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1 索洛模型中，假设某国的生产函数Y＝0.6K 0.5 L 0.5 ，劳动增长率（n）＝0.09，储蓄率（s）＝0.4，折旧率（δ）＝0.11，试求：
（1）长期稳态下的人均资本和人均产出？
（2）长期稳态下的人均产出增长率和总产出增长率？
（3）目前的储蓄率符合黄金规则水平吗？若不符合，偏高或偏低？
（4）储蓄率为何值，才能达到黄金规则水平？[中央财经大学2018研]
解： （1）由题设可知，人均生产函数为：y＝0.6k 0.5 ，其中k为人均资本存量。
该国的人均投资：i＝sy＝0.4×0.6k 0.5 ＝0.24k 0.5 。
该国的资本增量为：Δk＝i－（n＋δ）k＝0.24k 0.5 －0.2k。
长期稳态下，资本存量保持不变即资本增量为零：Δk＝0.24k 0.5 －0.2k＝0。
解得：k * ＝1.44，y * ＝0.72，即长期稳态下人均资本为1.44，人均产出为0.72。
（2）长期稳态下的人均资本增量Δk＝0，所以人均产出增长率为0。
长期稳态下的总产出增长率＝劳动增长率＝0.09。
（3）人均消费函数为：c＝y－i＝y－sy。
因为稳态下有：Δk＝sy－（n＋δ）k＝0，即：sy＝（n＋δ）k。
所以稳态下的人均消费函数为：c＝y－（n＋δ）k＝0.6k 0.5 －0.2k。
黄金规则要求稳态下的人均消费最大化，即：dc/dk＝0.3k －0.5 －0.2＝0。
解得：k gold * ＝2.25，所以黄金储蓄率为s gold * ＝0.5＞s（s＝0.4），即目前的储蓄率低于黄金规则水平。
（4）由（3）可知，当储蓄率为0.5时才能达到黄金规则水平。
2 考虑一个标准的索洛增长模型：Y＝（1－t）K α （AL） 1 －α ，0＜α＜1，储蓄率为s，人口增长率为0，技术进步率为g，t是政府对产出征收的税收。
（1）假设政府在收税之后，不用于生产产出和进行投资，计算稳态人均有效产出和人均有效资本。
（2）如果政府减税，稳态的人均有效产出如何变化？简要解释你的结论。
（3）现在假设税收降低了人们研发的动力，技术进步率变为g＝b（1－t） 1 －α ，b＞0。计算新的稳态人均有效产出。减税对稳态产出有什么影响？简要解释你的结论。[中国人民大学2018研]
解： （1）令k＝K/（AL），可得人均生产函数：
f（k）＝Y/（AL）＝[（1－t）K α （AL） 1 －α ]/（AL）＝（1－t）[K/（AL）] α ＝（1－t）k α
经济达到稳态时，Δk＝sf（k）－（n＋g＋δ）k＝sf（k）－gk＝0，可得s（1－t）k α ＝gk。
解得稳态人均有效资本：k＝g 1/ （α －1 ） s 1/ （1 －α ） （1－t） 1/ （1 －α ） ，人均有效产出：f（k）＝g α/ （α －1 ） s α/ （1 －α ） （1－t） 1/ （1 －α ） 。
（2）政府减税，即t值减小，又由于1/（1－α）＞1，由（1）可得，t减小，f（k）即人均有效产出增加。
（3）当g＝b（1－t） 1 －α ，b＞0时，根据（1）中所得稳态的均衡条件sf（k）－gk＝0，有下式成立：
s（1－t）k α ＝b（1－t） 1 －α k
解得人均有效产出：
由于（α 2 －α＋1）/（1－α）＝[（α－1） 2 ＋α]/（1－α）＞0，所以减税导致t减小，从而使得f（k）即人均有效产出增加。
3 某经济体有20000张1元的现钞，在不考虑现金漏损以及其他形式存款的情况下。
（1）如果人们将其中的15000张1元现钞存入银行，银行维持20%的存款准备金率，则经济中的货币数量会增加多少？
