时，α（x）是（　　）。 [数二2013研]

A．比x高阶的无穷小量

B．比x低阶的无穷小量

C．与x同阶但不等价的无穷小量

D．与x等价的无穷小量

【答案】 C

【解析】 由cosx－1＝xsinα（x），得

得

又|α（x）|＜π/2，可得 ，因此知α（x）是x→0时的无穷小量，且有

因此得

所以α（x）是与x同阶但不等价的无穷小量。

8 设函数 ， ，则（　　）。 [数二2013研]

A．x＝π是函数F（x）的跳跃间断点

B．x＝π是函数F（x）的可去间断点

C．F（x）在x＝π处连续但不可导

D．F（x）在x＝π处可导

【答案】 C

【解析】 由题意得

计算得

所以F（x）在x＝π处连续。

又

所以F ^′ _－ （π）≠F ^′ _＋ （π），即F（x）在x＝π处不可导。

综上知，F（x）在x＝π处连续但不可导。

9 当x→0时，用o（x）表示比 的高阶无穷小，则下列式子中错误的是（　　）。 [数三2013研]

A．x·o（x ² ）＝o（x ³ ）

B．o（x）·o（x ² ）＝o（x ³ ）

C．o（x ² ）＋o（x ² ）＝o（x ² ）

D．o（x）＋o（x ² ）＝o（x ² ）

【答案】 D

【解析】 由高阶无穷小的定义可知，ABC三项都是正确的，对于D项可找出反例，例如当x→0时f（x）＝x ² ＋x ³ ＝o（x），g（x）＝x ³ ＝o（x ² ），但f（x）＋g（x）＝o（x）而不是o（x ² ）。

10 设函数 的可去间断点的个数为（　　）。 [数三2013研]

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】 C

【解析】 由题意知f（x）的间断点为0，±1。

当xln|x|→0时，

，故x＝0是函数f（x）的可去间断点。

，故x＝1是函数f（x）的可去间断点。

，故x＝－1不是函数f（x）的可去间断点。因此，可去间断点的个数为2。

11 曲线y＝（x ² ＋x）/（x ² －1）的渐近线的条数为（　　）。 [数一、数二、数三2012研]

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】 C

【解析】 因为 ，所以由定义可知，x＝1为曲线的垂直渐近线。

因为 ，所以y＝1为水平渐近线。

因为 ，所以曲线没有斜渐近线。

综上可知，曲线共有2条渐近线。

二、填空题

1 ＝______。 [数三2015研]

【答案】 －1/2

【解析】 。

2 ＝______。 [数二2013研]

【答案】

【解析】 计算得

3 设曲线y＝f（x）和y＝x ² －x在点（1，0）处有公共的切线，则 ＝______。 [数三2013研]

【答案】 －2

【解析】 由条件可知f（1）＝0，f ^′ （1）＝1。故

4 ＝______。 [数三2012研]

【答案】

【解析】 由于

而

所以

5 ______。 [数一2020研]

【答案】 －1

【解析】

6 ，则k＝______。 [数一2018研]

【答案】 －2

【解析】 由于

故k＝－2。

三、解答题

1 设函数f（x）＝x＋aln（1＋x）＋bxsinx，g（x）＝kx ³ ，若f（x）与g（x）在x→0时是等价无穷小，求a，b，k的值。 [数一、数二、数三2015研]

解： 先分别计算f ^′ （x），g ^′ （x）的极限，则

假设1＋a≠0，则

这与题目已知条件相矛盾，所以1＋a＝0，得a＝－1。

又

同理可知，1＋2b＝0，计算得b＝－1/2。

因为

且 ，所以k＝－1/3。

综上，a＝－1，b＝－1/2，k＝－1/3。

2 已知函数 ，求f（x）零点的个数。 [数二2015研]

解： 。

令 ，得驻点为x＝1/2。

分类讨论：

（1）当x＞1/2时，f ^′ （x）＞0，f（x）单调增加。又f（1）＝0，所以f（x）在（1/2，＋∞）上存在唯一零点。

（2）当x＜1/2时，f ^′ （x）＜0，f（x）单调减少。又f（1/2）＜f（1）＝0， ，所以f（x）在（－∞，1/2）上存在唯一零点。

故函数f（x）在（－∞，1/2）及（1/2，＋∞）上各有一个零点，所以零点的个数为2。

3 已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120℃的物体在20℃的恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30℃，若要物体的温度继续降至21℃，还需要冷却多长时间？ [数二2015研]

解： 设t时刻物体的温度为T（t）（℃），由已知条件，得dT/dt＝－k（T－20），

其中，k为比例系数，且满足k＞0。计算得T＝Ce ^{－ kt} ＋20。

又T（0）＝120，计算得C＝100，所以T＝100e ^{－ kt} ＋20。

又T（30）＝30，计算得k＝ln10/30。所以T＝100e ^{－（ ln10/30 ） t} ＋20。

令T＝21，计算得t＝60。因此要降至21℃ ，还需60－30＝30（min）。

4 当x→0时，1－cosx·cos2x·cos3x与ax ⁿ 为等价无穷小量，求n与a的值。 [数二2013研]

解： 方法一：利用等价无穷小

又当x→0时，有

由已知条件，易得n＝2，且有（1＋4＋9）/2a＝7/a＝1，解得a＝7。

方法二：利用泰勒公式

因为cosx＝1－x ² /2＋o（x ³ ），cos2x＝1－4x ² /2＋o（x ³ ），cos3x＝1－9x ² /2＋o（x ³ ），得

观察知，当n＝2时，极限为7/a。由题意知， 7/a＝1，解得a＝7。

5 计算 。 [数三2012研]

解：

6 求极限 。 [数一2011研]

解： 记

当x＞0时，

当x＜0时， ，同样可得

综上可知

7 求极限 。 [数三2011研]

解：

8 已知（1＋1/n） ⁿ －e与b/n ^a 为n→∞时的等价无穷小，求a，b。 [数三2020研]

解： 由题意有

令1/n＝t，则

从而a＋1＝2，－e/（2b）＝1，解之得 。 oEBX9BE4B3gxRCA6aCdMyor+nN0GJSZVaAq3+OI8vazPSJ3JR09ZVmzb0Fvd6/Ih