幸运数字

在普林斯顿大学，有一天，我在休息室坐着，无意听到几个数学家在讨论e ^x 的级数，把它展开就是1+x+x ² /2！+x ³ /3！。每一项，都是通过把前一项乘以x并除以下一项的项数来得到的。比方说，为了得到x ⁴ /4！后面的那一项，你就把它乘以x并除以5。这很简单。

在我还是个小孩儿的时候，就对级数着了迷。我已经用那个级数计算过e的值，看到新的那些项是如何很快变小的。

我喃喃自语，用那个级数来计算e的无论多少次幂，是多么容易（只要你用幂次来代替x即可）。

“哦，是吗？”他们说，“那好，e的3.3次方是多少？”有个玩笑大王说——我想那是涂基（Tukey）。

我说：“那容易，是27.11。”

涂基知道把它心算出来并不容易。“嗨！你怎么算的？”

另一个家伙说：“你们知道费曼，他信口雌黄。那数，实际上不对。”

他们去找数学用表，就在他们找的时候，我又加上了几位小数：“27.1126。”我说。

他们在表上找到了。“对啊！可你是怎么弄出来的？”

“我只是把级数逐项加起来。”

“没人能那么快就把这个级数加起来。你必定是碰巧知道了那个数。e的3次方是多少？”

“干吗呀，”我说，“这活儿很累！一天只算一个！”

“哈！弄虚作假！”他们得意地说。

“那好吧，”我说，“是20.085。”

在他们查表的时候，我又加上了几位小数，现在他们可就兴奋起来了，因为我又说对了。

在场的都是当年的几个大数学家，茫然不知我是怎么算出e的任意次幂的！其中的一个说：“他绝不可能只是在进行代换和加法运算——那太难了。有窍门的。你不可能随便算出像e的1.4次方这样的数。”

我说：“这活儿很累，但我给你面子，是4.05。”

在他们查表的时候，我又加上了几位小数，说：“今天到此为止！”出去了。

其实是这样：我碰巧知道三个数——以e为底的10的对数（用来把数字从以10为底换为以e为底），值是2.3026（因此我知道e的2.3次方非常接近于10）。因为放射现象（半衰期），我知道以e为底的2的对数是0.69315（因此，我也知道e的0.7次方差不多等于2）。我还知道e（它的1次方）是2.71828。

他们要我计算的第一个数，是e的3.3次方，它等于e的2.3次方（等于10）乘以e，得27.18。在他们忙着瞎猜我是怎么算出来的时候，我在修正我的答案，减去了多出的0.026——因为以e为底的10的对数2.3026，是稍微多了一点儿。

我知道，再要我算一个数，那就算不出来了；刚才完全是碰运气。但是，那家伙接着问的却是e的3次方：那就是e的2.3次方乘以e的0.7次方嘛，或者说是10乘以2。所以我知道得数是20多一点儿。在他们怎么想也想不出我是怎么算的当口儿，我又对答案做了0.693的调整。

现在，我真的知道再一再二，不能再三了，因为上一个数仍然是纯粹碰运气。但是，那个家伙说的是e的1.4次方是多少。那是e的0.7次方乘以它自身。因此，我只需要在4上面稍微加一点儿而已！

他们怎么也琢磨不出我是怎么算的。

我在洛斯阿拉莫斯时，我发现汉斯·贝特绝对是计算高手。比方说，有一次，我们要把几个数代入公式，最后算到48的平方。我就找玛珍计算器，他说：“是2300。”我开始按按钮，他说：“如果你要精确的数字，那就是2304。”

机器的得数是2304。“嚯！这可太神啊！”

“怎么计算接近50的数的平方，你不知道吗？”他说，“你先算出50的平方——是2500——再从2500里减去100乘以你的数和50之间的差（在这个例子里是2）。如果你要的是精确的数，那就把那个差数的平方加上去，那就是2304嘛。”

几分钟后，我们需要算出2（1/2）的立方根。用玛珍计算器算立方根，得先查数学用表，查出一个近似值。我开了抽屉找表——这次花的时间长些——他说：“大约是1.35。”

