一、计算题

1 某企业的生产需要使用两种要素，其生产技术为f（x ₁ ，x ₂ ）＝（min{x ₁ ，2x ₂ } ^α ），其中x ₁ 和x ₂ 为两种要素的使用量。企业可以同时调整两种要素的投入量。假定产品的市场价格外生给定为p，且w ₁ 和w ₂ 表示外生给定的两种要素的价格。请回答：

（1）该厂商的要素需求函数和利润函数。

（2）为使得本题的解有意义，你需要对参数α施加何种限制？（中国人民大学2019研）

解： （1）由该厂商的生产函数f（x ₁ ，x ₂ ）＝（min{x ₁ ，2x ₂ } ^α ）可知其要素使用原则为x ₁ ＝2x ₂ ，则其产量Q＝f（x ₁ ，x ₂ ）＝x ₁ ^α ＝（2x ₂ ） ^α ，其利润函数为：

π＝pQ－w ₁ x ₁ －w ₂ x ₂ ＝px ₁ ^α －w ₁ x ₁ －w ₂ x ₁ /2

其一阶条件为：dπ/dx ₁ ＝αpx ₁ ^{α － 1} －w ₁ －w ₂ /2＝0；

解得：

故该厂商的要素需求函数为：

利润函数为：

（2）为使得本题的解有意义，参数α需满足以下条件：

① 要素使用量x ₁ ≥0，要素使用量x ₂ ≥0，则α＞0。

② 要素需求是自身价格的减函数，即：

则α＜1。

③ 利润函数是产品价格的增函数，即：∂π/∂p＞0，易得当α＜1时，∂π/∂p＞0恒成立。

综上所示，需要对参数α施加的限制为0＜α＜1。

2 在一个纯交换的经济中有两个人，消费者A和消费者B，市场上有两种商品，即面包x ₁ 和牛奶x ₂ 。两个人的初始禀赋为W ^A ＝（2，5），W ^B ＝（10，15），他们的效用函数分别为u ^A （x ₁ ，x ₂ ）＝x ₁ ^0.6 x ₂ ^0.4 ，u ^B （x ₁ ，x ₂ ）＝x ₁ ＋lnx ₂ 。假设消费者对两种商品的消费都严格大于零。

（1）求解消费者的契约曲线。

（2）求解一般均衡时的价格与资源分配状况（提示：可把一种商品的价格标准化为1）。

（3）假设P ₁ ＝P ₂ ＝1，求出两人对两种商品的需求和两种商品的过剩需求，此时市场出清吗？哪种商品的相对价格偏贵了？（上海财经大学2018研）

解： 为简便符号，设面包为x，牛奶为y，则消费者A和消费者B的效用函数分别为：

u ^A （x，y）＝x _A ^0.6 y _A ^0.4

u ^B （x，y）＝x _B ＋lny _B

（1）由题意知，消费者A和消费者B面临预算约束：x _A ＋x _B ＝2＋10；y _A ＋y _B ＝5＋15。

消费者的契约曲线，又称交换的契约曲线，指的是埃奇沃思盒中，不同消费者的无差异曲线切点的轨迹。在本题中，消费者的契约曲线表示两种产品在两个消费者之间的所有最优分配（即帕累托最优状态）的集合，需满足的条件为：MRS _xy ^A ＝MRS _xy ^B ，即MU _x ^A /MU _y ^A ＝MU _x ^B /MU _y ^B ，即0.6x _A ^{－ 0.4} y _A ^0.4 /（0.4x _A ^0.6 y _A ^{－ 0.6} ）＝1/（1/y _B ），解得：y _B ＝3y _A /（2x _A ）。

则消费者契约曲线为：x _A ＝3y _A /[2（20－y _A ）]（0≤x _A ≤12，0≤y _A ≤20）。

（2）假设面包价格为1，即p _x ＝1，牛奶价格为p，即p _y ＝p。

消费者A的效用最大化条件为：MU _x ^A /MU _y ^A ＝p _x /p _y ，即3y _A /（2x _A ）＝1/p ①

消费者A的预算约束为：p _x x _A ＋p _y y _A ＝2p _x ＋5p _y ，即x _A ＋py _A ＝2＋5p ②

联立 ① ② 可得消费者A的消费选择：x _A ＝3（2＋5p）/5，y _A ＝2（2＋5p）/（5p）。

消费者B的效用最大化条件为：MU _x ^B /MU _y ^B ＝p _x /p _y ，即y _B ＝1/p ③

消费者B的预算约束为：p _x x _B ＋p _y y _B ＝10p _x ＋15p _y ，即x _B ＋py _B ＝10＋15p ④

联立 ③ ④ 可得消费者B的消费选择：x _B ＝9＋15p，y _B ＝1/p。

联立y _A ＝2（2＋5p）/（5p），y _B ＝1/p和y _A ＋y _B ＝5＋15，解得p＝0.1。

则p _x /p _y ＝10，x _A ＝1.5，y _A ＝10，x _B ＝10.5，y _B ＝10。

即一般均衡时，面包价格是牛奶的10倍，消费者A消费1.5单位面包，10单位牛奶，消费者B消费10.5单位面包，10单位牛奶。

（3）由题意知，面包和牛奶价格均为1，即p＝1。

则由（2）可知，消费者A的消费选择：x _A ＝3（2＋5p）/5＝4.2，y _A ＝2（2＋5p）/（5p）＝2.8；

消费者B的消费选择：x _B ＝9＋15p＝24，y _B ＝1/p＝1。

又因为消费者A和消费者B面临预算约束：x _A ＋x _B ＝2＋10，y _A ＋y _B ＝5＋15，所以两人对面包的过剩需求为4.2＋24－（2＋10）＝16.2，对牛奶的过剩需求为2.8＋1－（5＋15）＝－16.2，此时市场不出清，牛奶的相对价格偏贵了。

3 考虑某机场和其附近房地产建造商的问题，机场附近的航班会对居住造成一定程度的不利影响，房地产建造商的利润函数为π _E ＝42y－y ² －xy，飞机场的利润函数为π _A ＝36x－x ² ，x为机场每天起飞的飞机数，y为房地产商建造的房屋量。

（1）求各自利润最大化时的x，y；

（2）现在房地产建造商购买飞机场，求此时利润最大化时的x，y；

（3）建造商和飞机场各自经营，但飞机场给房地产建造商xy补贴，求达到社会最优量时的补贴xy。（上海财经大学2013研）

解： （1）单独经营时，飞机场利润最大化的一阶条件为：dπ _A /dx＝36－2x＝0，解得：x＝18。

此时房地产制造商的利润函数为：

π _E ＝42y－y ² －xy＝42y－y ² －18y＝24y－y ²

其利润最大化的一阶条件为dπ _E /dy＝24－2y＝0，解得y＝12。

（2）若房地产建造商购买飞机场，此时总利润函数为：

π＝π _A ＋π _E ＝36x－x ² ＋42y－y ² －xy

利润最大化的一阶条件为：

∂π/∂x＝36－2x－y＝0

∂π/∂y＝42－2y－x＝0

解得：x＝10，y＝16。

（3）若飞机场给房地产补贴xy，此时房地产制造商的利润函数为：π _E ＝42y－y ² ，利润最大化的一阶条件为：dπ _E /dy＝42－2y＝0，解得y＝21。

此时飞机场的利润函数变为：

π _A ＝36x－x ² －xy＝36x－x ² －21x＝15x－x ²

飞机场利润最大化的一阶条件为dπ _A /dx＝15－2x＝0，解得x＝7.5。

故达到社会最优量时的补贴为：xy＝7.5×21＝157.5。

4 假定两个人，初始财富是w _i ，两人同时决定向公共项目贡献c _i ，剩下的w _i －c _i 用于私人消费，福利函数为u _i ＝v _i （c ₁ ＋c ₂ ）＋w _i －c _i ，i＝1，2。

（1）社会福利函数为u＝u ₁ ＋u ₂ ，v ₁ （c ₁ ＋c ₂ ）＝3（c ₁ ＋c ₂ ）/4，v ₂ （c ₁ ＋c ₂ ）＝3（c ₁ ＋c ₂ ）/2，求社会最优资源配置以及公共贡献总量。

（2）如果两人同时决定贡献量，找出纯策略纳什均衡，计算均衡下公共项目总量，并判断是否最好以及为什么会产生这种结果。（上海财经大学2011研）

解： （1）社会福利函数为：

u＝u ₁ ＋u ₂ ＝3（c ₁ ＋c ₂ ）/4＋w ₁ －c ₁ ＋3（c ₁ ＋c ₂ ）/2＋w ₂ －c ₂ ＝5（c ₁ ＋c ₂ ）/4＋w ₁ ＋w ₂

很显然，社会福利函数是c _i 的增函数，因此社会福利函数最大化的条件就是c ₁ ＝w ₁ 和c ₂ ＝w ₂ ，公共贡献总量为w ₁ ＋w ₂ 。

（2）如果两人同时决定贡献量，对于第一个人来说，因为其福利函数为u ₁ ＝3（c ₁ ＋c ₂ ）/4＋w ₁ －c ₁ ＝－c ₁ /4＋3c ₂ /4＋w ₁ ，所以他的最佳选择就是自己不作贡献，而不管对方贡献多少。但是，对于第二个人来说，因为其福利函数为u ₂ ＝3（c ₁ ＋c ₂ ）/2＋w ₂ －c ₂ ＝3c ₁ /2＋c ₂ /2＋w ₂ ，所以他的最佳选择就是把财富全部贡献出来，而不管对方贡献多少，因此纯策略纳什均衡为c ₁ ＝0和c ₂ ＝w ₂ ，公共贡献总量为w ₂ 。

当然这对于公共项目来说不是最好结果，最好结果就是（1）的结果，但是由于非合作博弈，个人理性占据上风以及个人忽视了公共项目的有益的外部性，所以结果只能是这一纯策略纳什均衡。

5 有相邻的一个果园A和一个养蜂场H，单位水果价格为2，单位蜂蜜价格为4。果农的成本函数为C _A （A，H）＝A ² /100－4H，蜂蜜成本函数为C _H （A，H）＝H ² /100－6A。

（1）他们各自决策，那么他们的最优产量各是多少？

（2）如果合并，那么最大利润是多少？合并之和的产量分别是多少？（上海财经大学2010研）

解： （1）设果农的产量为Q _A ，蜂农的产量为Q _H ，则果农的利润函数为：

π _A ＝2Q _A －C _A （A，H）＝2Q _A －Q _A ² /100＋4Q _H

利润最大化的一阶条件为：dπ _A /dQ _A ＝0，得：2－Q _A /50＝0。

解得：Q _A ＝100。

同理，蜂农的利润函数为：

π _H ＝4Q _H －C _H （A，H）＝4Q _H －Q _H ² /100＋6Q _A

利润最大化的一阶条件为：dπ _H /dQ _H ＝0，得：4－Q _H /50＝0。

解得：Q _H ＝200。

即如果他们各自决策，果农和蜂农的最优产量分别是100和200。

（2）合并后的利润函数为：

π＝π _A ＋π _H ＝2Q _A －Q _A ² /100＋4Q _H ＋4Q _H －Q _H ² /100＋6Q _A ＝8Q _A －Q _A ² /100＋8Q _H －Q _H ² /100

利润最大化的一阶条件为：

解得：Q _A ＝Q _H ＝400。

将Q _A ＝Q _H ＝400代入合并后的利润函数π＝8Q _A －Q _A ² /100＋8Q _H －Q _H ² /100，可得：

π＝8×400－400 ² /100＋8×400－400 ² /100＝3200

6 假设一个村庄的村长决定修建村里的道路。但他不知道村民对修建交通道路的估价。修筑道路的成本C与道路的长度x有关，且C（x）＝x ² /2。每个村民的边际意愿支付为P（x）＝1－x。

（1）确定所修建道路的最优长度的条件是什么？如果村民的人数为1000人，那么该村应修建多长的道路？

（2）假设修建道路的成本是固定的，且C（x）＝500。那么当村民人数为多少时才应该实施修路工程？（上海财经大学2008研）

解： （1）如果公共物品按可变数量提供，提供帕累托有效公共物品量的必要条件为：边际支付意愿之和等于公共物品的边际成本。所以，确定所修建的道路的最优长度的条件是所有村民的边际支付意愿之和等于修筑道路的边际成本。如果村民的人数为1000人，最优的道路长度为：1000（1－x）＝MC（x）＝x。

解得：最优的道路长度x＝1000/1001。

（2）在道路修建成本固定条件下，当村民的边际支付意愿之和大于或等于总成本，则修建道路是合意的。因此，设村民人数为n时修建道路，则应满足n（1－x）≥C（x）＝500，解得：n≥500/（1－x）。所以，当村民人数在500/（1－x）及以上时才应该实施修路工程。

7 市场有两个行业，服装行业和钢铁行业，服装行业的生产函数为y _c ＝l _c ，钢铁行业生产函数为y _s ＝24l _s ^0.5 －2l _s ，l _c 与l _s 分别是服装与钢铁行业的劳动人数。市场总人数为25，而且所有人都会进入某个行业，假设服装行业与钢铁行业都是完全竞争行业，产品价格都是1。

（1）假定劳动市场完全竞争，求l _c 和l _s 以及均衡工资。

（2）假定钢铁工人组成一个强大的工会，拥有垄断权力向钢铁行业提供劳动，工会的目标是使本行业工人总收入最大化，求l _c 和l _s 以及钢铁行业和服装行业的工资。

（3）假定两个行业的工人共同组成一个强大的工会，可以垄断的向两个行业提供劳动，工会的目标是使所有工人总收入最大化，求l _c 和l _s 以及两个行业的工资。（上海财经大学2011研）

解： （1）因为劳动市场完全竞争均衡，故设服装行业和钢铁行业的工资为w _c ＝w _s ＝w，服装行业的生产函数为y _c ＝l _c ，所以服装行业工人的边际产量MP＝1，因为产品价格为1，所以服装行业工人的边际产品价值VMP＝P·MP＝1，又因为劳动市场完全竞争，所以有VMP＝w _c ＝w _s ＝w＝1。

对于钢铁行业，工人的边际产量MP＝12l _s ^{－ 0.5} －2，边际产品价值VMP＝P·MP＝12l _s ^{－ 0.5} －2＝1，所以得l _s ^{－ 0.5} ＝1/4，因此l _s ＝16；因为l _s ＋l _c ＝25，所以l _c ＝9。

（2）此时服装行业因为没有发生变化，所以VMP＝w _c ＝1，但是钢铁行业发生了变化，产品市场依然是完全竞争市场而劳动市场不再是完全竞争市场，钢铁行业利润函数为π _s ＝p _s y _s －l _s w _s ＝24l _s ^0.5 －2l _s －l _s w _s ，假如给定了钢铁行业工人的工资，则根据利润最大化的一阶条件，有：

π _s /dl _s ＝12l _s ^{－ 0.5} －2－w _s ＝0⇒w _s ＝12l _s ^{－ 0.5} －2

可以把上式看成是钢铁行业对工人工资的一个反应函数。

此时工会的目标是最大化收入函数R _s ＝l _s w _s ，把反应函数w _s ＝12l _s ^{－ 0.5} －2代入该目标函数，得：

R _s ＝l _s （12l _s ^{－ 0.5} －2）＝12l _s ^0.5 －2l _s

则根据收入最大化的一阶条件，有：

dR _s /dl _s ＝6l _s ^{－ 0.5} －2＝0⇒l _s ＝9

因为l _s ＋l _c ＝25，所以l _c ＝16。

此时钢铁行业的工人工资为w _s ＝12l _s ^{－ 0.5} －2＝2。

（3）此时工会的目标函数是π＝l _c w _c ＋l _s w _s ，服装行业利润函数为π _c ＝p _c y _c －l _c w _c ＝l _c －l _c w _c ，利用利润最大化可求得w _c ＝l，钢铁行业利润函数为：π _s ＝p _s y _s －l _s w _s ＝24l _s ^0.5 －2l _s －l _s w _s ，利用利润最大化可求得w _s ＝12l _s ^{－ 0.5} －2。

注意到l _s ＋l _c ＝25，于是工会的目标函数变为：

π＝l _c w _c ＋l _s w _s ＝25－l _s ＋l _s （12l _s ^{－ 0.5} －2）＝12l _s ^0.5 －3l _s ＋25

根据一阶条件得l _s ＝4。

因为l _s ＋l _c ＝25，所以l _c ＝21。

此时钢铁行业的工人工资为w _s ＝12l _s ^{－ 0.5} －2＝4。

8 某产品市场中存在很多的消费者，而生产该产品的企业只有两家，企业A和企业B，这两家企业生产完全相同的产品，固定成本均为0，企业A的边际成本为10，企业B的边际成本为14，已知该市场的需求函数为线性，且当价格P为20时，需求量Q _D 为100，需求价格弹性为－0.2。

（1）求该市场的需求函数。

（2）如果两家企业进行古诺竞争，此时市场的均衡价格与均衡产出是多少？

（3）如果企业A先做产出决策，在预测到企业A的决策之后，企业B再进行产出决策，此时市场的均衡价格与均衡产出是多少？两家企业的产出分别多少？（清华大学2015研）

解： （1）设该市场的需求函数为P＝a－bQ _D ，由“当价格P为20时，需求量Q _D 为100，需求价格弹性为－0.2”，可得下列方程组：

解得：a＝120，b＝1。因此该市场的需求函数为P＝120－Q _D 。

（2）若两家企业进行古诺竞争，则企业A的利润函数为

π _A ＝Pq _A －c（q _A ）＝（120－q _A －q _B ）q _A －10q _A

其利润最大化的一阶条件为∂π _A /∂q _A ＝110－2q _A －q _B ＝0，所以企业A的反应函数为q _A ＝55－0.5q _B ；

企业B的利润函数为：

π _B ＝Pq _B －c（q _B ）＝（120－q _A －q _B ）q _B －14q _B

其利润最大化的一阶条件为∂π _B /∂q _B ＝106－2q _B －q _A ＝0，所以企业B的反应函数为q _B ＝53－0.5q _A ；

联立企业A、B的反应函数得：q _A ＝38，q _B ＝34；此时市场的均衡价格为P＝48，均衡产出为Q _D ＝72。

（3）如果企业A先做产出决策，则企业A为领导者，企业B为追随者，由（2）知B的反应函数为q _B ＝53－0.5q _A ，将其代入领导者A的利润函数可得

π _A ＝（120－q _A －q _B ）q _A －10q _A ＝（120－q _A －53＋0.5q _A ）q _A －10q _A ＝（67－0.5q _A ）q _A －10q _A

其利润最大化的一阶条件为：∂π _A /∂q _A ＝57－q _A ＝0，解得：q _A ＝57；

代入B的反应函数得：q _B ＝24.5；

此时，市场的均衡产出为Q _D ＝81.5，均衡价格为P＝38.5。

9 在某一座10万人口的城市，政府发了1000辆出租车经营牌照。为了模型的简便，我们设每辆出租车每天固定载客运行300公里，每天运行的成本（包括汽车折旧、司机劳动力投入和汽油等等）是300元。设该城市中每人每天对出租车的需求函数是p＝32－10q，其中q为坐出租车出行的公里数，p为每公里的价格。假设出租车市场是完全竞争的。

（1）试计算当地出租车市场的均衡价格（每公里价格）以及数量（总里程数）。

（2）设每一年365天，一辆出租车每天都按上述的情况在跑，人们对未来收益的年折现率是10%，求每块出租车经营牌照的价格。（北京大学2015研）

解： （1）由每人每天对出租车的需求为p＝32－10q即q＝3.2－0.1p，可知该城市每天对出租车的需求为：

1000辆出租车每天载客运行300×1000＝300000公里；由完全竞争市场的均衡条件，可知当地出租车市场的均衡数量为Q ^e ＝300000，代入需求函数可得：均衡价格为p ^e ＝2（元）。

（2）每辆出租车每年利润为

由未来收益的年折现率是10%，可知每辆出租车未来收益的现值为π/10%＝109500/0.1＝1095000；因此，每块出租车经营拍照的价格为1095000元。

10 棉花市场需求函数为Q _d ＝10－2p，供给函数为Q _s ＝3p－5，政府为了保护棉农利益，决定采取适当政策。

（1）政府决定制定最低价格，并决定按照最低p＝4收购市场上剩余棉花，求政策前后供给量与需求量的变化量以及政府需要采购的数量。

（2）计算政策实行前后消费者剩余以及生产者剩余的变化、政府采购的成本。

（3）政府决定将最后价格政策改为对棉农补贴。棉农每销售一单位棉花，政府对其补贴s元，请确定s使生产者利益和实行最低价格时相同以及政府的成本。（上海财经大学2011研）

解： （1）根据市场均衡条件Q _d ＝Q _s 可以求得政府决定制定最低价格之前的均衡价格和均衡数量，有10－2p＝3p－5，均衡价格为p ^* ＝3，均衡数量Q ^* ＝4。

政府制定最低价格p＝4后需求量变为Q _d ＝10－2×4＝2，减少了2，供给量变为Q _s ＝3×4－5＝7，增加了3，市场的剩余量为5，所以政府需要购买5个单位的棉花。

（2）需求函数和供给函数如图1所示。

政策实行后，消费者剩余减少，减少的数量为梯形D ₁ D ₂ P ^* E的面积，EP ^* ＝OQ ^* ＝4，D ₁ D ₂ ＝OD _d ＝2，P ^* D ₂ ＝1，则消费者剩余减少（4＋2）×1×1/2＝3。

政策实行后，生产者剩余增加，增加的数量为梯形D ₂ S ₁ EP ^* 的面积，D ₂ S ₁ ＝OD _s ＝7，EP ^* ＝OQ ^* ＝4，则生产者剩余增加（4＋7）×1×1/2＝5.5。

政府采购的成本为：4×5＝20。

（3）由于政府对每单位的棉花生产补贴s，设消费者最终实际支付的价格为P _d ，生产者最终实际得到的价格为P _s ，则有P _d ＋s＝P _s ，并且由最终供求均衡10－2P _d ＝3P _s －5。

再由实行价格补贴与最低价格时生产者剩余相同可知：

解方程组得，P _s ＝4，s＝2.5。

所以，当政府为每单位的棉花生产补贴2.5时，生产者的利益和实行最低价格时相同，此时，政府的成本为2.5×7＝17.5。

11 已知某产品的生产函数为f（x ₁ ，x ₂ ）＝[min（x ₁ ，x ₂ ）] ^α ，α＞0，x ₁ ，x ₂ 为生产要素，生产要素的价格为w ₁ ＝10，w ₂ ＝20，p＝50，p为产品价格。

（1）求规模报酬递增、规模报酬不变、规模报酬递减情况下的取值范围。

（2）求利润最大化时x ₁ ，x ₂ 的要素需求函数。

（3）求成本函数。

（4）前面的（2）、（3）问如何依赖于α的取值。（北京大学2015研）

解： （1）设λ＞1。

f（λx ₁ ，λx ₂ ）＝[min（λx ₁ ，λx ₂ ）] ^α ＝λ ^α [min（x ₁ ，x ₂ ）] ^α ＝λ ^α f（x ₁ ，x ₂ ）

