下载掌阅APP，畅读海量书库
立即打开
1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长λA m 与温度T成反比，即λ m T＝b（常量）；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
解： 根据普朗克的黑体辐射公式
因为
ρ v dν＝－ρ λ dλ
并且
所以
要求解ρ λ 取得极大值时λ取值，先将ρ λ 对λ求一阶导数，将其令为0，所求值带入ρ λ 对λ的二阶导数中，观察在λ m 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的λ m 就是要求的，具体如下：
则
令x＝hc/（λkT），则上述方程为：5（1－e － x ）＝x，通过逐步近似法或者数值计算法获得：x＝4.97。
最后得出b＝λ m T＝2.9×10 － 3 m·K，这便是维恩位移定律。
【注】 本题利用公式ρ λ dν＝－ρ λ dλ，将自变量从频率ν变为波长λ，这是关键，然后根据标准过程求解极值问题，并判断是否符合要求。
1.2 在0K附近，钠的价电子动能约为3eV，求其德布罗意波长。
解： 本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，E 动 ＜＜μ e c 2 ，即μ e c 2 ＝0.51×10 6 eV，所以在非相对论性情况下，根据德布罗意波粒二象性的关系有
1.3 氦原子的动能是E＝（3/2）k B T（k B 为玻耳兹曼常量），求T＝1K时，氦原子的德布罗意波长。
解： 因为氦原子的动能为：E＝（3/2）k B T＝（3/2）k B ·K＝1.5×10 － 3 eV，远远小于μ 核 c 2 ，这样可用非相对论公式
【注】 利用爱因斯坦的质能方程来判断所考察的问题是相对论还是非相对论，并能正确灵活的运用德布罗意公式。
1.4 利用玻尔-索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中做圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H＝10T（特斯拉），玻尔磁子M B ＝9×10 － 24 J/T，试计算动能的量子化间隔ΔE，并与T＝4K及T＝100K的热运动能量相比较。
解：
玻尔-索末菲的量子化条件为：
。其中q是微观粒子的一个广义坐标，p是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k，谐振子质量为m，于是有E＝p 2 /（2m）＋（1/2）kq 2 。在相空间中轨迹是椭圆
两半轴
量子化条件
上式左边即相空间中椭圆面积为πab，故
求得：E＝nhω/（2π）＝nhν＝nħω。
此式说明能量是等间隔分布的量子化能级。严格的量子力学给出了更准确结果，E＝（n＋1/2）ħω（n＝0，1，2，…），并预言存在零点能E 0 ＝ħω/2。
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有mv 2 /R＝evB，求出半径R＝mv/（Be）。现以角度ψ作为广义坐标求广义动量p ψ 。
拉格朗日函数L＝T－V＝T＝mv 2 /2＝m（R ψ ） 2 /2，因此广义动量p ψ ＝∂L/∂ ψ ＝mR 2 ψ ＝mRv＝BeR 2 。由量子化条件，得
即
动能E k ＝mv 2 /2＝（1/2）m（BeR/m） 2 ＝B 2 e 2 R 2 /（2m），所以有E k ＝nħeB/（2m），（n＝1，2，…）。M B ＝qħ/（2μ）是玻尔磁子，则发现量子化的能量也是等间隔的，而且ΔE＝BM B 。具体到本题，有ΔE＝10×9×10 －24 J＝9×10 －23 J。
根据能量均分定理E＝（n/2）kT（热运动能量，n为自由度），对平面运动取n＝2，所以E＝kT。当T＝4K时，E＝5.52×10 － 23 J小于能级间隔ΔE；当T＝100K时，E＝1.38×10 － 21 J大于能级间隔ΔE。
【注】 本题要求熟练灵活运用量子化条件，以及正确选取自由度n，如果自由度n＝3，则根据题中条件，相应的热运动对应的能量将会都大于能级间隔ΔE。
1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？
解： 由能量守恒和动量守恒可得，当两个光子对心碰撞时所需能量最小，即波长最长。
即λ＝hc/（μ e c 2 ）＝1.24×10 －6 /（0.51×10 6 ）m＝2.4×10 －3 nm。