第3章

数据的图表展示

一、单项选择题

1 对于大批量的数据，最适合描述其分布的图形是（　　）。 [中国海洋大学2018研]

A．条形图

B．茎叶图

C．直方图

D．饼图

【答案】 C

【解析】 在应用方面，直方图通常适用于大批量数据，茎叶图通常适用于小批量数据。条形图是用宽度相同的条形的高度或长短来表示数据多少的图形；饼图是用圆形及圆内扇形的角度来表示数值大小的图形，它主要用于表示一个样本（或总体）中各组成部分的数据占全部数据的比例。

2 下面哪个图形保留了原始数据的信息？（　　） [对外经济贸易大学2015研]

A．直方图

B．茎叶图

C．条形图

D．箱线图

【答案】 B

【解析】 茎叶图是保留并反映原始数据分布的图形，它由茎和叶两部分构成，其图形是由数字组成的。ACD三项都需要对原始数据进行处理，求得一些测度值之后再作出图形。

3 用于显示时间序列数值型数据，以反映事物发展变化的规律和趋势的图是（　　）。 [重庆大学2013研]

A．直方图

B．箱线图

C．茎叶图

D．线图

【答案】 D

【解析】 如果数值型数据是在不同时间上取得的，即时间序列数据，则可以绘制线图。线图主要用于反映现象随时间变化的特征。

4 雷达图的主要用途是（　　）。 [浙江工商大学2011研、安徽财经大学2012样题]

A．反映一个样本或总体的结构

B．比较多个总体的构成

C．反映一组数据的分布

D．比较多个样本的相似性

【答案】 D

【解析】 雷达图在显示或对比各变量的数值总和时十分有用。假定各变量的取值具有相同的正负号，则总的绝对值与图形所围成的区域成正比。此外，利用雷达图也可以研究多个样本之间的相似程度。

5 美国汽车制造商协会想了解消费者购车时的颜色偏好趋势，抽取新近售出的40辆车并记录其颜色种类（黑、白、红、绿、棕）和深浅类型（亮色、偏淡、中等、偏浓）；你认为以下展示数据的图表中，哪一种不适合用来处理这一样本数据？（　　） [中山大学2011研]

A．散点图

B．饼图

C．条形图

D．频数图

【答案】 A

【解析】 散点图是用二维坐标展示两个变量之间关系的一种图形。它是用坐标横轴代表变量x，纵轴代表变量y，每组数据（x _i ，y _i ）在坐标系中用一个点表示，n组数据在坐标系中形成的n个点称为散点，由坐标及其散点形成的二维数据图称为散点图。它处理的是数值型数据。而BCD三项都可以用来处理分类数据和顺序数据。

6 根据某地6至16岁学生近视情况的调查资料，反映患者的年龄分布可用（　　）。 [中山大学2011研]

A．线图

B．散点图

C．直方图

D．条形图

【答案】 C

【解析】 直方图是用来反映数据分布的直观形式，它的横坐标代表变量分组，纵坐标代表各变量值出现的频数。条形图是用来反映分类数据的，反映数值型数据一般用直方图；散点图反映两个变量间的关系；线图主要用来反映现象随时间变化的特征。

7 一名研究人员希望通过图形来说明4月份以来北京地区二手房租金每天的变化，如下哪个图形最合适？（　　） [中央财经大学2011研]

A．直方图

B．散点图

C．折线图

D．茎叶图

【答案】 C

【解析】 直方图是用于展示分组数据分布的一种图形，它是用矩形的宽度和高度（即面积）来表示频数分布的；散点图是用二维坐标表示两个变量之间关系的一种图形；如果数值型数据是在不同时间上取得的，即时间序列数据，则可以绘制折线图，折线图主要用于反映现象随时间变化的特征。

8 对于100名学生某一门课程的成绩，若想得到四分之一分位数、中位数与四分之三分位数，以下哪种描述统计的办法更有效？（　　） [中山大学2012研]

A．直方图

B．茎叶图

C．饼图

D．点图

【答案】 B

【解析】 直方图、饼图描述的数值型数据是分组数据，而茎叶图描述的是未分组的数值型数据，点图描述的是两个变量之间的关系。茎叶图保留了原始数据的信息，可以计算其分位数。

