3.2　课后习题详解

3-1　试分析图3-2-1所示桁架的类型，指出零杆。

解： （1）图3-2-1（a）为简单桁架，有4根零杆，零杆标注如图3-2-2所示，图中序号为鉴别顺序。

（2）图3-2-1（b）为联合桁架，有10根零杆，零杆标注如图3-2-3所示，图示结构为对称结构，左右分析方法一致。

（3）图3-2-1（c）为简单桁架，有15根零杆，零杆标注如图3-2-4所示。

（4）图3-2-1（d）为简单桁架，有6根零杆，零杆标注如图3-2-5所示。

（5）图3-2-1（e）为简单桁架，有7根零杆，零杆标注如图3-2-6所示。

（6）图3-2-1（f）为对称的复杂桁架，在对称荷载作用下，对称位置下的K型杆的斜肢内力为零（此结论可由竖直方向下的力的平衡方程加对称性质可以得出）。有8根零杆，零杆标注如图3-2-7所示。

3-2　试讨论图3-2-8所示桁架中指定杆内力的求法。

解： （1）图3-2-8（a）中指定杆内力的求法

① 首先去除零杆，简化桁架，去除零杆后桁架结构如图3-2-9所示。

② 根据简化后的受力图，利用力的平衡方程求支座反力。

③ 作截面 Ⅰ - Ⅰ ，对左半部分进行受力分析，根据D点弯矩为零，可容易求出指定杆b的内力；再取结点B，可容易求出指定杆a的内力。

（2）图3-2-8（b）中指定杆内力的求法

① 首先去除零杆，简化桁架，去除零杆后桁架结构如图3-2-10所示。

② 根据简化后的受力图，求支座反力。

③ 作截面 Ⅰ - Ⅰ ，对左半部分进行受力分析，根据支座点弯矩为零和结点C弯矩为零，可容易求出指定杆的内力。

（3）图3-2-8（c）中指定杆内力的求法

① 此结构为主附结构，左边为附属部分，右边为主体结构，内力计算按照先附后主的特点计算附属部分的支座反力和结点D的受力。根据∑F _Dx ＝0，D结点不产生水平力。根据D结点的竖向反力、∑M _C ＝0，可求B的支座反力，由结点法依次解出各杆的内力。

② 根据附属部分求得的D结点的内力和主结构的荷载，求主结构的支座反力，然后采用截面法求得指定杆a、b的内力。

（4）图3-2-8（d）中指定杆内力的求法

① 首先对结构整体分析，求支座反力，然后对称结构在中间截开求杆AB内力，即求出了指定杆a的内力。

② 在结点B右侧做一竖向切割，取出右半部分，对左下角的结点求矩，可求得指定杆b的内力，然后根据水平方向的力的平衡，求得指定杆c的内力。

3-3　试分析图3-2-11所示桁架的几何构造，确定是否几何不变？

解： （a）如图3-2-12所示，首先确定ACD和BCE是两个刚片，两个刚片用一个铰和一根链杆相连，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变的整体。

（b）如图3-2-13所示，首先确定EFHG是几何不变的，ABCD是有一个多余约束的几何不变体系，两者通过两个平行的链杆相连，是几何可变的。因此图示桁架是有多余约束的几何可变体系。

（c）如图3-2-14所示，观察ABCD、DEF、FGHK三个都是几何不变的简单桁架，其中ABCD和DEF通过一个链杆和一个铰相连，三铰不共线，组成几何不变体系。同理，FGHK和左边体系也是一个链杆和一个铰相连，三铰不共线，所以总体是几何不变体系。

（d）如图3-2-15所示，单独看ADC，依次去掉二元体，可知ACD是几何不变的，同理BEC也是几何不变的，二者通过C铰和DE杆相连，三铰不共线，因此总体是几何不变体系。

（e）如图3-2-16所示，依次去掉二元体，最后只剩下基础，因此是几何不变的。

（f）如图3-2-17所示，把AB、CD、基础，三者看成三个刚片。AB、CD两个连接有虚铰E；CD、基础两个连接有虚铰K；AB、基础两个连接虚铰在无穷远。可知三个铰共线，因此是几何可变体系。

3-4　试用结点法或截面法求图3-2-18所示桁架各杆的轴力。

解： （a）受力分析如图3-2-19所示。

① 求支座反力

∑M _A ＝0，F _yB ×6＋4×4＋4×8－8×3＝0

F _yB ＝－4kN（↓）

∑F _y ＝0，F _yA ＝8－F _yB ＝12kN

∑F _x ＝0，F _xA ＝8kN

② 求各杆内力

F _N5 ＝－4kN（压力）

结点F有

F _N3 ×4/5＋F _N4 ×4/5＝－8

4＋F _N3 ×3/5＝F _N4 ×3/5

解得F _N4 ＝－5/3kN（压力），F _N3 ＝－25/3kN（压力）。

结点C有

F _N9 ＝F _N3 ×4/5

F _N3 ×3/5＋F _N7 ＝0

解得F _N9 ＝－20/3kN（压力），F _N7 ＝5kN。

结点E有

F _N4 ×4/5＝F _N12

F _N4 ×3/5＋F _N8 ＋4＝0

解得F _N12 ＝－4/3kN（压力），F _N8 ＝－3kN（压力）。

结点B有

F _N11 ×4/5＋F _N12 ＋F _yB ＝0

F _N13 ＋F _N11 ×3/5＝0

解得F _N11 ＝20/3kN，F _N13 ＝－4kN（压力）。

对结点D有

F _N10 ×4/5＋F _N11 ×4/5＝0

解得F _N10 ＝－20/3kN（压力）。

其他杆件轴力依次可以直接求出，将内力标到相应的杆件上，作轴力图，如图3-2-20所示。

（b）受力分析如图3-2-21所示。

先求支座反力，图中结构为对称结构，因此F _yA ＝F _yB ＝F _p 。

分别取结点G、E、C、A，采用结点法进行分析计算。

对于结点G，受力分析如图3-2-22所示。

则

对于结点E，受力分析如图3-2-23所示。

由于

则F _NEC ＝F _p /2，F _NEB ＝－2.5F _p

对于结点C，受力分析如图3-2-24所示。

由于F _NEC ＝F _p /2，F _NCF ＝F _NEB ＝－2.5F _p

则F _NCA ＝－1.96F _p ，F _NCD ＝1.352F _p

对于结点A，受力分析如图3-2-25所示。

由于F _NAB ＝F _NCD ＝1.352F _p ，F _NAC ＝F _NCA ＝－1.96F _p ，则F _xA ＝－0.25F _p 。

由于结构对称，受到外力也对称，因此内力也是对称的，将求得的内力标到相应的杆件上，得到轴力图，如图3-2-26所示。

（c）首先判断零杆，求支座反力

∑F _y ＝0，F _yA ＝F _p （↑）

F _xA ＝F _p a/a＝F _p （→），F _xB ＝F _p （←）

对于结点C

F _NAC ＝－F _p （压力）

对于结点B

F _NBA ＝－F _p （压力）

根据求得的数据，作轴力图，如图3-2-27所示。

（d）图中为静定结构，根据局部平衡性判断零杆，只有杆AB和结构CEDF有轴力。

AB的轴力显然得知，只考虑CEDF部分：

对于结点E

对于结点F

F _CD ＝F _P1

作轴力图，如图3-2-28所示。

注：静定结构中在荷载作用下，如果仅靠静定结构的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受力，其余部分不受力。例如本题中的只有BA杆及CDEF部分受力。

