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继上一章介绍的量子力学中波函数的概念和描述量子态动力学过程的薛定谔方程，本章引出了与经典物理中的力学量所对应的量子力学中的算符表示，并介绍了一些力学量算符的具体形式和性质，着重阐释了厄米算符及其本征函数的正交归一。随着力学量算符的引入，介绍了它们之间的对易关系，推导出了海森伯不确定性原理，以及量子力学中力学量期望值随时间的改变，由此明确了对称性和守恒律之间的相互关系。除此之外，还利用电子在库仑场中的运动相应的哈密顿量，求解本征方程，得出波函数和本征能量，并应用于氢原子和类氢原子系统。
【本章重难点】
1．灵活熟练运用力学量算符在某一表象下的波函数ψ中期望值公式，并明确其物理意义；
2．掌握力学量算符的表达形式和性质，考试中经常考查厄米算符及其本征函数的正交归一；
3．掌握常见的算符间的对易关系以及对易式中基本的恒等式；
4．理解海森伯不确定性原理的物理涵义；
5．掌握不对易算符间不确定关系的求解过程；
6．熟练掌握力学量算符期望值随时间变化的推导过程，理解对称性和守恒律之间关系的物理意义。
1 算符
算符是指作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号。例如， F u＝v。
2 力学量平均值
在量子力学中，如果算符 F 有对应的经典物理中的力学量F（ r ， p ），把经典物理中的动量 p 换成算符 p 即可，且
如果量子力学中某算符在经典物理中不存在对应的力学量（如自旋算符，将在第七章自旋部分讨论），在某一表象下，算符 F 在ψ态中的平均值为
3 算符具有的基本性质
（1）算符相等：如果对任意函数u，满足 F u＝ G u，则称算符 F ＝ G 。
（2）单位算符作用于任意函数u上，u不变。
（3）算符之和。
对于任意函数u，有（ F ＋ G ）u＝ F u＋ G u，满足：
① 交换律： F ＋ G ＝ G ＋ F ；
② 结合律：（ F ＋ G ）＋ M ＝ F ＋（ G ＋ M ）。
（4）算符乘积：（ F G ）u＝ F （ G u），一般不存在 F G ＝ G F ，除非 F ， G 对易。
算符对易： F G ＝ G F ；算符反对易： F G ＝－ G F 。
（5）逆算符：如果 F G ＝ I ，则称 F ， G 互为逆算符，记 F － 1 ＝ G ， G － 1 ＝ F 。
两个算符的乘积的逆满足：（ F G ） － 1 ＝ G － 1 F － 1 。
（6）复共轭、转置、厄米共轭、厄米算符
① 复共轭算符 F * 由 F 式中复量换成共轭复量构成。例如， p * ＝－ p 。
②
转置算符
：
。对任意算符，满足
A
，
B
，
。
③
厄米共轭算符
F
＋
：（u，
F
＋
v）＝（
F
u，v），
。
④ 厄米算符 F ： F ＋ ＝ F ，即对任意函数u，v，满足（u， F ＋ v）＝（u， F v）。利用上述厄米共轭算符的定义，上式可以进一步写为（ F u，v）＝（u， F v）。
【注】 量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它的平均值是实数，其本征函数构成完全系，即总可以利用这些本征函数找到一组正交归一化的基矢，使得任意函数都能按此基矢展开。
（7）线性算符：如果算符 F 和任意函数u 1 ，u 2 满足 F （c 1 u＋c 2 v）＝c 1 F u＋c 2 F v，其中c 1 ，c 2 为任意常数，则称 F 为线性算符。
1 动量算符
动量算符
的本征函数（即自由粒子波函数）
满足正交归一性
在一些具体的动量本征值问题中，可以做归一化处理，其波函数为
动量本征值为
2 L 2 和 L z 算符
（ L 2 ， L z ）有共同的本征函数——球谐函数Y lm （θ，φ），且
其中
角动量的平方及其z分量在球坐标中可表示为
L 2 ， L z 相应的本征方程分别为
L 2 Y lm （θ，φ）＝l（l＋1）ħ 2 Y lm （θ，φ）
L z Y lm （θ，φ）＝mħY lm （θ，φ）