规模报酬递增时，f（λx ₁ ，λx ₂ ）＞λf（x ₁ ，x ₂ ），α＞1；

规模报酬不变时，f（λx ₁ ，λx ₂ ）＝λf（x ₁ ，x ₂ ），α＝1；

规模报酬递减时，f（λx ₁ ，λx ₂ ）＜λf（x ₁ ，x ₂ ），α＜1。

（2）设产量为Q，则Q＝f（x ₁ ，x ₂ ）。

由题意知，该生产函数是完全互补型生产函数，厂商的要素使用原则是：Q＝x ₁ ^α ＝x ₂ ^α ，则x ₁ ＝x ₂ ＝Q ^1/α 。

厂商利润函数为：π＝pQ－w ₁ x ₁ －w ₂ x ₂ ＝px ₁ ^α －w ₁ x ₁ －w ₂ x ₁ ；

其一阶条件为：dπ/dx ₁ ＝pαx ₁ ^{α － 1} －w ₁ －w ₂ ＝0；

解得：x ₁ ＝[（w ₁ ＋w ₂ ）/（pα）] ^{1/ （ α － 1 ）} ，则x ₂ ＝x ₁ ＝[（w ₁ ＋w ₂ ）/（pα）] ^{1/ （ α － 1 ）} 。

这就是利润最大化时x ₁ ，x ₂ 的要素需求函数。

（3）成本函数为：C＝w ₁ x ₁ ＋w ₂ x ₂ ＝（w ₁ ＋w ₂ ）Q ^1/α ，这就是成本函数。

（4）由（2）可知：

等式两端对α求导，得：

化简，得：

因为α＞0，所以当0＜α≤0.5时，dx ₁ /dα≥0，x ₁ ，x ₂ 的要素需求函数随α增大而增大；当α＞0.5时，dx ₁ /dα＜0，x ₁ ，x ₂ 的要素需求函数随α增大而减小。

由（3）可知，dC/dα＝（w ₁ ＋w ₂ ）Q ^1/α lnQ×（－1/α ² ）＜0恒成立，所以成本函数随α增大而减小。

12 考虑一个有三家公司各自生产产品参加的博弈。如果每家公司i选择自己公司商品的价格P _i ∈[0，＋∞），那么这家公司的销售数量是 ，边际成本为c _j ＞0。请计算每家企业的商品价格以及获得的利润。（北京大学2018研）

解： 依题，三家企业进行价格博弈，故必有k＞0（否则三种商品之间不存在替代关系，三家厂商之间不存在博弈）。考虑博弈进行一期、有限期、无限期三种情况。

（1）博弈只进行一期。三家企业同时决定价格以最大化自己的利润（由于固定成本在短期内不影响企业的生产决策，此处不用考虑固定成本问题）。

设三家公司选择的价格分别为P ₁ ，P ₂ ，P ₃ ；利润分别为π ₁ ，π ₂ ，π ₃ ；总成本分别为C ₁ ，C ₂ ，C ₃ 。

显然π ₁ ＝P ₁ （1－P ₁ ＋kP ₂ ＋kP ₃ ）－C ₁ ，π ₂ ＝P ₂ （1－P ₂ ＋kP ₁ ＋kP ₃ ）－C ₂ ，π ₃ ＝P ₃ （1－P ₃ ＋kP ₁ ＋kP ₂ ）－C ₃ 。

三家公司利润最大化的一阶条件分别为：

∂π ₁ /∂P ₁ ＝1－2P ₁ ＋kP ₂ ＋kP ₃ ＋c ₁ ＝0 ①

∂π ₂ /∂P ₂ ＝1－2P ₂ ＋kP ₁ ＋kP ₃ ＋c ₂ ＝0 ②

∂π ₃ /∂P ₃ ＝1－2P ₃ ＋kP ₁ ＋kP ₂ ＋c ₃ ＝0 ③

三式相加得到P ₁ ＋P ₂ ＋P ₃ ＝（3＋c ₁ ＋c ₂ ＋c ₃ ）/（2－2k），由于P _i ＞0，故必有k＜1（这排除了产品完全同质的情况）。联立 ① ② ③ ，得每家企业的商品价格：

于是每家企业的产量为：

进而可以解得每家企业的利润为：

（2）博弈进行有限期。运用逆向归纳法，最后一期三家企业进行同时定价博弈，与只进行一期相同；倒数第二期三家企业的博弈仍旧与只进行一期相同，以此类推。所以进行有限期价格博弈的均衡结果与只进行一期相同。

（3）博弈进行无限期。由于0＜k＜1，故厂商进行的是差异化价格竞争，不可能出现厂商合谋获取垄断利润的情况，因此长期内厂商之间的竞争行为仍有可能是一期博弈行为。

13 在某一座10万人口的城市，政府发了1000辆出租车经营牌照。为了模型的简便，我们设每辆出租车每天固定载客运行300公里，每天运行的成本（包括汽车折旧、司机劳动力投入和汽油等等）是300元。设该城市中每人每天对出租车的需求函数是p＝32－10q，其中q为坐出租车出行的公里数，p为每公里的价格。假设出租车市场是完全竞争的。

（1）试计算当地出租车市场的均衡价格（每公里价格）以及数量（总里程数）。

（2）设每一年365天，一辆出租车每天都按上述的情况在跑，人们对未来收益的年折现率是10%，求每块出租车经营牌照的价格。（北京大学2015研）

解： （1）由每人每天对出租车的需求为p＝32－10q，即q＝3.2－0.1p，可知该城市每天对出租车的需求为Q＝100000q＝320000－10000p；

1000辆出租车每天载客运行300×1000＝300000公里；

由完全竞争市场的均衡条件，可知当地出租车市场的均衡数量为Q ^e ＝300000，代入需求函数可得：均衡价格为p ^e ＝2（元）。

（2）每辆出租车每年利润为π＝365×（p ^e q ^e －C）＝365×（2×300－300）＝109500（元）。

由未来收益的年折现率是10%，可知每辆出租车第二年收益的现值为109500×10%＝10950（元）。

因此，每块出租车经营拍照的价格为10950元/年。

14 假设有一家企业生产桌子，需要资本和劳动力两种生产要素，分别用K，L表示，资本和劳动力的单价均为10元，生产函数为f（K，L）＝K ^1/3 L ^1/3 。

（1）这家企业决定生产y张桌子，那么它的最小花费是多少？

（2）如果企业是处于完全竞争的市场环境中，桌子的单价是每张120元，那么它应该生产多少张桌子？

（3）如果企业处于垄断的市场环境中（即市场只有上述企业一家），反需求函数为P＝120－20D ^1/2 。D表示市场需求量，那么它应该生产多少张桌子？（上海财经大学2015研）

解： （1）构造拉格朗日函数：F＝10K＋10L＋λ（K ^1/3 L ^1/3 －y）；

其一阶条件是：

∂F/∂K＝10＋（λK ^{－ 2/3} L ^1/3 ）/3＝0

∂F/∂L＝10＋（λK ^1/3 L ^{－ 2/3} ）/3＝0

∂F/∂λ＝K ^1/3 L ^1/3 －y＝0

解得：K＝L＝y ^3/2 。

故生产y张桌子的最小花费是TC＝10K＋10L＝20y ^3/2 。

（2）由TC＝20y ^3/2 可得边际成本MC＝dTC/dy＝30y ^1/2 。

完全竞争企业利润最大化条件是MC＝P，即30y ^1/2 ＝120，解得：y＝16。

即该企业应该生产16张桌子。

（3）由题意知，垄断厂商的利润函数为：π＝PD－TC＝（120－20y ^1/2 ）y－20y ^3/2 ；

其一阶条件是：dπ/dy＝120－30y ^1/2 －30y ^1/2 ＝0；

解得：y＝4。

即该企业应该生产4张桌子。

15 在上海财经大学，某书籍的反需求函数是P＝520－8Q，反供给函数是P＝20＋2Q，政府要向卖家每本书征收50元的税收。

（1）分别求出征税前的销量和征税后的销量；

（2）求出征税后，对于每卖出一本书，买家的税负和卖家的税负；

（3）求出征税后，消费者剩余、生产者剩余以及税收引起的额外损失。（上海财经大学2015研）

解： （1） ① 征税前：联立反需求函数P＝520－8Q和反供给函数P＝20＋2Q，解得：Q＝50，P＝120。

② 征税后：联立反需求函数P ^d ＝520－8Q，反供给函数P ^s ＝20＋2Q和P ^d ＝P ^s ＋50，解得：Q＝45，P ^s ＝110，P ^d ＝160。

综上所述，征税前的销量为50，征税后的销量为45。

（2）征税后，每卖出一本书，卖家的税负为160－120＝40，买家的税负为50－40＝10。

（3）征税后，消费者剩余为CS＝（520－160）×45/2＝8100，生产者剩余PS＝（110－20）×45/2＝2025，税收引起的额外损失为deadweight loss＝（50－45）×50/2＝125。

16 假设在咖啡市场中，只有两家企业，这两家企业生产一样的咖啡，我们用1和2表示这两家企业。这两个企业进行生产的边际成本恒定为10（即生产每一额外单位的咖啡的额外成本总是10）。现在假设咖啡市场的年需求为D（p）＝100－p，其中p代表市场价格，D（p）为市场需求。

（1）用y ₁ 表示企业1的年产量，用y ₂ 表示企业2的年产量。假设两个企业同时决定产量（即考虑古诺模型），那么在均衡时，每个企业应该生产多少？

（2）用p ₁ 表示企业1设置的价格，用p ₂ 表示企业2设置的价格，假设两个企业同时确定价格（即考虑伯特兰模型），则在均衡时，两个企业分别会设置什么样的价格？请解释你的结果。

（3）假设两个企业可以串谋起来决定整个市场总产量，然后各自生产这总产量的一半，那么每个企业应该生产多少？

（4）请解释为什么串谋的形式是不稳定的。且如果企业之间不能相互监督对方的产量的话，那么每个企业都有动机通过改变自己的串谋产量（即前一问中所求出的产量）来增加自己的利润？（上海财经大学2016研）

解： （1）企业1的利润函数是：π ₁ ＝[100－（y ₁ ＋y ₂ ）]y ₁ －10y ₁ ；

其一阶条件是：∂π ₁ /∂y ₁ ＝100－2y ₁ －y ₂ －10＝0；

整理得企业1的产量对企业2产量的反应函数：y ₁ ＝45－0.5y ₂ 。

同理可得企业2的产量对企业1产量的反应函数：y ₂ ＝45－0.5y ₁ 。

联立两反应函数可得古诺均衡时的产量：y ₁ ＝y ₂ ＝30。

（2）当企业1定价为p ₁ ＝10＋ε ₁ （ε ₁ ＞0）时，企业2只要定价为p ₂ ＝10＋ε ₂ （0≤ε ₂ ＜ε ₁ ）就可以获得全部市场份额。若ε ₂ ≠0，企业1只要降价至p ₁ ＝10＋ε ₃ （0≤ε ₃ ＜ε ₂ ）就可以获得全部市场份额。以此类推。伯特兰模型均衡时，两个企业均定价为边际成本10。

（3）串谋后的总利润函数为：π＝（100－y）y－10y；

利润最大化的一阶条件为：dπ/dy＝100－2y－10＝0；

解得：y＝45。

则y ₁ ＝y ₂ ＝22.5，即每个企业应该生产22.5。

（4）在串谋的形式下，若两个企业都合作（不改变自己的串谋产量），可获得利润π ₁ ＝π ₂ ＝1012.5。

若一个企业（以企业2为例）合作（不改变自己的串谋产量），另一个企业（以企业1为例）不合作（改变自己的串谋产量），那么不合作的企业利润函数为：π ₁ ＝[100－（y ₁ ＋22.5）]y ₁ －10y ₁ ；

其一阶条件是：∂π ₁ /∂y ₁ ＝100－2y ₁ －22.5－10＝0；

解得：y ₁ ＝33.75。

则不合作的企业利润为：π ₁ ＝1139.0625＞1012.5。

即在博弈相对方产量不变的前提下，企业改变自己的串谋产量可以增加利润。这意味着每个企业都具有占优策略：不合作，该博弈的均衡是占优策略均衡：博弈参与者都不合作。因此，串谋的形式是不稳定的。

17 假设一个企业生产衣服，需要两种投入要素：资本和劳动力。该企业的生产函数为f（K，L）＝K ^1/4 L ^1/4 ，其中K和L分别表示这个企业在资本和劳动力上的投入量，假设资本和劳动的单价分别为40元和10元。

（1）若企业决定生产y件衣服，那么需要花费的最小成本是多少？

（2）假设该企业处在一个完全竞争的市场环境中，若该企业所生产的衣服的市场价格为p元每件，这个企业应该生产多少件衣服？（提示：生产的衣服的数量是关于p的函数）

（3）我们进一步假设在该完全竞争的市场中有800个企业，所有企业都生产相同的衣服，并且所有这些企业的生产技术都一样，即每个企业的生产函数都是f（K，L）＝K ^1/4 L ^1/4 。同时该衣服的市场反需求函数为p＝800－D/10，其中D表示市场的总需求，试求出当市场处于均衡时，该衣服的市场价格为多少？每个企业卖出的衣服数量是多少？（上海财经大学2016研）

解： （1）构造拉格朗日函数：Φ＝40K＋10L＋λ（y－K ^1/4 L ^1/4 ）；

其一阶条件是：

∂Φ/∂K＝40－λK ^{－ 3/4} L ^1/4 /4＝0；

∂Φ/∂L＝10－λK ^1/4 L ^{－ 3/4} /4＝0；

∂Φ/∂λ＝y－K ^1/4 L ^1/4 ＝0；

解得：L＝2y ² ，K＝0.5y ² 。

则企业生产y件衣服需要花费的最小成本是：C＝40K＋10L＝20y ² ＋20y ² ＝40y ² 。

（2）完全竞争厂商利润最大化条件为p＝MC＝80y，则这个企业应该生产y＝p/80件衣服。

（3）由题意知，该衣服的市场供给为S＝800y＝800×p/80＝10p，市场需求为D＝8000－10p，解S＝D，得：p＝400，则y＝p/80＝5。

即当市场处于均衡时，该衣服的市场价格为400，每个企业卖出的衣服数量是5。

18 考虑一个双寡头古诺模型，P和Q分别表示市场价格和产品销售总量；q ₁ 和q ₂ 分别表示厂商1和厂商2的产量；MC表示厂商生产的边际成本，假设两个厂商生产的产品完全同质。

（1）如果两个厂商的生产均面临不变的边际成本1/2，且反需求曲线为P＝1－Q，则均衡时两个企业的产量分别是多少？

（2）如果两个厂商同质，且在均衡价格上的需求弹性（以绝对值定义）为2，那么均衡时厂商的价格加成率是多少？

（3）如果均衡价格上的需求价格弹性仍为2，而均衡时行业的HHI指数（即每个企业占有总市场份额的平方和s ₁ ² ＋s ₂ ² ）为0.68，以企业市场份额为权重计算的行业平均价格加成率为多少？（价格加成率以勒纳指数（P－MC）/P度量）（中国人民大学2016研）

解： （1）厂商1的利润函数为：π ₁ ＝TR ₁ －TC ₁ ＝[1－（q ₁ ＋q ₂ ）]q ₁ －q ₁ /2＝－q ₁ ² －q ₁ q ₂ ＋q ₁ /2。

利润函数对q ₁ 求导，可以得到厂商1的反应函数为：2q ₁ ＋q ₂ ＝1/2；

同理可以得到厂商2的反应函数为：2q ₂ ＋q ₁ ＝1/2。

将两个反应函数联立可以得到均衡时两个企业的产量：q ₁ ＝1/6，q ₂ ＝1/6。

（2）古诺竞争下，厂商利润最大化的边际条件为：MR _i ＝MC _i 。

于是，MC _i ＝MR _i ＝P（1－s _i /e）。

整理得到：（P－MC _i ）/P＝s _i /e。

由e＝2，且两个厂商生产的产品完全同质有：s ₁ ＝s ₂ ＝0.5，从而均衡下的厂商价格加成率为：（P－MC _i ）/P＝s _i /e＝0.5/2＝0.25。

（3）若赫芬达尔指数（HHI指数）为s ₁ ² ＋s ₂ ² ＝0.68，则行业的价格加成率为：

19 某消费者的效用函数为U＝（x ₁ ，x ₂ ）＝x ₁ ^1/3 x ₂ ^2/3 ，x ₁ 和x ₂ 分别为两种商品的消费量，消费者收入为100，两种商品现在价格分别为P ₁ ＝1，P ₂ ＝2，求：

（1）消费者最优消费的x ₁ 和x ₂ 量。

（2）如果第一种商品价格由1提高为2，其他因素不变，则价格上升对第一种商品的消费量影响的总效应有多少？按照Slutsky分解原理，收入效应和替代效应分别是多少？

（3）计算第一种商品价格从1变化为2，要保持原有效应不变的收入补偿数额。（中国人民大学2017研）

解： （1）由题意知，消费者的效用函数为U＝x ₁ ^1/3 x ₂ ^2/3 ，预算约束为：x ₁ ＋2x ₂ ＝100。

因此可以建立拉格朗日方程：ϕ＝x ₁ ^1/3 x ₂ ^2/3 －λ（x ₁ ＋2x ₂ －100）。

消费者效用最大化的一阶条件为：

∂ϕ/∂x ₁ ＝（1/3）x ₁ ^{－ 2/3} x ₂ ^2/3 －λ＝0

∂ϕ/∂x ₂ ＝（2/3）x ₁ ^1/3 x ₂ ^{－ 1/3} －2λ＝0

∂ϕ/∂λ＝－（x ₁ ＋2x ₂ －100）＝0

解得：x ₁ ＝x ₂ ＝100/3，即最优消费量为x ₁ ＝x ₂ ＝100/3。

（2）当P ₁ ＝2时，新的预算约束为x ₁ ＋x ₂ ＝50，按照（1）的解法算得：x ₁ ＝50/3，x ₂ ＝100/3，所以总效应为：Δx ₁ ＝50/3－100/3＝－50/3。

根据柯布-道格拉斯效用函数的性质可知，商品x ₁ 和商品x ₂ 的马歇尔需求函数分别为：x ₁ ＝I/（3P ₁ ），x ₂ ＝2I/（3P ₂ ）。

根据Slutsky分解原理，总效应＝替代效应＋收入效应。斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化，价格变化前的消费束是（100/3，100/3），价格变化后要使消费者仍消费原来的消费束，收入应为：I′＝2×100/3＋2×100/3＝400/3。在此收入下的预算约束为x ₁ ＋x ₂ ＝200/3，故x ₁ ＝x ₁ （2，2，I′）＝I′/（3P ₁ ）＝200/9。

所以斯拉茨基替代效应为：Δx ₁ ^s ＝x ₁ （2，2，I′）－x ₁ （1，2，I）＝（200/9）－（100/3）＝－100/9。

收入效应为：Δx ₁ ^m ＝Δx ₁ －Δx ₁ ^s ＝－50/9。

（3）按照希克斯分解原理，总效应＝替代效应＋收入效应。替代效应是在保持效用水平不变的条件下的变动，由（1）知原来的总效用水平为U（x ₁ ，x ₂ ）＝100/3。

当P ₁ ＝2时，在保持既定效用水平的情况下，寻求支出最小化，构造新的拉格朗日方程：

对x ₁ ，x ₂ ，γ求偏导得：

解得：

在新的价格下，要保持效用不变，则收入补偿额为：

20 假设消费者对于苹果x和香蕉y的效用函数为：U（x，y）＝（x＋1）y。消费者的收入水平为I，苹果和香蕉的市场价格分别为p _x 和p _y 。

（1）为追求效用最大化，求解消费者的马歇尔需求函数。香蕉是苹果的总替代品还是总互补品？

（2）计算间接效用函数和支出函数。

（3）以香蕉为例，验证斯拉茨基方程。（中国人民大学2018研）

解： （1）易知MU _x /p _x ＝MU _y /p _y 时效用达到最大，即y/p _x ＝（x＋1）/p _y ，代入消费预算约束p _x x＋p _y y＝I，解得消费者的马歇尔需求函数为x＝（I－p _x ）/（2p _x ），y＝（I＋p _x ）/（2p _y ）。

因为∂x/∂p _y ＝0，所以香蕉既不是苹果的总替代品也不是总互补品。

（2）将（1）中马歇尔需求函数代入效用函数表达式，得间接效用函数：

由对偶性得支出函数：

（3）斯拉茨基方程为：

由（2）可知y的希克斯需求函数为：

则：

此时

以上四式代入斯拉茨基方程中，有

再将y＝（I＋p _x ）/（2p _y ）代入，化简可知等式成立，因此可证斯拉茨基方程成立。

21 某消费者对商品x和商品y的效用函数为u（x，y）＝x－0.5x ² ＋y。商品x的价格为p，商品y的价格标准化为1。问题：

（1）写出该消费者对商品x的需求函数。

（2）假定商品x由一个具有规模报酬不变生产技术的垄断厂商提供，单位成本为0.4元。求产品定价、消费者剩余、生产者剩余。

（3）若x由两个厂商供给，单个产品成本为0.4，两个厂商之间进行古诺竞争，求均衡时的市场定价、生产者剩余和消费者剩余。（中国人民大学2018研）

解： （1）为使效用最大化，则有MU _x /p _x ＝MU _y /p _y ，可以得到：（1－x）/p＝1，则x＝1－p即为消费者对x的需求函数。

（2）设该市场有n个和该消费者一样的其他消费者，对需求加总得到市场上的总需求函数为q＝nx＝n（1－p），反需求函数p＝1－q/n。由于单位成本AC＝0.4，则TC＝0.4q，边际成本MC＝0.4，而边际收益：

垄断厂商极大化收益时，有MR＝MC，则1－2q/n＝0.4，q＝0.3n，代入反需求函数，得p＝0.7，消费者剩余为：

生产者剩余为总利润π＝（p－AC）×q＝0.09n。

（3）对两个厂商而言，面临的市场反需求函数均为p＝1－（q ₁ ＋q ₂ ）/n。

则厂商1的利润函数为π ₁ ＝pq ₁ －c ₁ q ₁ ＝[1－（q ₁ ＋q ₂ ）/n]q ₁ －0.4q ₁ ，对q ₁ 求一阶偏导等于0，得厂商1对厂商2的反应函数为q ₁ ＝（0.6n－q ₂ ）/2，同理解得厂商2对厂商1的反应函数为q ₂ ＝（0.6n－q ₁ ）/2，联立两个反应函数，解得古诺均衡解q ₁ ^* ＝0.2n，q ₂ ^* ＝0.2n。

代入反需求函数有均衡定价为p ^* ＝0.6，消费者剩余：

生产者剩余是两家厂商利润函数之和，为π＝（p－AC）×q＝0.08n。

22 冰淇淋的市场取决于天气变化。天气炎热则冰淇淋售价为每个6元；天气寒冷售价为4元。一个冰淇淋小生产者的成本函数为：C＝q ² ＋q＋5，生产者须在知道天气情况之前做出决策，已知天气冷热的概率各为0.5。如果厂商要期望利润最大化，应该生产多少冰淇淋？（中国人民大学2018研）