3-5　试求图3-2-29所示各桁架中指定杆的内力。

解： （a）截面编号如图3-2-30所示。

① 先求支座反力

F _yA ＝F _yB ＝3F _p （↑）

② 由 Ⅰ - Ⅰ 面截开，取左部分对E点求矩

－F _yA ×8＋F _p /2×8＋F _p ×4－F _N2 ×6＝0

求得F _N2 ＝－8Fp/3（压力）。

③ 由 Ⅱ - Ⅱ 面截开，取左部分对D点求矩

－F _yA ×12＋F _p /2×12＋F _p ×8＋F _p ×4－F _N2 ×6－F _N3 ×4/5×3－F _N3 ×3/5×4＝0

求得F _N3 ＝－5Fp/12（压力）。

④ 由 Ⅲ - Ⅲ 面截开，取左部分对G点取矩

－F _yA ×4＋F _p /2×4－F _N4 ×6＝0

如图3-2-31所示，由结点受力平衡

－F _N5 ×4/5－F _N4 ＋F _N2 ＝0

－F _p －F _N5 ×3/5－F _N1 ＝0

最后求得

F _N1 ＝－F _P ＋5/4×3F _P /5＝－F _P /4（压力）

（b）截面编号如图3-2-32所示。

① 求支座反力

F _yA ＝10kN（↑），F _yB ＝10kN（↓）

② 由 Ⅰ - Ⅰ 面截开，取右边部分，对C点取矩

F _N1 ＝22.5kN（拉力），∑F _y ＝0，F _Ny2 ＝－30kN（压力）

根据2号杆的几何关系，求得

③ 由 Ⅱ - Ⅱ 面截开，取左边部分，对C点取矩

解得F _N3 ＝－18kN（压力）。

（c）截面编号如图3-2-33所示。

① 判断零杆，知1号杆的轴力为0。

② 求支座反力

F _yB ＝2F _p /3，F _yA ＝F _p /3

③ 由 Ⅰ - Ⅰ 面截开，取左边部分对C点取矩

求得

对D点取矩

求得F _N2 ＝F _p /3。

作截面 Ⅱ - Ⅱ ，并取下部，对E点取矩

解得F _N3 ＝－F _p /3（压力）。

（d）截面编号如图3-2-34所示。

① 求支座反力

∑M _A ＝0，F _yB ×12＋4×4－20×6－12×16＝0

F _yB ＝24.67kN（↑）

∑F _y ＝0，F _yA ＝11.33kN（↑）

② 由C点截开，取左边部分：

对C点取矩得

F _xA ＝3.5kN（→）

对整体分析得

F _xB ＝－3.5kN（←）

③ 作截面 Ⅰ - Ⅰ ，取左部并对F、E和G点求矩

∑M _F ＝0，－F _yA ×2＋F _xA ×6＋4×6－F _N1 ×2＝0

∑M _E ＝0，－F _yA ×4＋F _xA ×8＋4×8＋F _N3 ×2＝0

∑M _G ＝0，

解得

F _N1 ＝11.17kN，F _N2 ＝－10.37kN（压力），F _N3 ＝－7.33kN（压力）

（e）截面编号如图3-2-35所示。

① 求支座反力

F _xA ＝－4kN（←），F _yA ＝3.2kN（↑），F _yB ＝4.8kN（↑）

② 判断零杆

如图3-2-35所示，×号表示零杆。

③ 用结点法求解

对结点B有

F _NBC ×2.4/4.66＋F _yB ＝0

解得F _NBC ＝－9.33kN（压力），F _NBD ＝8kN。

对结点C有

F _N1 ＝F _NBC ×4/4.66＝－8kN（压力）

F _NCE ＝－F _NBC ×2.4/4.66＝4.8kN

对结点D有

F _N2 ×2.4/4.66－1＝0

－F _NDE －F _N2 ×4/4.66＋F _NBD ＝0

解得F _N2 ＝1.94kN，F _NDE ＝6.34kN。

对结点E有

－F _NEG ×4/4.66－F _N3 ＋F _NDE ＝0

F _NEG ×2.4/4.66＋F _NCE －2＝0

解得F _N3 ＝11kN。

对结点F有

F _N4 ＝－F _N2 ×2.4/4.66＝－1kN（压力）

（f）截面编号如图3-2-36所示。

① 由 Ⅰ - Ⅰ 面截开，取左半部分，对C点取矩

－F _N4 ×3＋1×3＋2×4＋2×2＝0⇒F _N4 ＝5kN

② 由 Ⅱ - Ⅱ 面截开，取右半部分，对D点取矩

F _N4 ×3－4×3－F _N3 ×10.50/10.92×3＋F _N3 ×3/10.92×1.5＝0⇒F _N3 ＝1.21kN

③ 由 Ⅲ - Ⅲ 面截开，取上半部分，对E点取矩

1×6＋1×3＋2×4＋2×2－F _N1 ×3－F _N3 ×10.5/10.92×6＋F _N3 ×3/10.92×4.5－4×6＝0

解得F _N1 ＝－2.83kN（压力）。

横向力平衡

3-6　试求图3-2-37所示桁架杆a、b、c、d的轴力。

解： （1）先求支座反力。

受力分析如图3-2-38所示，对A求矩得F _yB ＝10.46kN，则有F _yA ＝23.54kN。

（2）取隔离体AED，受力分析如图3-2-39所示。

只有c的轴力是水平力，因此F _Nc ＝0。

对D取矩，有