1 类氢原子概念
考察物理对象电子在一带正电核所产生的电场中运动，核的电荷是＋Ze。若Z＝1，显然是氢原子；若Z＞1，体系称为类氢原子，如He ＋ （Z＝2），Li ＋＋ （Z＝3）等。
2 类氢原子能量本征值及本征函数（见表3-1-1）
表3-1-1 类氢原子能量本征值及本征函数
【注】 在许多高校的考研题中，经常用分离变量法ψ（r，θ，φ）＝R（r）Y（θ，φ）来求解上述方程，尤其是其在中心力场（比如氢原子）中的应用。此时，R（r）应满足径向方程
为方便求解，令
，u（r）所满足的方程为
3 氢原子能量本征值及本征函数（见表3-1-2）
表3-1-2 氢原子能量本征值及本征函数
1 厄米算符本征函数的正交性
厄米算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。
（1）当算符 F 的本征函数组成分立谱时，有
（2）当算符 F 的本征函数组成连续谱时，有
满足上面关系的函数系称为正交归一性。常见系统的正交归一性见表3-1-3。
表3-1-3 常见系统的正交归一性
2 厄米算符与力学量的关系
（1）量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符，它们的本征函数组成完全系。
（2）任一函数ψ（x）可以用一组完全系{ϕ n （x）}来表示
其中，c n 常被称为概率振幅，可由下式计算
同时满足
其物理意义是：当体系处于波函数ψ（x）描写的状态时，测量力学量 F 所得的值，必定是算符 F 的本征值之一，测得F＝λ n 的概率为|c n | 2 。
（3）力学量 F 的平均值称为期望值，可表示成
【注】 上面只是针对 F 本征值为分立谱的情形，若同时存在连续谱和分立谱时，则ψ（x）可表示为
其中
力学量 F 的平均值可以表示为
1 对易关系定义
[A，B]＝AB－BA
2 对易式中满足的基本恒等式
[A，B＋C]＝[A，B]＋[A，C]
[A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C
[AB，C]＝A[B，C]＋[A，C]B
[A，[B，C]]＋[B，[C，A]]＋[C，[A，B]]＝0
3 一些重要的对易关系
[x α ，x β ]＝0，[p α ，p β ]＝0，[x α ，p β ]＝iħδ α β
[L α ，x β ]＝ε α βγ iħx γ
[L α ，p β ]＝ε α βγ iħp γ
[L α ，L β ]＝ε α βγ iħL γ
[L 2 ，L α ]＝0，[s 2 ，s α ]＝0，[J 2 ，J α ]＝0
4 两算符是否有共同本征函数系与它们是否对易间的关系
若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。
对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。
若[F，G]≠0，则有不确定关系
，或
经常使用的关系式：
，
【注】 不确定原理（uncertaintyprinciple）在量子力学中占据重要地位，它也反应了量子系统的波粒二象性，在思考量子问题时都要考虑到这一点。不确定原理也体现了量子力学明显区别于经典物理。值得注意的一点是，有些教材把不确定原理翻译成测不准关系，这是很容易误导学生的。在理解的时候 一定不要有 如下理解：不确定原理是由于测量精度或者误差导致，所以称之为不确定原理。在考虑量子现象的问题时，不能绝对的套用经典物理的思维。
力学量F的平均值随时间的变化满足
若
（即力学量F的平均值不随时间变化），则称F为守恒量。力学量F为守恒量的条件为
，且[F，H]＝0。
【例】
1．动量守恒定律：自由粒子的动量 p 是守恒量，[ p ， H ]＝0。
2．角动量守恒定律：在中心力场中运动粒子的角动量的平方及其分量都是守恒量，[ L 2 ， H ]＝0，[ L α ， H ]＝0。
3．能量守恒定律：哈密顿不显含时间的体系的能量是守恒量，[ H ， H ]＝0。
4．宇称守恒定律：哈密顿对空间反演不变时宇称是守恒量，[ P ， H ]＝0。