解： 天气炎热时，生产者的利润函数为π ₁ ＝6q－C＝6q－q ² －q－5＝－q ² ＋5q－5。

天气寒冷时，生产者的利润函数为π ₂ ＝4q－C＝4q－q ² －q－5＝－q ² ＋3q－5。

由于天气冷热概率各为0.5，则厂商的期望利润为：

E（π）＝0.5（－q ² ＋5q－5）＋0.5（－q ² ＋3q－5）＝－q ² ＋4q－5

期望利润最大化的一阶条件为：∂E（π）/∂q＝－2q＋4＝0。

解得q＝2，所以厂商要期望利润最大化，应该生产2单位冰淇淋，此时期望利润为－1。

23 已知消费者只消费两种商品，效用函数是

x价格为10元，y价格是5元，财富为500元。请回答下列问题。

（1）计算边际替代率判断该消费者是否具有凸偏好？

（2）求解消费者最优需求。

（3）政府对每单位商品x征收5元的消费税，那么为了使得消费者福利水平不变，政府应给予消费者多少补贴？（中国人民大学2019研）

解： （1）由效用函数可得该消费者的边际替代率为：

进而有：

即该消费者的边际替代率递减，因而该消费者具有凸偏好。

（2）该消费者的预算约束为10x＋5y＝500，则其效用最大化问题为：

构造拉格朗日辅助函数：

效用最大化一阶条件为：

解得消费者的最优需求为：x＝25，y＝50。

（3）征税前，消费者福利水平为：

征税后，x价格变为15元，y价格不变，财富变为I，消费者预算约束变为15x＋5y＝I，则其支出最小化问题为：

构造拉格朗日辅助函数：

支出最小化一阶条件为：

解得消费者的最优需求为： ， ， 。所以为了使消费者的福利水平不变，政府应给予消费者的补贴为

24 在一个民事赔偿中，原告将聘请某律师为代理。案件可能的结果有两种，即原告获得的赔偿可能为y ₁ ＝8000或y ₂ ＝10000。两种结果发生的概率与律师工作的努力程度e∈[1，＋∞）有关，结果y ₁ ＝8000出现的概率为1/e，而结果y ₂ ＝10000出现的概率为1－1/e。律师采用努力程度e的成本为c（e）＝e ² ＋700，其中700为律师的固定成本。原告付给律师的费用可以与案件的判决结果有关，记为（w ₁ ，w ₂ ），其中两个变量分别代表两种判决结果下支付的律师费。律师和原告均为风险中性。在这个博弈中，原告首先提出一个律师费支付方案，律师决定是否接受。如果不接受，原告放弃聘请律师，并接受结果y ₁ ＝8000；如果接受，即形成聘用合同关系，律师选择其努力程度。案件的判决结果实现后，原告根据合同支付律师费。

（1）如果原告能够观察和验证律师的工作努力程度，并且可以将其写入合同，请找出原告的最优支付方案。

（2）如果原告不能观察律师的工作努力程度，请找出原告的最优支付方案。（北京大学2011研）

解： （1）这是一个努力成果不确定但可监督的委托人-代理人博弈模型。既然原告能够观察律师的努力程度，而且能够算出自己期望收益最大化的律师努力水平e ^* ，那么他的工资标准就应该是：如果律师的努力程度低于e ^* ，那么原告支付给律师的工资为0，否则支付w。

原告的期望得益函数为8000/e＋10000×（1－1/e）－w，但还必须满足律师的参与约束条件即w≥e ² ＋700，这里取等号，因此原告的期望得益函数为8000/e＋10000×（1－1/e）－（e ² ＋700）＝9300－2000/e－e ² ，根据函数极值的一阶条件易得e ^* ＝10（此时极大值的二阶条件满足）。

因此，原告的最优支付方案为：如果获得8000的赔偿则不支付工资，如果获得10000的赔偿则支付800的工资。

（2）这是一个努力成果不确定且不可监督的委托人-代理人博弈模型，由于原告（委托人）无法掌握律师（代理人）的努力程度，因此只能根据判决结果支付报酬。

设原告采用线性报酬计算公式w＝A＋B[R（e）]，其中R（e）为原告的期望得益，因此8000/e＋10000×（1－1/e）＝10000－2000/e，线性报酬意味着原告采取的是固定工资加提成的工资制度。这样原告的纯期望得益函数为R（e）－w＝10000－A－10000B＋（B－1）2000/e，律师的期望得益函数为w－C（e）＝A＋10000B－2000B/e－e ² －700。现在原告面临的问题就是确定A和B的值以使这种工资制度成为一种有效的激励制度。

因为律师是风险中性的，只要工资满足w－C（e）＝A＋10000B－2000B/e－e ² －700≥0，律师就接受委托。律师的期望得益函数为w－C（e）＝A＋10000B－2000B/e－e ² －700，根据函数极值的一阶条件，当满足e ³ ＝1000B时，律师的得益最大（同时满足二阶条件）。

原告对A和B的选择必须满足律师参与约束的下限，即：

A＋10000B－2000B/e＝e ² ＋700

这样，原告的收益函数即为：

10000－2000/e－（e ² ＋700）

容易求得当律师的努力水平e＝10时，原告的期望收益最大，即e＝10是符合原告的最佳律师努力水平。将e＝10代入律师的最优选择公式e ³ ＝1000B中，可得B＝1。再将e＝10和B＝1代入到约束条件A＋10000B－2000B/e＝e ² ＋700中可得A＝－9000。

因此，原告的最优支付方案就是：律师选择努力水平e＝10，官司失败时让律师支付1000给自己，官司成功时支付1000给律师。

25 金老板拥有一个小作坊，生产产品A。小张是金老板唯一的雇员。小张工作x小时可以生产x单位的产品A。每单位产品A售价1元。小张工作x小时的成本为c（x）＝x ² /2。

（1）假设小张在别处工作能获得的最高收入为0。金老板决定把他的作坊以固定租金租给小张，那么金老板会决定以什么价格将作坊租给小张？小张租到作坊之后，会选择生产多少单位的产品A？这一结果有效率的吗？

（2）仍然假设小张在别处工作能获得的最高收入为0。但金老板现在改变主意，不将作坊出租给小张了，取而代之的是给小张支付激励性报酬。如果小张工作x小时，金老板支付s（x）＝wx＋k。那么金老板该选择什么样的w和k才是最优的激励报酬机制？

（3）现在假设小张在别处参加某项活动可以获得收入1元而不用付出任何努力。那么这会如何改变第二问的答案呢？（上海财经大学2012研）

解： （1）根据已知条件，c（x）＝x ² /2；并且，1单位时间的工作可有1单位的产出，所以可设生产函数为f（x）＝x。有效激励机制的条件是f′（x ^* ）＝c′（x ^* ）＝1，此时x ^* ＝1。

① 若金老板以固定租金R租给小张，小张的收益是：s[f（x）]＝f（x）－R，由于小张在别处工作能获得的最高收入为0，即有：

s（x）－c（x）＝f（x）－R－c（x）＝x－R－（x ² /2）| _{x* ＝ 1} ＝0

解得R＝1/2，即金老板会决定以1/2元的价格将作坊租给小张。

② 租到作坊之后，小张追求s[f（x）]－c（x）＝f（x）－R－c（x）的最大化，则会选择f′（x ^* ）＝c′（x ^* ），此时x ^* ＝1。因此，小张租到作坊后，会选择生产1单位的产品A，且生产是有效率的。

（2）支付激励性报酬下，小张的最优问题为：

最优化的结果是c′（x ^* ）＝w＝1。因为小张在别处工作能获得的最高收入为0，所以，wx＋k－c（x）| _{x* ＝ 1} ＝0，解得，k＝－1/2。此时最优激励报酬机制为：s（x）＝x－1/2。

（3）此时假设小张在别处参加某项活动可以获得收入1元而不用付出任何努力，则在支付激励性报酬下，小张的最优问题为：

最优化的结果仍为c′（x ^* ）＝w＝1。因为小张在别处工作能获得的最高收入为1，所以，wx＋k－c（x）| _{x* ＝ 1} ＝1，解得，k＝1/2。此时最优激励报酬机制为：s（x）＝x＋1/2。

26 美国波音和法国空客都向世界出售民用客机。假设世界对于飞机的需求函数为：P＝20－q。两个公司的成本函数都是c（q）＝8q。

（1）假设两个公司都进行生产，请找出两个公司的古诺/纳什均衡，包括各自的产量，价格和利润。

（2）请问这两个公司是否愿意合谋从而平分垄断利润？

（3）现在假设美国政府决定给予波音公司每架飞机3单位的生产补贴，请问新的古诺/纳什均衡价格和两个公司的利润为多少？

（4）相比于没有补贴的古诺均衡，两个公司各自的利润有何改变？美国作为整体的利润有何改变？

（5）第（4）问中的结果反映古诺模型的假设是否合适？为什么？（北京大学2015研）

解： （1）设美国波音和法国空客生产的飞机数分别为q ₁ 、q ₂ ，则市场需求函数为P＝20－q ₁ －q ₂ ，美国波音的利润函数为：

π ₁ ＝Pq ₁ －c（q ₁ ）＝（20－q ₁ －q ₂ ）q ₁ －8q ₁

其利润最大化的一阶条件为∂π ₁ /∂q ₁ ＝20－2q ₁ －q ₂ －8＝0，所以美国波音的反应函数为q ₁ ＝6－0.5q ₂ ；

法国空客的利润函数为：

π ₂ ＝Pq ₂ －c（q ₂ ）＝（20－q ₁ －q ₂ ）q ₂ －8q ₂

其利润最大化的一阶条件为∂π ₂ /∂q ₂ ＝20－2q ₂ －q ₁ －8＝0，所以法国空客的反应函数为q ₂ ＝6－0.5q ₁ ；

联立上述两个公司的反应函数，可得：两公司的产量为q ₁ ＝q ₂ ＝4，利润为π ₁ ＝π ₂ ＝16；古诺均衡价格为P＝12。

（2）若两公司合谋，则两公司的利润最大化的条件为MC ₁ ＝MC ₂ ＝MR，其中边际收益为MR＝20－2（q ₁ ＋q ₂ ），边际成本为MC ₁ ＝MC ₂ ＝8，代入利润最大化的条件可得：q ₁ ＋q ₂ ＝6，垄断利润为：

π＝P ^* （q ₁ ＋q ₂ ）－c（q ₁ ＋q ₂ ）＝（20－6）×6－8×6＝36

平分垄断利润后每家公司的利润为π ₁ ＝π ₂ ＝18＞16。

虽然在合谋之下双方可以获得比古诺竞争下更多的利润，但古诺均衡是一个占优均衡，而合谋并非一个纳什均衡，两寡头即使进行合谋，均衡也是不稳定的，因为寡头有违背合约而单独增加产量以便获得更大利润的激励。因此，即便是合谋可以获得更大利润，两寡头也无法进行合谋。

（3）若美国政府给予波音公司每架飞机3单位的生产补贴，则美国波音的利润函数为：

π ₁ ＝Pq ₁ －c（q ₁ ）＋3q ₁ ＝（20－q ₁ －q ₂ ）q ₁ －8q ₁ ＋3q ₁

其利润最大化的一阶条件为∂π ₁ /∂q ₁ ＝20－2q ₁ －q ₂ －5＝0，所以美国波音新的反应函数为q ₁ ＝7.5－0.5q ₂ ；

法国空客的反应函数仍为q ₂ ＝6－0.5q ₁ ，联立两公司的反应函数，可得：两公司的产量为q ₁ ＝6、q ₂ ＝3；古诺均衡价格为P＝11；两公司的利润分别为π ₁ ＝36、π ₂ ＝9。

（4）相比于没有补贴的古诺均衡，美国波音的利润增加了36－16＝20单位，法国空客的利润减少了16－9＝7；美国作为整体的利润从16变为36－3×6＝18，增加了2单位。

（5）古诺模型的假定包括： ① 市场上只有两个企业，彼此之间并不存在任何正式或非正式的勾结； ② 两个企业生产同质产品，并以追求利润最大化为目标； ③ 每个企业都视对方的产出水平既定不变，并据此确定自己的产量； ④ 需求曲线为线性，边际成本是常数。（4）中的结果反映出该假设中的 ③ 不合适，因为对方的产出水平并不是既定不变的，会随着政策以及政府补贴的变化而变化。

27 考虑如下一个双寡头市场上企业研发投资模型：某寡头市场上有两个企业：企业1和企业2，在目前情况下这两个企业的单位生产成本都是c＝2，其中一企业（比如企业1）在考虑是否引进一项新技术，该项技术可以使企业1的单位生产成本下降到c＝1，该项技术需要投资f。在企业1作出是否投资的决策（企业2可以观察到）后，然后两企业同时决定其产量。

假设市场需求函数为：P＝14－Q，其中P是市场价格，Q是两企业的总产量，即Q＝q ₁ ＋q ₂ 。

请问上述投资额f为何种水平时，企业1会引进新技术用于经营活动。（北京大学2010研）

解： （1）企业1不进行投资时，两个厂商进行斯塔克博格模型竞争。

企业2的利润函数为：

π ₂ ＝（14－q ₁ －q ₂ ）q ₂ －2q ₂

利润最大化的一阶条件为：

∂π ₂ /∂q ₂ ＝14－q ₁ －2q ₂ －2＝0

得企业2的反应函数为：

q ₂ ＝6－q ₁ /2

将q ₂ ＝6－q ₁ /2代入企业1的利润函数，可得：

π ₁ ＝（14－q ₁ －q ₂ ）q ₁ －2q ₁ ＝（14－q ₁ －6＋q ₁ /2）q ₁ －2q ₁

利润最大化的一阶条件为：

dπ ₁ /dq ₁ ＝8－q ₁ －2＝0

解得：q ₁ ＝6。

企业1的利润为π ₁ ＝（14－3－6）×6－2×6＝18。

（2）企业1投资引进新技术时，两个厂商进行斯塔克博格模型竞争。

将q ₂ ＝6－q ₁ /2代入企业1的利润函数，可得：

π ₁ ＝（14－q ₁ －q ₂ ）q ₁ －q ₁ －f＝（14－q ₁ －6＋q ₁ /2）q ₁ －q ₁ －f

利润最大化的一阶条件为：

dπ ₂ /dq ₁ ＝8－q ₁ －1＝0

解得：q ₁ ＝7。

企业1的利润为π ₁ ＝（14－6－7/2）×7－7－f＝49/2－f。

当49/2－f＞18⇒f＜13/2时，即当引进新技术的利润大于不引进技术的利润时，企业1会选择引进新技术。

28 竞争性市场上有N个厂商，他们具有相同的生产技术，生产相同的产品，所需的投入为资本K和能源L。其中，资本的单位价格为R；由于能源受政府管制，单位价格为W不变。生产函数f（K，L）＝AK ^α L ^{1 － α} 。

（1）求各企业的供给曲线和行业总供给曲线。

（2）若出现能源短缺，共有 L ( ＿ ) 可用于此行业投入， L ( ＿ ) _i 为第i个企业可买到的最多能源，求此时各企业的供给曲线和行业总供给曲线。

（3）若政府实行能源指标分配，每单位能源对应1单位能源指标，共 L ( ＿ ) 单位能源，N个企业参与能源指标的拍卖。求能源指标的价格。（北京大学2016研）

解： （1）对于企业来说，既定产量的成本最小化问题为：

构造拉格朗日辅助函数：S（K，L，λ）＝RK＋WL＋λ（Q－AK ^α L ^{1 － α} ）。

于是其成本最小的一阶条件为：

解得扩展线方程为：R/W＝α/（1－α）·（L/K）。

将上式代入生产函数中，解得条件要素需求函数为：

K＝（Q/A）·[α/（1－α）] ^{1 － α} ·（W/R） ^{1 － α}

L＝（Q/A）·[（1－α）/α] ^α ·（R/W） ^α

于是可得成本函数为：c＝RK＋WL＝（Q/A）W ^{1 － α} R ^α {[α/（1－α）] ^{1 － α} ＋[（1－α）/α] ^α }。

因此，各企业的供给曲线为：p＝MC＝W ^{1 － α} R ^α {[α/（1－α）] ^{1 － α} ＋[（1－α）/α] ^α }/A。

因为生产函数的规模报酬不变，市场是充分竞争的，行业供给曲线为价格等于最小平均成本的一条水平直线，所以行业的供给曲线也为：p＝W ^{1 － α} R ^α {[α/（1－α）] ^{1 － α} ＋[（1－α）/α] ^α }/A。

（2）若出现能源短缺时，则每个厂商的成本函数为：c _i ＝RK＋W L ( ＿ ) _i 。

联立成本函数与生产函数，可以得到要素K的条件需求函数为：K＝[Q _i /（A L ( ＿ ) _i ^{1 － α} ）] ^1/α 。

由此可得成本函数为：c _i ＝R[Q _i /（A L ( ＿ ) _i ^{1 － α} ）] ^1/α ＋W L ( ＿ ) _i 。

故，企业的供给曲线为：p＝MC＝RA ^{－ 1/α} （Q _i / L ( ＿ ) _i ） ^{（ 1 － α ） /α} /α。

行业供给曲线为：

由于每个企业都是同质的，因此，每个企业能够买到的短缺资源和最终产量必相等，则有： L ( ＿ ) _i ＝ L ( ＿ ) /N，Q _i ＝Q/N。

于是，可求得行业供给曲线为：p＝NRA ^{－ 1/α} （Q/ L ( ＿ ) ） ^{（ 1 － α ） /α} /α。

（3）如果政府实行能源指标分配，并对能源进行拍卖，此时能源的实际价格不再固定。企业可以自由进出行业，所以经济利润为0。设产品的市场价格为p，能源的均衡价格为W。

行业成本函数为：

于是，行业利润函数为：π＝pQ－c＝pQ－R[Q/（A L ( ＿ ) ^{1 － α} ）] ^1/α －W′ L ( ＿ ) ＝0。

由此，可以得到能源的实际价格为：W′＝pQ/ L ( ＿ ) －R[Q/（A L ( ＿ ) ）] ^1/α 。

因此，能源指标的价格为：W′－W＝pQ/ L ( ＿ ) －R[Q/（A L ( ＿ ) ）] ^1/α －W。

29 假设生产函数为f（x ₁ ，x ₂ ）＝（x ₁ ） ^1/2 ＋（x ₂ ） ^1/2 。产品的价格为p，生产要素1和2的价格分别为w ₁ 和w ₂ 。

（1）求要素需求函数和产出供给函数；

（2）求条件要素需求函数；

（3）要素需求函数和条件要素需求函数之间存在什么关系？（上海财经大学2008研）

解： （1）厂商利润函数为：π＝p[（x ₁ ） ^1/2 ＋（x ₂ ） ^1/2 ]－w ₁ x ₁ －w ₂ x ₂ 。

利润最大化的一阶条件为：

∂π/∂x ₁ ＝p/[2（x ₁ ） ^1/2 ]－w ₁ ＝0

∂π/∂x ₂ ＝p/[2（x ₂ ） ^1/2 ]－w ₂ ＝0

解得：x ₁ ＝p ² /（4w ₁ ² ），x ₂ ＝p ² /（4w ₂ ² ）。

此即为要素需求函数，表示既定产出价格下利润最大化选择。

将x ₁ ＝p ² /（4w ₁ ² ）和x ₂ ＝p ² /（4w ₂ ² ）代入生产函数，可得f（x ₁ ，x ₂ ）＝p/（2w ₁ ）＋p/（2w ₂ ），此即为产出供给函数。

（2）既定产量水平的最小成本选择的数学表达式为：

求解可得：x ₁ ＝w ₂ ² y ² /（w ₁ ＋w ₂ ） ² ，x ₂ ＝w ₁ ² y ² /（w ₁ ＋w ₂ ） ² 。

此即为条件要素需求函数，表示既定产量水平的最小成本选择。

（3）条件要素需求函数与要素需求函数的区别是：有条件的要素需求函数给出的是既定产量水平下的成本最小化选择，实现利益最大化的要素需求则给出了既定产出品价格下的利润最大化选择。通常有条件的要素需求曲线是观察不到的，它们是一个假定的定义。它回答的是这样一个问题：如果厂商以经济的方式生产某个既定的产量，它们将如何选择每种要素的使用量。

30 某企业投入劳动力与机器来生产商品Y，其生产技术可用生产函数f（L，K）＝L ^2/3 K ^1/3 来表示，其中L（≥0）代表劳动力投入数量，K（≥0）代表机器投入数量。假设劳动力价格为1，机器价格为4，Q代表商品Y的产量。

（1）假设在长期，劳动力和机器的投入量可以随意调整，求该企业的长期成本函数LRTC（Q）。

（2）假设在短期机器的投入量固定为K _S ，K _S ＞0，而劳动力的投入量可以随意调整，求企业的短期成本函数SRTC（Q）。

（3）比较长期成本函数LRTC（Q）与短期成本函数SRTC（Q）之间的大小关系。

（4）假设商品Y的市场为完全竞争型市场，且市场价格为6，短期内该企业为了最大化利润应该生产多少单位的商品Y？企业利润为多少？（清华大学2015研）

解： （1）企业在既定产量下成本最小化问题为

由成本最小化的条件MP _L /MP _K ＝P _L /P _K ，可得2L ^{－ 1/3} K ^1/3 /（L ^2/3 K ^{－ 2/3} ）＝1/4，即2K/L＝1/4；代入产量约束条件L ^2/3 K ^1/3 ＝Q，解得：K＝Q/4，L＝2Q。因此，该企业的长期成本函数为：

LRTC（Q）＝L＋4K＝2Q＋4Q/4＝3Q

（2）由生产函数f（L，K）＝L ^2/3 K ^1/3 及短期机器的投入量K _S 得：劳动力的投入量为L＝Q ^3/2 K _S ^{－ 1/2} ，该企业的短期成本函数为SRTC（Q）＝Q ^3/2 K _S ^{－ 1/2} ＋4K _S 。

（3）短期内，厂商只能调节劳动投入但不能调节资本投入，因此短期的成本函数是厂商在既定资本水平下的低成本；而长期内，厂商既可以调节劳动投入，也可以调节资本投入，因此长期的成本函数是厂商在最优生产规模下的最低成本。从几何上来说，厂商的长期成本曲线是短期成本曲线的包络线。因此对于既定的产量，长期成本小于等于短期成本。

（4）完全竞争市场的均衡条件为P＝MC，将P＝6及SRMC（Q）＝3Q ^1/2 K _S ^{－ 1/2} /2＋4K _S 代入上式，可得：6＝3Q ^1/2 K _S ^{－ 1/2} /2＋4K _S ，化简得：短期内该企业利润最大化的产量为：

Q＝（4－8K _S /3） ² K _S

企业利润为：

31 生产函数Y＝F（K，L），定义E _K 和E _L 为资本和劳动的产出弹性，C _KL ＝E _K /E _L ，S _KL 为生产的边际替代率，T _LK ＝L/K；α＝dlnT _LK /dlnS _KL ，β＝－dlnT _LK /dlnC _KL 。试证明：1/α＋1/β＝1，并说明C _KL 的意义。（清华大学2011研）