我用玛珍一试，对了。“你怎么算出这个的啊？”我问，“你知道求立方根的秘诀吗？”

“啊，”他说，“2（1/2）的对数是多少多少。这个对数的三分之一在1.3的对数多少多少和1.4的对数多少多少之间，那我就在这两者之间内插了一个数。”

因此，我发现了一点儿东西：第一，他背得下来对数表；第二，光是他做的内插计算量，我找数学用表、拿计算机敲键，也要花费更长的时间。这给我的印象，太深刻了。

此后，我也想干这样的事儿。我记住了几个对数，开始注意事儿。比方说，如果有个人说，“28的平方是多少？”你会注意到2的平方根是1.4，而28是20乘以1.4，因此28的平方必定大约是400乘以2，或者说800。

如果有个人过来想算1除以1.73，你可以张口就来，是0.577，因为1.73近似于3的平方根，因此1/1.73必定是3的平方根的三分之一。如果要算1/1.75，那它刚好是7/4的倒数即4/7，而你记得1/7的循环小数0.142857142857……，于是得数就是0.571428……。

和汉斯用窍门儿快速计算，我得到了很多乐趣。我知道答案而他不知道，这种情况很少；等我答对了一个，他就开怀大笑。他几乎总能回答任何问题，误差不超过百分之一。每个数都接近他知道的一个数——对他而言，这很容易。

有一天，我不知道天高地厚了。午饭的时候，在技术区，也不知道我从哪儿冒出个念头儿，反正我宣布：“任何人在10秒之内能说完的任何问题，我都能在60秒内答出来，误差10%！”

大家开始把他们认为可能算难的问题说给我，例如，计算1/（1+x ⁴ ）的函数的积分，在他们给我的x的范围内，这东西几乎是不变的。有人给了我一个最难的问题，是算出（1+x） ²⁰ 中的x ¹⁰ 的二项式系数，我刚好在时间快到的时候答出来了。

他们都给我出难题，我得意扬扬，那时保罗·奥伦（Paul Olum）刚好从大厅走过。在来洛斯阿拉莫斯之前，保罗和我在普林斯顿一起工作了一段时间。他总是比我聪明。比方说，有一天，我正心不在焉地玩一个卷尺，就是你一按按钮，就啪地一下子缩回去的那种。尺子总是缩过头，打在我的手背上，真有点儿疼呢。“哎呀！”我叫起来。“我真是个呆子。老是玩这玩意儿，每次都打疼了我的手。”

他说：“你拿得不对劲。”他把这鬼东西拿过去，把尺子拉出来，按按钮，它好好地就缩回去了。不伤人的。

“哇！你是怎么弄的啊？”我喊道。

“自己琢磨！”

此后几个星期，我在普林斯顿大学，无论到哪儿，手里总在玩卷尺，手都打破皮了。最后，我受不了了。“保罗！我作罢了！你到底是怎么握的，让它打不着你？”

“谁说它打不着我？它打我也打得怪疼啊！”

我觉得自己怎么这么蠢啊。他愚弄我到处拿着个卷尺打自己的手，直打了两个星期！

刚才说到奥伦正走过吃午饭的地方，这帮家伙都兴奋不已。“嗨，保罗！”他们大声叫。“费曼可了不得！我们在10秒钟内给他出题目，可他一分钟就给得数，误差10%。你干吗不给他出个题目？”

他几乎连脚步也没停，说：“10的100次方的正切函数值。”

我的嚣张气焰下去了：你必须把一个一百位数除以π！这可没指望了。

我有一次吹牛说：“任何人都得用路径积分来解决的问题，我就能用别的办法来得出答案。”

奥伦就给了我一个罪该万死的积分：他从一个他知道答案的复杂函数开始，把它的实部去掉，只把虚部留下，就得到了这么个积分。他已经把它展开了，所以它非得用路往积分法不可！他总是让我这样泄气。他是个非常聪明的伙计。

那是我头一次到巴西的事儿。我在我也不知道的什么时间吃午饭——我来饭店，总是来得不是时候——那地方只我一个顾客。我就着牛排（我喜欢）吃米饭，周围站着四个服务员。

一个日本人进了饭店。我以前见过他，看到他到处兜售算盘。他开始和服务员说话，向他们挑战：他说他算加法比他们谁都算得快。

服务员不想丢面子，他们就说：“是啊，是啊。你为什么不到那边，向那位顾客挑战呢？”