（2）如果人们将所有的钱都以活期存款的形式持有，银行维持25%的存款准备金率，则经济中的货币数量是多少？
（3）如果人们持有等额的现金和活期存款，银行维持10%的存款准备金率，经济中的货币数量又是多少？[武汉大学2017研]
解： （1）由题意知：存款D＝15000，存款准备金率rr＝0.2。
在不考虑现金漏损以及其他形式存款的情况下，只有存款D是基础货币，货币创造乘数为1/rr＝5。
因此，经济中的货币数量会增加15000×5＝75000。
（2）由题意知：存款D＝20000，存款准备金率rr′＝0.25。
在不考虑现金漏损以及其他形式存款的情况下，只有存款D是基础货币，货币创造乘数为1/rr′＝4。
因此，经济中的货币数量会增加15000×4＝60000，增加至20000＋60000＝80000。
所以经济中货币数量为80000元。
（3）由题意知：存款D＝10000，存款准备金率rr′＝0.1。
在不考虑现金漏损以及其他形式存款的情况下，只有存款D是基础货币，货币创造乘数为1/rr′＝10。
因此，经济中的货币数量会增加10000×10＝100000，增加至20000＋100000＝120000。
所以经济中货币数量为120000元。
4 假设某经济体调查数据显示，其人口总数为400人，其中未成年人占25%，成年人中的非劳动力为100人，其中75%是男性。劳动力中女性占比为45%，女性和男性的失业率分别为5%和8%
（1）计算该经济体的总体失业率？
（2）计算该经济体的劳动力人数？
（3）计算该经济总的劳动力参工率？男女劳动力参工率分别为多少？[武汉大学2017研]
解： （1）总体失业率＝男性失业率×男性比重＋女性失业率×女性比重＝8%×（1－45%）＋5%×45%＝6.65%，即该经济体的总体失业率为6.65%。
（2）由题意知，该经济体的成年人人数＝400×（1－25%）＝300（人），劳动力人数＝300－100＝200（人）。
（3）劳动力参工率指的是劳动力占成年人口的比重。
由（2）知，该经济总的劳动力参工率＝200/300≈66.67%。
由题意知，该经济中男性非劳动人人数＝100×75%＝75（人），女性非劳动人人数＝100×（1－75%）＝25（人）；男性劳动力人数＝200×（1－45%）＝110（人），女性劳动力人数＝200×45%＝90（人）。
故男性劳动力参工率＝110/（110＋75）≈59.5%；女性劳动力参工率＝90/（90＋25）≈78.3%。
5 假设柯布-道格拉斯生产函数中参数α＝0.2，那么回答以下问题：
（1）资本和劳动得到的收入比例是多少？
（2）假设移民使劳动力增加了15%，总产出会发生什么变化（用百分比表示）？资本的租赁价格会发生什么变化？实际工资会发生什么变化？
（3）假设来自国外的资本赠与使资产存量增加了10%，总产出会发生什么变化（用百分比表示）？资本的租赁价格会发生什么变化？实际工资会发生什么变化？
（4）假设技术进步使参数A的值提高了10%，总产出会发生什么变化（用百分比表示）？资本的租赁价格会发生什么变化？实际工资会发生什么变化？[中央财经大学2017研]
解： （1）资本得到的收入比例为20%，劳动得到的收入比例为80%。根据柯布-道格拉斯生产函数Y＝AK α L （1 －α ） ，可得：边际产出为MP L ＝（1－α）Y/L，MP K ＝αY/K。以利润最大化为目标的竞争性厂商雇佣劳动一直到劳动的边际产出MP L 等于实际工资，对资本的使用一直到资本的边际产出MP K 等于资本的实际租赁价格。由此可得：W/P＝MP L ＝（1－α）Y/L，R/P＝MP K ＝αY/K。
