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1 解释态迭加原理，全同性原理和态的统计解释。 [北京大学研]
答： （1）态迭加原理：设ψ 1 、ψ 2 、…、ψ n 、…是体系的可能状态，那么它们的线性叠加c 1 ψ 1 ＋c 2 ψ 2 ＋…＋c n ψ n ＋…也是微观粒子的可能状态。
（2）全同性原理：由于全同粒子的不可区分性，使得由全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互代换不引起物理状态的改变。
（3）态的统计解释：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方
）和在该点找到粒子的概率成比例。
2 试从电子的托马斯杨双缝衍射实验结果，说明电子重要的微观性质。 [复旦大学研]
答： 电子具有如下重要的微观性质：
（1）电子通过双缝，最后打在荧光屏上，形成明暗相间的条纹。
（2）无论电子是快速发射，还是一粒粒的从电子枪发射，条纹总是存在。这是因为条纹的出现是通过两个狭缝的电子的波函数叠加的效果，光斑的亮度正比于总波函数的振幅平方。
（3）对于叠加的波函数会出现干涉项，即光强不仅仅是各个波函数的振幅平方之和，还需要考虑干涉项，干涉项也是明暗条纹出现的本质原因。
（4）如果对任何一个路径的电子进行探测，干涉的明暗条纹会消失，即两个路径的电子波函数不会发生干涉。因此，物理量的探测会导致波包塌缩，即物理量取值是确定的，干涉项将不存在。
3 一粒子的波函数为ψ（ r ）＝ψ（x，y，z），写出粒子位于x～x＋dx间的几率；用球坐标表示，粒子波函数表为ψ（r，θ，φ），写出粒子在球壳（r，r＋dr）中被测到的几率，及在（θ，φ）方向的立体角dΩ内找到粒子的几率。 [南京理工大学研]
答： 粒子位于x～x＋dx间的几率为ψ * ψdx，粒子在球壳（r，r＋dr）中被测到的几率为4πr 2 ψ * ψdr，在（θ，φ）方向的立体角dΩ内找到粒子的几率为r 2 sinθψ * ψdΩ。
4 下列波函数所描写的状态是否为定态？并说明其理由。
（1）
（2）
[南京理工大学研]
答： （1）定态必须满足概率密度和概率流密度不随时间改变，ρ＝ψ 1 * ψ 1 ＝4φ 2 cos 2 （Et/ħ），因为概率密度随时间改变，所以该状态并不是定态。
（2）因为ρ（r）＝|ψ 2 （x，t）| 2 ＝u 2 （x）＋v 2 （x）＋2uvcos（2x），不随时间改变，所以该状态是定态。
【注】 本题可以在审题时就可以初步判断波函数是否是定态，观察波函数含时间项为复指数幂形式是否可以作为公因子提取出去，如此在求概率密度即波函数的模平方时就可以把时间项消去，这样的波函数就是定态，反之则不是。
5 若粒子所处的定态波函数ψ（r）为已知，试写出下列几率计算公式
（1）粒子的z分量坐标出现在z 1 →z 2 范围内的几率；
（2）粒子的动量分量p y 出现在p 1 →p 2 范围内的几率；
（3）粒子的z分量坐标出现在z 1 →z 2 范围内，同时动量分量p y 出现在p 1 →p 2 范围内的几率。 [电子科技大学研]
答： （1）粒子的z分量坐标出现在z 1 →z 2 范围内的几率
（2）动量波函数
其中
粒子的动量分量p y 出现在p 1 →p 2 范围内的几率
（3）粒子的z分量坐标出现在z 1 →z 2 范围内，同时动量分量p y 出现在p 1 →p 2 范围内的几率
【注】 第一个事件粒子的z分量坐标出现在z 1 →z 2 范围内和第二个事件动量分量p y 出现在p 1 →p 2 范围内是两个独立事件，所以它们同时出现的几率是它们各自事件出现几率的乘积。
1 已知电子质量为m，电子电量为－e，回答下列问题：
（1）一个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；
（2）五个电子被限制在宽度为a的一维无限深势阱中运动，不考虑电子与电子之间的库仑相互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式；