F _P ×9－F _yA ×13－F _Na ×13＝0，F _Na ＝0

对结点E，用结点法求解，即

F _Nb ×4/5＝F _Nd ×9/10.82

F _Nb ×3/5＋F _Nd ×6/10.82＝F _P

解得F _Nb ＝30kN（拉力），F _Nd ＝28.85kN（拉力）。

3-7　试用分段叠加法作图3-2-40所示梁的M图。

解： （a）单独左端弯矩作用时，弯矩图如图3-2-41中M ₁ 图所示，且M _C ＝ql ² /16；

单独右端弯矩作用时，弯矩图如图3-2-41中M ₂ 图所示，且M _C ＝ql ² /16；

单独均布荷载q作用时，弯矩图如图3-2-41中M ₃ 图所示，且M _C ＝ql ² /8；

总弯矩图M＝M ₁ ＋M ₂ ＋M ₃ ，如图3-2-41中M图所示，则M _C ＝ql ² /4。

（b）单独左端弯矩作用时，弯矩图如图3-2-42中M ₁ 图所示，且M _C ＝ql ² /16；

单独右端弯矩作用时，弯矩图如图3-2-42中M ₂ 图所示，且M _C ＝ql ² /16；

单独均布荷载q作用时，弯矩图如图3-2-42中M ₃ 图所示，且M _C ＝ql ² /8；

总弯矩图M＝M ₁ ＋M ₂ ＋M ₃ ，如图3-2-42中M图所示，则M _C ＝ql ² /8。

（c）单独集中力F _P 作用时，弯矩图如图3-2-43中M ₁ 图所示，且M _C ＝F _p l/4；

单独左端弯矩作用时，弯矩图如图3-2-43中M ₂ 图所示，且M _C ＝F _p l/8；

单独右端弯矩作用时，弯矩图如图3-2-43中M ₃ 图所示，且M _C ＝F _p l/8；

总弯矩图M＝M ₁ ＋M ₂ ＋M ₃ ，如图3-2-43中M图所示，则M _C ＝F _p l/2。

（d）单独集中力F _p 作用时，弯矩图如图3-2-44中M ₁ 图所示，且M _C ＝F _p l/4；

单独左端弯矩作用时，弯矩图如图3-2-44中M ₂ 图所示，且M _C ＝F _p l/8；

单独右端弯矩作用时，弯矩图如图3-2-44中M ₃ 图所示，且M _C ＝F _p l/8；

总弯矩图M＝M ₁ ＋M ₂ ＋M ₃ ，如图3-2-44中M图所示，则F _p l/4。

（e）单独左端弯矩作用时，弯矩图如图3-2-45中M ₁ 图所示，且M _C ＝1kN·m；

单独均布荷载q作用时，弯矩图如图3-2-45中M ₂ 图所示，且M _C ＝3kN·m；

总弯矩图M＝M ₁ ＋M ₂ ，如图3-2-45中M图所示，则M _C ＝2kN·m。

（f）结构可按B点左右两段分别利用叠加法，如图3-2-46所示。

根据受力分析，可求得A处反力为F _NA ＝4kN，M _BA ＝M _BD ＝8kN·m，所以AB段弯矩图如图3-2-47中M ₁ 图所示。

单独左端弯矩M _BD 作用于BD段，弯矩图如图3-2-47中M ₂ 图所示，且M _C ＝4kN·m；

单独均布荷载作用于BD段，弯矩图如图3-2-47中M ₃ 图所示，且M _C ＝6kN·m；

总弯矩图M＝M ₁ ＋M ₂ ＋M ₃ ，如图3-2-47中M图所示，则M _C ＝10kN·m。

（g）结构可分为如图3-2-48所示的三段分别进行弯矩计算，再利用叠加法计算总的弯矩，首先应该先求支反力并进一步求三段截断处的弯矩值。

F _ND ＝F _NE ＝6kN

M _AD ＝M _AB ＝M _BE ＝6kN·m

DA段仅作用M _AD ，其弯矩图如图3-2-49中M ₁ 图所示。

AB段作用有三个力，弯矩M _AB 、M _BA 和均布荷载q，三个力单独作用于AB段时的弯矩图分别如图3-2-49中M ₂ 、M ₃ 、M ₄ 图所示。

BE段仅作用M _BE ，其弯矩图如图3-2-49中M ₅ 图所示。

总弯矩图M＝M ₁ ＋M ₂ ＋M ₃ ＋M ₄ ＋M ₅ ，如图3-2-49中M图所示，则M _C ＝12kN·m。

（h）当均布荷载单独作用于结构时，其弯矩图如图3-2-50中M ₁ 图所示，且M _C ＝6kN·m；

当集中荷载单独作用于结构时，其弯矩图如图3-2-50中M ₂ 图所示，且M _C ＝4kN·m；则总弯矩图M＝M ₁ ＋M ₂ ，如图3-2-50中M图所示，且M _C ＝10kN·m。

3-8　试判断图3-2-51所示内力图正确与否，将错误改正。

解： （a）M、F _Q 图均错误。由∑Fy＝0可知悬臂端无剪力，弯矩不会产生变化，为一条水平线。修正后的内力图如图3-2-52所示。

（b）M、F _Q 图均错误。集中力只会造成作用部位的剪力产生突变，若无均布荷载，无集中力区段的剪力不会产生变化，为一条水平线。集中力作用部位的弯矩图会产生突变，两端的弯矩图为三角折线。修正后的内力图如图3-2-53所示。

（c）M、F _Q 图均错误。由∑F _y ≠0可知右端有剪力。附加弯矩为顺时针，弯矩向下突变，弯矩作用部位左右剪力不变，故弯矩图突变部位的斜率不变。修正后的内力图如图3-2-54所示。