证明：（1）根据产出弹性的定义，有：

E _K ＝（∂Y/∂K）·（K/Y）

E _L ＝（∂Y/∂L）·（L/Y）

根据生产的边际替代率有：

S _KL ＝（∂Y/∂K）/（∂Y/∂L）

于是：

C _KL ＝E _K /E _L ＝[（∂Y/∂K）/（∂Y/∂L）]·（K/L）＝S _KL /T _LK

两边取对数，得：

lnC _KL ＝lnS _KL －lnT _LK

两边取微分，得：

dlnC _KL ＝dlnS _KL －dlnT _LK

两边同除以dlnT _LK 并整理得：

dlnS _KL /dlnT _LK －dlnC _KL /dlnT _LK ＝1

根据定义，显然有：

1/α＋1/β＝1

（2）C _KL 显然是资本与劳动的产出弹性之比，其大小反映的是资本与劳动在生产中的重要性。

32 小明在未名湖畔拥有一家店，专门出租滑冰和攀岩装置。他认为今年寒冬的概率为0.55，暖冬的概率为0.45。如果是寒冬，很多学生就会租用滑冰装置在未名湖上滑冰，而在旁边攀岩的人就会很少。小明必须要决定准备多少滑冰装置，多少攀岩装置。他的报酬矩阵如下：

（1）如果小明选择只出租滑冰装置，他的期望报酬是多少？只出租攀岩装置呢？

（2）如果小明选择将x比例的资源分配到滑冰装置上，他的期望报酬是多少（以x表示）？

（3）假设小明是风险中性，他会把多大比例的资源分配在滑冰装置上？

（4）如果小明的效用函数是U（x）＝ln（x），写出他的期望效用（以x表示）。这种情况下，小明会把多大比例的资源分配在滑冰装置上？

（5）一家保险公司给小明建议：“你只出租滑冰装置。如果是暖冬，我赔给你5000元；如果是寒冬，你付我5000元”。保险公司的期望报酬是多少？在什么条件下，小明会接受这个建议？（只需列出判断式子，不用计算出具体数值）。（北京大学2015研）

解： （1）如果小明只出租滑冰装置，他的期望报酬是0.55×20000＋0.45×5000＝13250；如果小明只出租攀岩装置，他的期望报酬是0.55×5000＋0.45×15000＝9500。

（2）如果小明选择将x比例的资源分配到滑冰装置上，他的期望报酬是：

E（x）＝0.55[20000x＋5000（1－x）]＋0.45[5000x＋15000（1－x）]＝9500＋3750x

（3）假设小明是风险中性，则期望报酬的效用与期望效用相同。由（2）中小明的期望报酬函数已知，当x＝1，即全部的资源分配在滑冰装置上时，小明的期望报酬最大，期望效用也最大。

（4）小明的期望效用为：

E（U）＝0.55ln[20000x＋5000（1－x）]＋0.45ln[5000x＋15000（1－x）]＝0.55ln（5000＋1500x）＋0.45ln（15000－10000x）

期望效用最大化的一阶条件为：

dE（U）/dx＝0.55×15000/（5000＋15000x）－0.45×10000/（15000－10000x）＝0

解得：x＝0.675，即小明会把0.675比例的资源分配在滑冰装置上。

（5）保险公司的期望报酬是0.55×5000－0.45×5000＝500。

此时，小明的期望效用为：

E（U）＝0.55ln（20000－5000）＋0.45ln（5000＋5000）＝0.55ln15000＋0.45ln10000

只有在上述期望效用大于（4）中的期望效用时，小明才会接受保险公司的建议。

33 一个纳税人，效用函数为ln（w），w为其财富，是固定值。国家按照固定税率t（0＜t＜1）对纳税人上报的收入征税，但此人可以少报收入，即报的收入为x（0＜x＜w）。同时税务机关有p的概率0＜p＜1查此人的收入。一旦查肯定能查出此人真实收入。查出之后，不仅要补齐所应缴纳的税款，同时还要承担罚金，罚金为应补交税款乘以一个大于0的固定常数θ。

（1）求此纳税人选择的最优x值。同时求此纳税人选择的x与其收入的关系。

（2）如果θ＝0，问此时此人选择的最优x。

（3）此人有没有可能选择x＝0？在什么条件下此人会这样做？（北京大学2012研）

解： （1）由题意可知，纳税人的期望效用最大化问题为：

一阶条件为：－（1－p）t/（w－xt）＋pθt/[w－wt－（w－x）tθ]＝0。

解得：

x ^* ＝[pθ－（1－p）（1－t－θt）]w/（θt）

当pθ－（1－p）（1－t－θt）≥0时，x ^* ＝[pθ－（1－p）（1－t－θt）]w/（θt）；

当pθ－（1－p）（1－t－θt）＜0且x≥0时，EU′＜0，所以pθ－（1－p）（1－t－θt）＜0时，x ^* ＝0。

因此，此纳税人选择的最优x值为：

与收入成正比或者恒为0。

（2）当θ＝0时，EU＝（1－p）ln（w－xt）＋pln（w－wt），关于x递减，因此x＝0。如果逃税没有成本的话，纳税人将完全逃税。

（3）由（1）可知，当pθ－（1－p）（1－t－θt）≤0时，此人选择x＝0。此时，税率较低（意味着被查出谎报收入所需要缴纳的罚金较少）；税务机关检查的概率较低（补全税收并缴纳罚款的概率较低）；罚金的乘数较低（缴纳罚款的数额较少）。

34 王先生对财富w的效用函数为ln（w），他目前有1万元，他的地里可以种植某种作物，旁边有条小河，有10%的概率可能发生灾害，发生灾害了就会颗粒无收，如果没有发生灾害就会得到两倍的毛收益，问：

（1）王先生会投资多少？

（2）有提供竞争性保险的保险公司，保费是多少？（上海财经大学2010研）

解： （1）设王先生投资x元，则剩余（10000－x）元。如果发生灾害，他这一部分的效用为ln（10000－x）；如果没有发生灾害，则投资的收益为2x元，总财富变为10000－x＋2x＝10000＋x，他这一部分的效用为ln（10000＋x）。

从而期望效用EU＝10%ln（10000－x）＋（1－10%）ln（10000＋x）。

要使总效用最大，则根据一阶条件得：

－0.1/（10000－x）＋0.9/（10000＋x）＝0

解得：x＝8000。

因此，王先生会投资8000元。

（2）假如王先生投资8000元，则发生灾害的话，其损失为8000元。设定保费为y元，则保险公司的收益为（y－8000）元，而假如没有发生灾害的话，保险公司的收益为y元，因此保险公司的期望收益为：

0.1（y－8000）＋0.9y＝y－800

因为保险市场是竞争性的，因此保险公司的期望收益为零，于是有y＝800，因此保险费y为800元。

35 假设某消费者只消费两种商品（X和Y），其效用函数可以表示为U（x，y）＝min{x，y}，其中x代表商品X的数量，y代表商品Y的数量，min{x，y}代表x和y中较小的值。商品X的价格是p＞0，商品Y的价格是1。该消费者的收入为100。

（1）求该消费者的最优消费选择（x ^* ，y ^* ）。

（2）如果政府对该消费者征收占收入α%的个人所得税，0≤α≤100，证明此时该消费者对商品X的需求函数是关于p与α的函数。

（3）假设个人收入所得税税率为20%，如果商品X的市场价格p从1上升2，该消费者在商品X的市场上的消费者剩余变化量是多少？

（4）现假设个人收入所得税税率为0，并假设商品X市场是供给无穷大的完全竞争市场。如果政府针对消费者对每消费1单位商品X征收不超过价格p的金额为τ的消费税（即τ≤p），并且变量最大化其来自该消费者的税收收入，那么政府应该如何设定消费税τ？最大化的税收收入是多少？（提示：最优的消费税和最大税收收入都是价格p的函数。）（清华大学2015研）

解： （1）消费者的效用最大化问题为

效用最大化的条件为x＝y，代入预算约束条件px＋y＝100，可得该消费者最优消费选择为（x ^* ，y ^* ）＝（100/（p＋1），100/（p＋1））。

（2）若政府对该消费者征收占收入α%的个人所得税，则消费者的效用最大化问题为

利用效用最大化的条件x＝y，可得：此时该消费者对商品X的需求函数为x＝[100/（1－α%）]/（p＋1），是关于p与α的函数。

（3）若个人所得税税率为20%，则消费者对X的需求函数为x＝80/（p＋1）。

如果商品X的价格p从1上升到2，则该消费者在商品X的市场上的消费者剩余变化量为

（4）如果政府针对消费者对每消费1单位商品X征收不超过价格p的金额为τ的消费税，则消费者的效用最大化问题为

利用效用最大化的条件x＝y，可得：此时该消费者对商品X的需求函数为x＝100/（p＋τ＋1）。

此时，政府税收收入为T＝τx＝100τ/（p＋τ＋1），则税收收入对税率的一阶导数为：

dT/dτ＝[100（p＋τ＋1）－100τ]/（p＋τ＋1） ² ＝100（p＋1）/（p＋τ＋1） ²

由题意p＞0，τ＞0，可知，一阶导数恒大于0。此时，政府的消费税收入随着税率τ的增加而不断增加。又因为τ≤p，所以当τ＝p时，政府税收最大，此时政府税收收入为100p/（2p＋1）。

36 假设有两种商品X和Y，某消费者的效用函数具有以下形式：

U（X，Y）＝ln（X＋3）＋ln（Y－2）

其中，X≥0，Y＞2。商品X的价格为p，Y的价格为q，消费者的收入为I。

（1）求出消费者关于X和Y的最优消费量，并说明I≥3p＋2q是使得X和Y存在有效需求量的必备条件。

（2）求出消费者对X和Y的需求收入弹性，X和Y是否属于奢侈品（luxury good）？

（3）X和Y是否有劣质品（inferior goods）或吉芬商品（Giffen goods）的情形？请给出严格的证明。（北京大学2011研）

解： （1）消费者面临的问题可表示为：

构造拉格朗日辅助函数为：

L（X，Y，λ）＝ln（X＋3）＋ln（Y－2）＋λ（I－pX－qY）

消费者效用最大化的一阶条件为：

∂L/∂X＝1/（X＋3）－λp＝0

∂L/∂Y＝1/（Y－2）－λq＝0

∂L/∂λ＝pX＋qY－I＝0

联立解得：X＝（I－2q－3p）/（2p），Y＝（I＋2q＋3p）/（2q）。

因为X≥0，所以（I－2q－3p）/（2p）≥0，即I≥2q＋3p是使得X和Y存在有效需求量的必备条件。

（2）X的需求收入弹性为：

e _{I ， X} ＝（dX/dI）（I/X）＝[I·2p/（I－2q－3p）]/（2p）＝I/（I－2q－3p）＞1

因为e _{I ， X} ＞1，所以X为奢侈品。

Y的需求收入弹性为：

e _{I ， Y} ＝（I/Y）（dY/dI）＝[I·2p/（I＋2q＋3p）]/（2q）＝I/（I＋2q＋3p）＜1

因为e _{I ， Y} ＜1，所以Y为必需品。

（3）∂X/∂I＝1/（2p）＞0，∂Y/∂I＝1/（2q）＞0，这表明X、Y的需求量都随收入的增加而增加，故两者都为正常品。

37 某消费者消费两种商品：商品1和商品2；商品价格为P ₁ 和P ₂ ，消费数量为X ₁ 和X ₂ ，并且该消费者愿意以a单位的商品1恒等换取b单位的商品2。当消费者消费商品1的量少于配给量 X ( ＿ ) ₁ 时不征税，当超过这个量时增加部分每单位征税t。

（1）请写出该消费者的预算约束函数，并画图表示。

（2）请写出该消费者的效用函数。

（3）求出该消费者对商品1的普通需求函数。（北京大学2011研）

解： （1）设消费者的收入为M，则消费者消费商品1的量少于配给量 X ( ＿ ) ₁ 时的预算约束函数为：

M＝P ₁ X ₁ ＋P ₂ X ₂

消费者消费商品1的量不少于配给量 X ( ＿ ) ₁ 时的预算约束函数为：

M＝P ₁ X ( ＿ ) ₁ ＋（P ₁ ＋t）（X ₁ － X ( ＿ ) ₁ ）＋P ₂ X ₂

对应的图形如图2所示。

（2）消费者愿意以a单位的商品1恒等换取b单位的商品2，说明两个商品是完全替代的，因此他的无差异曲线是一条向右下方倾斜的直线。商品1替代商品2的比率为b/a，则效用函数为：U（X ₁ ，X ₂ ）＝bX ₁ ＋aX ₂ 。

（3）无差异曲线和预算约束线同为直线，因此最优消费点在角点处获得。

当无差异曲线的斜率绝对值小于预算线斜率绝对值，即b/a＜P ₁ /P ₂ 时，角点解是预算线与纵轴交点，即此时商品1的需求函数为X ₁ ＝0。

当（P ₁ ＋t）/P ₂ ＞b/a＞P ₁ /P ₂ 时，角解分两种情况：当消费者消费商品1的量少于配给量 X ( ＿ ) ₁ 时，此时角解是预算线与横轴交点，即商品1的需求函数为X ₁ ＝M/P ₁ ；消费者消费商品1的量不少于配给量 X ( ＿ ) ₁ 时，角解是两条分段预算线的交点，此时商品1的需求函数为X ₁ ＝ X ( ＿ ) ₁ 。

当b/a＞（P ₁ ＋t）/P ₂ 时，此时角解是预算线与横轴交点，即商品1的需求函数为X ₁ ＝M/P ₁ 。

38 一个人有250000元的资产，他从中拿出200000元用来买车，车出事故的概率为5%，出事故后，车子的价值降为40000元。已知这个人的冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数为U（W）＝W ^0.5 。

（1）你认为这个人是风险爱好、风险中性还是风险厌恶，并说明原因。

（2）求消费者为补偿所有损失的完全保险愿意支付的最高价格，并结合数学等式与图形加以说明。

（3）求补偿所有损失的公平保险价格，并结合数学等式与图形加以说明。

（4）结合（2）与（3），判断保险市场是否存在交易的可能，并说明原因。（北京大学2015研）

解： 买车后，这个人所拥有的资产分为两部分，一部分是车的价值，另一部分是其他资产的价值（＝50000）。

（1）因为这个人的冯·诺依曼-摩根斯坦效用函数为U（W）＝W ^0.5 ，且U′（W）＝0.5W ^{－ 0.5} ＞0，U″（W）＝－0.25W ^{－ 1.5} ＜0，所以该效用函数是凹函数，这个人是风险厌恶的。

（2） ① 当这个人不购买保险时，期望效用为U ₁ ＝5%×（50000＋40000） ^0.5 ＋95%×（250000） ^0.5 ＝490。

② 当这个人购买完全保险时，设保费为t，由于是完全保险，所以事故赔偿为200000－40000＝160000，确定性效用为U ₂ ＝（250000－t） ^0.5 。

只有当U ₂ ≥U ₁ 时，消费者才愿意购买保险。解得：t≤9900，即消费者为补偿所有损失的完全保险愿意支付的最高价格为9900。

如图3所示，B点纵坐标代表了当这个人不购买保险时的期望效用，只有当购买保险时能获得的确定性效用高于不购买保险时的期望效用时，理性人才会购买保险，所以A点纵坐标代表了购买保险时最低的确定性效用，横坐标代表了购买保险时最低的确定性财富，也就代表了购买保险时最高的保险价格。

（3）公平保费率指保险公司提供的不改变消费者初始期望收益的保费率，等于事故发生的概率，因而补偿所有损失的公平保险价格就等于消费者期望损失，即事故发生的概率与事故损失的乘积。

证明如下：设公平保费率为λ。

由题意知，车出事故给消费者造成的损失为200000－40000＝160000，则公平保险价格为P＝160000λ。

消费者未投保时的期望收益为W ₁ ＝5%×（50000＋40000）＋95%×250000＝242000；

消费者投保后的确定性收益为W ₂ ＝250000－160000λ。

根据公平保费率的性质，可知W ₁ ＝W ₂ ，解得λ＝5%，恰好等于事故发生的概率，得证。

则公平保险价格为P＝5%×160000＝8000。

如图4所示，B点横坐标代表了当这个人不购买保险时的初始期望收益，A点横坐标代表了保险价格为P ₁ 时这个人的期望收益，此时消费者购买保险后的期望收益小于初始期望收益，B点横坐标代表了保险价格为P ₂ 时这个人的期望收益，此时消费者购买保险后的期望收益大于初始期望收益，只有当保险价格为公平保险价格P时，消费者购买保险后的期望收益才等于初始期望收益。

（4）设消费者投保额为L，则0≤L≤160000，那么未投保额为160000－L。假设保费率为公平保费率，那么保险价格为0.05L。

当消费者投保时，若未发生事故，消费者财富为250000－0.05L；若发生事故，消费者财富为250000－5%×L－160000＋L＝90000＋0.95L。

消费者最优投保额应使投保后的期望效用最大，即

maxU ₃ ＝5%×（90000＋0.95L） ^0.5 ＋95%×（250000－0.05L） ^0.5

其一阶条件为：dU ₃ /dL＝0.05×0.5×0.95×[（90000＋0.95L） ^{－ 0.5} －（250000－0.05L） ^{－ 0.5} ]＝0；

解得L＝160000，即在公平保费率下，消费者最优选择是全额保险。

因此，保险市场存在交易的可能。

39 有两个合伙人1和2，他们共同创办了一家企业，两个人的努力程度分别为e ₁ ，e ₂ （e _i ＞0，i＝1，2）各自的努力成本函数为C（e _i ）＝e _i ² /2，合伙公司的收入函数为R（e ₁ ，e ₂ ）＝e ₁ ＋e ₂ ＋e ₁ e ₂ /2。

（1）若两人采取合作共赢策略，此时π＝R（e ₁ ，e ₂ ）－C（e ₁ ）－C（e ₂ ），求利润最大化时，双方的努力程度e ₁ ，e ₂ 。

（2）若两人平分收入，每个人只考虑自己的努力程度，求纯策略纳什均衡。

（3）在（2）中，若两人提前签订了契约：若公司收入大于等于6，两人就平分收入；若小于6，公司的收入捐献给慈善机构。证明在此情况下（1）为纯策略纳什均衡。（北京大学2015研）

解： （1）由题意知，π＝e ₁ ＋e ₂ ＋e ₁ e ₂ /2－e ₁ ² /2－e ₂ ² /2；

其一阶条件为：∂π/∂e ₁ ＝1＋e ₂ /2－e ₁ ＝0，∂π/∂e ₂ ＝1＋e ₁ /2－e ₂ ＝0。

解得：e ₁ ＝e ₂ ＝2，此时R＝6，π＝2。

即利润最大化时，两个合伙人的努力程度均为2。

（2）对合伙人1而言，π ₁ ＝R（e ₁ ，e ₂ ）/2－C（e ₁ ）＝e ₁ /2＋e ₂ /2＋e ₁ e ₂ /4－e ₁ ² /2；

其一阶条件为：dπ/de ₁ ＝1/2＋e ₂ /4－e ₁ ＝0 ①

因为两个合伙人的处境完全相同，所以纳什均衡时必然有：e ₁ ＝e ₂ ②

联立 ① ② ，解得：e ₁ ＝e ₂ ＝2/3，此时R＝14/9，π＝10/9。

即纯策略纳什均衡为：两个合伙人的努力程度均为2/3。

（3）纳什均衡指的是对每个博弈参与人来说，当其他博弈参与人不改变策略时，他也不会改变策略。

假设R＞6。

当合伙人2的努力程度为e ₂ ＝2时，合伙人1的利润函数为：π ₁ ＝e ₁ ＋1－e ₁ ² /2；

显然，当e ₁ ＝1时，π ₁ 取最大值1；当e ₁ ＞1时，π ₁ 随e ₁ 增加而减小。

但是，当e ₁ ＝1，e ₂ ＝2时，公司收入R（e ₁ ，e ₂ ）＝4＜6，公司收入会捐献给慈善机构，两个合伙人收入均为0，利润均为负，即亏损。那么合伙人1一定会提高努力程度，使公司收入满足R（e ₁ ，e ₂ ）≥6。

解R（e ₁ ，e ₂ ）＝2e ₁ ＋2≥6，得：e ₁ ≥2。

所以，合伙人1的努力程度至少为2。又因为当e ₁ ＞1时，π ₁ 随e ₁ 增加而减小，所以理性人为了追求利润最大化，不会再提高努力程度。也就是说，当合伙人2的努力程度为e ₂ ＝2时，合伙人1的最优策略是：努力程度为e ₁ ＝2。

同理可得，当合伙人1的努力程度为e ₁ ＝2时，合伙人2的最优策略是：努力程度为e ₂ ＝2。

因此，（1）为纯策略纳什均衡。

40 某国际卫星电视转播公司要在北京、天津两地开设电视转播产品。已知此产品在北京的需求函数为Q _B ＝60－0.25P _B ，在天津的需求函数为Q _T ＝100－0.5P _T 。项目成本为C（Q）＝1000＋40Q，其中Q＝Q _B ＋Q _T 。

（1）求利润最大化时北京、天津的产品定价以及销量。

（2）若北京、天津两地定价相同，求定价以及销量。

（3）以上两种情况哪种情况的利润最大？以消费者剩余计算两地消费者更喜欢哪种情况，并说明原因。（北京大学2015研）

解： （1）三级价格歧视下，垄断厂商的利润最大化条件是MR _B ＝MR _T ＝MC。

因为此产品在北京的需求函数为Q _B ＝60－0.25P _B ，所以反需求函数为P _B ＝240－4Q _B ，则MR _B ＝240－8Q _B 。

因为此产品在天津的需求函数为Q _T ＝100－0.5P _T ，所以反需求函数为P _T ＝200－2Q _T ，则MR _T ＝200－4Q _T 。

因为项目成本为C（Q）＝1000＋40Q，所以MC＝40。

解MR _B ＝MR _T ＝MC，得Q _B ＝25，Q _T ＝40，则P _B ＝140，P _T ＝120。

即利润最大化时，产品在北京定价为140，销量为25，产品在天津定价为120，销量为40。

（2）若北京、天津两地定价相同，P＝P _B ＝P _T ，总需求为Q＝Q _B ＋Q _T ＝60－0.25P＋100－0.5P＝160－0.75P，反需求函数为P＝4（160－Q）/3，则MR＝4（160－2Q）/3。

解MR＝MC＝40，得Q＝65，则P＝380/3，Q _B ＝85/3，Q _T ＝110/3。

即两地定价相同，产品定价为380/3；在北京，销量为85/3；在天津，销量为110/3。

（3） ① 差别定价时，总利润为π＝（140－40）×25＋（120－40）×40－1000＝4700；

统一定价时，总利润π＝（380/3－40）×65－1000≈4633；

显然，（1）差别定价情况下利润更大。

② 差别定价时，北京的消费者剩余为CS _B ＝（1/2）×（240－140）×25＝1250；

天津的消费者剩余为CS _T ＝（1/2）×（200－120）×40＝1600；

统一定价时，北京的消费者剩余为CS _B ＝（1/2）×（240－380/3）×85/3≈1606；

天津的消费者剩余为CS _T ＝（1/2）×（200－380/3）×110/3≈1344。

显然，北京的消费者更喜欢（2）统一定价，天津的消费者更喜欢（1）差别定价。

41 假定市场有甲、乙两个消费者以及两种商品X ₁ 和X ₂ ，X ₁ 代表馅饼，X ₂ 代表其他商品。假定甲乙二人具有相同的偏好：U（X ₁ ，X ₂ ）＝X ₁ ^0.5 X ₂ ^0.5 ，其中X ₁ 的价格P ₁ 为10元，X ₂ 的价格P ₂ 为1元，甲乙二人均有I＝100元的收入。消费者乙有一张商品X ₁ 的折扣券，该折扣券只能使用一次，可以按50%的折扣购买任意数量的商品X ₁ ，甲没有折扣券。