9 某外商投资企业按工资水平分为四组：1000元以下，1000～1500元；1500～2000元；2000元以上。第一组和第四组的组中值分别为（　　）。 [首经贸2009研]

A．750和2500

B．800和2250

C．800和2500

D．750和2250

【答案】 D

【解析】 根据开口组组距与相邻组组距相同，即均是500，以及第一组的上限是1000，第四组的下限是2000，可得：

第一组的组中值＝1000－500÷2＝750

第四组的组中值＝2000＋500÷2＝2250

10 统计分组的核心问题是（　　）。 [西安交大2006研]

A．选择分组方法

B．确定组数

C．选择分组标志

D．确定组中值

【答案】 C

【解析】 分组标志作为现象总体被划分为各个不同性质的组的标准或根据，选择的正确与否，关系到能否正确地反映总体的性质特征、实现统计研究的目的。

11 组上限是指（　　）。 [江苏大学2009研]

A．每个组的最小值

B．每个组的最大值

C．每个组的中点数值

D．每个组的起点数值

【答案】 B

【解析】 组限是指数列中每个分组两端表示各组界限的变量值。每组有两个组限：数值最小的为组的下限；数值最大的为组的上限。

12 饼图的主要用途是（　　）。

A．反映一个样本或总体的结构

B．比较多个总体的构成

C．反映一组数据的分布

D．比较多个样本的相似性

【答案】 A

【解析】 饼图是用圆形及圆内扇形的角度来表示数值大小的图形。它主要用于表示一个样本（或总体）中各组成部分的数据占全部数据的比例，对于研究结构性问题十分有用。

13 下列各项中，适合于比较研究两个或多个样本或总体的结构性问题的是（　　）。

A．环形图

B．饼图

C．直方图

D．茎叶图

【答案】 A

【解析】 环形图可以同时绘制多个样本或总体的数据系列，每一个样本或总体的数据系列为一个环，样本中的每一部分数据用环中的一段表示。因此，环形图可显示多个样本或总体各部分所占的相应比例。

14 在连续变量或变量值较多的情况下，通常采用的分组方法是（　　）。

A．单变量值分组

B．组距分组

C．等距分组

D．连续分组

【答案】 B

【解析】 在连续变量或变量值较多的情况下，通常采用组距分组。它是将全部变量值依次划分为若干个区间，并将这一区间的变量值作为一组。在组距分组中，一个组的最小值称为下限；一个组的最大值称为上限。

15 在坐标系中，矩形的宽度表示直方图的（　　）。

A．频数

B．组中值

C．组距

D．组限

【答案】 C

【解析】 直方图是用于展示分组数据分布的一种图形，它是用矩形的宽度和高度（即面积）来表示频数分布的，宽度表示各组的组距。绘制该图时，在平面直角坐标系中，用横轴表示数据分组，纵轴表示频数或频率。这样，各组与相应的频数就形成了一个矩形，即直方图。

16 各组的组中值代表组变量值的（　　）。

A．一般水平

B．最高水平

C．最低水平

D．随机水平

【答案】 A

【解析】 组中值是指组距数列每组下限与上限之间中点位置上的数值，近似地代替每组变量值的一般水平。

17 某同学统计学考试成绩为80分，应将其计入（　　）。

A．成绩为80分以下的人数中

B．成绩为70～80分的人数中

C．成绩为80～90分的人数中

D．根据具体情况来具体确定

【答案】 C

【解析】 采用组距分组时，需要遵循不重不漏的原则。不重是指一项数据只能分在其中的某一组，不能在其他组中重复出现。为解决不重的问题，统计分组时习惯上规定“上组限不在内”，即当相邻两组的上下限重叠时，恰好等于某一组上限的变量值不算在本组内，而计算在下一组内。按照不重原则，该同学统计学考试成绩为80分应计入成绩为80～90分的人数中。

18 组距、组限和组中值之间的关系是（　　）。

A．组距＝（上限－下限）÷2

B．组中值＝（上限＋下限）÷2

C．组中值＝（上限－下限）÷2

D．组限＝组中值÷2

【答案】 B

【解析】 组距是一个组的上限与下限的差，组距＝上限－下限。它可根据全部数据的最大值和最小值及所分的组数来确定，即组距＝（最大值－最小值）÷组数。而组中值是指组距数列每组下限与上限之间中点位置上的数值，故B项正确。