（d）M、F _Q 图均正确。

（e）M、F _Q 图均错误。剪力图的突变方向与集中力作用的方向一致。修正后的内力图如图3-2-55（a）、（b）所示。

小技巧：剪力图正负号的判断：根据弯矩图的倾斜方向，从杆轴向弯矩图倾斜方向旋转（转角为锐角），若顺时针旋转则剪力为正，逆时针旋转则剪力为负。

3-9　试求图3-2-56所示梁的支座反力，并作其内力图。

解： （a）首先对几何构造进行分析，按照主结构和附属部分的支撑关系，将题中梁结构简化为如图3-2-57所示的层叠图。

则可从右往左依次求各个支座反力

F _yE ＝F _yF ＝1/2×2×4.5＝4.5kN（↑）

∑M _C ＝0，－F _yE ′×6＋F _yD ×4.5－10×2＝0

F _yD ＝10.44kN（↑）

∑F _y ＝0，F _yC ＋F _yD －F _yE －10＝0

F _yC ＝4.06kN（↑）

∑M _A ＝0，－F _yC ′×7.5＋F _yB ×6－20×3＝0

F _yB ＝15.075kN（↑）

∑F _y ＝0，F _yA ＋F _yB －F _yC ′－20＝0

F _yA ＝8.985kN（↑）

求得的各支座反力即为杆端剪力值。根据各支座反力求各杆端的弯矩值为

M _EF ^中 ＝ql ² /8＝2×4.5 ² /8＝5.06kN·m（下侧受拉）

M _D ＝－F _yE ×1.5＝－4.5×1.5＝－6.75kN·m（上侧受拉）

M _H ＝－F _yE ×4＋F _yD ×2.5＝8.1kN·m（下侧受拉）

M _B ＝－F _yC ×1.5＝－4.06×1.5＝－6.09kN·m（上侧受拉）

M _G ＝－F _yC ×4.5＋F _yB ×3＝26.955kN·m（下侧受拉）

根据以上求得的各个数据，作出弯矩图和剪力图，如图3-2-58所示。

（b）首先对几何构造进行分析，按照主结构和附属部分的支撑关系，将题中梁结构简化为如图3-2-59所示的层叠图。

根据上图的简化特点，求各支座反力如下

F _RG ＝1kN（↓），F _RI ＝1kN（↑），F _RD ＝3.125kN（↑）

F _RJ ＝1.875kN（↑），F _RB ＝0.78kN（↑），F _RC ＝2.09kN（↑）

F _RF ＝0.75kN（↑），F _RE ＝2.25kN（↑）

各控制截面弯矩值如下

M _E ＝0，M _A ＝4.5kN·m，M _F ＝1kN·m，M _H ^L ＝－1kN·m

M _H ^R ＝1kN·m，M _B ＝－1kN·m，M _C ＝－1.875kN·m，M _D ＝－0.5kN·m

各控制截面剪力值如下

F _QE ＝2.25kN，F _QA ^L ＝2.25kN，F _QA ^R ＝－1.75kN，F _QF ^L ＝－1.75kN

F _QF ^R ＝－1kN，F _QG ＝－1kN，F _QB ^L ＝－1kN，F _QB ^R ＝－0.22kN，F _QC ^L ＝－0.22kN

F _QC ^R ＝1.87kN，F _QJ ＝1.87kN，F _QD ^L ＝－2.125kN，F _QD ^R ＝1kN

根据以上数据，作出弯矩图和剪力图，如图3-2-60所示。

3-10　试选择图3-2-61所示梁中铰的位置x，使中间一跨的跨中弯矩与支座弯矩绝对值相等。

解： 首先对几何构造进行分析，按照主结构和附属部分的支撑关系，将题中梁结构简化为如图3-2-62所示的层叠图。

依次求得E、F处的支反力为

F _xE ＝F _xF ＝0，F _yF ＝F _yE ＝q（l－2x）/2

且其跨中弯矩M _中 ＝q（l－2x） ² /8。

由于梁为对称结构，可以得出B和C处的弯矩为

M _B ＝M _C ＝qx ² /2＋q（l－2x）x/2

根据M _中 ＝M _B ，有

q（l－2x） ² /8＝q（l－2x）x/2＋qx ² /2

整理得8x ² －8lx＋l ² ＝0，则

所以，x＝0.146l或x＝0.854l。但当x＝0.854l时，l－2x＜0，不符合实际，所以x只能取0.146l，此时跨中弯矩绝对值与支座弯矩绝对值相等，即

M _B ＝－0.06ql ² ，M _跨中 ＝0.06ql ²

3-11　试速画图3-2-63所示的M图。图下的提示说明供自我检查之用，作图前先不要查阅。

解： M图如图3-2-64所示。

3-12　试检查图3-2-65所示M图的正误，并加以改正。检查前先不要看图下的提示说明。

解： 题中M图均错，修正后的M图分别如图3-2-66所示。

3-13　试作图3-2-67所示刚架的内力图。

解： （1）图3-2-67（a）刚架的内力图可根据图3-2-68所示求解。

① 根据力的平衡求支反力。

∑F _x ＝0，F _xA ＝qa（←）

∑M _A ＝0，F _yC ·a－qa ² －9qa ² /8＝0

解得

F _yC ＝17qa/8（↑）

∑F _y ＝0，F _yA ＋q·3a/2－F _yc ＝0

解得F _yA ＝5qa/8（↓）。

② 根据支反力和结构所受均布荷载求各杆端内力。

a．杆端弯矩

M _A ＝M _D ＝0

M _BA ＝M _BC ＝qa ² （内侧受拉）

M _CB ＝M _CD ＝qa ² /8（外侧受拉）

b．杆端剪力

F _QAB ＝qa，F _QBC ＝－5qa/8，F _QC ^L ＝－13qa/8，F _QC ^R ＝qa/2，F _QD ＝0

c．杆端轴力

F _NAB ＝5qa/8（拉力），F _NBD ＝0

③ 刚架的内力图如图3-2-69所示。

（2）图3-2-67（b）受力刚架如图3-2-70所示，由于刚架是对称结构，且受力也是对称荷载，故内力亦对称。

① 求各杆端内力。

a．杆端弯矩

M _ED ＝0

M _DE ＝M _DB ＝q ₁ l ² /2＝1/2×2×9＝9kN·m（外部受拉）

M _BD ＝M _BC ＝q ₂ /2×4.5×4.5/3－M _DB ＝1/2×3×4.5×4.5/3－9＝1.125kN·m（内部受拉）

F _yB ＝（2＋3）×6/2＝15kN（↑）

M _CB ＝F _yB ×3－q ₁ ×3×1.5－q ₂ ×3×1.5－q ₂ ×4.5/2×4.5/3＝12.375kN·m（外部受拉）

b．杆端剪力

F _QDE ＝q ₁ ×3＝6kN（↑）

F _QBD ＝q ₂ /2×4.5＝1/2×3×4.5＝6.75kN（←）

F _QBC ＝F _yB －q ₁ ×3＝9kN（↑）

F _QCB ＝q ₂ ×3＋q ₁ ×3－F _yB ＝0kN

c．杆端轴力

F _NBD ＝F _NDB ＝－6kN（压力）