（1）试求甲乙二人的最优消费决策。

（2）甲若向乙购买折扣券，他最高愿意支付多少钱给乙？

（3）乙最低索取多少钱才会转让自己的折扣券？

（4）甲乙之间能否达成交易？（北京大学2016研）

解： （1） ① 对甲而言，构建拉格朗日函数：L＝X ₁ ^0.5 X ₂ ^0.5 ＋λ（100－10X ₁ －X ₂ ）；

其一阶条件为：∂L/∂X ₁ ＝0.5X ₁ ^{－ 0.5} X ₂ ^0.5 －10λ＝0，∂L/∂X ₂ ＝0.5X ₁ ^0.5 X ₂ ^{－ 0.5} －λ＝0，∂L/∂λ＝100－10X ₁ －X ₂ ＝0；

解得：X ₁ ＝5，X ₂ ＝50。

② 对乙而言，构建拉格朗日函数：L＝X ₁ ^0.5 X ₂ ^0.5 ＋λ（100－5X ₁ －X ₂ ）；

其一阶条件为：∂L/∂X ₁ ＝0.5X ₁ ^{－ 0.5} X ₂ ^0.5 －5λ＝0，∂L/∂X ₂ ＝0.5X ₁ ^0.5 X ₂ ^{－ 0.5} －λ＝0，∂L/∂λ＝100－5X ₁ －X ₂ ＝0；

解得：X ₁ ＝10，X ₂ ＝50。

（2）设甲以T元向乙购买折扣券。

构建拉格朗日函数：L＝X ₁ ^0.5 X ₂ ^0.5 ＋λ（100－T－5X ₁ －X ₂ ）；

其一阶条件为：∂L/∂X ₁ ＝0.5X ₁ ^{－ 0.5} X ₂ ^0.5 －5λ＝0，∂L/∂X ₂ ＝0.5X ₁ ^0.5 X ₂ ^{－ 0.5} －λ＝0，∂L/∂λ＝100－T－5X ₁ －X ₂ ＝0；

解得：X ₁ ＝（100－T）/10，X ₂ ＝（100－T）/2。

只有当购买折扣券后的效用不低于购买折扣券前的效用时，甲才愿意购买折扣券，即：

[（100－T）/10] ^0.5 [（100－T）/2] ^0.5 ≥5 ^0.5 50 ^0.5

解得：T≤100－50×2 ^0.5 ≈29.29。

即甲若向乙购买折扣券，他最高愿意支付29.29元给乙。

（3）设乙以W元向甲出售折扣券。

构建拉格朗日函数：L＝X ₁ ^0.5 X ₂ ^0.5 ＋λ（100＋W－10X ₁ －X ₂ ）；

其一阶条件为：∂L/∂X ₁ ＝0.5X ₁ ^{－ 0.5} X ₂ ^0.5 －10λ＝0，∂L/∂X ₂ ＝0.5X ₁ ^0.5 X ₂ ^{－ 0.5} －λ＝0，∂L/∂λ＝100＋W－10X ₁ －X ₂ ＝0；

解得：X ₁ ＝（100＋W）/20，X ₂ ＝（100＋W）/2。

只有当出售折扣券后的效用不低于出售折扣券前的效用时，乙才愿意出售折扣券，即：

[（100＋W）/20] ^0.5 [（100＋W）/2] ^0.5 ≥10 ^0.5 50 ^0.5

解得：T≥100×2 ^0.5 －100≈41.42。

即乙若向甲出售折扣券，他最低索取41.42元。

（4）由（2）（3）可知，甲的最高出价低于乙的最低要价，所以甲乙之间不能达成交易。

42 一个垄断厂商生产两种产品，各自的市场需求函数为：D ₁ （p ₁ ，p ₂ ）＝（3－p ₂ ）/p ₁ ² ，D ₂ （p ₁ ，p ₂ ）＝（3－p ₁ ）/p ₂ ² ，厂商的成本函数为C（y ₁ ，y ₂ ）＝y ₁ ＋y ₂ ，y ₁ 和y ₂ 分别代表两种产品的销量。

（1）请问两种商品之间是互补品还是替代品？

（2）请写出垄断厂商的利润（表示成p ₁ ，p ₂ 的函数）。

（3）若商品2的价格受到管制，p ₂ ＝1，p ₁ 处于0至3之间。厂商追求利润最大化目标，那么p ₁ 应为多少？

（4）若厂商能让两种商品保持相同的价格，即p ₁ ＝p ₂ ＝p，求最优的价格p。（北京大学2016研）

解： （1）因为∂D ₁ /∂p ₂ ＝－1/p ₁ ² ＜0，∂D ₂ /∂p ₁ ＝－1/p ₂ ² ＜0，所以两种商品之间是互补品。

（2）显然，y ₁ ＝D ₁ ，y ₂ ＝D ₂ 。

则垄断厂商的利润函数为：π＝p ₁ D ₁ ＋p ₂ D ₂ －（D ₁ ＋D ₂ ）＝（p ₁ －1）（3－p ₂ ）/p ₁ ² ＋（p ₂ －1）（3－p ₁ ）/p ₂ ² 。

（3）当p ₂ ＝1时，垄断厂商的利润函数为：π＝2（p ₁ －1）/p ₁ ² ；

其一阶条件为：dπ/dp ₁ ＝[2p ₁ ² －4p ₁ （p ₁ －1）]/p ₁ ⁴ ＝0；

解得：p ₁ ＝2。

（4）当p ₁ ＝p ₂ ＝p时，垄断厂商的利润函数为：π＝2（p－1）（3－p）/p ² 。

其一阶条件为：dπ/dp＝2[（－2p＋4）p ² －2（－p ² ＋4p－3）p]/p ⁴ ＝0；

解得：p＝1.5。

43 某消费者面临跨期消费选择问题。假设此消费者在今天的消费量为c ₀ ，在明天的消费量为c ₁ ，两期的价格均为1。假设该消费者今天的收入为I ₀ ＝100，设明天的收入为I ₁ 。消费者的效用函数是U（c ₀ ，c ₁ ）＝lnc ₀ ＋lnc ₁ ，消费者可以选择储蓄，但不能向他人借款，假设利率水平为r＝0，求：

（1）若明天的收入I ₁ ＝34，求此消费者的消费决策。

（2）若明天的收入存在两种可能，分别是I ₁ ＝100和I ₁ ＝0，两种可能性发生的概率各为50%，求此消费者的消费决策。（北京大学2016研）

解： （1）消费者在明天的预算约束为：c ₁ ＝（I ₀ －c ₀ ）（1＋r）＋I ₁ ＝134－c ₀ 。

构建拉格朗日函数：L＝lnc ₀ ＋lnc ₁ ＋λ（134－c ₀ －c ₁ ）；

其一阶条件为：∂L/∂c ₀ ＝1/c ₀ －λ＝0，∂L/∂c ₁ ＝1/c ₁ －λ＝0，∂L/∂λ＝134－c ₀ －c ₁ ＝0；

解得：c ₀ ＝67，c ₁ ＝67。

即此消费者的消费决策是今天和明天均消费67。

（2）消费者在明天的预算约束有50%的概率为：c ₁ ＝200－c ₀ ，有50%的概率为：c ₁ ＝100－c ₀ ，故消费者在明天的期望效用是：EU ₂ ＝0.5ln（200－c ₀ ）＋0.5ln（100－c ₀ ），消费者总期望效用为：

EU＝lnc ₀ ＋EU ₂ ＝lnc ₀ ＋0.5ln（200－c ₀ ）＋0.5ln（100－c ₀ ）

其一阶条件为：dEU/dc ₀ ＝1/c ₀ －0.5/（200－c ₀ ）－0.5/（100－c ₀ ）＝0；

解得：c ₀ ≈164或c ₀ ≈61。

因为该消费者今天的收入为I ₀ ＝100，且不能向他人借款，所以c ₀ ＜I ₀ ＝100，舍去c ₀ ≈164。

因此，此消费者的消费决策是今天消费61。

44 谷歌和百度在市场进行质量竞争，谷歌的质量是r ₁ ，百度的质量为r ₂ 。质量r ₁ 和r ₂ 介于0至5之间。谷歌的收入函数为：200[0.5＋0.05（r ₁ －r ₂ ）]，成本函数为c ₁ ＝r ₁ ² ；百度的收入函数为200[0.5＋0.05（r ₂ －r ₁ ）]，成本函数为c ₂ ＝1.25r ₂ ² 。试求：

（1）若百度收购了谷歌，那么利润最大化时的质量r ₁ 和r ₂ 分别为多少？

（2）若百度和谷歌进行寡头竞争，r ₁ 和r ₂ 分别为多少？各自的利润分别为多少？总的质量为多少？和（1）的总质量相比如何？

（3）若谷歌有一个投资计划，投入60单位的费用进行宣传和市场推广，投资之后的市场结构会发生变化：即谷歌的收入函数变为200[0.75＋0.05（r ₁ －r ₂ ）]，百度的收入函数变为200[0.25＋0.05（r ₂ －r ₁ ）]，假设各自成本不变。请问谷歌会做这项投资么？（北京大学2016研）

解： （1）百度收购谷歌之后的总利润为：

π＝200[0.5＋0.05（r ₁ －r ₂ ）]＋200[0.5＋0.05（r ₂ －r ₁ ）]－r ₁ ² －1.25r ₂ ² ＝200－r ₁ ² －1.25r ₂ ²

其一阶条件为：dπ/dr ₁ ＝－2r ₁ ＝0，dπ/dr ₂ ＝－2.5r ₂ ＝0；

解得：r ₁ ＝r ₂ ＝0。

即利润最大化时的质量r ₁ 和r ₂ 均为0。

（2）若百度和谷歌进行寡头竞争，谷歌的利润函数为：π ₁ ＝200[0.5＋0.05（r ₁ －r ₂ ）]－r ₁ ² ；

其一阶条件为：dπ ₁ /dr ₁ ＝10－2r ₁ ＝0；

解得：r ₁ ＝5。

百度的利润函数为：π ₂ ＝200[0.5＋0.05（r ₂ －r ₁ ）]－1.25r ₂ ² ；

其一阶条件为：dπ ₂ /dr ₂ ＝10－2.5r ₂ ＝0；

解得：r ₂ ＝4。

则π ₁ ＝85；π ₂ ＝70。

即r ₁ 为5，谷歌利润为85，r ₂ 为4，百度利润为70，总的质量为9，高于（1）的总质量0。

（3）若谷歌实施该投资计划，谷歌的利润函数为：π ₁ ＝200[0.75＋0.05（r ₁ －r ₂ ）]－r ₁ ² －60；

其一阶条件为：dπ ₁ /dr ₁ ＝10－2r ₁ ＝0；

解得：r ₁ ＝5。

百度的利润函数为：π ₂ ＝200[0.25＋0.05（r ₂ －r ₁ ）]－1.25r ₂ ² ；

其一阶条件为：dπ ₂ /dr ₂ ＝10－2.5r ₂ ＝0；

解得：r ₂ ＝4。

则π ₁ ＝75；π ₂ ＝20。

因为π ₁ ＝75＜85，所以谷歌不会做这项投资。

45 在一个完全竞争的钢铁市场，市场的需求函数为P _d ＝20－Q，市场的供给函数为P _s ＝2＋Q。炼钢企业的污染边际损耗是MD＝0.5Q，当生产一单位钢铁时，产生一单位的社会污染。

（1）画出需求曲线、供给曲线、边际损耗曲线以及社会的边际成本曲线。

（2）如果企业不对污染采取措施，那么市场的均衡价格和产量是多少？

（3）请问社会最优的产量是什么？相应的污染成本为多少？

（4）请问污染的外部性造成的社会福利损失为多少？

（5）政府能否通过对产量征税从而达到社会最优产量水平？如果可以，如何征税？（北京大学2016研）

解： （1）市场供给函数反映了私人边际成本，即MPC＝2＋Q，则社会边际成本为MSC＝MPC＋MD＝2＋1.5Q。则需求曲线、供给曲线、边际损耗曲线以及社会的边际成本曲线如图5所示。

（2）如果企业不对污染采取措施，解P _s ＝2＋Q＝P _d ＝20－Q，得：Q＝9；P _s ＝P _d ＝11。即市场的均衡价格是11，产量是9。

（3）社会最优的产量需满足钢铁生产的边际社会收益等于边际社会成本。

市场需求函数反映了边际社会收益，即MSB＝20－Q。

解MSB＝20－Q＝MSC＝2＋1.5Q，得：Q＝7.2，则MD＝0.5Q＝3.6。

即社会最优的产量是7.2，相应的污染成本为3.6。

（4）如图5所示，在存在外部性的前提下，钢铁生产的社会总收益为三角形abc的面积，即：

（1/2）×（20－11）×9＝40.5

钢铁生产的社会总成本为梯形Omng的面积，即：

（1/2）×（2＋15.5）×9＝78.75

所以，污染的外部性造成的社会福利损失为78.75－40.5＝38.25。

（5）假设政府对所有炼钢企业征收从量税，税率为t，则市场的供给函数变为P _s ＝2＋（t＋1）Q。

解P _s ＝2＋（t＋1）Q＝P _d ＝20－Q，得：Q＝18/（t＋2）。

解Q＝18/（t＋2）＝7.2，得t＝0.5。

因此，政府通过征收税率为0.5的从量税解决外部性问题，达到社会最优产量水平。

46 考虑下面三种情形，并分别作答：

（1）一个消费者消费牛肉（b）和胡萝卜（c），她的效用函数为U（b，c）＝b ^0.5 c ^0.5 ，她对于两种商品的初始禀赋为2公斤牛肉和3公斤胡萝卜，她可以在市场上出售自己的禀赋，请问是否存在一组市场价格使她愿意直接消费自己的禀赋。

（2）一个消费者消费饮料（b）和薯片（c），他的效用函数为U（b，c）＝min{b，c}，他对于两种商品的初始禀赋为2公斤薯片和3升饮料，他可以在市场上出售自己的禀赋。请问是否存在一组市场价格使他愿意直接消费自己的禀赋。

（3）护林员甲住在祁连山深处，他消费两种产品，汽油和牛肉面。由于他的住处距离最近的牛肉面馆30公里，去吃面要开车前往，他每天必须先消费6升汽油，余下的钱全部用于购买牛肉面。请问他的偏好可以用无差异曲线描述吗？如果可以，请画图。（北京大学2017研）

解： （1）设牛肉（b）和胡萝卜（c）的市场价格分别是P _b ，P _c 。只要b＝2，c＝3满足MU _b /MU _c ＝P _b /P _c ，消费者就愿意直接消费自己的禀赋。

代入MU _b ＝0.5b ^{－ 0.5} c ^0.5 ，MU _c ＝0.5b ^0.5 c ^{－ 0.5} ，b＝2，c＝3，得P _b /P _c ＝1.5。

即只要市场价格满足牛肉价格是胡萝卜价格的1.5倍，消费者就愿意直接消费自己的禀赋。

（2）设饮料（b）和薯片（c）的市场价格分别是P _b ，P _c 。根据效用函数U（b，c）＝min{b，c}，他的效用最大化原则是U＝b＝c，而初始禀赋是b＝3，c＝2，b≠c，所以不存在一组市场价格使他愿意直接消费自己的禀赋。

（3）如图6所示，向右下方倾斜的曲线即为表示该护林员偏好的无差异曲线。由题意可知，护林员的偏好是拟线性偏好，汽油具有“零收入效应”，护林员对汽油的消费始终为6，所有增加的收入都用于消费牛肉面。

47 一个农民有10000元资金，年初他可以用来购买水稻种子（s）以及保险（i）。如果该年天气好，他可以消费水稻种植的产出，产出的大米量（公斤）为y＝10s ^0.5 ；如果天气不好则水稻绝收，他的消费完全来自保险公司的理赔，保险公司就每份保险赔付给他一公斤大米。天气好的概率为π＝0.8，种子价格（p）为每公斤1元，保险价格（q）为2元一份。

（1）假设农民效用函数为U＝πlnC ₁ ＋（1－π）lnC ₂ ，C ₁ 和C ₂ 分别是天气好和天气不好时的大米消费量。请问他会买多少公斤种子，多少份保险？

（2）假设农民的效用函数为U（b，c）＝min{lnC ₁ ，lnC ₂ }，请问他会买多少公斤种子？（北京大学2017研）

解： 由题意知，预算约束为s＋2i＝10000，C ₁ ＝10s ^0.5 ＝10（10000－2i） ^0.5 ，C ₂ ＝i。

（1）农民效用函数为U＝πlnC ₁ ＋（1－π）lnC ₂ ＝0.8ln[10（10000－2i） ^0.5 ]＋0.2lni；

其一阶条件为：dU/di＝－0.8/（10000－2i）＋0.2/i＝0；

解得：i＝5000/3，则s＝10000－2i＝20000/3。

即他会买20000/3公斤种子，5000/3份保险。

（2）由农民的效用函数U（b，c）＝min{lnC ₁ ，lnC ₂ }可知，其效用最大化原则是lnC ₁ ＝lnC ₂ ，即C ₁ ＝10（10000－2i） ^0.5 ＝C ₂ ＝i，解得：i＝100×101 ^0.5 －100≈905，则s＝8190。

即他会买8190公斤种子，905份保险。

48 假设城市W由两座电厂（A和B）提供电力。A和B均是热力电厂，燃烧煤炭供电的同时会排放空气污染物。为改善空气质量，W市决定要求A和B电厂减排。A电厂减少排放x _A 万吨污染物的总成本为c _A （x _A ）＝3x _A ² 。B电厂减少排放x _B 万吨污染物的总成本为c _B （x _B ）＝5x _B ² ＋10x _B 。W市政府聘请环保专家评估减少污染物排放将会给W市带来的收益。经测算，如果A和B分别减排x _A 和x _B 万吨，W市获得的总收益为：120（x _A ＋x _B ）。请依据以上信息回答下列问题：

（1）请计算A和B的社会最优减排量。

（2）W市政府希望通过征收“排污税”降低A和B的污染物排放量。

① 请问W市政府需对每万吨污染物征收多少“排污税”才能使A和B分别达到第（1）题中的减排量？

② W市征收如上“排污税”的情形下，请用等式列出A和B电厂各自决定减排量所面对的最优化问题。并证明A和B的各自选择的最优减排量与第（1）题中的社会最优减排量相同。

（3）假设W市决定停止征收“排污税”，并出台相关规定强制要求电厂减少污染物排放量。有建议称W市政府要求A和B电厂每年分别减排1万吨污染物。请通过数学推导与文字说明论证这个建议并不是最有效率的。（北京大学2017研）

解： （1）由题意得，A和B减排的边际收益为：MR _A ＝MR _B ＝120，A和B减排的边际成本分别为：MC _A ＝6x _A ，MC _B ＝10x _B ＋10。

解MR _A ＝MC _A 和MR _B ＝MC _B ，得：x _A ＝20，x _B ＝11。

即A和B的社会最优减排量分别是20万吨和11万吨。

（2） ① 设W市政府需对每万吨污染物征收t单位的“排污税”。

对A和B而言，当污染的边际成本t小于减排的边际成本MC _A 和MC _B 时，它们会决定排污；当污染的边际成本t大于减排的边际成本MC _A 和MC _B 时，它们会决定减排。即t＝MC _A 和t＝MC _B 决定了A和B的污染物排放量。

由（1）可知MC _A ＝6x _A ，MC _B ＝10x _B ＋10，且社会最优排放量为x _A ＝20，x _B ＝11，因此t＝120。

即W市政府需对每万吨污染物征收120单位的“排污税”才能使A和B分别达到第（1）题中的减排量。

② 在W市政府对每万吨污染物征收120单位的“排污税”的情形下，A和B每减少排放1万吨污染物，就可以少缴税120单位，相当于获得收益120单位。因此，A和B面对的最优化问题分别是：max120x _A －3x _A ² 和max120x _B －（5x _B ² ＋10x _B ）。

易解得：x _A ＝20，x _B ＝11。即A和B的各自选择的最优减排量与第（1）题中的社会最优减排量相同，得证。

（3）若W市政府要求A和B电厂每年分别减排1万吨污染物，W市获得的总收益为：120（x _A ＋x _B ）＝240，A电厂减排成本为：c _A （x _A ）＝3x _A ² ＝3，B电厂减排成本为：c _B （x _B ）＝5x _B ² ＋10x _B ＝15。此时减排收益远远高于减排成本。

若政府要求的A和B电厂每年实现的减排量分别再增加1万吨，即A和B电厂每年分别减排2万吨污染物，则W市获得的总收益增加120×（2＋2）－240＝240，A电厂减排成本增加3×2 ² －3＝9，B电厂减排成本增加5×2 ² ＋10×2－15＝25，也就是增加减排量所获收益远大于所增成本，政府要求的减排量过低，政府应当增加要求的减排量。

即这个建议并不是最有效率的。

49 公司1和公司2生产相同的产品，而且成本为0。两个公司同时选择生产数量，分别满足q ₁ ≥0和q ₂ ≥0。与之相对应的需求函数为P（q）＝12－q，其中q＝q ₁ ＋q ₂ 。

（1）找出本博弈的纳什均衡（q ₁ ，q ₂ ），以及纳什均衡下两个公司的利润。

（2）假定公司2被迫生产q ₂ ＝0，而公司1是一个垄断经营者，面对的需求函数为P（q）＝12－q且成本为0。公司1的利润是多少？

（3）现在假定这个博弈过程有三个阶段。

第一阶段：公司1选择是否给公司2一笔贿赂，让公司2不参与竞争。

第二阶段：公司2决定是否接受公司1的贿赂并不参加市场竞争。

第三阶段a：如果公司2接受了公司1的贿赂，那么公司1就是这个市场上的垄断经营者。公司1的成本依然为0，面对的需求函数是P（q）＝12－q。因此公司1会获得垄断者的利润，而公司2获得这笔贿赂。

第三阶段b：如果公司2拒绝了这笔贿赂，那么两个公司会进行第（1）问中所描述的生产博弈，他们的利润也如第（1）问中所计算。

请找出这一新规则下的子博弈完美均衡（subgame perfect equilibrium）策略。在这一子博弈完美均衡下，公司1和公司2的利润分别是多少？

（4）现在假定有一个新的公司3加入这个市场，公司3的产量为q ₃ ≥0，单位成本为2。与之相对应的需求函数是P（q）＝12－q，其中q＝q ₁ ＋q ₂ ＋q ₃ 。找出本博弈的纳什均衡（q ₁ ，q ₂ ，q ₃ ），以及纳什均衡下三个公司的利润。

（5）现在假定这个博弈过程有三个阶段。

第一阶段：公司1选择是否给公司3一笔贿赂，让公司3不参与竞争。

第二阶段：公司3决定是否接受公司1的贿赂并不参加市场竞争。

第三阶段a：如果公司3接受了公司1的贿赂，那么公司1和公司2就继续第（3）问中所描述的博弈。

第三阶段b：如果公司3拒绝了这笔贿赂，那么三个公司会进行第（4）问中所描述的生产博弈，他们的利润也如第（4）问中所计算。

请找出这一新规则下的子博弈完美均衡（subgame perfect equilibrium）策略。在这一子博弈完美均衡下，公司1，公司2以及公司3的利润分别是多少？（北京大学2017研）