（3）一个电子处在一维谐振子势场
中运动，请写出该体系的能级公式；
（4）如果电子在上题中的一维谐振子场中运动，并且处在某个能量本征态上，求电子的坐标和动量平均值，这些平均值随时间变化吗？ [南京大学研]
解：
（1）体系的能级为
（2）因为不考虑电子与电子之间的库仑相互作用，所以体系的能级为
所以体系的基态取n
i
＝1，即
，并且体系的基态为非简并态；
体系的第一激发态取四个n
i
＝1，最后一个取值2，即
，因此体系的第一激发态是五重简并的。
（3）处在简谐振子势场中的体系的能级为
（4）对于坐标x和动量p的计算可以借助上升和下降算符，设
，
（单位制化），则
，
因为对于上升和下降算符有
而且在Fock态中，
，所以
电子在一维谐振子场中运动哈密顿量为
所以
因此x，p为非守恒量。
在t＞0时，如果粒子处在状态
，则坐标和动量平均值不随时间变化；如果粒子处在状态
，则坐标和动量平均值随时间变化。
2 设一个质量为m的粒子束沿正x方向以能量E向x＝0处的势垒运动
试用量子力学观点回答：在x＝0处被反射的反射系数是多少？ [中科院研]
解：
在x＜0处，V＝0，由薛定谔方程可得
，即
设
，则方程的解为
在x＞0处，
，由薛定谔方程可得
，即
设
，则方程的解为
在x＝0处，由波函数和其一阶导数的连续性可得
，带入波函数的具体形式，整理可得
，即
，所以反射系数
【注】 对于入射波的透射系数和反射系数的求解，可以利用透射系数和反射系数的定义式求解，当透射波的波数不等于反射波的波数时，透射系数和反射系数之和不为1。
3
设归一化波函数
满足薛定谔方程
，定义密度算符（矩阵）为
（1）证明任意力学量F在
态中的平均值可表示为
；
（2）求出ρ的本征值；
（3）导出ρ随时间变化的方程。 [中科院研]
解：
（1）因为完备性有
，所以，在
态中，力学量F的平均值为
因为密度算符（矩阵）表示为
，所以
（2）令ρ的本征方程为
，即ρ的本征值为λ。
因为
以及归一化条件
，所以
因此
和
，所以
，即
或者
。
（3）因含时薛定谔方程为
，所以
和
，因此
【注】 在量子光学中，密度矩阵是比波函数应用的更为广泛的表达形式，相对于波函数，密度矩阵还可以运用于混合态的计算。
4 质量为m的粒子在宽度为a的一维无限深势阱中，设t＝0时粒子的状态为
是能量为
时一维无限深势阱的归一化波函数，
是已知常数。
求：（1）在t＝0时，测量能量，结果小于
的几率；
（2）在t＝0时，能量E和E 2 的平均值；
（3）t时的波函数
；
（4）如果在
态测量能量，所得结果为
，问测量后粒子处在何种状态？
[复旦大学研]
解： （1）利用定态薛定谔方程可以求解一维无限深势阱中粒子的量子状态，即体系波函数为
体系能量为
对于归一化的初始量子态
其对应的能量为
所以，在t＝0时测量，小于
的能量有
对应的几率为
和
（2）在t＝0时，对于归一化的初始量子态
能量E的平均值为
能量E 2 的平均值
（3）利用含时薛定谔方程
可得：
，因此，t时的波函数
（4）对于t时的波函数
所对应的能级为
测量
态能量，波包塌缩，所得结果为
，可知测量后粒子处在
状态。
5
质量为m的粒子处在一维谐振子势
的基态，其波函数为
。若势能V
0
忽然变为
，问在其后任意时刻t，粒子处在基态的几率。若势能V
0
非常缓慢的变为V
1
，结果如何？
[复旦大学研]
解：
当粒子处在势能
中，其对应的基态波函数为
。因此，势能V
0
忽然变为V
1
时，粒子处在基态的几率为
而当势能V 0 非常缓慢的变为V 1 时，粒子仍然处在变化后的势场下的基态，因此对应几率为1。
【注】 由解答可知，对于量子态而言，势场改变的急缓会决定粒子演化所处的状态，这可用半经典理论来讨论此问题。和热学中压缩气缸模型相似，可以将缓慢改变的势场理解为外力提供无限小的能量来逐步改变量子态，此时粒子会保持在新势场中的基态。因此，当势场完全改变后，粒子仍然处在基态。但当势能忽然变化时，由于外力的作用形式不能确定，则粒子不一定处在基态，而是处在新势场下的本征态的叠加状态上。
【拓展】
本题中粒子初始处在一维谐振子势