F _NCB ＝F _NBC ＝6.75kN（拉力）

② 根据以上求得的杆端内力得内力图，如图3-2-71所示。

（3）图3-2-67（c）结构受力图如图3-2-72所示，对称结构受对称荷载，故内力亦对称。

① 对结构的一半进行受力分析。

a．杆端弯矩

M _EC ＝0，M _CE ＝qa ² /8（上侧受拉）

M _CA ＝qa ² /8（左边受拉）

M _AC ＝5qa ² /8（左边受拉）

M _AB ＝5qa ² /8（下侧受拉）

M _{AB 中} ＝5qa ² /8－qa ² /8＝qa ² /2（下侧受拉）

b．杆端剪力

F _QE ＝0，F _QCE ＝qa/2，F _QCA ＝0，F _QAC ＝qa，F _QAB ＝－qa/2

c．杆端轴力

F _NEC ＝0，F _NCA ＝－qa/2（压力），F _NAB ＝－qa（压力）

② 根据上述所求，画刚架内力图，如图3-2-73所示。

3-14　试作图3-2-74所示三铰刚架的内力图。

解： （1）图3-2-74（a）刚架的受力分析如图3-2-75所示。

① 求支座反力

以整体为研究对象有

∑M _B ＝0⇒F _yA ＝2.5kN（↑）

∑M _A ＝0⇒F _yB ＝7.5kN（↑）

以ADE为研究对象有

∑M _E ＝F _xA ×6－F _yA ×5＝0⇒F _xA ＝2.08kN（→）

以整体为研究对象有

∑F _x ＝0⇒F _xB ＝F _xA ＝2.08kN（←）

② 求各杆端内力

a．杆端弯矩

M _DA ＝F _xA ×6＝12.5kN·m（外部受拉）

M _CB ＝F _xB ×6＝12.5kN·m（外部受拉）

M _DE ＝M _DA ＝12.5kN·m（外部受拉）

M _CE ＝M _CB ＝12.5kN·m（外部受拉）

b．杆端剪力

F _QDA ＝－2.08kN

F _QCB ＝F _xB ＝2.08kN

F _QDE ＝2.5kN

F _QCE ＝F _yE －2×5＝－7.5kN

c．杆端轴力

F _NDA ＝F _yA ＝－2.5kN（压力）

F _NCB ＝F _yB ＝－7.5kN（压力）

F _NDE ＝F _xE ＝F _QDA ＝－2.08kN（压力）

F _NCE ＝F _xE ＝－2.08kN（压力）

③ 作内力图

根据上述所求，作刚架内力图，如图3-2-76所示。

（2）图3-2-74（b）刚架的受力分析如图3-2-77所示。

① 求支反力

以整体为研究对象有

∑M _A ＝F _yB ×12－F _p ×6＝0⇒F _yB ＝F _p /2（↑）

∑F _y ＝0⇒F _yA ＝F _p /2（↓）

以BEC为研究对象有

∑M _C ＝0⇒F _xB ＝F _yB ＝F _p /2（←）

以整体为研究对象有

∑F _x ＝0，F _xA ＝F _p /2（←）

② 求杆端内力

a．杆端弯矩

M _AD ＝0，M _DA ＝3F _p （右边受拉）

M _EB ＝3F _p （右边受拉），M _B ＝0

b．杆端剪力

F _QAD ＝F _p /2，F _QDC ＝F _QCE ＝－F _p /2，F _QBE ＝F _p /2

c．杆端轴力

F _NAD ＝F _p /2，F _NDE ＝－F _p /2（压力），F _NBE ＝－F _p /2（压力）

③ 作内力图

根据上述所求，画刚架内力图，如图3-2-78所示。

（3）图3-2-74（c）刚架的受力分析图如图3-2-79所示。

① 求支座反力

刚架右半部分是二力杆，则受力通过两铰的连线。

取铰点C的右半部分受力分析

∑M _C ＝0⇒F _xB ＝F _yB

对A点整体受力分析

∑M _A ＝0，F _yB ×2a＋F _xB ×a＝q×2a×a

F _yB ＝2qa/3（↑），F _xB ＝2qa/3（←）

∑F _y ＝0⇒F _yA ＝2qa/3（↓）

∑F _x ＝0⇒F _xA ＝4qa/3（←）

② 求杆端内力

a．杆端弯矩

M _A ＝0，M _B ＝0

M _DC ＝M _DA ＝－2qa ² ＋8qa ² /3＝2qa ² /3（内部受拉）

M _EC ＝M _EB ＝2qa ² /3（外部受拉）

b．杆端剪力

F _QAD ＝4qa/3，F _QDA ＝－2qa/3，F _QBE ＝2qa/3，F _QDE ＝－2qa/3

c．杆端轴力

F _NAD ＝2qa/3，F _NDE ＝－2qa/3（压力），F _NBE ＝－2qa/3（压力）

③ 作内力图

根据以上求得的数据，画刚架的内力图，如图3-2-80所示。

（4）图3-2-74（d）刚架的受力分析图如图3-2-81所示。

① 求支座反力

由图3-2-81可知，对称结构对称荷载，故内力也对称，可以取一半进行运算，可知铰点C只有轴力，剪力为零。

∑F _y ＝7.5q－F _yA ＝0⇒F _yA ＝F _yB ＝7.5q（↑）

∑M _C ＝0.5×q×7.5 ² ＋F _xA ×10－F _yA ×7.5＝0

⇒F _xA ＝2.81qkN（→），F _xB ＝2.81qkN（←）

② 求杆端内力

a．杆端弯矩

M _A ＝0

M _DE ＝0.5×q×2.5 ² ＝3.125qkN·m（上部受拉）

M _DA ＝F _xA ×10－F _yA ×2.5＝9.35qkN·m（左边受拉）

M _DC ＝M _DE ＋M _DA ＝12.48qkN·m（上部受拉）

b．杆端剪力

F _QED ＝0，F _QDC ＝5q

c．杆端轴力

F _NED ＝0，F _NCD ＝F _xA ＝2.81q

③ 作内力图

根据上述所求，画刚架的内力图，如图3-2-82所示。

3-15　试求图3-2-83所示门式刚架在各种荷载作用下的弯矩图，并作图a刚架的F _Q 图和F _N 图。

解： （1）图3-2-83（a）刚架的受力分析图如图3-2-84所示，可知此为对称结构，对称荷载，故内力亦对称，可只取一半进行运算。

① 求支座反力

F _yA ＝F _yB ＝7.35q＝9.55kN（↑）

∑M _C ＝F _xA ×（2.49＋6.6）＋0.5×q×7.35 ² －F _yA ×7.35＝0

⇒F _xA ＝3.86kN（→），F _xB ＝3.86kN（←）

② 求杆端内力

a．杆端弯矩

M _DA ＝F _xA ×6.6＝25.5kN·m（左边受拉）

M _DC ＝25.5kN·m（上部受拉）

M _AD ＝0