解： （1）两个公司同时选择生产数量时，博弈的纳什均衡（q ₁ ，q ₂ ）就是古诺均衡解。

因为公司1和公司2生产相同的产品，而且成本为0，所以古诺均衡解满足q ₁ ＝q ₂ 。

公司1的利润函数为：π ₁ ＝Pq ₁ ＝（12－q ₁ －q ₂ ）q ₁ ；

其一阶条件为：dπ ₁ /dq ₁ ＝12－2q ₁ －q ₂ ＝0；

代入q ₁ ＝q ₂ ，解得q ₁ ＝4，则q ₂ ＝4，P＝4，π ₁ ＝16。

即本博弈的纳什均衡是（4，4），纳什均衡下两个公司的利润均为16。

（2）公司1的利润函数为：π ₁ ＝Pq ₁ ＝（12－q ₁ ）q ₁ ；

其一阶条件为：dπ ₁ /dq ₁ ＝12－2q ₁ ＝0；

解得q ₁ ＝6，则P＝6，π ₁ ＝36。

即公司1的利润是36。

（3）设贿赂额为t。由（1）（2）可得该博弈的扩展式如图7所示。因而在不同的贿赂额取值下，该博弈结果不同。

① 当t＜16时，36－t＞20＞16，当公司1贿赂时，公司2不接受贿赂，若公司1已知公司2不接受贿赂，公司1贿赂与不贿赂都有可能。此时该博弈没有子博弈完美均衡。

② 当t＝16时，36－t＝20＞16，当公司1贿赂时，公司2接受与不接受贿赂都有可能。此时该博弈没有子博弈完美均衡。

③ 当16＜t＜20时，16＜36－t＜20，当公司1贿赂时，公司2接受贿赂，若公司1已知公司2接受贿赂，公司1贿赂。此时该博弈的子博弈完美均衡是（贿赂，接受）。

④ 当t＝20时，36－t＝16，当公司1贿赂时，公司2接受贿赂，若公司1已知公司2接受贿赂，公司1贿赂与不贿赂都有可能。此时该博弈没有子博弈完美均衡。

⑤ 当t＞20时，36－t＜16，当公司1贿赂时，公司2接受贿赂，若公司1已知公司2接受贿赂，公司1不贿赂，而公司1不贿赂时，结果唯一。此时该博弈的子博弈完美均衡是公司1不贿赂。

综上所述，只有当贿赂额t满足16＜t＜20和t＞20时，该博弈才有子博弈完美均衡。当16＜t＜20时，该博弈的子博弈完美均衡是：公司1贿赂，公司2接受贿赂，此时公司1利润为36－t，公司2利润为t；当t＞20时，该博弈的子博弈完美均衡是公司1不贿赂，此时公司1和公司2利润均为16。

（4）三个公司同时选择生产数量时，博弈的纳什均衡（q ₁ ，q ₂ ，q ₃ ）就是古诺均衡解。

公司1的利润函数为：π ₁ ＝Pq ₁ ＝（12－q ₁ －q ₂ －q ₃ ）q ₁ ；

其一阶条件为：dπ ₁ /dq ₁ ＝12－2q ₁ －q ₂ －q ₃ ＝0，这就是企业1的反应函数。

公司2的利润函数为：π ₂ ＝Pq ₂ ＝（12－q ₁ －q ₂ －q ₃ ）q ₂ ；

其一阶条件为：dπ ₂ /dq ₂ ＝12－q ₁ －2q ₂ －q ₃ ＝0，这就是企业2的反应函数。

公司3的利润函数为：π ₃ ＝（P－2）q ₃ ＝（10－q ₁ －q ₂ －q ₃ ）q ₃ ；

其一阶条件为：dπ ₃ /dq ₃ ＝10－q ₁ －q ₂ －2q ₃ ＝0，这就是企业3的反应函数。

联立三个反应函数，解得：q ₁ ＝3.5，q ₂ ＝3.5，q ₃ ＝1.5，则P＝3.5，π ₁ ＝12.25，π ₂ ＝12.25，π ₃ ＝2.25。

即本博弈的纳什均衡是（3.5，3.5，1.5），纳什均衡下三个公司的利润分别是12.25，12.25，2.25。

（5）设公司1对公司2的贿赂额为t，对公司3的贿赂额为h。由（1）（2）（3）（4）可得该博弈的扩展式如图8所示。因而在不同的贿赂额取值下，该博弈结果不同。

由（3）可知，第三阶段公司1与公司2的纳什均衡有两个：当16＜t＜20时，公司1贿赂公司2，公司2接受贿赂；当t＞20时，公司1不贿赂公司2。

当16＜t＜20时：

① 当h＜2.25时，当公司1贿赂公司3时，公司3不接受贿赂，若公司1已知公司3不接受贿赂，公司1贿赂与不贿赂都有可能。此时该博弈没有子博弈完美均衡。

② 当h＝2.25时，当公司1贿赂公司3时，公司3接受与不接受贿赂都有可能。此时该博弈没有子博弈完美均衡。

③ 当h＞2.25时，h＋t＞18.25，36－h－t＜17.75，36－h－t与12.25孰大孰小无法确定。故此时只能确定当公司1贿赂公司3时，公司3接受贿赂，而不能确定若公司1已知公司3接受贿赂，公司1是否贿赂公司3。

进一步讨论：

a．当h＋t＜23.75，36－h－t＞12.25，若公司1已知公司3接受贿赂，公司1贿赂公司3。此时该博弈的子博弈完美均衡是：公司1贿赂公司3和公司2，公司3和公司2均接受贿赂。此时公司1利润为36－h－t，公司2利润为t，公司3的利润是h。

b．当h＋t＞23.75时，36－h－t＜12.25，若公司1已知公司3接受贿赂，公司1不贿赂公司3。此时结果唯一。此时该博弈的子博弈完美均衡是：公司1不贿赂公司3。此时公司1利润为12.25，公司2利润为12.25，公司3的利润是2.25。

当t＞20时：

① 同上，当h＜2.25和h＝2.25时，该博弈没有子博弈完美均衡。

② 当h＞2.25时，16－h＜13.75，16－h与12.25孰大孰小无法确定。故此时只能确定当公司1贿赂公司3时，公司3接受贿赂，而不能确定若公司1已知公司3接受贿赂，公司1是否贿赂公司3。

进一步讨论：

a．当2.25＜h＜3.75时，12.25＜16－h＜13.75。若公司1已知公司3接受贿赂，公司1贿赂公司3。此时该博弈的子博弈完美均衡是：公司1贿赂公司3，不贿赂公司2，公司3接受贿赂。此时公司1利润为16－h，公司2利润为16，公司3的利润是h。

b．当h＞3.75时，16－h＜12.25，若公司1已知公司3接受贿赂，公司1不贿赂公司3。此时结果唯一。此时该博弈的子博弈完美均衡是：公司1不贿赂公司3。此时公司1利润为12.25，公司2利润为12.25，公司3的利润是2.25。

综上所述，该博弈有以下三个子博弈完美均衡：

① 当16＜t＜20，h＞2.25，且h＋t＜23.75时，该博弈的子博弈完美均衡是：公司1贿赂公司3和公司2，公司3和公司2均接受贿赂。此时公司1利润为36－h－t，公司2利润为t，公司3的利润是h。

② 当t＞20，且2.25＜h＜3.75时，该博弈的子博弈完美均衡是：公司1贿赂公司3，不贿赂公司2，公司3接受贿赂。此时公司1利润为16－h，公司2利润为16，公司3的利润是h。

③ 当16＜t＜20，h＞2.25，且h＋t＞23.75时，或者是，当t＞20，h＞3.75时，该博弈的子博弈完美均衡是：公司1不贿赂公司3。此时公司1利润为12.25，公司2利润为12.25，公司3的利润是2.25。

50 假设明天的世界有两种状态，晴天或雨天。消费者丙在晴天的禀赋是确定的，等于y ₁ 碗热干面。雨天时，他的禀赋y ₂ 是随机的，有一半的概率为y _H ，一半的概率为y _L ，y _H ＞y _L 。丙的偏好是U＝min{E（c ₁ ），E（c ₂ ）}，c ₁ 和c ₂ 代表明天在晴天和雨天两种状态下分别消费的热干面数量，E是基于今天信息的数学期望。

公司C在今天的期货市场上交易两个状态下的热干面期货，价格为p ₁ 和p ₂ 。消费者可以以p ₁ 的价格向公司C买晴天时的1碗热干面期货，即今天付出p ₁ 。如果明天是晴天，则公司C提供一碗热干面。如果明天为雨天，则公司C不提供。消费者也可以以p ₁ 的价格向公司C出售晴天的1碗热干面期货，即今天消费者收到p ₁ 。如果明天为晴天，则消费者提供一碗热干面，如果明天为雨天，则消费者不提供。p ₂ 也是类似分析。消费者在今天没有任何禀赋。在明天的两种状态下，c ₁ ＝y ₁ ＋x ₁ ，c ₂ ＝y ₂ ＋x ₂ 。数量为正值的x ₁ 和x ₂ 代表今天购买的热干面期权，数量为负值的x ₁ 和x ₂ 代表今天出售的热干面期权。

回答下列问题：

（1）写出在今天的期货市场上的预算约束。

（2）求x ₁ 的表达式。

（3）x ₁ 一定是负的吗？

（4）若p ₁ ，p ₂ 均翻倍，对x ₁ 有何影响？（北京大学2018研）

解： （1）因为消费者在今天没有任何禀赋，所以消费者在今天用于购买一种期权的钱全部来自于出售另一种期权的所得。因此今天期货市场上的预算约束为：x ₁ p ₁ ＋x ₂ p ₂ ＝0 ①

（2）如果明天是晴天，消费者确定可以得到y ₁ 碗热干面；同时，如果他拥有x ₁ 份热干面期权，则可以在y ₁ 的基础上另外得到x ₁ 碗热干面。因此，E（c ₁ ）＝y ₁ ＋x ₁ 。

如果明天是雨天，消费者有一半的概率得到y _H ，一半的概率得到y _L ；同时，如果他拥有x ₂ 份热干面期权，则无论得到的禀赋是y _H 还是y _L ，都可以在此基础上另外得到x ₂ 碗热干面。因此，E（c ₂ ）＝0.5y _H ＋0.5y _L ＋x ₂ 。将 ① 代入，得：E（c ₂ ）＝0.5y _H ＋0.5y _L －x ₁ p ₁ /p ₂ 。

因为消费者丙的偏好是U＝min{E（c ₁ ），E（c ₂ ）}，所以其效用最大化时，E（c ₁ ）＝E（c ₂ ），即：

y ₁ ＋x ₁ ＝0.5y _H ＋0.5y _L －x ₁ p ₁ /p ₂

解得：x ₁ ＝p ₂ （0.5y _H ＋0.5y _L －y ₁ ）/（p ₁ ＋p ₂ ） ②

（3）不一定。由 ② 可知，当0.5y _H ＋0.5y _L －y ₁ ＞0时，x ₁ 为正；反之，x ₁ 为负。

（4）由 ② 可知，x ₁ 的需求函数是关于p ₁ 和p ₂ 的零次齐次函数，所以p ₁ 和p ₂ 均翻倍对x ₁ 无影响。

51 有两种商品x和y，小丽的效用函数为u＝x＋y，小贾的效用函数为u＝max{x，y}。

（1）请用无差异曲线在埃奇沃思矩形图中表示两个人的偏好。

（2）请猜想x和y的均衡价格有什么关系？

（3）猜猜在均衡的情况下，分配结果会是什么样？（北京大学2018研）

解： （1）如图9所示。以横轴表示商品x的消费量，以纵轴表示商品y的消费量，则图9中红线为小丽的无差异曲线，距离左下角越远，表明小丽的效用越高；蓝线为小贾的无差异曲线，距离右上角越远，表明小贾的效用越高。

（2）x和y的均衡价格相等。理由如下：

设x的价格为1，y的价格为P。

当P＞1时，为使效用最大化，小丽、小贾都只会消费较为便宜的商品x，不消费商品y，这不是瓦尔拉斯均衡。同理，当P＜1时，两人也只会消费较便宜的商品y而不消费商品x，这也不是瓦尔拉斯均衡。因此，如果存在均衡价格，只能是P＝1。

（3）设小丽的禀赋为（Z _x ^L ，Z _y ^L ），小贾的禀赋为（Z _x ^J ，Z _y ^J ）；小丽的消费为（x _L ，y _L ），小贾的消费为（x _J ，y _J ）。当P＝1，即x和y价格相等时，有两种可能的均衡：x _J ＝Z _x ^J ＋Z _y ^J ，y _J ＝0，x _L ＝Z _x ^L －Z _y ^J ，y _L ＝Z _y ^L ＋Z _y ^J ；或x _J ＝0，y _J ＝Z _x ^J ＋Z _y ^J ，x _L ＝Z _x ^L ＋Z _x ^J ，y _L ＝Z _y ^L －Z _x ^J 。

因为追求效用最大化的小贾必然会全部出售Z _x ^J 或Z _y ^J （出售二者无差异），假设小贾全部出售Z _y ^J 换取Z _y ^J 单位的商品x，则小贾的消费为x _J ＝Z _x ^J ＋Z _y ^J ，y _J ＝0，与之对应的小丽的消费为：x _L ＝Z _x ^L －Z _y ^J ，y _L ＝Z _y ^L ＋Z _y ^J 。另一种情况也可以类比推出。总之，均衡情况下分配的结果是小丽和小贾都获得各自初始禀赋带给自己的效用。

52 一座城市有N个人。假设其中只有60%的人有购房能力，而且这部分人的收入和偏好都一样。考虑一个两产品的模型：房子和其他商品。设y为消费者购买的房屋面积（平方米），P为房屋每平方米的价格，x为房子以外的消费。有购房能力的消费者的收入为m，且他们对这两类产品的效用函数为u＝x ^{1 － α} y ^α 。

（1）写下有购房能力的消费者的问题并求产品y的市场需求曲线。

（2）假设房地产市场上有M家开发商且完全竞争。房子y的生产需求土地L和资本K两个要素的投入。资本和土地的单位价格分别为w ₁ 和w ₂ 。对土地进行开发建设需要国土部分配的建设用地指标，而国土部分配给该城市的房地产开发建设用地指标总量是 L 。假定地市政府将用地指标（免费）平均分配给M家开发商，房子的生产函数是y＝K ^0.5 L ^0.5 。求房地产市场的供给曲线。

（3）根据（1）和（2）得到的房地产需求曲线和供给曲线，求市场均衡价格和产量。

（4）由于房价过高，政府对房地产市场进行调控。如果政府对房屋交易征收每平方米t元的税收，房子的均衡价格和产量是多少？如果政府把国土部分配的房地产开发建设用地指标的10%用做保障房建设，并通过摇号的形式把这些保障房免费分配给那些没有购房能力的人，此时房子的均衡价格和产量是多少？这两个政策能有效降低房价吗？（北京大学2015研）

解： （1）设其他商品x的价格为P _x ，则有购房能力的消费者的问题为：

由效用最大化的条件MU _x /MU _y ＝P _x /P，得：[（1－α）x ^{－ α} y ^α ]/（αx ^{1 － α} y ^{α － 1} ）＝P _x /P，即（1－α）y/（αx）＝P _x /P。

代入预算约束条件xP _x ＋yP＝m，得：（1－α）yP/α＋yP＝m，化简得：y ^* ＝αm/P，此为有购房能力的消费者对产品y的需求。

产品y的市场需求曲线为每个消费者的需求曲线的水平相加，且N个人中只有60%的人有购房能力，则产品y的市场需求曲线为：y＝0.6Nαm/P。

（2）房子的生产函数为y＝K ^0.5 L ^0.5 ，且每家开发商拥有的用地指标为L＝ L /M，将L＝ L /M代入房子的生产函数，得到每家开发商资本的投入为K＝y ² M/ L ，此时利润函数为：π＝Py－w ₁ K－w ₂ L＝Py－w ₁ y ² M/ L －w ₂ L /M。由利润最大化一阶条件dπ/dy＝0，即P－2w ₁ yM/ L ＝0，得y ^* ＝P L /（2w ₁ M）；

且d ² π/dy ² ＝－2w ₁ M/ L ＜0，故y ^* ＝P L /（2w ₁ M）为每个厂商利润最大化的产量。

房地产市场的供给曲线是每个开发商供给曲线的加总，即y＝My ^* ＝P L /（2w ₁ ）。

（3）联立（1）和（2）中的房地产需求曲线和供给曲线，解得房地产市场均衡价格为：

均衡数量为：

（4） ① 如果政府对房屋交易征收每平方米t元的税收，则房地产市场的供给曲线变为y＝（P－t） L /（2w ₁ ）。

需求曲线不变，联立新的供给曲线与需求曲线，解得：征收交易税后的房地产市场均衡价格为：

均衡产量为：

② 如果政府把国土部分配的房地产开发建设用地指标的10%用做保障房建设，并通过摇号的形式把这些保障房免费分配给那些没有购房能力的人，则每家开发商拥有的用地指标变为0.9 L /M，资本的投入变为K＝y ² M/（0.9 L ），利润函数变为π＝Py－w ₁ K－w ₂ L＝Py－w ₁ y ² M/（0.9 L ）－w ₂ 0.9 L /M，每个厂商利润最大化的产量变为y ^* ＝0.45P L /（w ₁ M），房地产市场的供给曲线变为y＝My ^* ＝0.45P L /w ₁ 。

需求曲线不变，联立新的供给曲线与需求曲线，解得新的均衡价格为：

均衡产量为：

③ 显然，（4）中的均衡价格均比（3）中的均衡价格高，高价格会使得消费者减少对商品的需求，这会在一定程度上降低房价，但作用是有限的。因为房产税虽然会增加投资者、持有者的成本，但是房产税的税率不可能很高，相当多的购房者已经承担了很多税费，根本不在意继续承担一个税率不高的房产税；同时，只要预期的价格上涨可以抵消房产税带来的成本增加，持有者就可以将房产税转嫁给后来的购买者和租房者承受。

针对没有购房能力的消费者建设的保障房面临识别困难，甄别一个人是否具备申请保障房的资格是非常困难的；同时地方政府缺乏建设保障房的动力，因为与商品房相比，建设保障房无利可图。

53 美国波音和法国空客都向世界出售民用客机。假设世界对于飞机的需求函数为P＝20－q，两个公司的成本函数都是c（q）＝8q。

（1）假设两个公司都进行生产，请找出两个公司的古诺/纳什均衡，包括各自的产量，价格和利润。

（2）请问这两个公司是否愿意合谋从而平分垄断利润？

（3）现在假设美国政府决定给予波音公司每架飞机3单位的生产补贴，请问新的古诺/纳什均衡价格和两个公司的利润为多少？

（4）相比于没有补贴的古诺均衡，两个公司各自的利润有何改变？美国作为整体的利润有何改变？

（5）第（4）问中的结果反映古诺模型的假设是否合适？为什么？（北京大学2015研）

解： （1）设美国波音和法国空客生产的飞机数分别为q ₁ 、q ₂ ，则市场需求函数为P＝20－q ₁ －q ₂ 。

美国波音的利润函数为：π ₁ ＝Pq ₁ －c（q ₁ ）＝（20－q ₁ －q ₂ ）q ₁ －8q ₁ ；

其利润最大化的一阶条件为：dπ ₁ /dq ₁ ＝20－2q ₁ －q ₂ －8＝0；

所以美国波音的反应函数为：q ₁ ＝6－0.5q ₂ 。

法国空客的利润函数为：π ₂ ＝Pq ₂ －c（q ₂ ）＝（20－q ₁ －q ₂ ）q ₂ －8q ₂ ；

其利润最大化的一阶条件为：dπ ₂ /dq ₂ ＝20－2q ₂ －q ₁ －8＝0；

所以法国空客的反应函数为：q ₂ ＝6－0.5q ₁ 。

联立上述两个公司的反应函数，可得：两公司的产量为q ₁ ＝q ₂ ＝4，古诺均衡价格为P＝12，利润为π ₁ ＝π ₂ ＝16。

（2）若两公司合谋，则两公司的利润最大化的条件为MC ₁ ＝MC ₂ ＝MR，其中边际收益为MR＝20－2（q ₁ ＋q ₂ ），边际成本为MC ₁ ＝MC ₂ ＝8，代入利润最大化的条件可得：q ₁ ＋q ₂ ＝6，则垄断价格为P＝14，垄断利润为：π＝36，平分垄断利润后每家公司的利润为π ₁ ＝π ₂ ＝18＞16。

所以这两个公司愿意合谋从而平分垄断利润。

（3）若美国政府给予波音公司每架飞机3单位的生产补贴，则美国波音的利润函数为

π ₁ ＝Pq ₁ －c（q ₁ ）＋3q ₁ ＝（20－q ₁ －q ₂ ）q ₁ －8q ₁ ＋3q ₁

其利润最大化的一阶条件为：dπ ₁ /dq ₁ ＝20－2q ₁ －q ₂ －5＝0；

所以美国波音新的反应函数为：q ₁ ＝7.5－0.5q ₂ 。

法国空客的反应函数仍为：q ₂ ＝6－0.5q ₁ 。

联立两公司的反应函数，可得：两公司的产量为q ₁ ＝6、q ₂ ＝3；古诺均衡价格为P＝11；两公司的利润分别为π ₁ ＝36、π ₂ ＝9。

（4）相比于没有补贴的古诺均衡，美国波音的利润增加了36－16＝20单位，法国空客的利润减少了16－9＝7单位；美国作为整体的利润从16单位变为36－3×6＝18单位，增加了2单位。

（5）古诺模型的假定包括： ① 市场上只有两个企业，彼此之间并不存在任何正式或非正式的勾结； ② 两个企业生产同质产品，并以追求利润最大化为目标； ③ 每个企业都视对方的产出水平既定不变，并据此确定自己的产量； ④ 需求曲线为线性，边际成本是常数。（4）中的结果反映出该假设中的 ③ 不合适，因为对方的产出水平并不是既定不变的，而是会随着政策以及政府补贴的变化而变化的。

54 小明在未名湖畔拥有一家店，专门出租滑冰和攀岩装置。他认为今年寒冬的概率为0.55，暖冬的概率为0.45。如果是寒冬，很多学生就会租用滑冰装置在未名湖上滑冰，而在旁边攀岩的人就会很少。小明必须要决定准备多少滑冰装置，多少攀岩装置。他的报酬矩阵如下：

（1）如果小明选择只出租滑冰装置，他的期望报酬是多少？只出租攀岩装置呢？

（2）如果小明选择将x比例的资源分配到滑冰装置上，他的期望报酬是多少（以x表示）？

（3）假设小明是风险中性，他会把多大比例的资源分配在滑冰装置上？

（4）如果小明的效用函数是U（x）＝ln（x），写出他的期望效用（以x表示）。这种情况下，小明会把多大比例的资源分配在滑冰装置上？

（5）一家保险公司给小明建议：“你只出租滑冰装置。如果是暖冬，我赔给你5000元；如果是寒冬，你付我5000元”。保险公司的期望报酬是多少？在什么条件下，小明会接受这个建议？（只需列出判断式子，不用计算出具体数值）。（北京大学2015研）

解： （1）如果小明只出租滑冰装置，他的期望报酬是0.55×20000＋0.45×5000＝13250；如果小明只出租滑冰装置，他的期望报酬是0.55×5000＋0.45×15000＝9500。

