2.1　复习笔记

本章介绍了量子力学中最基本的波函数概念和表达形式，讲解了描述量子态动力学过程的薛定谔方程。相比较于经典物理学中的牛顿定律，在量子力学中，非相对论情况下的薛定谔方程占据了同样的重要地位，对于有限的几种可解模型，包括势阱、势垒和线性谐振子，以及氢原子情形，薛定谔方程可以求解出波函数和能级的具体形式，其结果可以完美解释物理实验中的相关现象和数据。对于不可精确求出解析解的模型，在物理背景的考虑下由薛定谔方程得出的近似解也可以对实验现象和结果做出比较满意的解释，第5章微扰理论部分会对近似求解进行详细阐述。在高等量子力学中，也将介绍相对论情形下的狄拉克方程。

【本章重难点】

1．深刻理解玻恩对波函数的统计解释；

2．熟练掌握波函数的正交归一化，并理解其中的物理意义；

3．灵活应用傅里叶变换，并熟练掌握波函数在动量空间和坐标空间的形式及相互转换；

4．重点掌握薛定谔方程的表达形式（一般形式、定态形式），对于薛定谔方程中具体的算符的物理内涵要理解清楚；

5．理解波函数性质的物理意义，对应用薛定谔方程求解一维无限深势阱和δ势垒的波函数和对应能量要熟练掌握，而对于线性谐振子和氢原子的求解过程要有清晰的理解。

熟练记忆这几种可解模型求解的波函数和能级的表达式，在考试中能更高效地解答选择题和填空题。

一、波函数

1 波函数的定义及相关性质（见表2-1-1）

【注】 波函数定义和玻恩对波函数的统计解释在波函数的归一化过程中会用到，而波函数的归一化条件在应用薛定谔方程求解波函数和相应能量时会频繁使用，对于波函数的导数是否连续，则要视具体的势场情形而定。

2 经典波函数与量子波函数的比较（见表2-1-2）

3 态叠加原理

设ψ ₁ 、ψ ₂ 、…、ψ _n 、…是体系的可能状态，那么它们的归一化的线性叠加形式为c ₁ ψ ₁ ＋c ₂ ψ ₂ ＋…＋c _n ψ _n ＋…，这也是微观粒子的可能状态。也可以说，当体系处于态ψ时，体系部分地处于态ψ ₁ 、ψ ₂ 、…、ψ _n 、…中；相应的概率分别为|c ₁ | ² ，|c ₂ | ² 、…、|c _n | ² ，…。

【注】 态叠加原理指的是波函数（概率幅）的线性叠加，而不是概率的叠加。任何一个波函数都可看做是各种不同动量的平面波的叠加。

数学表达式

一维情况下

这就是数学中的傅里叶变换，由此求出的波函数分别是在坐标空间和动量空间中的表示形式，并可知在相应空间中的概率密度分布，具体内容会在第4章“态和力学量的表象”详述。

二、薛定谔方程

波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出

当U（ r ( → ) ，t）与t无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，ψ（ r ( → ) ）满足定态薛定谔方程

此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为

一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。

三、粒子流密度和粒子数守恒定律

【注】 表中公式和经典物理的连续性方程形式一样，但不能完全用经典物理的方式去理解量子力学，概率守恒定律正是体现了波函数要满足的三个条件，即有限性、单质性和连续性。

四、薛定谔方程应用实例

1 一维无限深方势阱

若势能满足

在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是

在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是

体系的能量本征值

本征函数

2 三维无限深方势阱

势能满足方程

则本征值

本征函数

3 一维线性谐振子

势能满足方程

本征值

振子的基态（n＝0）能量，零点能

本征函数

其中

常用公式总结：

一维线性谐振子波函数满足关系如下

ψ _n （－x）＝（－1） ⁿ ψ _n （x）

显而易见，n为偶数时，波函数具有偶宇称的性质；n为奇数时，波函数具有奇宇称的性质。波函数的这些特性都是因为一维线性谐振子的势能函数U（－x）＝U（x）引起的。类似的情况在硬壳模型中也会出现，当势能函数具有确定宇称时，灵活应用这个特点，把波函数分成奇、偶宇称两种情况来讨论，求解波函数会更快捷清晰，所有这些都是由薛定谔方程的线性性质决定的。

4 势垒贯穿（隧道效应）

方形势垒

在量子力学中，与经典物理显著不同的是，能量E大于U ₀ 的粒子有可能越过势垒，但也有可能被反射回来；而能量E小于U ₀ 的粒子有可能被势垒反射回来，但也有可能贯穿势垒而运动到势垒右边x＞a的区域中去。

当E＞U ₀ ，透射系数D表示贯穿到x＞a区域的粒子在单位时间内流过垂直于x方向的单位面积的数目，与入射粒子（在x＜0区域）单位时间内流过垂直于x方向的单位面积的数目之比。反射系数R表示反射波概率流密度与入射波概率流密度之比。有R＋D＝1，D和R都小于1。这说明入射粒子一部分贯穿势垒到x＞a区域，另一部分被势垒反射回去。

当E＜U ₀ ，粒子的能量E很小，以致k ₃ a＞＞1（其中， ）时，贯穿系数为

对于任意势垒U（x），贯穿系数为

当a趋近无限小，U ₀ 趋近无限大时，这时候的势垒就是δ函数，这种情况下对薛定谔方程在a点附近做一次积分可得

其余的求解步骤和一般的势垒相同。

五、几个常见相关概念