M _{DC 中} ＝（6.6＋2.49/2）×F _xA ＋q/2×（7.35/2） ² －7.35/2×F _yA ＝3.95kN·m（上部受拉）

b．杆端剪力

F _QAD ＝－3.86kN

c．杆端轴力

F _NAD ＝－9.55kN（压力）

③ 作内力图

根据以上求得的数据，画刚架的内力图，如图3-2-85所示。

（2）图3-2-83（b）刚架的受力分析图如图3-2-86所示。

① 求支座反力

∑M _A ＝1/2×0.123×6.6 ² ＋1/2×0.077×6.6 ² －F _yB ×7.35×2＝0⇒F _yB ＝0.296kN（↑）

∑F _y ＝0⇒F _yA ＝0.296kN（↓）

∑M _C ＝0⇒F _xA ＝0.756kN（←）

∑F _x ＝0⇒F _xB ＝0.564kN（←）

② 求杆端弯矩

M _DA ＝M _DC ＝F _xA ×6.6－1/2×0.123×6.6 ² ＝2.31kN·m（内部受拉）

M _EC ＝M _EB ＝F _xB ×6.6－1/2×0.077×6.6 ² ＝2.045kN·m（外部受拉）

③ 作内力图

根据以上求得的杆端弯矩，作出弯矩图，如图3-2-87所示。

（3）图3-2-83（c）刚架的受力分析图如图3-2-88所示。

① 求支座反力

∑M _A ＝0⇒F _yB ＝8.31kN（↑）

∑F _y ＝0⇒F _yA ＝16.69kN（↑）

∑M _C ＝0⇒F _xA ＝0.68kN（→）

∑F _x ＝0⇒F _xB ＝F _xA ＝0.68kN（←）

② 求各杆端弯矩

M _DF ＝M _DC ＝F _xA ×6.6－17×0.5＝－3.98kN·m（内侧受拉）

M _FA ＝F _xA ×（6.6－2）＝3.13kN·m（外侧受拉）

M _FD ＝F _xA ×4.6－17×0.5＝－5.37kN·m（内侧受拉）

M _EG ＝M _EC ＝－F _xB ×6.6＋8×0.5＝－0.49kN·m（外侧受拉）

M _GE ＝8×0.5－F _xB ×4.6＝0.872kN·m（内侧受拉）

M _GB ＝F _xB ×4.6＝3.13kN·m（外侧受拉）

M _F ＝17×0.5＝8.5kN·m（上侧受拉）

M _G ＝8×0.5＝4kN·m（上侧受拉）

③ 作内力图

根据以上求得的数据，作刚架弯矩图，如图3-2-89所示。

（4）图3-2-83（d）刚架的受力分析图如图3-2-90所示。

① 求支座反力

∑M _A ＝0⇒F _yB ＝0.1kN（↓）

∑F _y ＝0⇒F _yA ＝0.1kN（↑）

∑M _C ＝0⇒F _xB ＝0.08kN（→）

∑F _x ＝0⇒F _xA ＝0.22kN（→）

② 求各杆端弯矩

M _FA ＝M _FD ＝F _xA ×（6.6－1.5）＝1.122kN·m（外侧受拉）

M _DF ＝M _DC ＝F _xA ×6.6－0.3×1.5＝1.002kN·m（外侧受拉）

M _EC ＝M _EB ＝F _xB ×6.6＝0.528kN·m（内侧受拉）

③ 作内力图

根据以上求得的数据，作刚架弯矩图，如图3-2-91所示。

3-16　试对图3-2-92所示刚架进行构造分析，并作M图。

解： 在原图上将点补齐，见图3-2-92所示。结构为正对称荷载作用下的对称结构，结构内力及其支座反力皆为正对称，中间铰支座可简化为横向单链杆约束，且铰结点C处无剪应力和弯矩，且结构为主附结构，计算内力顺序为先附后主，可选取一半进行计算。

（1）求支座反力

∑M _B ＝F _yE ×6－1/2×1.2×6 ² ＝0F _yE ＝F _yB ＝3.6kN·m（↑）

∑F _y ＝1.2×6－F _yA ＋F _yB ＝0F _yA ＝10.8kN（↑）

∑M _C ＝（F _yA －F _yB ）×6－F _xA ×6－1/2×1.2×6 ² ＝0F _xA ＝3.6kN（→）

（2）求各杆端弯矩

M _A ＝0，M _FE ＝0，M _EF ＝0，M _BF ＝0

M _DC ＝M _DA ＝F _xA ×6＝3.6×6＝21.6kN·m（外侧受拉）

M _FB ^中 ＝F _yE ×3－1.2×3×1.5＝5.4kN·m（下侧受拉）

（3）作内力图

根据上述所求，作刚架弯矩图，如图3-2-93所示。

3-17　试作图3-2-94所示刚架的弯矩图。

解： 结构受力分析图如图3-2-95所示，结构为主附结构，计算内力顺序为先附后主。

（1）求支座反力

对于附属部分CFB，C点支座只承受弯矩和水平向的轴力，故根据力的平衡原理，B点支座不产生反力。可知

取BC为隔离体，∑F _x ＝0⇒F _xC ＝F _P （→）

∑M _A ＝F _P ×3l－F _P ×l－F _yE ×l＝0⇒F _yE ＝2F _P （↓）

∑F _y ＝0⇒F _yA ＝2F _P （↑）

∑F _x ＝0⇒F _xA ＝0

（2）求各杆端弯矩

M _B ＝0，M _GB ＝0，M _FG ＝F _P l

M _FC ＝M _CD ＝M _DC ＝F _P l，M _DK ＝F _P l

M _DE ＝2F _P l，M _DA ＝0，M _A ＝0

（3）作内力图

根据上述所求，画得弯矩图，如图3-2-96所示。

3-18　试求图3-2-97所示刚架的支座反力。

解： 受力分析图如图3-2-98所示。

以整体为研究对象有

∑M _B ＝0⇒F _yA ＝qa（↓）

∑F _y ＝0⇒F _yB ＝qa（↑）

如图3-2-99所示，取杆件BF为隔离体进行力的平衡分析，则有

∑F _y ＝F _yB －F _yDC ＝0⇒F _yDC ＝qa（拉力）⇒F _xDC ＝4qa（拉力）

∑M _F ＝F _xB ×2a－F _xDC ×a/2＝0⇒F _xB ＝qa（→）

根据整体部分力的平衡

∑F _x ＝0，F _xA ＝q×2a＋qa＝3qa（←）

故此刚架的支座反力为

F _yA ＝qa（↓）

F _xA ＝3qa（←）

F _yB ＝qa（↑）

F _xB ＝qa（→）

3-19　在图3-2-100所示的组合结构中，试问：

（a）DF是零杆，对吗？为什么？

（b）取结点A，用结点法计算AD、AF的轴力，得 ，F _NAD ＝－2qa，这样做对吗？为什么？

解： （a）不对，因为AC是梁式杆，不是桁架杆，因此不能直接截断。由于均布荷载作用，会使得F点产生弯矩，从而DF杆会受到轴力作用，不是零杆。还有一种更为简便的方法：若DF是零杆，根据对称性可知EG也是零杆，AC-CB在水平铰接（几何瞬变体系）的条件下仅受均布荷载作用，工程中不允许瞬变体系承受荷载，故DF不可能是零杆，同理EG也非零杆。