这人过来了。我抗议道：“可我葡萄牙语说得不好！”

服务员笑了。“数目字儿，容易。”他们说。

他们给我找来一支铅笔和纸。

这人让服务员喊出数字好加起来。他把我赢得好惨，因为在我把数写下来的当口，他却在拨弄算盘珠子的同时，得数已经出来了。

我建议服务员，在两张纸上写下相同的一些数，然后同时交给我们俩。这没造成多大变化。他还是胜过我许多。

可是，这人得意忘形了：他想显显别的本事。“Multiplicaa～o！”他说，要比乘法。

有个人写了个题，他又打败了我，但只是险胜，因为我乘法是相当好的。

然后呢，这人犯了个错误：他建议我们接着比除法。他有所不知的是，题越难，我胜算越大。

我们俩都做了一道很长的除法题。平了。

这让这个日本人坐立不安，因为他的珠算显然训练有素，可在这儿，差点儿败在饭店里吃饭的一个家伙手里。

“ Raios cubicos ！”他说，想报仇。立方根啊！他要用算术法求立方根！在算术中，再也找不到比这更难的题了。在他的算盘国度中，这想必是他的拿手好戏。

他在纸上写了个数——随便写的——我至今还记得：1729.03。他拨开了算盘，满嘴叽里咕噜，叽里咕噜——跟魔鬼似的忙个不亦乐乎。他挥汗如雨，跟这个立方根干上了。

与此同时，我在那儿闲坐呢。

一个服务员说：“你干吗呢？”

我指了指脑袋。“想呢！”我说。我在纸上写了12。沉吟片刻，我有了得数12.002。

使算盘的这主儿，抹掉脑门子上的汗：“12！”他说。

“啊，不对！”我说，“再加几位数！再加几位数！”我知道，用算术法求立方根，每一位数都比前头那位数更费工。这活儿累得很。

他又埋头干开了，嘟嘟囔囔的。趁这工夫，我又加上了两位数。他最后抬起头来说：“12.0！”

服务员们兴高采烈，乐不可支。他们告诉这主儿：“瞅瞅！人家寻思寻思就成，你呢，还得用算盘！人家还多好几位数呢！”

他一败涂地，满面羞赧，溜之乎也。服务员们弹冠相庆。

这顾客怎么打败算盘的？题目是1729.03。我碰巧知道1立方英尺有1728立方英寸，因此答案比12大一丁点儿。多出的1.03，大约只有1/2000。我在微分课上学过，对小分数而言，立方根超出的部分是数字超出部分的1/3。因此，我只需要算出1/1728是多少，再乘以4&nbsp；（即除以3再乘以12）。所以，我的得数就有那么多位数。

几个星期之后，那个人来到了我住的宾馆的鸡尾酒休息室，当时我坐在那儿。他认出我来，就过来了。“告诉我，”他说，“你怎么能那么快算出立方根？”

我就开始解释，说那是一种求近似值的方法，跟误差的百分比有关。“假设你给我的数是28。现在这么想，27的立方根是3……”

他抓起算盘：噼里啪啦、噼里啪啦——“哦，是啊。”他说。

我发现，他不懂数字。靠着个算盘，你是不必记住一大堆算术组合的；你只需要学会怎么上上下下拨弄小珠子就成。你不必记住9+7=16；你只需要知道，在你加9的时候，你只要把十位上的珠子推上去、把个位上的珠子拉一个下来。弄起基本算术来，我们慢些。但我们懂数。

另外，近似值方法的整个观念，他是理解不了的；在大多数情况下，用任何方法都求不出立方根的精确得数，他连这一点也不知道。因此，我跟他解释不清我是怎么求立方根的，也解释不清在他碰巧选了1729.03这个数的时候，我有多么幸运。 BVgj3vOYg0nx9J2kvgKPGBtQU8zShM8Hw5EI8BMPp0E6mNcWdOtKUMejicgrg+wG