整理可得：（W/P）L＝（1－α）Y，（R/P）K＝αY。其中，（W/P）L是劳动的报酬，（R/P）K是对资本的回报。给定α＝0.2，则上面的公式表明劳动得到的收入比例为80%，资本得到的收入比例为20%。
（2）①根据柯布-道格拉斯生产函数Y＝AK α L （1 －α ） ，设Y 1 为原始产出，Y 2 为变化后的产出，当劳动力增加15%时，依题意可得：Y 1 ＝AK 0.2 L 0.8 ，Y 2 ＝AK 0.2 （1.15L） 0.8 。
故
即总产出增加了11.8%。
②资本的实际租赁物价（R/P）＝MP K ＝αAK α －1 L 1 －α ，由于α＝0.2，L增加15%，设（R/P） 1 为初始资本租赁价格，（R/P） 2 为变化后的资本租赁价格，则：（R/P） 1 ＝0.2AK －0.8 L 0.8 ，（R/P） 2 ＝0.2AK －0.8 （1.15L） 0.8 。
资本租赁价格之比为：
即资本租赁价格上涨11.8%。
③同理，实际工资的变化率为
即实际工资下降了2.8%。
（3）①根据柯布-道格拉斯生产函数Y＝AK α L （1 －α ） ，设Y 1 为原始产出，Y 2 为变化后的产出，当资本增加10%时，依题意可得：Y 1 ＝AK 0.2 L 0.8 ，Y 2 ＝A（1.1K） 0.2 L 0.8 。
故
即总产出增加了1.9%。
②方法同（2）②，资本租赁价格之比为：
即资本租赁价格下降了7.3%。
③方法同（2）③，实际工资的变化率为：
即实际工资上涨了1.9%。
（4）①根据柯布-道格拉斯生产函数Y＝AK α L （1 －α ） ，设Y 1 为原始产出，Y 2 为变化后的产出，当技术增加10%时，依题意可得：Y 1 ＝AK 0.2 L 0.8 ，Y 2 ＝1.1AK 0.2 L 0.8 。
故
即总产出增加了10%。
②方法同（2）②，资本租赁价格之比为：
即资本租赁价格上涨了10%。
③方法同（2）③，实际工资的变化率为：
即实际工资上涨了10%。
6 考虑一个具有如下生产函数的经济体：Y＝AK 0.4 L 0.6 ，其中K为资本，L为劳动：
（1）假设A＝1，计算人均生产函数。
（2）假设每年折旧率δ为5%，考虑简单的索洛增长模型，稳态时c＝f（k * ）－δk * ，求出人均资本存量的黄金律以及黄金律水平下的人均产量水平，人均投资水平，人均消费水平。
（3）在一般化（A不等于常数）的生产函数中，你认为A可能包含哪些影响经济长期增长的因素，这些因素是否可能与资本K或劳动L相关？[中国人民大学2015研]
解： （1）A＝1时，Y＝AK 0.4 L 0.6 ＝K 0.4 L 0.6 ，令人均产出为y＝Y/L，人均资本为k＝K/L，则人均生产函数为y＝Y/L＝K 0.4 L 0.6 /L＝（K/L） 0.4 ＝k 0.4 。
（2）根据索洛增长模型的基本方程Δk＝sf（k）－（n＋δ）k，及简单的索洛增长模型中人口增长率n＝0可得：稳态时Δk＝sf（k）－（n＋δ）k＝sk 0.4 －（0＋0.05）k＝0，即s＝0.05k 0.6 。
资本的黄金律水平是指稳定状态人均消费最大化所对应的人均资本水平。当经济达到黄金律水平时，需要满足MPK＝n＋δ，即f′（k）＝δ，0.4k －0.6 ＝0.05，解得：人均资本存量的黄金律水平k * ＝32。
此时，人均产量水平为y * ＝f（32）＝32 0.4 ＝4；
人均储蓄率为s * ＝0.05（k * ） 0.6 ＝0.4；
人均投资水平为s * y * ＝0.4×4＝1.6；
人均消费水平为c * ＝f（k * ）－δk * ＝4－0.05×32＝2.4。