19 为描述身高与体重之间是否有某种关系，适合采用的图形是（　　）。

A．雷达图

B．气泡图

C．散点图

D．箱线图

【答案】 C

【解析】 散点图是用二维坐标表示两个变量之间关系的一种图形。题中只有两个变量，即身高和体重，因此可用散点图来描述。A项是显示多个变量之间关系的常用图示方法；B项是展示三个变量之间的关系的图示方法；D项是由一组数据的最大值、最小值、中位数、两个四分位数这五个特征值绘制而成的。

20 为了研究多个不同变量在不同样本间的相似性，适合采用的图形是（　　）。

A．环形图

B．茎叶图

C．雷达图

D．箱线图

【答案】 C

【解析】 雷达图是显示多个变量的常用图示方法，也称为蜘蛛图。雷达图也可以研究多个样本之间的相似程度。

21 5家公司的月销售额（万元）数据分别为：29，26，25，23，23。下列哪种图形不宜用于描述这些数据？（　　）

A．茎叶图

B．散点图

C．条形图

D．饼图

【答案】 B

【解析】 散点图是展示两个变量之间关系的一种图形，而本题中只有一个变量即月销售额数据。

22 与直方图相比，茎叶图（　　）。

A．没保留原始数据的信息

B．更适合描述分类数据

C．不能有效展示数据的分布

D．保留了原始数据的信息

【答案】 D

【解析】 茎叶图类似于横置的直方图。与直方图相比，茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给出每一个原始数值，即保留了原始数据的信息。而直方图虽然能很好地显示数据的分布，但不能保留原始数值。茎叶图适合描述未分组数据。

23 下列图形中，适合描述顺序数据的是（　　）。

A．直方图

B．茎叶图

C．环形图

D．箱线图

【答案】 C

【解析】 顺序数据的图示方法有条形图、帕累托图、饼图、累积频数分布图和环形图等。ABD三项适合描述数值型数据。

24 将某企业职工的月收入依次分为2000元以下、2000元～3000元、3000元～4000元、4000元～5000元、5000元以上几个组。第一组的组中值近似为（　　）。

A．1000

B．1500

C．2000

D．2500

【答案】 B

【解析】 组中值是上限和下限之间的中点数值，它是代表各组标志值一般水平的数值。对于开口组的组距和组中值的确定，一般以其邻近组的组距为准。所以第一组的组中值＝上限－邻组组距/2＝2000－1000/2＝1500。

25 某连续变量的分组中，其末组为开口组，下限为200，又知其邻组的组中值为170，则末组组中值为（　　）。

A．185

B．215

C．230

D．260

【答案】 C

【解析】 缺上限的最大组的组中值＝最大组的下限＋相邻组的组距/2。由题可知，末组相邻组的上限即为末组的下限值200，相邻组的组距/2＝200－170＝30。所以，末组的组中值＝200＋30＝230。

26 统计表的行标题表示各组的名称，一般应写在统计表的（　　）。

A．上方

B．左方

C．右方

D．均可以

【答案】 B

【解析】 统计表一般由四个主要部分组成，即表头、行标题、列标题和数据资料。行标题和列标题通常安排在统计表的第一列和第一行，即统计表的左方和上方，分别表示的是所研究问题的类别名称和变量名称。

二、多项选择题

1 下列哪些图形不适用于品质型数据的频数分布显示？（　　） [东北财经大学2011研]

A．条形图

B．直方图

C．茎叶图

D．箱线图

【答案】 BCD

【解析】 品质型数据的图示方法包括条形图、帕累托图、饼图、环形图等，其中条形图用于显示数据的频数分布；数值型数据的图示方法包括直方图、茎叶图、箱线图、线图、散点图、气泡图、雷达图等，其中直方图用于显示数据的频数分布。

2 在进行统计分析时，需要对获取的数据进行审核，请问以下哪些是需要审核的内容（　　）。 [西安交大2008研]