的基态，然后以急速或缓和这两种方式来改变势场，求解在这两种情形下粒子仍然处在基态的几率。除了一维谐振子以外，还会考通过无限深势阱、有限高势垒等模型，同样以急速或缓和这两种方式来改变势场，求解处在基态的几率，或某一激发态的几率。此类问题都可以用本题解析的思路来求解，关键是一定要理解具体物理系统在具体变化形势下的物理机制。
6
质量为m的粒子，在位势
，
中运动，其中a＜0，V
0
大于0。
（1）试给出存在束缚态的条件，并给出基态本征值和相应的本征函数；
（2）给出粒子处在x＞0区域的几率，它是大于0.5，还是小于0.5，为什么？ [复旦大学研]
解： （1）束缚态要求粒子在无穷远处的几率为0，则E小于0。
当x＞0时，V＝0，由薛定谔方程可得
，即
令
，则相应的束缚态解为
，其中α＞0。
当x＜0时，V＝V
0
，由薛定谔方程可得
，即
令
，则相应的束缚态解为
，其中β＞0。
由波函数的连续性可得，
，即A＝B。
在x＝0处，由薛定谔方程可得
对上式在x＝0左右邻近无限小积分可得
因此，
，即
整理可得
显而易见，上式要求
即
体系的能量本征值为
由波函数的归一化条件可得
因此，体系的本征函数为
（2）粒子处在x＞0区域的几率为
【注】 对于有限的可解模型，无限深势阱、势垒和线性谐振子，δ势场是势垒情形的特殊案例，这也是常考知识点。对于用定态薛定谔方程求解本征波函数和本征能量，无限深势阱、势垒和线性谐振子都要利用波函数的性质（波函数及其导数的连续性），δ势场则需要利用波函数的连续性和波函数导数的不连续性，再利用边界条件（如束缚态要求无穷远处几率为零），最终求得波函数和能量表达式。
7 一个质量为m的粒子在势场
中运动，设t＝0时，其归一化波函数为
求：（1）t＝0时，测其能量所得的几率性的结果；
（2）t＞0时，测其含时波函数以及t时能量的结果。 [中国科学院研]
解：
（1）对于粒子在势场
中运动，由定态薛定谔方程
可得体系波函数为
体系能级为
当t＝0时，其归一化波函数可改写为
即
因此测其能量E 1 ，E 2 所得的几率分别为0.8和0.2。
（2）由含时薛定谔方程
可得
因此
由此可得，测其能量E 1 ，E 2 所得的几率分别为0.8和0.2。
【注】 ① 从上面的计算可以明显看出，当粒子在不随时间变化的势场中运动时，通过仪器观测所得到的体系能级的几率不发生变化，即体系的平均能量守恒；
② 通过由含时薛定谔方程得出的传播子，可以直接表示出初始时刻波函数和t时刻波函数的关系，传播子思想在量子力学的路径积分中比较重要。
8
将波函数ψ（x）＝cexp[－x
2
/（2a
2
）]归一化，求（1）归一化因子c；（2）对归一化后的波函数计算〈x〉，〈x
2
〉，〈p〉和〈p
2
〉，并验证不确定关系
。（这里：Δx＝x－〈x〉，Δp＝p－〈p〉）
[北京科技大学研]
解： （1）利用归一化条件|ψ（x）| 2 ＝1得
则
，解得：c＝[1/（a
2
π）]
1/4
。
（2）由ψ（x）是偶函数，易得
〈x〉＝〈ψ（x）|x|ψ（x）〉＝0
满足
9 质量为m的粒子在宽度为a的无穷深方势阱中运动，对第n个束缚态ψ n ，（1）验证不确定关系；（2）求粒子对每侧阱壁的平均作用力。 [北京科技大学研]
解： （1）根据题意，将条件带入薛定谔方程可得
可根据波函数的三个条件求解上述方程，得
由于粒子在宽度为a的无穷深方势阱中运动，Δx＝a，且
则
所以有Δx * Δp＝nπħ。
而对于基态，n＝1，则Δx * Δp＝πħ，符合不确定关系。
（2）粒子每碰撞一次相隔时间t＝a/v＝a/（p/m）＝am/p。由动量定理得： F * t＝2p＝2Δp，因此 F ＝2∆p 2 /（am）＝[2/（am）]（nπħ/a） 2 ＝2n 2 π 2 ħ 2 /（ma 3 ）。
10
设ψ
1
（r，t）和ψ
2
（r，t）是薛定谔方程：
的两个解，证明：
与时间无关。
[电子科技大学研]
证明：ψ 1 （r，t）和ψ 2 （r，t）是薛定谔方程的两个解，则
①
②
对 ① 两端取复共轭得
③
以ψ 1 * 左乘 ② ，ψ 2 左乘 ③ ，再相减有
对全空间积分，得到
根据波函数在无限远处迅速趋于0的条件，等式右端为0，所以
，即与时间无关。