（3）这里的A是被称为全要素生产率的现期技术水平，ΔA/A一般被称作索洛余量或索洛残余，是用来解释经济增长中扣除劳动和资本要素投入的剩余部分的贡献。索洛残余用公式可以表示为：
式中，ΔY/Y为总产出增长率，ΔL/L为劳动的增长率，ΔK/K为资本的增长率，α和（1－α）分别表示资本份额和劳动份额，ΔA/A为索洛残余。
被解释为广义的技术进步对经济的贡献A，既包括科技进步，也包括人力资源素质的提升、管理水平的进步及其他对经济具有正外部性的贡献因素。其中劳动者素质提高、资本管理水平及效率的提高与L、K有关。
7 假设今年的货币供给是5000亿美元，名义GDP是10万亿美元，而实际GDP是5万亿美元。请计算：
（1）物价水平是多少？货币流通速度是多少？
（2）假设货币流通速度是不变的，而每年经济的物品和劳务产量增加5%。如果美联储想保持货币供给不变，明年的名义GDP和物价水平是多少？
（3）如果想保持物价水平不变，美联储应该把明年的货币供给设定为多少？
（4）如果美联储想把通胀膨胀控制在10%，美联储应该把货币供给设定为多少？[武汉大学2015研]
解： （1）根据公式：名义GDP＝物价水平P×实际GDP，可知物价水平P为：P＝10/5＝2。
根据交易方程：PY＝MV，将P＝2、Y＝5以及M＝0.5代入交易方程，可得货币流通速度为：
V＝PY/M＝（2×5）/0.5＝20
（2）若货币流通速度V和货币供给M不变，根据交易方程式可知PY不变，始终有PY＝MV＝10。
若每年经济的物品和劳务产量增加5%，即Y增加5%，则明年实际GDP为：Y＝5×（1＋0.05）＝5.25。
又因为PY＝MV＝10，所以明年物价水平为P＝10/5.25≈1.9。
（3）如果想保持物价水平不变，即明年P＝2，则根据交易方程有：
M＝PY/V＝（2×5.25）/20＝0.525
即如果想保持物价水平不变，美联储应该把明年的货币供给设定为5250亿美元。
（4）若通货膨胀控制在10%，则明年P＝2×（1＋0.1）＝2.2，则根据交易方程有：
M＝PY/V＝（2.2×5.25）/20＝0.5775
即如果美联储想把通货膨胀控制在10%，美联储应该把货币供给设定为5775亿美元。
8 考虑下述IS-LM模型。假设产品市场和货币市场的均衡条件分析如下：Y＝C（Y－T）＋I（i－π）＋G，M/P＝m（i，Y）。其中，Y、C、I、G、T、M、P、i、π分别表示总产出、总消费、总投资、政府购买、税收、货币供给、总价格水平、名义利率和通货膨胀率；消费函数满足：0＜C′（∙）＜1；投资函数满足：I′（∙）＜0；货币需求函数m（i，Y）满足：m i ＜0，m Y ＞0。
（1）在通货膨胀率给定的情况下，政府购买和税收的等量增加如何影响总需求曲线的位置？
（2）现假定税收采取比例税的形式：T＝tY，其中0＜t＜1表示边际税率。试分析在通货膨胀率给定的情况下，边际税率对于财政政策和货币政策效果的影响。[中国人民大学2018研]
解： （1）假设边际消费倾向为β，政府购买支出乘数就为1/（1－β），税收乘数为－β/（1－β）。若政府购买增加s，税收也增加s，那么国民收入增加1/（1－β）×s＋[－β/（1－β）]×s＝s，IS曲线将右移s。在IS-LM模型中，IS曲线右移s而LM曲线未移动，导致产出的增加量小于s，因此总需求曲线的右移量不足s。如图9所示。
图9 IS-LM模型
以下用公式推导：
根据题意，在通货膨胀率给定的情况下，为简化过程，不妨设通货膨胀为0，有i＝r。另外，设消费函数C＝β（Y－T），投资函数I＝e－cr，政府购买为G，货币需求函数L（Y，r）＝kY－hr，其中：β，c，k，h均大于0。因此有：
IS曲线：
①