A．数据的完整性

B．数据的准确性

C．数据的适用性

D．数据的时效性

E．数据的随机性

【答案】 ABCD

【解析】 数据审核就是检查数据中是否有错误。对于通过调查取得的原始数据，主要从完整性和准确性两个方面去审核。完整性审核主要是检查应调查的单位或个体是否有遗漏，所有的调查项目是否填写齐全等；准确性审核主要是检查数据是否有错误，是否存在异常值等。对于通过其他渠道取得的二手数据，应着重审核数据的适用性和时效性。

3 在组距数列中，组距大小与（　　）。

A．全距的大小成正比

B．全距的大小成反比

C．只与全距大小有关

D．组数多少成正比

E．组数多少成反比

【答案】 AE

【解析】 组距＝（最大值－最小值）/组数＝全距/组数，因此组距大小与全距的大小成正比，与组数多少成反比。

4 从形式上看，统计表由（　　）组成。

A．表头

B．行标题

C．列标题

D．数字资料

E．宾词

【答案】 ABCD

【解析】 统计表一般由四个主要部分组成，即表头、行标题、列标题和数字资料。此外，必要时可以在统计表的下方加上表外附加。

5 下列关于数据分组的说法，正确的有（　　）。

A．数据分组的组数一般与数据本身的特点及数据的多少有关

B．对于数据分组的组数并没有什么要求，可以任意分组

C．一般情况下，一组数据所分的组数应不少于5组且不多于15组

D．如果组数太少，数据的分布就会过于集中

E．一般情况下，一组数据所分的组数应大于10组

【答案】 ACD

【解析】 数据分组的主要目的是观察数据的分布特征，因此组数的多少应适中，一般根据数据本身的特点及数据的多少来确定。如果组数太少，数据的分布就会过于集中，组数太多，数据的分布就会过于分散，这些都不便于观察数据分布的特征和规律。一般情况下，一组数据所分的组数应不少于5组且不多于15组。

6 对于分组数据的组中值的计算方法有（　　）。

A．闭口组组中值＝（上限＋下限）/2

B．开口组末组组中值＝下限＋上限/2

C．开口组首组组中值＝上限－下限/2

D．开口组首组组中值＝上限－邻组组距/2

E．开口组末组组中值＝下限＋邻组组距/2

【答案】 ADE

【解析】 组中值，各组的上限和下限之间的中点叫组中值。组中值的计算方法是：

组中值＝（上限＋下限）/2

开口组的组中值计算方式是：

首组的组中值＝最小组的上限－相邻组的组距/2

末组的组中值＝最大组的下限＋相邻组的组距/2

组中值代表着各组内变量值的一般水平，是各组变量值的代表值。

7 一张好的图形应具有的特征是（　　）。

A．显示数据

B．避免歪曲

C．强调数据之间的比较

D．服务于多个目的

E．有对图形的统计和文字说明

【答案】 ABCE

【解析】 一张好的图形应具有以下基本特征：①显示数据；②让读者把注意力集中在图形的内容上，而不是制作图形的程序上；③避免歪曲；④强调数据之间的比较；⑤服务于一个明确的目的；⑥有对图形的统计描述和文字说明。

三、简答题

1 简述直方图与茎叶图的区别。 [对外经济贸易大学2016研]

答：直方图与茎叶图的区别主要表现为：

（1）直方图是用于展示分组数据分布的一种图形，它是用矩形的宽度和高度（即面积）来表示频数分布的。茎叶图是反映原始数据分布的图形，它由茎和叶两部分构成，其图形是由数字组成的。

（2）茎叶图类似于横置的直方图，与直方图相比，茎叶图既能给出数据的分布状况，又能给出每一个原始数值，即保留了原始数据的信息；而直方图虽然能很好地显示数据的分布，但不能保留原始的数值。在应用方面，直方图通常适用于大批量数据，茎叶图通常适用于小批量数据。

2 统计中用以描述品质型数据频数分布的图形主要有哪些？各自有何特点？ [东北财经大学2012研]

答：品质型数据包括分类数据和顺序数据。描述分类数据频数分布的图形主要有条形图、帕累托图、饼图、环形图等；描述顺序数据频数分布的图形除了以上几种，还有累计频数分布图。