（b）不对，因为AC梁式杆上不仅有轴力作用，还有弯矩、剪力存在，而结点法只考虑了AC的轴力，因此用结点法求解是错误的。

3-20　试作图3-2-101所示组合结构的内力图。

解： （a）受力分析如图3-2-102所示。

① 求支座反力

F _yA ＝F _yB ＝（8×1）/2＝4kN（↑）

② 从中间断开，对C点取矩，得F _NDE ＝4kN。

在结点D取力平衡，得F _NDA ＝5.66kN，F _NDF ＝－4kN（压力）。

③ 计算AC杆的弯矩图，求杆端弯矩

M _A ＝0，M _FA ＝－2kN·m

④ 计算AC杆的剪力图

F _QA ＝0，F _QF ^L ＝－2kN，F _QF ^R ＝2kN，F _QC ＝0

⑤ 结构和受力都是对称的，因此根据上述数据，作弯矩图、剪力图、轴力图，如图3-2-103所示。

（b） ① 求支座反力，由于结构对称取左半部分研究，如图3-2-104所示，对C点取矩

② 整体力的平衡，由∑F _y ＝0得

解得F _yA ＝15kN（↑），F _NFD ＝－10.82kN（压力）。

③ 对结点D有

解得F _NDC ＝6.71kN，F _NDA ＝－12kN（压力）。

④ 根据上述数据，作弯矩图、剪力图、轴力图，如图3-2-105所示。

3-21　图3-2-106所示抛物线三铰拱轴线的方程为y＝4fx（l－x）/l ² ，l＝16m，f＝4m。试：

（a）求支座反力。

（b）求截面E的M、F _N 、F _Q 值。

（c）求D点左右两侧截面的F _Q 、F _N 值。

解： 受力分析如图3-2-107所示。

（a）求支座反力

分别对A、B求矩，得到F _VB ＝F _P /4，F _VA ＝3F _P /4。

取右半部分，对C取矩，由∑M _C ＝0得

F _VB ×8－F _HB ×4＝0

则F _HB ＝F _P /2，F _H ＝F _HA ＝F _HB ＝F _P /2。

（b）截面E的内力分析

当x＝12时，有

y＝4×4/256×12×（16－12）＝3

tanφ＝dy/dx＝4f（l－2x）/l ² ，tanφ＝－0.5

则φ＝－26.57°，sinφ＝－0.45，cosφ＝0.89。

根据计算公式

F _QE ＝F _QE ⁰ cosφ－F _H sinφ

F _NE ＝－F _QE ⁰ sinφ－F _H cosφ

M _E ＝M _E ⁰ －F _H ·y

其中M _E ⁰ ＝F _VB ×4＝F _P ，F _QE ⁰ ＝－F _VB ＝－F _P /4，代入上式中，得到

F _QE ＝0.0025F _P ，F _NE ＝－0.56F _P ，M _E ＝－0.5F _P

（c）D点的内力

F _QD ^L ＝F _QL ⁰ cosφ－F _H sinφ

F _QD ^R ＝F _QR ⁰ cosφ－F _H sinφ

F _LND ＝－F _QL ⁰ sinφ－F _H cosφ

F _RND ＝－F _QR ⁰ sinφ－F _H cosφ

其中

tanφ＝dy/dx＝4f（l－2x）/l ² ＝0.5

所以φ _D ＝26°34′，sinφ＝0.447，cosφ＝0.894。

在集中力作用下，剪力是突变的，因此F _QL ⁰ ＝3F _P /4，F _QR ⁰ ＝－F _P /4。

将以上数据代入公式中，得到

F _QD ^L ＝0.447F _P

F _QD ^R ＝－0.447F _P

F _ND ^L ＝－0.782F _P

F _ND ^R ＝－0.335F _P

3-22　图3-2-108（a）所示为一三铰拱式屋架。上弦通常用钢筋混凝土或预应力混凝土，拉杆用角钢或圆钢，结点不在上弦杆的轴线上而有偏心。图3-2-108（b）为其计算简图。设l＝12m，h＝2.2m，e1＝0.2m，e2＝0，q＝1.2kN/m。试求支座反力和内力。

