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4-1 已知一对外啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮m＝3mm，z 1 ＝19，z 2 ＝41，试计算这对齿轮的分度圆直径、齿顶高、齿根高、顶隙、中心距、齿顶圆直径、齿根圆直径、基圆直径、齿距、齿厚和齿槽宽。
解： （1）分度圆直径
d 1 ＝mz 1 ＝3×19mm＝57mm，d 2 ＝mz 2 ＝3×41mm＝123mm
（2）齿顶高
h a ＝h a * m＝1×3mm＝3mm
其中，正常齿制h a * ＝1.0，c * ＝0.25。
（3）齿根高
h a ＝（h a * ＋c * ）m＝（1＋0.25）×3mm＝3.75mm
（4）顶隙
c＝c * m＝0.25×3mm＝0.75mm
（5）中心距
a＝（d 1 ＋d 2 ）/2＝（57＋123）/2mm＝90mm
（6）齿顶圆直径
d a1 ＝d 1 ＋2h a ＝（57＋2×3）mm＝63mm
d a2 ＝d 2 ＋2h a ＝（123＋2×3）mm＝129mm
（7）齿根圆直径
d f1 ＝d 1 －2h f ＝（57－2×3.75）mm＝49.5mm
d f2 ＝d 2 －2h f ＝（123－2×3.75）mm＝115.5mm
（8）基圆直径
d b1 ＝d 1 cosα＝57cos20°mm＝53.56mm
d b2 ＝d 2 cosα＝123cos20°mm＝115.58mm
（9）齿距
p＝πm＝3.14×3mm＝9.42mm
（10）齿厚
s＝πm/2＝3.14×3/2mm＝4.71mm（标准齿轮）
（11）齿槽宽
e＝s＝4.71mm（标准齿轮）
4-2 已知一对外啮合标准直齿圆柱齿轮的标准中心距a＝160mm，齿数z 1 ＝20，z 2 ＝60，求模数和分度圆直径。
解： 中心距计算公式
a＝（d 1 ＋d 2 ）/2＝（mz 1 ＋mz 2 ）/2＝160mm
将已知齿数代入可得模数：m＝4mm。
分度圆直径
d 1 ＝mz 1 ＝4×20＝80mm，d 2 ＝mz 2 ＝4×60＝240mm
4-3 已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮的齿数z＝25，齿顶圆直径d a ＝135mm，求该轮的模数。
解： 对于正常齿制标准直齿圆柱齿轮，其齿顶高系数h a * ＝1.0。
由齿顶圆计算公式：d a ＝mz＋2h a * m，可得：135mm＝25m＋2m。
解得：模数m＝5mm。
4-4 已知一正常齿制标准直齿圆柱齿轮α＝20°，m＝5mm，z＝40，试分别求出分度圆、基圆、齿顶圆上渐开线齿廓的曲率半径和压力角。
解： 分度圆半径
r＝mz/2＝5×40/2mm＝100mm
基圆半径
r b ＝rcosα＝100cos20°mm＝93.97mm
齿顶圆半径
r a ＝r＋h a * m＝（100＋1×5）mm＝105mm
（1）分度圆渐开线齿廓曲率半径
分度圆渐开线齿廓的压力角20°。
（2）基圆渐开线齿廓曲率半径ρ b ＝0，压力角0°。
（3）齿顶圆渐开线齿廓曲率半径
齿顶圆渐开线齿廓的压力角α a ＝arccos（r b /r a ）＝26.5°。
4-5 试比较正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的基圆和齿根圆，在什么条件下基圆大于齿根圆？什么条件下基圆小于齿根圆？
解： 正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的齿根圆直径
d f ＝d－2h f ＝mz－2.5m
基圆直径
d b ＝dcosα＝mzcosα＝mzcos20°
令d f ＞d b ，即mz－2.5m＞mzcos20°，解得z≥42。
故当齿数z＜42时，正常齿制渐开线标准直齿圆柱齿轮的基圆大于齿根圆；当齿数z≥42时，基圆小于齿根圆。
4-6 已知一对内啮合正常齿制标准直齿圆柱齿轮m＝4mm，z 1 ＝20，z 2 ＝60，试参照教材图4-1b计算该对齿轮的中心距和内齿轮的分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。