LM曲线：
②
联立①②可得AD曲线：
根据上式，有：
当ΔT＝ΔG时，有：
所以，政府购买和税收的等量增加会使任一价格水平下的产出增加，即总需求曲线右移，但移动的幅度小于政府购买增加的幅度。
（2）当税收采取比例税的形式：T＝tY，政府支出增加ΔG会使收入同样增加相当于ΔG的量，但可支配收入却只增加ΔG（1－t），消费只增加ΔG（1－t）·MPC。支出和收入也是增加这么多，然后再引起收入和消费增加，如此循环下去，总产出的变化就是：
ΔY＝ΔG{1＋（1－t）·MPC＋[（1－t）·MPC] 2 ＋…＋}＝ΔG·{1/[1－（1－t）·MPC]}
因此，政府支出乘数变成1/[1－（1－t）MPC]而不再是1/（1－MPC），即乘数变得较小。由国民收入核算恒等式Y＝C（Y－T）＋I（i－π）＋G，将消费和投资函数代入国民收入核算恒等式，得：Y＝α＋β（Y－tY）＋e－cr＋G，即：Y＝（α＋e＋G－cr－β T ）/[1－β（1－t）]。
由于t是小于1的税率，因此可以得出结论：与税收固定时相比，这种税制下IS曲线更加陡峭。当IS曲线右移相同距离时，产出的增加量上升，所以财政政策效果增强；当LM曲线移动相同距离时，产出增加量降低，货币政策效果减弱。
9 假设在封闭经济中，消费函数为C＝200＋0.8（Y－T），投资函数为I＝200－2r。政府购买和税收都是120，货币需求函数为L＝Y－80r，货币供给是（M/P） d ＝1000，物价水平为2，请回答：
（1）求出均衡状态下的利率和收入水平？
（2）假设同时采取扩张性的财政和货币政策，政府购买从120提高到140，货币供给从1000提高到1200，那么IS和LM如何移动，在新的均衡条件下利率和收入水平是多少？
（3）使用财政和货币政策的初始值，假设物价水平从2上升到4，会发生什么变化？新的均衡下利率和收入水平是多少？
（4）推导出总需求方程。如果货币政策像（2）那样变化，那么需求曲线怎样变动？[中央财经大学2018研]
解： （1）根据收入恒等式：
Y＝C＋I＋G＝200＋0.8（Y－120）＋200－2r＋120
解得IS曲线方程为：Y＝2120－10r①
由货币市场均衡可知：（M/P） d ＝L。
解得LM曲线方程为：Y＝1000＋80r②
①②两式联立可得：Y * ＝1995.56，r * ＝12.44。
即均衡状态下的利率为12.44，收入水平为1995.56。
（2）增加政府购买使IS曲线向右移动，增加货币供给使LM曲线向右移动。
移动后的IS曲线方程为：Y＝2220－10r③
移动后的LM曲线方程为：Y＝1200＋80r④
③④两式联立，解得：Y * ＝2106.67，r * ＝11.33。
在新的均衡条件下，收入水平为2106.67，利率为11.33。
（3）物价水平变化不影响IS曲线，物价上升使LM曲线向左移动。
当P＝2时，（M/P） d ＝1000，因此，当物价水平由2上升到4时，（M/P） d ＝500。
移动后的LM曲线方程为：Y＝500＋80r⑤
①⑤两式联立，解得：Y * ＝1940，r * ＝18。
此时利率上升，产出下降，新的均衡产出为1940，均衡利率为18。
（4）由题意可知，经济中的名义货币供给量M＝2000。
在初始财政政策和名义货币供给不变的条件下，产品市场和货币市场同时均衡时，有：
故总需求方程为：Y＝16960/9＋2000/（9P）
根据（2）中要求调整货币政策后，（M/P） d ＝1200，此时经济中的名义货币供给量M＝2400。此时产品市场和货币市场同时均衡时，有：
故总需求方程变为：Y＝16960/9＋2400/（9P）。