解： 简化题中结构，如图3-2-109所示。

（1）求支座反力

A支座的水平链杆不起作用，可以看成一个对称结构受对称荷载作用，只取左边部分研究，如图3-2-110所示，则有

F _VA ＝F _VB ＝ql/2＝7.2kN

对C点取矩

F _HA ·h－F _VA ·l/2＋ql ² /8＝0⇒FHA＝9.82kN

（2）研究DE杆的受力

M _DE ＝－F _HA ×e ₁ ＝－9.82×0.2＝－1.96kN·m

M _ED ＝F _HA ×e ₂ ＝9.82×0＝0

（3）计算各杆轴力、剪力

F _NDE ＝－F _HA ·cosα－F _VA ·sinα

F _QDE ＝－F _HA ·sinα＋F _VA ·cosα

F _NED ＝－F _HA ·cosα

F _QED ＝－F _HA ·sinα

其中

代入数据，最后求得

F _QDE ＝3.7kN，F _QED ＝－3.1kN

F _NDE ＝－11.6kN，F _NED ＝－9.3kN

（4）作内力图

整理数据，作弯矩图、剪力图、轴力图，如图3-2-111所示。

3-23　图3-2-112所示一三铰刚架，在所示荷载作用下，试：

（a）求支座反力。

（b）求截面D和E的弯矩。

（c）画出压力线的大致形状。

解： 受力分析如图3-2-113所示。

（a）支座反力

对A、B分别取矩，得

F _yB ＝F _yB ⁰ ＝10.5kN（↑），F _yA ＝F _yA ⁰ ＝9.5kN（↑）

取半边结构，对C点取矩，F _xB ＝11.25kN，同样F _xA ＝11.25kN。

（b）D、E弯矩

M _D ＝F _xA ×4＋1/2×1×4 ² －F _yA ×4＝11.25×4＋8－9.5×4＝15kN·m（上侧受拉）

M _E ＝F _yB ×4－F _xB ×4＝10.5×4－11.25×4＝－3kN·m（上侧受拉）

（c）压力线大致如图3-2-114所示。

3-24　图3-2-115所示一抛物线三铰拱，铰C位于抛物线的顶点和最高点。试：

（a）求由铰C到支座A的水平距离。

（b）求支座反力。

（c）求D点处的弯矩。

解： （a）设A点为坐标原点，建立抛物线方程y＝ax ² ＋bx＋c如图3-2-116所示。

根据题目已知条件，求得以下结果

y（0）＝0⇒c＝0

y（25）＝2⇒625a＋25b＝2

y′（x ₀ ）＝0⇒x ₀ ＝－b/（2a）

y（x ₀ ）＝5⇒－b ² /（4a）＝5

可求得C点横坐标x ₀ ＝14.09m（有一根明显大于20，舍弃）。

（b）支座反力

取整体为研究对象，有

∑F _x ＝0⇒F _xA ＝－F _xB

∑F _y ＝0⇒F _yA ＋F _yB ＝20kN

对B取矩，可得

2F _xA ＋20×10＋10×5＝25F _yA

在C点截开，取左边结构有

F _yA ·x ₀ ＝10×（x ₀ －5）＋5F _xA

解得

F _xA ＝－F _xB ＝12.91kN

F _yA ＝11.03kN

F _yB ＝8.967kN

（c）D点弯矩

M _D ＝11.03×5－12.91×y（5）＝18.87kN·m

3-25　参见习题3-21中的三铰拱，试问：

（a）如果改变拱高（设f＝8m），支座反力和弯矩有何变化？

（b）如果拱高和跨度同时改变，但高跨比f/l保持不变，支座反力和弯矩有何变化？

解： （a）分别对支座点求矩，可知竖向支反力跟拱高无关；取半边研究，对跨中取矩，可知横向支反力与拱高成反比，并且弯矩不变。因此，如果改变拱高，F _VA 与F _VB 不改变，水平力F _H 减小一倍，M不变。由此可见，拱端支座的支座反力与拱铰的相对位置无关，拱高的变化只会引起拱端支座横向水平力的改变。

（b）由于高跨比不变，反力的合力是不变的。拱高和跨度增加，距离支座更远，因此受到的弯矩也就更大。因此，如果拱高和跨度同时改变，但高跨比保持不变，支座反力不变，弯矩变大。

3-26　试求图3-2-117所示桁架指定杆的内力。

解： 如图3-2-118所示，杆IJ、GJ依次判断为零杆。

由截面法砍断一部分，取右边部分做分析。

由∑M _B ＝0可得

采用结点法分析F结点，可知N _FG ＝－F _P /2，Na＝－F _P /2，

3-27　用虚位移原理求图3-2-119所示静定结构的指定内力或支座反力。试：

（a）求支座反力F _RC 和F _RF 以及弯矩M _B 和M _C 。

（b）求支座反力F _H 和F _V 以及杆AC的轴力F _N 。

（c）求支座反力F _RC 以及弯矩M _BC 和M _BA 。

（d）求1、2、3杆的轴力F _N1 、F _N2 、F _N3 。

解： （a）求某个内力，即去掉相应的约束，在相应的位置加上一个虚位移，使整个结构产生位移，求出外力对应的虚位移，列虚功方程，求解即可。

① 撤去相应的约束，设C点的虚位移为1，得到如图3-2-120所示的虚位移图，列虚功方程

－20×1/2－10×5/8＋F _yC ×1＝0

求得F _yC ＝16.25kN（↑）。

② 设F点的虚位移为1，得到如图3-2-121所示的虚位移图，列虚功方程

－10×1/2＋F _yF ×1＝0

求得F _yF ＝5kN（↑）。

③ 设B处的虚转角位移为1，得到如图3-2-122所示的虚位移图，列虚功方程

－20×1＋10×1/4＋M _B ×1＝0

求得M _B ＝17.5kN·m。

④ 设C处的虚转角位移为1，得到如图3-2-123所示的虚位移图，列虚功方程

－20×2－10×2＋16.25×4＋M _C ×1＝0

求得M _C ＝－5kN·m。

（b） ① 求F _H

去掉相应的约束，在B处设一个水平虚位移，虚位移图如图3-2-124所示。

设杆的长度为a，AC与水平方向夹角θ，根据几何关系

l＝2acosθ，f＝asinθ

dl＝－2asinθdθ，df＝acosθdθ

代入虚位移量

δ _X ＝dl＝－2asinθdθ，δ ₁ ＝df＝acosθdθ

列虚功方程

－F _H ·δ _X －F _P ·δ ₁ ＝0

解得F _H ＝3F _P /2（←）。

② 求F _V

去掉相应的约束，在B处设一个竖向虚位移，虚位移图如图3-2-125所示。

原理同上，得到几何关系

δ _X ＝d（2f）＝2acosθdθ，δ ₁ ＝df＝acosθdθ

列虚功方程

F _V ·δ _X －δ ₁ ·F _P ＝0

解得F _V ＝F _P /2（↑）。

③ 求F _NAC

去掉相应的约束，产生虚位移，如图3-2-126所示。

几何关系

CD＝－df＝－acosθdθ，C′D＝d（l/2）＝－asinθdθ

列虚功方程

F _P ·CD＋F _NAC ·cosθ·C′D＋F _NAC ·sinθ·CD＝0

解得

（c） ① 求F _yC

作虚位移图，如图3-2-127所示。

左侧是均布荷载，所以采用积分求和。

列虚功方程

解得F _yC ＝0.72ql（↑）。

② 求M _BC

去除相应的约束，作虚位移图，如图3-2-128所示。

列虚功方程

解得M _BC ＝0.72ql ² （下边受拉）。

③ 求M _BA

除去相应的约束，作虚位移图，如图3-2-129所示。

列虚功方程

解得M _BA ＝0.7ql ² （右边受拉）。

（d）如图3-2-130所示，由∑M _C ＝0可得N ₁ ＝－2F _P （压力），由∑M _A ＝0可得R _B ＝1.5F _P （↑），由∑M _E ＝0可得N ₄ ＝－F _P （压力），由∑M _D ＝0可得N ₅ ＝－1.5F _P （压力）。

故

N ₂ ＝F _P /2（拉力）。

*3-28　试求本章例题3-20（图3-2-101）中杆（3）和杆（8）的单杆截面。

解： 略。

*3-29　试求本章例题3-21（图3-2-106）中杆（9）和杆（10）的单杆截面。

解： 略。

*3-30　试求本章例题3-22（图3-2-108）中杆2-8（连接结点2和8）的单杆截面。

解： 略。

*3-31　图3-2-131所示桁架中的第5个结点的水平移动到什么位置可以使杆件（4）有3个单杆截面？

解： 略。

*3-32　试用求解器的智能求解功能求解图3-2-132所示组合结构的各杆内力。若将第2个集中力值改为2，再求解，会遇到什么情况。

解： 略。

*3-33　试用求解器的智能求解功能求解图3-2-133所示组合结构杆件（1）固定端处（结点1）的弯矩。

解： 略。

*3-34　用求解器的自动求解功能试求解a＝2和a＝1.5时的各杆内力，其中a＝2的情况如图3-2-134所示。从结果可以看出，4个复链杆的弯矩在两种情况下改变了正负号。用试算法在区间（1.5，2）内，确定弯矩变号的临界点a0。当a＝a0时，该结构体系是否处于无矩状态，或是其他状态？

解： 略。 8+OYlRZmSszEHZYmxp0i3+f1hJtfPIhl0JHsnzPxdKIQB9e0yJ3deIOiPMImmPGF