解： 内啮合齿轮的中心距
a＝（d 2 －d 1 ）/2＝（mz 2 －mz 1 ）/2＝4×（60－20）/2mm＝80mm
内齿轮的分度圆直径
d 2 ＝mz 2 ＝4×60mm＝240mm
内齿轮的齿顶圆直径
d a2 ＝d 2 －2h a * m＝（240－2×1×4）mm＝232mm
内齿轮的齿根圆直径
d f2 ＝d 2 ＋2h f ＝d 2 ＋2（h a * ＋c * ）m＝（240＋2×1.25×4）mm＝250mm
4-7 根据教材图4-15b证明：正常齿制标准渐开线直齿圆柱齿轮用齿条刀具加工时，不发生根切的最少齿数z min ＝17。试用同样方法求短齿制标准渐开线直齿圆柱齿轮用齿条刀具加工时的最少齿数。
证明：用齿条刀具加工标准渐开线直齿圆柱齿轮，不发生根切的临界位置是极限点N 1 正好在齿顶线上。
如图4-2-1所示，此时有不发生根切的关系
CB≤CN 1 （4-2-1）
根据几何关系可得
CN 1 ＝rsinα＝mzsinα/2，CB＝h a * m/sinα
代入式（4-2-1）得z≥2h a * /sin 2 α；
正常齿制标准齿轮的h a * ＝1.0，α＝20°，代入可得z min ＝2h a * /sin 2 α＝17。
同理，短齿制标准齿轮的h a * ＝0.8，α＝20°，可得其不发生根切的最小齿数z min ＝2h a * /sin 2 α＝14。
图4-2-1
4-8 如图4-2-2所示，用卡尺跨三个齿测量渐开线直齿圆柱齿轮的公法线长度。试证明：只要保证卡脚与渐开线相切，无论切于何处，测量结果均相同，其值为W 3 ＝2p b ＋s b （注：p b 和s b 分别表示基圆齿距和基圆齿厚）。
图4-2-2
证明：设卡脚与渐开线齿廓的两切点为A、B，根据渐开线的特性：渐开线的法线必与基圆相切，记AB与基圆相切点N。又根据渐开线的特性：发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长，可知AN＝ aN ，BN＝ fN ，则有AN＋BN＝ aN ＋ fN 。
如图4-2-3所示公法线长度
W 3 ＝AB＝ af ＝ ac ＋ df ＋ cd ＝p b ＋p b ＋s b ＝2p b ＋s b
对于任一渐开线齿轮，基圆齿厚与基圆齿距均为定值，卡尺的位置不影响测量结果。
图4-2-3
4-9 试根据渐开线特性说明一对模数相等、压力角相等，但齿数不等的渐开线标准直齿圆柱齿轮，其分度圆齿厚、齿顶圆齿厚和齿根圆齿厚是否相等，哪一个较大？
答： （1）模数相等、压力角相等的两个齿轮，分度圆齿厚s＝πm/2相等。
（2）齿数多的齿轮其齿顶圆齿厚和齿根圆齿厚较大。原因如下：
齿数多的齿轮分度圆直径大，其基圆直径就大。根据渐开线的性质，渐开线的形状取决于基圆的大小，基圆小，则渐开线曲率大；基圆大，则渐开线越趋于平直。因此，齿数多的齿轮与齿数少的齿轮相比，齿顶圆齿厚和齿根圆齿厚均较大。
4-10 试与标准齿轮相比较，说明正变位直齿圆柱齿轮的下列参数：m、α、α′、d、d′、s、s f 、h f 、d f 、d b ，哪些不变？哪些起了变化？变大还是变小？
答： （1）不变的参数有m、α、d、d b 。原因如下：
切制变位齿轮与切制标准齿轮用的刀具相同，只是刀具的位置不同。因此，它们的模数、压力角、齿距均分别与刀具相同，因此变位齿轮与标准齿轮的分度圆直径和基圆直径也相同。故参数m、α、d、d b 不变。
（2）变大的参数有s、s f 、d f ，变小的参数有h f 。原因如下：
变位齿轮分度圆不变，但正变位齿轮的齿顶圆和齿根圆增大，且齿厚增大、齿槽宽变窄。因此s、s f 、d f 变大，h f 变小。
（3）啮合角α′与节圆直径d′是一对齿轮啮合传动的范畴。
4-11 已知一对正常齿制渐开线标准斜齿圆柱齿，a＝250mm，z 1 ＝23，z 2 ＝98，m n ＝4mm，试计算其螺旋角、端面模数、分度圆直径、齿顶圆直径和齿根圆直径。
解： 由中心距计算公式
a＝m n （z 1 ＋z 2 ）/（2cosβ）＝4×（23＋98）/（2cosβ）mm＝250mm
解得：螺旋角β＝14.53°。