（2）如果小明选择将x比例的资源分配到滑冰装置上，他的期望报酬是：

E（x）＝0.55×[20000x＋5000（1－x）]＋0.45×[5000x＋15000（1－x）]＝9500＋3750x

（3）假设小明是风险中性，则期望报酬的效用与期望效用相同。由（2）中小明的期望报酬函数已知，当x＝1，即全部的资源分配在滑冰装置上时，小明的期望报酬最大，期望效用也最大。

（4）小明的期望效用为：

E（U）＝0.55ln[20000x＋5000（1－x）]＋0.45ln[5000x＋15000（1－x）]＝0.55ln（5000＋15000x）＋0.45ln（15000－10000x）

期望效用最大化的一阶条件为：

dE（U）/dx＝0.55×15000/（5000＋15000x）－0.45×10000/（15000－10000x）＝0

解得：x＝0.675，即小明会把0.675比例的资源分配在滑冰装置上。

（5）保险公司的期望报酬是0.55×5000－0.45×5000＝500。

此时，小明的期望效用为：

E（U）＝0.55ln（20000－5000）＋0.45ln（5000＋5000）＝0.55ln15000＋0.45ln10000 ①

由（4）可知，当x＝0.675时，小明的期望效用为：

E（U）＝0.55ln（5000＋15000x）＋0.45ln（15000－10000x）＝0.55ln（15125）＋0.45ln（8250） ②

只要 ① ＞ ② 时，小明才会接受保险公司的建议。

55 CT公司有大量年轻员工有三岁以下的幼儿，一个代表性员工小梁每周收入为2000元，她需要在购买托幼服务时间（d）和消费商品（c）中进行选择，以最大化自己的效用。其效用函数形式为u _k （c，d）＝c ³ d。市面上每小时托幼服务的价格为P _d ＝24元，每单位消费品的价格为P _c ＝2元。

CT公司考虑采取一项措施帮助有孩子的员工，以达到增加员工福利和延长员工工作时间的目的。公司需要在以下三项措施之间进行选择：

第一项措施：给每个有三岁以下孩子的员工每周g＝400元的额外补贴。

第二项措施：公司给员工买的每小时托幼服务支付4元补贴。

第三项措施：公司在办公楼开办托儿所。开办成本为每小时每个孩子23元，公司向每个孩子征收托幼费每小时18元。如果选择公司托儿所，小梁每周能节约4小时接送孩子的时间。

假设增加的托幼服务和节约的接送时间都用于加班（托幼服务四舍五入到整数），同时假设小梁跟采用其他措施相比多出来的每小时加班时间，大致等于自己的该选择的最优消费品量增加10个单位，同时给公司增加10元的收入。

请根据上述情况回答以下问题：

（1）这三项措施下，小梁的最优消费水平和购买的托幼服务时间分别为多少？

（2）从小梁的角度，这三种措施哪种更好呢？为什么？

（3）从公司运营成本的角度，这三种措施哪种更好呢？为什么？

假如由于突发事件的冲击，公司必须要对托幼机构加强监管，每小时托幼成本提高1元，同时为了避免员工抱怨，托幼费用不能提高。

（4）此种情况下，公司的选择会有所变化吗？为什么？

（5）这个事件冲击的结果，会给员工带来多大的影响呢？（可直接列出公式，不用算出结果）（北京大学2018研）

解： （1）未采取措施时，小梁面临的预算约束为：2000＝2c＋24d。由于小梁的效用函数形式为u _k （c，d）＝c ³ d，所以其消费选择满足：MU _c /MU _d ＝3c ² d/c ³ ＝P _c /P _d ＝2/24，即c＝36d，代入预算约束，解得d＝125/6≈21，c＝750。

① 由于小梁的效用函数形式为u _k （c，d）＝c ³ d，所以其消费选择满足：MU _c /MU _d ＝3c ² d/c ³ ＝P _c /P _d ＝2/24，即c＝36d，代入预算约束，解得d＝25，c＝900。

② 第二项措施下，公司给员工买的每小时托幼服务支付4元补贴，相当于小梁每周收入不变，但每小时托幼服务的价格降为P _d ′＝20元，则小梁面临的预算约束为：2000＝2c＋20d。由于小梁的效用函数形式为u _k （c，d）＝c ³ d，所以其消费选择满足：MU _c /MU _d ＝3c ² d/c ³ ＝P _c /P _d ＝2/20，即c＝30d，代入预算约束，解得d＝25，c＝750。

③ 第三项措施下，公司在办公楼开办托儿所，相当于小梁每周收入不变，但每小时托幼服务的价格降为P _d ″＝18元，则小梁面临的预算约束为：2000＝2c＋18d。由于小梁的效用函数形式为u _k （c，d）＝c ³ d，所以其消费选择满足：MU _c /MU _d ＝3c ² d/c ³ ＝P _c /P _d ＝2/18，即c＝27d，代入预算约束，解得d＝250/9≈28，c＝750。

综上所述，第一项措施下，小梁购买的托幼服务时间为25，最优消费水平为900；第二项措施下，小梁购买的托幼服务时间为25，最优消费水平为750；第三项措施下，小梁购买的托幼服务时间为28，最优消费水平为750。

（2） ① 第一项措施下，小梁的效用值为u＝c ³ d＝900 ³ ×25。

② 第二项措施下，小梁的效用值为u＝c ³ d＝750 ³ ×25。

③ 第三项措施下，小梁跟采用其他措施相比多出来的加班时间为28－25＋4＝7小时，大致等于该选择的最优消费品量增加为c＝750＋7×10＝820，小梁的效用值为u＝c ³ d＝820 ³ ×28。

因为900 ³ ×25＞820 ³ ×28＞750 ³ ×25，所以从小梁的角度，第一项措施更好。

（3） ① 第一项措施下，公司运营成本增加了400元。

② 第二项措施下，公司运营成本增加了4×25＝100元。

③ 第三项措施下，公司运营成本增加了（23－18）×28＝140元，但同时收入增加了7×10＝70元，故净运营成本增加了140－70＝70元。

因为400＞100＞70，所以从公司运营成本的角度，第三项措施更好。

（4）若每小时托幼成本提高1元，托幼费用不变，当公司采取第三种措施时，员工购买的托幼服务时间仍为28，公司收入仍增加了7×10＝70元，同时，公司运营成本增加了（24－18）×28＝168元，故净运营成本增加了168－70＝98元。

因为400＞100＞90，所以从公司运营成本的角度，第三项措施更好，公司的选择不变。

（5）因为公司仍会选择第三项措施，且托幼费用不变，所以这次事件冲击的结果对员工无影响。

56 假设一下竞争性市场上有N（N≥2）家生产相同产品的企业。企业之间进行价格竞争的博弈。企业i的生产总成本是c _i q _i ，其中q _i 是产量。市场上的总需求是Q，消费者总是从出价低的厂商那购买产品。当有几家企业同时报出最低价时，总需求Q在不同企业之间平分。

（1）假定c _i ＝c，i＝1，2，…，N，请找出纯策略的纳什均衡。

（2）假定c ₁ ＜c ₂ ≤c _j ，j＝3，…，N，请证明纯策略的纳什均衡不存在。

（3）假定c ₁ ＜c ₂ ≤c _j ，j＝3，…，N，但是消费者有一定的品牌忠诚度：如果多个企业同时报出相同最低价，消费者总是从指数（i＝1，2，…，N）最低的那个企业那里购买产品。例如，企业1和企业2同时报出最低价格，消费者会从企业1那里购买所有Q产量的产品。请找出纯策略的纳什均衡。（北京大学2018研）

答： （1）由于企业之间进行价格竞争的博弈，假设均衡时N家厂商的定价分别是p ₁ ，p ₂ ，…，p _i ，…，p _n 。首先，由于厂商定价一定不低于平均成本，所以p ₁ ，p ₂ ，…，p _i ，…，p _n 均大于等于c。其次，均衡时不会有厂商定价严格大于c，因为消费者总是从出价低的厂商那购买产品，所以只要其他厂商定价略小于c，定价严格大于c的厂商就会失去全部市场份额。综上所述，所有厂商都会定价为c，即纯策略的纳什均衡为：

p ₁ ＝p ₂ ＝…＝p _i ＝…＝p _n ＝c

（2）第一种解法：

先讨论N＝3时的纳什均衡。因为企业i生产总成本是c _i q _i ，所以有AC _i ＝MC _i ＝c _i ，即每个企业可能的最低定价都是c _i 。下面在企业3采取最低定价c ₃ 的前提下，讨论企业1和企业2的定价策略。

① 若企业1定价为c ₃ ，企业2定价为c ₃ 的收益是（c ₃ －c ₂ ）Q/3，定价为c ₂ ＋ε ₁ 的收益为ε ₁ Q，定价为c ₂ 的收益是零，所以企业2的最优选择是定价为c ₂ ＋ε ₁ ，其中（c ₃ －c ₂ ）/3＜ε ₁ ＜c ₃ －c ₂ ，且无限接近于c ₃ －c ₂ ；反之，若企业2定价为c ₂ ＋ε ₁ ，企业1的最优选择是定价为c ₂ ＋ε ₂ ，其中0＜ε ₂ ＜ε ₁ ，且无限接近于ε ₁ ，而不是定价为c ₃ 。

② 若企业1定价为c ₂ ＋ε ₃ ，其中0＜ε ₃ ＜c ₃ －c ₂ ，企业2的最优选择是定价为c ₂ ＋ε ₄ ，其中0＜ε ₄ ＜ε ₃ ，且无限接近于ε ₃ ；反之，若企业2定价为c ₂ ＋ε ₄ ，企业1的最优选择是定价为c ₂ ＋ε ₅ ，其中0＜ε ₅ ＜ε ₄ ，且无限接近于ε ₄ ，而不是定价为c ₂ ＋ε ₃ 。

③ 若企业1定价为c ₂ ，企业2只能采取最低定价c ₂ ；反之，若企业2定价为c ₂ ，企业1的最优选择是定价为c ₁ ＋ε ₆ ，其中0＜ε ₆ ＜c ₂ －c ₁ ，且无限接近于c ₂ －c ₁ ，而不是定价为c ₂ 。

④ 若企业1定价为c ₁ ＋ε ₇ ，其中0＜ε ₇ ＜c ₂ －c ₁ ，企业2只能采取最低定价c ₂ ；同 ③ ，当企业2定价为c ₂ 时，企业1的最优选择不是定价为c ₁ ＋ε ₇ 。

⑤ 若企业1定价为c ₁ ，企业2只能采取最低定价c ₂ ；同 ③ ，当企业2定价为c ₂ 时，企业1的最优选择不是定价为c ₁ 。

而纳什均衡指的是这样一种局面：当博弈中其他参与者不改变自己策略时，每个参与者都不会改变策略。因此，当N＝3时，纯策略的纳什均衡不存在。

同理，易得当N＞3时，纯策略的纳什均衡也不存在。

得证。

第二种解法：

考虑除企业1之外的其他企业的决策，他们的定价一定不能低于自己的边际成本C _j （j＝2、3、4……）否则就会亏损，完全信息价格博弈情形下，企业1知道其他企业定价一定会在自己的边际成本之上，故企业1的最优选择是C ₂ －ξ（ξ趋向于0），由于P ₁ ＝C ₂ －ξ，而ξ是不确定的，所以纯策略纳什均衡不存在。

（3）先讨论N＝3时的纳什均衡。因为企业i生产总成本是c _i q _i ，所以有AC _i ＝MC _i ＝c _i ，即每个企业可能的最低定价都是c _i 。下面在企业3采取最低定价c ₃ 的前提下，讨论企业1和企业2的定价策略。

① 若企业1定价为c ₃ ，企业2定价为c ₃ 的收益是0，定价为c ₂ ＋ε ₁ 的收益为ε ₁ Q，定价为c ₂ 的收益是零，所以企业2的最优选择是定价为c ₂ ＋ε ₁ ，其中0＜ε ₁ ＜c ₃ －c ₂ ，且无限接近于c ₃ －c ₂ ；反之，若企业2定价为c ₂ ＋ε ₁ ，企业1的最优选择是同样定价为c ₂ ＋ε ₁ ，而不是定价为c ₃ 。

② 若企业1定价为c ₂ ＋ε ₂ ，其中0＜ε ₂ ＜c ₃ －c ₂ ，企业2的最优选择是定价为c ₂ ＋ε ₃ ，其中0＜ε ₃ ＜ε ₂ ，且无限接近于ε ₂ ；反之，若企业2定价为c ₂ ＋ε ₃ ，企业1的最优选择是同样定价为c ₂ ＋ε ₃ ，而不是定价为c ₂ ＋ε ₂ 。

③ 若企业1定价为c ₂ ，企业2只能采取最低定价c ₂ ；反之，若企业2定价为c ₂ ，企业1的最优选择是定价为c ₂ 。这是一个纳什均衡。

④ 若企业1定价为c ₁ ＋ε ₄ ，其中0＜ε ₄ ＜c ₂ －c ₁ ，企业2只能采取最低定价c ₂ ；同 ③ ，当企业2定价为c ₂ 时，企业1的最优选择是定价为c ₂ ，而不是定价为c ₁ ＋ε ₄ 。

⑤ 若企业1定价为c ₁ ，企业2只能采取最低定价c ₂ ；同 ③ ，当企业2定价为c ₂ 时，企业1的最优选择是定价为c ₂ ，而不是定价为c ₁ 。

因此，当N＝3时，存在一个纯策略的纳什均衡：p ₁ ＝p ₂ ＝c ₂ ，p ₃ ＝c ₃ 。

同理，易得当N＞3时，同样存在一个纯策略的纳什均衡：p ₁ ＝p ₂ ＝c ₂ ，p ₃ ＝c ₃ ，…，p _j ＝c _j ，…，p _N ＝c _N 。得证。

57 考虑一个罗宾逊孤岛模型。罗宾逊在岛上生产食品，生产函数为q＝AL ^1/2 ，A＞0，其中q为食品产量，L是劳动力投入使用量，A为外生参数。罗宾逊把每天24小时的时间在劳动（L）和休闲（R）之间分配。罗宾逊的效用函数为U＝lnc＋lnR，其中c为食品的消费数量。

（1）写下该经济体在q-R空间的生产可行性前沿函数。该生产可能性集是凸集吗？

（2）请解出经济体最优的生产和消费。请问该资源分配方式可以通过完全竞争市场均衡实现吗？如果是，请求出市场均衡解（包括均衡价格和均衡数量）。设食品价格为p，劳动力价格为w。如果不是，请解释为什么。

下面考虑生产函数q＝AL ² 。

（3）写下此时该经济体在q-R空间的生产可行性前沿函数。该生产可能性集是凸集吗？

（4）请解出新生产函数下该经济体最优的生产和消费。请问该资源分配方式可以通过完全竞争市场均衡实现吗？如果是，请求出市场均衡解（包括均衡价格和均衡数量）。设食品的价格为p，劳动力价格为w。如果不是，请解释为什么。（北京大学2018研）

解： （1）因为罗宾逊把每天24小时的时间在劳动（L）和休闲（R）之间分配，所以L＝24－R，他的生产函数为：q＝AL ^1/2 ＝A（24－R） ^1/2 。

则有dq/dR＝－A/2×（24－R） ^{－ 1/2} ＜0，d ² q/dR ² ＝－A/4×（24－R） ^{－ 3/2} ＜0，故该生产可能性集是凸集。

（2） ① 在罗宾逊孤岛模型中，c＝q＝A（24－R） ^1/2 ，则罗宾逊的效用函数为：

U＝lnc＋lnR＝ln[A（24－R） ^1/2 ]＋lnR

其一阶条件为：dU/dR＝－A/2×（24－R） ^{－ 1/2} /[A（24－R） ^1/2 ]＋1/R＝0；

解得：R＝16。进而有：L＝8，c＝q＝2 ^1/2 ×2A。

即经济体最优的生产和消费是：罗宾逊每天劳动8小时，生产和消费2 ^1/2 ×2A单位食品。

② 完全竞争市场均衡时，生产者要素使用原则为VMP＝p·MP _L ＝w，即p·A/2·L ^{－ 1/2} ＝w，解得：L＝A ² p ² /（4w ² ）。

完全竞争市场均衡时，消费者实现了效用最大化，其效用函数为：U＝lnc＋lnR，预算约束为：pc＝w（24－R）。效用最大化条件为：MU ₁ /MU ₂ ＝P ₁ /P ₂ ，即（1/c）/（1/R）＝p/w，解得cp＝Rw。代入预算约束，解得：R＝12。

所以该资源分配方式不能通过完全竞争市场均衡实现。因为在罗宾逊孤岛模型中罗宾逊本质上不是完全竞争者，而是垄断者，他既是垄断卖者，又是垄断买者。

（3）罗宾逊的生产函数为：q＝AL ² ＝A（24－R） ² 。

则有dq/dR＝－2A（24－R）＜0，d ² q/dR ² ＝2A＞0，故该生产可能性集不是凸集。

（4） ① 在罗宾逊孤岛模型中，c＝q＝A（24－R） ² ，则罗宾逊的效用函数为：

U＝lnc＋lnR＝ln[A（24－R） ² ]＋lnR

其一阶条件为：dU/dR＝－2A（24－R）/[A（24－R） ² ]＋1/R＝0；

解得：R＝8。进而有：L＝16，c＝q＝256A。

即经济体最优的生产和消费是：罗宾逊每天劳动16小时，生产和消费256A单位食品。

② 完全竞争市场均衡时，生产者要素使用原则为VMP＝p·MP _L ＝w，即－2pAL＝w，解得：L＝－w/（2pA）。

完全竞争市场均衡时，消费者实现了效用最大化，其效用函数为：U＝lnc＋lnR，预算约束为：pc＝w（24－R）。效用最大化条件为：MU ₁ /MU ₂ ＝p ₁ /p ₂ ，即（1/c）/（1/R）＝p/w，解得cp＝Rw。代入预算约束，解得：R＝12。

所以该资源分配方式不能通过完全竞争市场均衡实现。因为在罗宾逊孤岛模型中罗宾逊本质上不是完全竞争者，而是垄断者，他既是垄断卖者，又是垄断买者。

【说明】 如果集合S中任意2个元素连线上的点也在集合S中，那么集合S就是凸集。并且，函数与集合凹凸性存在这样的关系：凹函数上方的集合是凹集，下方的集合是凸集；凸函数上方的集合是凸集，下方的集合是凹集。

58 考虑一个封闭经济体，政府可以分别通过消费税、资本所得税和铸币税的方式为政府购买进行融资，请回答以下问题：

（1）假设政府购买水平保持不变。政府通过增加消费税并相应减少一次性转移支付来实现预算平衡，请回答这一政策对于以下变量有何种影响，并作出解释：a．家庭消费；b．就业水平；c．工资水平；d．资本利用率；e．产出；f．资本租赁价格。

注：为了简化讨论，我们假设消费税边际税率等于平均税率且增加后的税率在各期保持相同水平；假设资本存量无法调整。

（2）假设政府购买水平保持不变，政府通过提高家庭资本收入所得税并相应减少一次性转移支付来实现预算平衡，请回答这一政策对于以下变量有何种影响，并作出解释：a．当前消费；b．未来消费；c．当前投资；d．资本利用率；e．就业水平；f．产出水平。

注：为了简化讨论。我们假设资本收入所得税边际税率等于平均税率且增加后的税率在各期保持相同水平；假设资本存量无法调整。

（3）假设政府购买水平保持不变。政府通过增加铸币税并相应减少一次性转移支付来实现预算平衡，请回答：

a．铸币税的税率是由什么决定的？

b．铸币收入除了受铸币税率的影响外，还受哪些因素影响？

c．请做出铸币税收入关于其税率的图像并作出解释。

d．分析该税收变化对于消费、就业、投资、名义和真实利率、产出的影响。

注：请标明坐标轴名称，为了简化讨论，我们假设铸币税税率在各期保持相同水平。（北京大学2018研）

答： （1）政府增加消费税，减少转移支付，将导致：

a．家庭消费减少。因为家庭收入的一部分来自政府转移支付，所以家庭总收入减少了，进而可支配收入减少了；由于消费税是价内税，所以产品价格上升了，进一步抑制了消费，所以家庭消费减少。

b．就业水平下降。政府紧缩性财政政策导致社会总需求减少，企业缩小规模，就业水平下降。

c．工资水平下降。在劳动力市场上，劳动力供给不变而劳动需求降低，故劳动价格下降，即工资水平下降。

d．资本利用率下降。由于总需求下降，等量资本所能带来的价值增值下降，所以资本利用率下降。

e．产出下降。社会总需求减少，产出下降。

f．资本租赁价格下降。由于经济下行，资本回报率下降，资本租赁价格也下降。

（2）政府增加资本所得税，减少转移支付，将导致：

a．当前消费减少。因为家庭收入的一部分来自政府转移支付，所以家庭总收入减少；且家庭收入的一部分来自资本所得，增加资本所得税后可支配收入减少，故当前消费减少。

b．未来消费增加。因为增加资本所得税相当于投资回报率下降，将改变家庭财富分配，激励家庭减少证券投资、房产投资等投资活动，增加消费。

c．当前投资下降。因为当前消费减少，企业没有动力扩大生产。

d．资本利用率下降。增加资本所得税的直接影响是降低了投资收益，必然导致资本利用率下降。

e．就业水平短期下降，长期上升，因为总需求短期下降，长期上升。

f．k产出水平短期下降，长期上升，因为总需求短期下降，长期上升。

（3）a．铸币税是中央银行因垄断货币发行获得的利润，税率由货币铸造成本与实际价值的差额决定。

b．铸币收入除了受铸币税率的影响外，还受以下因素影响：

第一，货币国际化水平。若货币是强势货币，大量国际贸易使用该货币结算，那么该国可以收取国际铸币税，如美元。

第二，管制外的电子货币普及度。若管制外的电子货币大量普及，取代中央银行发行的货币作为通货使用，中央银行就失去了这部分铸币收入。

第三，通货膨胀。超额货币供给导致物价上涨，货币购买力下降，这种通货膨胀税是铸币税的一部分。

c．如图10所示。显然当铸币税税率为零时铸币税收入也为零，随着铸币税税率的提高，铸币税收入增加。但是当铸币税税率过高时，经济混乱，人们不能够进行正常的生产生活与消费，理性人会减少对铸币税过高的货币的使用，寻求别的通货来替代，此时铸币税税率再提高只会进一步腐蚀税基，降低铸币税收入，当铸币税税率高到一定程度时铸币税收入会将为零。

d．铸币税增加，近似于扩张性货币政策，导致物价上涨，名义收入上升，由于货币幻觉，消费增加，社会总需求增加，失业率下降，鼓励企业投资，投资增加，失业率下降，实际利率下降，名义利率下降，产出增加。

59 在一个经济体中，有两个家庭：A和B；有两种商品，表示为x和y，单位化商品y的价格为：P _y ＝1；有两个生产企业：X和Y，它们分别生产x和y；企业需要的资本和劳动力要素（K，L）由两个家庭提供，而两个家庭需要的商品（x，y）由两个企业提供。

家庭A的效用函数为：u（x _A ，y _A ）＝10x _A ^1/3 y _A ^1/3 ，其消费约束为P _x x _A ＋y _A ＝RK _A ＋WL _A ，其中，商品x的价格为P _x ，商品y的价格为P _y ＝1，资本价格为R，劳动力价格（工资）为W。这个消费约束表示，家庭的资本K _A 和劳动力L _A 所获得的财富全部用于消费。