10 假设货币需求函数是：（M/P） d ＝1000－100r。式中，r为用百分比表示的利率。货币供给M是1000，而物价水平P是2。
（1）画出实际货币余额的供给和需求。
（2）均衡利率是多少？
（3）假设物价水平是固定的。如果货币供给从1000增加到1200，均衡利率会发生什么变动？
（4）如果美联储希望利率提高到7%，应该确定多少货币供给？[中央财经大学2017研]
解： （1）实际货币余额的需求曲线为D＝（M/P） d ＝1000－100r，供给曲线为S＝（M/P） s ＝M/P＝1000/2＝500。曲线图如图10所示。
图10 实际货币余额的供给与需求
（2）根据货币市场均衡的条件货币需求＝货币供给，即D＝S，可得：1000－100r＝500，解得r＝5，故均衡利率为5%。
（3）当货币供给增加到1200时，供给曲线S′＝1200/2＝600，由D＝S′可得：1000－100r＝1200/2＝600，解得r＝4，故均衡利率为4%。即货币供给增加使均衡利率上升了。
（4）当利率提高到7%时，可知实际货币需求D＝1000－100×7＝300，所以此时的实际货币供给S＝M/P＝300，故M＝300P＝300×2＝600。
11 假设A国的生产函数为柯布-道格拉斯函数：Y＝AK α L 1 －α ，Y为实际产出，A为全要素生产率，是现期技术水平的衡量指标，K是资本，L是劳动力。在这个经济中，资本所有者得到3/4的国民收入，而劳动力得到了1/4。
（1）请定义索洛余量，并根据上述生产函数推算索洛余量。
（2）如果其他条件不变，但是劳动力增加了4%，那么对该国的实际产出和劳动生产率（每个工人的产出）的增长以及索洛剩余分别有什么影响？
（3）如果在第一年中，资本存量为5，劳动投入为4，产出为10。在第二年中，资本的存量为8，劳动投入为6，产出为15。请问在这两年之间，索洛余量发生了什么变化？[中央财经大学2015研]
解： （1）索洛剩余又称索洛残差，是指不能为投入要素变化所解释的经济增长率。具体而言，索洛剩余是指在剥离资本和劳动对经济增长贡献后的剩余部分。一般认为剩余部分是技术进步对经济增长的贡献部分。在发达国家制度比较稳定，除去资本和劳动贡献后确实主要是技术进步对经济增长的贡献；而在发展中国家，很大一部分正在经历了制度变革和经济自由化的过程，显然制度进步会对经济增长有重大的促进作用，这样计算出来的“索洛剩余”不但包括了技术进步对经济增长的贡献，也包括了经济制度的改变（改革使市场经济建立，降低交易费用）对经济的贡献。索洛剩余用公式可以表示为：ΔA/A＝ΔY/Y－s K ΔK/K－s L ΔL/L。其中，ΔA/A为索洛剩余，ΔY/Y为总产出增长率，ΔK/K、ΔL/L分别为资本和劳动的增长率，s K 、s L 分别为资本和劳动在总产出中的份额。
在本题中，经济的生产函数为：Y＝AK 3/4 L 1/4 ，对上式取对数求微分，用增长率的形式表达：
即：产出增长＝生产率增长的贡献＋资本增长的贡献＋劳动增长的贡献。全要素生产率无法直接观测到，要间接的衡量：
因此，全要素生产率是作为一个余量计算出来的，即作为考虑了可以直接衡量的增长决定因素后剩余的产出增长率，由于这个原因，ΔA/A被称为索洛余量。
（2）根据上式，如果劳动力增长了4%，即ΔL/L＝4%，设初始产出和劳动力分别为Y 0 、L 0 ，劳动力增长后的产出为Y 1 ，则有：
所以，劳动力增长将引起实际产出增加0.99%。
而：
所以，劳动生产率下降2.9%。
由ΔA/A＝0.99%－4%/4＝－0.01%，所以，索洛余量减少0.01%。
（3）根据ΔA/A＝ΔY/Y－（3/4）×ΔK/K－（1/4）×ΔL/L可得：
这两年间，索洛余量减少了7.5%。