端面模数
m t ＝m n /cosβ＝4/cos14.53°mm＝4.13mm
分度圆直径
d 1 ＝m n z 1 /cosβ＝4×23/cos14.53°mm＝95.04mm
d 2 ＝m n z 2 /cosβ＝4×98/cos14.53°mm＝404.96mm
齿顶圆直径
da 1 ＝d 1 ＋2h a ＝（95.04＋2×4）mm＝103.04mm
da 2 ＝d 2 ＋2h a ＝（404.96＋2×4）mm＝412.96mm
齿根圆直径
df 1 ＝d 1 －2h f ＝（95.04－2×1.25×4）mm＝85.04mm
df 2 ＝d 2 －2h f ＝（404.96－2×1.25×4）mm＝394.96mm
4-12 试设计一对外啮合圆柱齿轮，已知：z 1 ＝21，z 2 ＝32，m n ＝2，实际中心距为55mm，问：（1）该对齿轮能否采用标准直齿圆柱齿轮传动？（2）若采用标准斜齿圆柱齿轮传动来满足中心距要求，其分度圆螺旋角β、分度圆直径d 1 、d 2 和节圆直径d 1 ′、d 2 ′各为多少？
解： （1）若采用标准直齿圆柱齿轮，则标准中心距为
a＝m（z 1 ＋z 2 ）/2＝2×（21＋32）/2mm＝53mm＜a′＝55mm
因此，可以采用标准直齿圆柱齿轮传动，但是会有齿侧间隙，使得传动不连续、传动精度低，并产生振动和噪声。
（2）采用标准斜齿圆柱齿轮传动时，由中心距计算公式a′＝m n （z 1 ＋z 2 ）/2cosβ，代入解得：螺旋角β＝15.5°。
分度圆直径
d 1 ＝m n z 1 /cosβ＝2×21/cos15.5°mm＝43.59mm
d 2 ＝m n z 2 /cosβ＝2×32/cos15.5°mm＝66.42mm
节圆与分度圆重合，节圆直径d 1 ′＝d 1 ＝43.59mm，d 2 ′＝d 2 ＝66.42mm。
4-13 已知一对等顶隙收缩齿渐开线标准直齿锥齿轮Σ＝90°，z 1 ＝17，z 2 ＝43，m e ＝3mm，试求分度圆锥角、分度圆直径、齿顶圆直径、齿根圆直径、外锥距、齿顶角、齿根角、顶锥角、根锥角。
解： 分度圆锥角
δ 2 ＝arctanz 2 /z 1 ＝arctan43/17＝68.43°，δ 1 ＝90°－δ 2 ＝21.57°
分度圆直径
d 1 ＝m e z 1 ＝3×17mm＝51mm
d 2 ＝m e z 2 ＝3×43mm＝129mm
齿顶圆直径
d a1 ＝d 1 ＋2m e cosδ 1 ＝（51＋2×3×cos21.57°）mm＝56.58mm
d a2 ＝d 2 ＋2m e cosδ 2 ＝（129＋2×3×cos68.43°）mm＝131.21mm
齿根圆直径
d f1 ＝d 1 －2.4m e cosδ 1 ＝（51－2.4×3×cos21.57°）mm＝44.30mm
d f2 ＝d 2 －2.4m e cosδ 2 ＝（129－2.4×3×cos68.43°）mm＝126.36mm
外锥距
R e ＝d 2 /（2sinδ 2 ）＝129/（2×sin68.43°）mm＝69.36mm
由于等顶隙，因此齿顶角齿根角相等，即
θ a ＝θ f ＝arctan（h f /R e ）＝arctan（1.2m e /R e ）＝arctan（1.2×3/69.36）＝2.97°
顶锥角
δ a1 ＝δ 1 ＋θ a ＝24.54°
δ a2 ＝δ 2 ＋θ a ＝71.4°
根锥角
δ f1 ＝δ 1 －θ f ＝18.6°
δ f2 ＝δ 2 －θ f ＝65.46°
4-14 试述一对直齿圆柱齿轮、一对斜齿圆柱齿轮、一对直齿锥齿轮的正确啮合条件。
解： （1）一对直齿圆柱齿轮正确啮合的条件是：两齿轮的模数和压力角必须分别相等，即m 1 ＝m 2 ＝m，α 1 ＝α 2 ＝α。
（2）一对斜齿圆柱齿轮正确啮合的条件是：两齿轮的模数和压力角分别相等，螺旋角大小相等、方向相反（－）或相同（＋），即m n1 ＝m n2 ，α n1 ＝α n2 。外啮合时，β 1 ＝－β 2 ；内啮合时，β 1 ＝β 2 。
（3）一对直齿圆锥齿轮正确啮合的条件是：两齿轮的大端模数和压力角分别相等，即
m 1 ＝m 2 ＝m，α 1 ＝α 2 ＝α。