条形图是用宽度相同的条形的高度或长短来表示数据多少的图形。条形图可以横置或纵置，纵置时也称为柱形图。此外，条形图有简单条形图、对比条形图等形式。

帕累托图是按各类别数据出现的频数多少排序后绘制的柱形图。通过对柱形图的排序，容易看出哪类数据出现得多，哪类数据出现得少。帕累托图在质量控制研究中有广泛应用。对于不同类型的缺陷、失效方式和其他感兴趣的类，可以用帕累托图观察各个类的影响顺序。

饼图是用圆形及圆内扇形的角度来表示数值大小的图形。它主要用于表示一个样本（或总体）中各组成部分的数据占全部数据的比例，对于研究结构性问题十分有用。

环形图相当于多个饼图的叠加，图中每个样本用一个环来表示，样本中的每一部分数据用环中的一段表示。因此环形图可显示多个样本各部分所占的相应比例，从而有利于对多个样本（或总体）构成的比较研究。

对于顺序数据，还可以计算累积频数和累积频率（百分比）。根据累积频数或累积频率，可以绘制累积频数分布或累积频率分布图。

3 欲调查广州市初中学生的身高情况，随机抽取100名广州市初中学生，测量了身高。

（1）用此例说明这几个统计概念，总体（population），样本（sample），参数（parameter），统计量（statistics）。

（2）请说明如何对这100例身高数据进行描述性统计分析。 [中山大学2011研]

答：（1）总体（population）是包含所研究的全部个体（数据）的集合，它通常由所研究的一些个体组成。本例中的总体是广州市所有初中学生。

样本（sample）是从总体中抽取的一部分元素的集合，构成样本的元素的数目称为样本量（sample size）。本例中的样本是随机抽取的100名广州市初中学生。

参数（parameter）是用来描述总体特征的概括性数字度量，它是研究者想要了解的总体的某种特征值。本例中广州市所有初中学生的平均身高即是一个参数。

统计量（statistic）是用来描述样本特征的概括性数字度量。它是根据样本数据计算出来的一个量，由于抽样是随机的，因此统计量是样本的函数。随机抽取的100名广州市初中学生的平均身高即是一个统计量。

（2）数据的描述性统计方法通常包括三种：统计图、统计表以及数值方法。因为此例中的数据为数值型数据，故可以用直方图、茎叶图、箱线图、频数分布表等对这100例身高数据进行描述性统计分析，还可以计算出该组数据的平均值、中位数和方差、全距等来分别反映其集中趋势和离散程度。

4 在盒子图（箱线图）的作图中，会使用哪些描述指标。 [中央财经大学2011研]

答：箱线图（box plot）是由一组数据的最大值（maximum）、最小值（minimum）、中位数（median）、两个四分位数（quartiles）这五个特征值绘制而成的，它主要用于反映原始数据分布的特征，还可以进行多组数据分布特征的比较。箱线图的绘制方法是：先找出一组数据的最大值、最小值、中位数和两个四分位数，然后，连接两个四分位数画出箱子；再将最大值和最小值与箱子相连接，中位数在箱子中间。

由上面叙述可知，箱线图使用的描述指标有：最大值、最小值、中位数、两个四分位数。

5 何谓统计分组？统计分组有哪些作用？ [西安交大2005研、江苏大学2009研、上海财大2002研]

答：根据统计研究的目的和客观现象的内在特点，按某个标志（或几个标志）把被研究的总体划分为若干个不同性质的组，称为统计分组。

统计分组的作用有：（1）发现社会经济现象的特点与规律；（2）将复杂的社会经济现象划分为性质不同的各种类型；（3）反映总体内部结构；（4）揭示现象之间的依存关系。

6 简述统计分组的原则。 [首经贸2009研、中南财大2002研]

答：科学的统计分组应遵循两个原则：

（1）必须符合“穷尽原则”，即总体中的每一个单位都有组可归，或者说各分组的空间足以容纳总体的所有单位；

（2）必须遵守“互斥原则”，即总体中任一单位只能归属于一组，而不能同时可能归属于几个组。

例如：在对数值型数据进行组距分组时，需要遵循不重不漏的原则。不重是指一项数据只能分在其中的某一组，不能在其他组中重复出现；不漏是指组别能够穷尽，即在所分的全部组别中每项数据都能分在其中的某一组，不能遗漏。

