下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。并说明其物理意义。 [电子科技大学研]
答： （1）动量p＝μv，德布罗意波长λ＝h/p＝h/（μv）＝6.63×10 － 34 /（50×12）＝1.1×10 － 36 m。
（2）物理意义：晶体的晶格常数约为10 － 10 m，题中的粒子对应的德布罗意波长远小于晶体的晶格常数，因此，无法找到一种仪器，使其特征长度与题中的粒子对应的德布罗意波长相比拟。故题中的粒子的波动性无法表现，无法观测到衍射现象。
【注】 需重视德布罗意关系式的运用和深入理解德布罗意波长的物理意义，在当前冷原子物理的研究中经常需要考虑这一点。
1 设质量为m的粒子在一维无限深势阱
中运动，试用德布罗意关系和驻波条件，求粒子能量的可能值。 [中国科学院（实验型）研]
解：
由德布罗意关系式
得，
。因为在一维无限深势阱中运动的粒子形成驻波可得
，其中n为非零正整数，则粒子的动量为
。所以，粒子能量的可能值为
显而易见，粒子的能量是量子化的。
【注】
从德布罗意关系和驻波条件的角度，可以得出量子化的粒子能量，结合下一章的薛定谔方程，也可以精确求解一维无限深势阱中运动的粒子的能量，即
。由于
，所以通过两种不同方法得出的能量是相同的。
2 利用玻尔-索末菲量子化条件，求解在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径，相邻轨道的动能间隔。 [电子科技大学研]
解： （1）可能的轨道半径：由玻尔-索末菲量子化条件
在磁场中作圆周运动的粒子满足
因ω＝2π/T，于是：
（2）相邻轨道的动能间隔：因为
，相邻轨道的动能间隔为：ΔE
k
＝Bqħ/（2m）。
【注】 注意观察到最后求解的相邻轨道的动能间隔是一个不为零的常数，这与经典物理中的连续动能是不同的，这也体现了与经典物理完全不同的量子特性。
3 质量为m的粒子在一维对称势V＝Ax 2 中运动，请用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 [复旦大学研]
解： 对于在在一维对称势中运动的粒子，由能量守恒可得
动能
即
令
，由量子化条件
可得
整理积分得：
【注】
一维对称势V＝Ax
2
的表达式的形式和一维线性谐振子相似，可以利用定态薛定谔方程求解本征能量和本征波函数，其能级为
，这与通过玻尔量子化条件所得出的
有明显的不同之处，相差的
就是所谓的零点能，它在量子场论中有重要地位，零点能的存在是绝对零度达不到的原因，在实验物理中，Casimir效应验证了零点能的存在。