为解决不重的问题，统计分组时习惯上规定“上组限不在内”。即当相邻两组的上下限重叠时，恰好等于某一组上限的变量值不算在本组内，而计算在下一组内。而对于连续变量，可以采取相邻两组组限重叠的方法，根据“上组限不在内”的规定解决不重的问题；也可以对一个组的上限值采用小数点的形式，小数点的位数根据所要求的精度具体确定。

7 统计分组标志选择的原则。 [北京林业大学2004研]

答：在进行统计分组标志选择时要遵循三个原则：

（1）应根据研究目的与任务选择分组标志。同一研究总体，研究的目的不同，可选用的分组标志也不同。

（2）要选用能反映事物本质或主要特征的标志。一般情况下，社会经济现象有多种特征，在选择分组标志时，可以使用这种标志，也可以选择另一种标志，这就需要根据被研究对象的特征，选择主要的、能抓住事物本质的标志进行分组。

（3）要根据现象所处的历史条件及经济条件来选择标志。由于社会是不断发展的，在不同的历史条件与经济条件下，选择的分组标志也不一样，要根据情况的变化而变化。

8 说明条形图和直方图的区别和联系。 [中央财大2009研、人大2001研]

答：（1）条形图与直方图的区别

①条形图是用条形的高度表示各类别频数的多少，其宽度是固定的；直方图是用面积表示各组频数的多少，矩形的高度表示每一组的频数或频率，宽度则表示各组的组距，因此其高度与宽度均有意义。

②由于分组数据具有连续性，直方图的各矩形通常是连续排列，而条形图则是分开排列。

③条形图主要用于展示分类数据，而直方图则主要用于展示数值型数据。

（2）联系

二者都用来展示数据的分布情况；在平面直角坐标系中，二者的横轴都表示分组，纵轴都可表示频数或频率的大小。

四、计算题

1 某班学生统计学期末考试成绩数据如表3-1所示。

表3-1　某班同学统计学期末考试成绩表

（1）绘制频数分布直方图；

（2）填制累积频数分布表；

（3）绘制累积频数分布图；

（4）计算均值、方差及标准差。 [东北财经大学2012研]

解：（1）绘制的频数分布直方图如图3-1所示。

图3-1　某班学生统计学期末考试成绩频数分布图

（2）完整的累积频数分布表如表3-2所示。

表3-2　某班学生统计学期末考试成绩频数分布表

（3）累积频数分布图如图3-2及图3-3所示。

图3-2　某班学生统计学期末考试成绩向上累积频数分布图

图3-3　某班学生统计学期末考试成绩向下累积频数分布图

（4）均值计算过程如表3-3所示。

表3-3　某班学生统计学期末考试成绩平均数计算表

由表3-3及均值计算公式可得

方差计算过程如表3-4所示。

表3-4　某班学生统计学期末考试成绩方差计算表

由表3-4和方差计算公式可得

标准差

2 某位职员每天上班有两种方法：公共交通和自己开车。每种方法所需的时间记录的样本数据如表3-5所示。时间以分钟为单位。

表3-5

（1）哪种方法更好？试解释之。

（2）画出每种方法的箱图。两个箱图的比较结果是否支持你的结论？ [中央财大2004研]

解：（1）公共交通所需时间的平均数与标准差分别为：

自己开车所需时间的平均数与标准差分别为：

两种上班方式所需时间的平均数相等。但是自己开车所需时间的标准差比公共交通所需时间的标准差小，即自己开车比公共交通所需时间的离散程度较小。所以选择自己开车上班较为合理。

（2）将公共交通所需时间从小到大进行排序：25，28，29，29，32，32，33，34，37，41，则最大值为41；最小值为25；中位数＝（32＋32）/2＝32；下四分位数的位置＝（10＋1）/4＝2.75，故下四分位数＝28×0.25＋29×0.75＝28.75；上四分位数的位置＝3×（10＋1）/4＝8.25，故上四分位数＝34×0.75＋37×0.25＝34.75。

同理可得，自己开车所需时间的最大值为35，最小值为29，中位数为32，下四分位数为30.75，上四分位数为33.25。则两种上班方式所需时间的箱图如图3-4所示。