家庭B的效用函数为：u（x _B ，y _B ）＝20x _B ^1/4 y _B ^1/4 ，其消费约束为P _x x _B ＋y _B ＝RK _B ＋WL _B ，其符号含义和约束如前。

这两个家庭的资本和劳动力禀赋分别为L _A ＝20，L _B ＝10，K _A ＝10，K _B ＝20。企业X的生产函数为：x＝10K _X ^1/2 L _X ^1/2 ，企业Y的生产函数为：y＝20K _Y ^1/2 L _Y ^1/2 ，他们面对的资本和劳动力要素价格也都为R和W。

（1）假设P _x ，R，W，P _y ＝1给定，求两个家庭的需求函数。

（2）假设P _x ，R，W，P _y ＝1给定，求两个企业在产出x和y既定时的条件需求函数和商品x的价格P _x （表示为要素价格的函数）。

（3）求此完全竞争市场的一般均衡，包括商品x的价格P _x ，资本和劳动力价格（R，W），家庭A的消费组合（x _A ，y _A ），家庭B的消费组合（x _B ，y _B ），企业X的生产要素分配（K _X ，L _X ），企业Y的生产要素分配（K _Y ，L _Y ）。（北京大学2019研）

解： （1） ① 对家庭A而言，效用最大化条件是：

与其消费约束P _x x _A ＋y _A ＝RK _A ＋WL _A ＝10R＋20W联立，解得：x _A ＝（5R＋10W）/P _x ，y _A ＝5R＋10W。

即家庭A对商品x的需求函数为x _A ＝（5R＋10W）/P _x ，对商品y的需求函数为y _A ＝5R＋10W。

② 对于家庭B而言，效用最大化条件是：

与其消费约束P _x x _B ＋y _B ＝RK _B ＋WL _B ＝20R＋10W联立，解得：x _B ＝（10R＋5W）/P _x ，y _B ＝10R＋5W。

即家庭B对商品x的需求函数为x _B ＝（10R＋5W）/P _x ，对商品y的需求函数为y _B ＝10R＋5W。

（2） ① 对企业X而言，利润最大化条件是：

与其生产函数x＝10K _X ^1/2 L _X ^1/2 联立，解得：K _X ＝（W/R） ^1/2 x/10，L _X ＝（R/W） ^1/2 x/10。

则P _x ＝2R/（10K _X ^{－ 1/2} L _X ^1/2 ）＝（RW） ^1/2 /5。

② 对企业Y而言，利润最大化条件是：

与其生产函数y＝20K _Y ^1/2 L _Y ^1/2 联立，解得：K _Y ＝（W/R） ^1/2 y/20，L _Y ＝（R/W） ^1/2 y/20。

则P _y ＝2R/（20K _Y ^{－ 1/2} L _Y ^1/2 ）＝（RW） ^1/2 /10＝1，RW＝100。

（3）完全竞争市场均衡时，要素供求相等，即：

K _X ＋K _Y ＝（W/R） ^1/2 x/10＋（W/R） ^1/2 y/20＝K _A ＋K _B ＝10＋20

L _X ＋L _Y ＝（R/W） ^1/2 x/10＋（R/W） ^1/2 y/20＝L _A ＋L _B ＝20＋10

联立解得：W＝R。

因为RW＝100，所以W＝R＝10。

因为P _x ＝（RW） ^1/2 /5，所以P _x ＝2。

因为x _A ＝（5R＋10W）/P _x ，y _A ＝5R＋10W，所以x _A ＝75，y _A ＝150。

因为x _B ＝（10R＋5W）/P _x ，y _B ＝10R＋5W，所以x _B ＝75，y _B ＝150。

则x＝x _A ＋x _B ＝150，y＝y _A ＋y _B ＝300。

因为K _X ＝（W/R） ^1/2 x/10，L _X ＝（R/W） ^1/2 x/10，所以K _X ＝15，L _X ＝15。

因为K _Y ＝（W/R） ^1/2 y/20，L _Y ＝（R/W） ^1/2 y/20，所以K _Y ＝15，L _Y ＝15。

综上所述，此完全竞争市场的一般均衡为：商品x的价格P _x 为2，资本和劳动力价格（R，W）为（10，10），家庭A的消费组合（x _A ，y _A ）为（75，150），家庭B的消费组合（x _B ，y _B ）为（75，150），企业X的生产要素分配（K _X ，L _X ）为（15，15），企业Y的生产要素分配（K _Y ，L _Y ）为（15，15）。

60 为治理空气污染问题，某地政府尝试污染权交易制度。政府将总量为 Q ( ＿ ) 的污染排放许可证免费分配给N家不同的企业。假设企业i免费获得的初始污染权证数量是Q _i ⁰ 。显然，我们有：

企业可以在市场上自由买卖这些污染权证数量。显然，如果Q _i ＞Q _i ⁰ ，企业必须从市场上购买额外的污染权证。反之，则卖出污染权证。设C _i （Q _i ）是企业的污染减排成本，C _i ′（Q _i ）＜0，C _i ″（Q _i ）＞0。设P为污染权证的市场价格。

（1）考虑污染权证交易市场完全竞争。请写下企业i的减排成本最优化问题并写下企业的污染排放的最优条件。请问在该制度下，不同企业的减排活动有什么重要特征？该制度是帕累托有效的吗？

（2）请写下污染证市场的竞争性均衡条件。请问污染权证市场均衡是什么变量的函数？初始的污染权分配对污染权证的市场均衡价格和企业的减排活动有什么样的影响？

（3）设在污染权证市场上，企业1拥有垄断定价权，其他企业都是价格跟随者。请分别写下企业1和其他企业的成本最小化问题以及各自的污染物排放的最优条件。可考虑企业1选择污染权证价格以使得自身的减排成本最小化。请问此时，污染权证制度是帕累托有效的吗？如果是帕累托有效的，请解释你的答案。如果不是帕累托有效的，请指出在什么条件下该污染权交易制度能实现帕累托有效的资源配置。（北京大学2019研）

解： （1） ① 当企业i的污染物排放量Q _i 大于初始污染权证数量Q _i ⁰ 时，企业必须从市场上购买额外的污染权证。故企业i的减排成本最小化问题为：

其一阶条件为：C _i ′（Q _i ）＝－P。

② 当企业i的污染物排放量Q _i 小于初始污染权证数量Q _i ⁰ 时，企业可以在市场上出售额外的污染权证。故企业i的减排成本最小化问题为：

其一阶条件为：C _i ′（Q _i ）＝－P。

综上所述，企业的污染物排放的最优条件为：C _i ′（Q _i ）＝－P。

③ 在该制度下，减排成本较低的企业会大力减排，减排成本较高的企业会从市场上购买污染权证，最终，所有企业最后一单位污染物排放量减排的边际成本都等于污染权证的市场价格。该制度是帕累托有效的。

（2）污染权证市场的竞争性均衡条件为：C _i ′（Q _i ）＝－P。污染权证市场均衡是企业污染物排放量Q _i 的函数。初始的污染权分配对污染权证市场均衡价格和企业的减排活动没有影响。

（3） ① 设企业1面临的市场反需求函数为P（Q ₁ ）。

a．当企业1的污染物排放量Q ₁ 大于初始污染权证数量Q ₁ ⁰ 时，企业1是垄断买者。故企业1的减排成本最小化问题为：

其一阶条件为：C ₁ ′（Q ₁ ）＋P（Q ₁ ）＋P′（Q ₁ ）（Q ₁ －Q ₁ ⁰ ）＝0。

b．当企业1的污染物排放量Q ₁ 小于初始污染权证数量Q ₁ ⁰ 时，企业1是垄断卖者。故企业1的减排成本最小化问题为：

其一阶条件为：C ₁ ′（Q ₁ ）＋P（Q ₁ ）－P′（Q ₁ ）（Q ₁ ⁰ －Q ₁ ）＝0。

综上所述，企业1污染物排放的最优条件为：

C ₁ ′（Q ₁ ）＋P（Q ₁ ）＋P′（Q ₁ ）（Q ₁ －Q ₁ ⁰ ）＝0

② 当企业1决定价格P后，其他企业只能被动地接受价格P。

a．当其他企业i（i≠1）的污染物排放量Q _i 大于初始污染权证数量Q _i ⁰ 时，企业必须从市场上购买额外的污染权证。故企业i的减排成本最小化问题为：

其一阶条件为：C _i ′（Q _i ）＝－P。

b．当其他企业i（i≠1）的污染物排放量Q _i 小于初始污染权证数量Q _i ⁰ 时，企业可以在市场上出售额外的污染权证。故企业i的减排成本最小化问题为：

其一阶条件为：C _i ′（Q _i ）＝－P。

综上所述，其他企业i（i≠1）的污染物排放的最优条件为：C _i ′（Q _i ）＝－P。

③ 此时，污染权证制度不是帕累托有效的。

在污染权证市场完全竞争条件下，该污染权交易制度能实现帕累托有效的资源配置。

61 考虑封闭经济中的索洛增长模型：储蓄率s外生给定，0＜s＜1，即储蓄率始终为可支配收入的固定比率；人均生产函数表示为：y＝f（k）＝Ak ^α ，0＜α＜1；资本折旧率σ为0；技术A的进步速率为g＝0，人口增长率为n＞0。

（1）假如政府通过一项移民法令使得移民流入下降，受其影响该国人口增长率从n下降到n ^new ，即0＜n ^new ＜n。假设这一政策改革瞬间完成，并一直持续下去。进一步假设该国在政策改革之前就已经处于稳态之中。请回答：这一政策改革对于稳态的人均资本存量k，人均产出y，工资率w，资本价格r的影响？谁是受益者，劳动者还是资本所有者？

（2）假设政府通过的移民法令并未改变人口增长率，但限制了高技术人员的移民门槛，这使得技术水平从A下降到A ^new ，即0＜A ^new ＜A，假设这一政策实施了一段时间，从t ₁ 开始，到t ₂ 结束。进一步假设该国在政策改变之前就已处于稳态之中。请绘图并回答：该国的人均资本存量k _t 和人均产出y _t 是如何随着时间而变化的？（分别作出k _t 和y _t 的图像，以时间为x轴）

（3）假设我们把模型引入政府。政府消耗资源但并不参与生产或资本积累活动。假设人均负担政府消费为g _t ，政府为了维持这一支出，其唯一收入来源是对产出征税，税率为τ _t 。假设政府每期预算始终平衡，收支相抵。请推导出人均资本存量的积累方程，并求解稳态时人均资本存量。作图回答一项永久性的政府支出增加（税率相应改变以维持政府每期的预算平衡）对于人均产出，人均资本存量，人均消费的影响。（分别作出y _t ，k _t 和c _t 的图像，以时间为x轴）。

（4）假设生产函数为y _t ＝k _t ^α g _t ^β ，其中α＞0，β＞0，0＜α＋β＜1。假设人均负担政府消费为g _t ，政府为了维持这一支出，其唯一的收入来源是对产出征税，税率为τ _t 。假设政府每期预算始终平衡，收支相抵。请推导出人均资本存量的积累方程，并求解稳态时人均资本存量。定义最优税率为最大化人均资本存量的税率，求解这一最优税率水平。（北京大学2019研）

解： （1）当资本折旧率和技术进步速率均为零时，经济稳态条件为：sy＝nk。

如图11所示，人口增长率下降使稳态的人均资本存量k和人均产出y提高，其初始提高速度很快，然后逐步放缓，直至提高速度降为零，经济实现新的稳态。稳态的工资率是使劳动力市场供求均衡的工资率。人口增长率下降不影响劳动力需求的增长率，但降低了劳动力供给的增长率，故劳动力供不应求，稳态工资率w提高了。由于劳动力供不应求，资本的边际产出MP _K 下降，当资本折旧率为零时，资本价格r＝MP _K 也下降了。此项政策使劳动者收益。

（2）如图12所示，当技术水平发生变化时，稳态人均资本也发生变化。

由图12可知，稳态时人均资本量会减少，从而人均收入也会减少。

图13、图14分别代表k _t 、y _t 的变化路径：

（3）人均资本存量的积累方程是：Δk _t ＝（s－τ _t ）y _t －nk _t 。

当Δk _t ＝0，因为y _t ＝Ak _t ^α ，所以求出稳态时人均资本存量为：

因为τ _t 的一次性提高相当于整个社会的储蓄率下降，如图15所示。

k _t 、y _t 的变化路径与第二问相同，即在征税前都处于稳态水平，税率提高后k _t 、y _t 在向新稳态过渡的过程中逐渐减少并达到新的稳态水平。因为征税是一次性、外生的，所以税率的提高也只持续一段时间，之后恢复到原来的水平。因为c _t ＝（1－s）y _t ，所以c _t 的变化路径如图16所示。

（4）因为τ _t ·y _t ＝g _t ，y _t ＝k _t ^α g _t ^β ，所以y _t ＝（k _t ^α τ _t ^β ） ^{1/ （ 1 － β ）} ，因为Δk _t ＝（s－τ _t ）y _t －nk _t ，当Δk _t ＝0时，稳态人均资本存量为：

令∂k _t /∂τ _t ＝0，求出最优税率：τ _t ＝s/（2－β）。

62 小明只买两种商品X和Y。购买商品X的消费量为x，购买商品Y的消费量为y，购买商品X的单价为2，商品Y的单价随着购买量的增加而增加。具体地说，购买y单位的商品Y需要花费y ² ，小明收入是20元。效用函数U（x，y）＝x＋2y。

（1）求出小明预算的约束方程，并在图形上画出小明的预算集；

（2）求出小明在这两种商品上的最优消费；

（3）如果商品X的单价上涨为4，商品Y的价格不变。求出由于商品X价格上涨引起的需求变化中的替代效应和收入效应。（上海财经大学2015研）

解： （1）由题意知，小明的预算约束方程为：2x＋y ² ＝20。

小明的预算集如图17阴影部分所示：

（2）构建拉格朗日函数：L（x，y，λ）＝x＋2y－λ（2x＋y ² －20）；

其一阶条件是：

∂L/∂x＝1－2λ＝0

∂L/∂y＝2－2λy＝0

∂L/∂λ＝－（2x＋y ² －20）＝0

解得：x＝8，y＝2。

即小明在这两种商品上的最优消费是消费8单位商品X，2单位商品Y。

（3） ① 先求总效应

商品X价格上涨后，小明的预算约束方程变为：4x＋y ² ＝20。

构建拉格朗日函数：L（x，y，λ）＝x＋2y－λ（4x＋y ² －20）；

其一阶条件是：

∂L/∂x＝1－4λ＝0

∂L/∂y＝2－2λy＝0

∂L/∂λ＝－（4x＋y ² －20）＝0

解得：x＝1，y＝4。

即由于商品X价格上涨引起的需求变化的总效应为1－8＝－7。

② 再求替代效应和收入效应

商品X价格上涨后，为保持原消费束（x＝8，y＝2）不变，小明的收入需增加8×（4－2）＝16元，则他的预算约束方程变为：4x＋y ² ＝36。

构建拉格朗日函数：L（x，y，λ）＝x＋2y－λ（4x＋y ² －36）；

∂L/∂x＝1－4λ＝0

∂L/∂y＝2－2λy＝0

∂L/∂λ＝－（4x＋y ² －36）＝0

解得：x＝5，y＝4。

即由于商品X价格上涨引起的需求变化中的替代效应（斯勒茨基替代效应）为5－8＝－3。

则由于商品X价格上涨引起的需求变化中的收入效应（总效应－替代效应）为（－7）－（－3）＝－4。

63 假设小明只消费两种小商品X和Y，小明的效用函数为U（x，y）＝2xy＋1，其中x表示小明在商品X上的消费量，y表示小明在商品Y上的消费量。假设商品X和商品Y的价格都为1，小明的收入为20元。

（1）求出小明的对商品X和商品Y的需求。

（2）假设商品X的价格上涨到2，商品Y的价格不变，求出由于X的价格上涨所引起的商品X的需求变化中的替代效应和收入效应。

（3）继续考虑（2）中的情况，即商品X的价格上涨到2，商品Y的价格不变，求出小明收入的等价变化和补偿变化。（上海财经大学2016研）

解： （1）消费者效用最大化条件为：MU _x /MU _y ＝p _x /p _y ，即2y/（2x）＝p _x /p _y ，整理得：xp _x ＝yp _y 。

与预算约束xp _x ＋yp _y ＝m联立，得马歇尔效用函数：x＝0.5m/p _x ，y＝0.5m/p _y 。

代入m＝20，p _x ＝1，p _y ＝1，得：x＝10，y＝10。

即小明的对商品X和商品Y的需求均为10。

（2）将m＝20，p _x ＝2代入x＝0.5m/p _x ，得价格变化后小明对商品X的消费量x＝5，则总效应为5－10＝－5。

若价格变化后，小明仍可实现价格变化前的消费束，他的收入需要上涨Δm＝Δpx＝（2－1）×10＝10。将m＝30，p _x ＝2代入x＝0.5m/p _x ，得x＝7.5，则替代效应为7.5－10＝－2.5。

则收入效应＝总效应－替代效应＝－5－（－2.5）＝－2.5。（此处为斯勒茨基的替代效应和收入效应）

（3）xp _x ＝yp _y 与效用函数U＝2xy＋1联立，得希克斯效用函数：x＝[0.5（U－1）p _y /p _x ] ^0.5 ，y＝[0.5（U－1）p _x /p _y ] ^0.5 。

价格变化前小明的效用水平为U＝2×10×10＋1＝201；价格变化后小明的效用水平为U＝2×5×10＋1＝101。

补偿变化是指价格变化后，要使消费者的境况同他在价格变化前的境况一样好，他必须得到额外的货币量。将U＝201，p _x ＝2，p _y ＝1代入x＝[0.5（U－1）p _y /p _x ] ^0.5 ，得x＝5×2 ^0.5 ；代入y＝[0.5（U－1）p _x /p _y ] ^0.5 ，得y＝10×2 ^0.5 。则要实现价格变化前的效用水平U＝201，小明的收入需要增加CV＝2×5×2 ^0.5 ＋1×10×2 ^0.5 －20＝20×2 ^0.5 －20。

等价变化是指价格变化前，要使消费者的境况同他在价格变化后一样好，必须在价格变化前从消费者那里拿走的货币量。将U＝101，p _x ＝1，p _y ＝1代入x＝[0.5（U－1）p _y /p _x ] ^0.5 ，得x＝5×2 ^0.5 ；代入y＝[0.5（U－1）p _x /p _y ] ^0.5 ，得y＝5×2 ^0.5 。则要实现价格变化后的效用水平U＝101，小明的收入需要减少EV＝20－（1×5×2 ^0.5 ＋1×5×2 ^0.5 ）＝20－10×2 ^0.5 。

64 某消费者消费三种商品，其效用函数为：

若该消费者收入为y＝200，三种商品的价格分别为p ₁ ＝1，p ₂ ＝2，p ₃ ＝3。

（1）求出该消费者的最优消费选择。

（2）固定价格为p ₁ ＝1，p ₂ ＝2，p ₃ ＝3，求对任意收入y的商品2和商品3的最优消费选择。

（3）固定y＝200，p ₂ ＝2，p ₃ ＝3并假设p ₁ ＜20，将商品1的最优需求写成关于价格p ₁ 的函数，然后判断商品1是普通商品还是吉芬商品。（上海财经大学2017研）

解： （1）由效用函数可知x ₂ 和x ₃ 完全替代。由于p ₂ ＝2＜p ₃ ＝3，消费者只消费x ₂ ，不消费x ₃ ，其效用函数可以写成：u（x ₁ ，x ₂ ）＝x ₁ ＋2x ₂ ^0.5 。

消费者面临的预算约束为：x ₁ ＋2x ₂ ＝y。

构建拉格朗日函数：L＝x ₁ ＋2x ₂ ^0.5 －λ（x ₁ ＋2x ₂ －y）；

其一阶条件是：

∂L/∂x ₁ ＝1－λ＝0

∂L/∂x ₂ ＝x ₂ ^{－ 0.5} －2λ＝0

∂L/∂λ＝－（x ₁ ＋2x ₂ －y）＝0

联立解得：x ₁ ＝y－0.5＝199.5，x ₂ ＝0.25。

因此，当消费者收入为y＝200时，该消费者的最优消费选择是：消费199.5单位x ₁ ，0.25单位x ₂ ，且不消费x ₃ 。

（2）当y＜0.5时，消费者全部收入都用于消费x ₂ ，只能消费y/2单位x ₂ ；当y≥0.5时，无论收入增加多少，消费者都只消费0.25单位x ₂ 。

故对任意收入y的商品2和商品3的最优消费选择是：

（3）消费者面临的预算约束为：p ₁ x ₁ ＋2x ₂ ＝200。

构建拉格朗日函数：L＝x ₁ ＋2x ₂ ^0.5 －λ（p ₁ x ₁ ＋2x ₂ －200）；

其一阶条件是：

∂L/∂x ₁ ＝1－λp ₁ ＝0

∂L/∂x ₂ ＝x ₂ ^{－ 0.5} －2λ＝0

∂L/∂λ＝－（p ₁ x ₁ ＋2x ₂ －200）＝0

联立解得：x ₁ ＝200/p ₁ －p ₁ /2，x ₂ ＝p ₁ ² /4。

由x ₁ ＝200/p ₁ －p ₁ /2可知dx ₁ /dp ₁ ＝－200/p ₁ ² －1/2＜0，即在其他条件不变的前提下，随着商品1的价格上升，消费者对商品1的消费量下降，故商品1是普通商品。

65 某企业的生产函数为：f（x ₁ ，x ₂ ，x ₃ ，x ₄ ，x ₅ ）＝[min（3x ₁ ＋x ₂ ，x ₃ ）] ^1/3 ＋[min（3x ₄ ，x ₅ ）] ^1/3 ，x ₁ ，x ₂ ，x ₃ ，x ₄ ，x ₅ 分别为五种生产要素的投入量。假定所有要素均为可变要素，并且要素价格分别为w ₁ ＝w ₄ ＝2，w ₃ ＝w ₅ ＝1，w ₂ ＝7。求出该企业的条件要素需求函数及长期成本函数。（上海财经大学2017研）

解： 由生产函数可知x ₁ 和x ₂ 完全替代。因为w ₁ /w ₂ ＝2/7＜3，所以企业只使用生产要素x ₁ ，不使用生产要素x ₂ ，即x ₂ ＝0。故该企业的生产函数可以写成：

f（x ₁ ，x ₃ ，x ₄ ，x ₅ ）＝[min（3x ₁ ，x ₃ ）] ^1/3 ＋[min（3x ₄ ，x ₅ ）] ^1/3

由生产函数可知x ₁ 和x ₃ 完全互补，x ₄ 和x ₅ 完全互补。该企业的要素使用原则是：3x ₁ ＝x ₃ ，3x ₄ ＝x ₅ ，故该企业的生产函数可以写成：f（x ₃ ，x ₅ ）＝x ₃ ^1/3 ＋x ₅ ^1/3 。

由生产函数可知x ₃ 和x ₅ 相互替代。因为w ₃ ＝w ₅ ＝1，所以企业使用等量的生产要素x ₃ 和x ₅ 。当企业生产y单位产量时，y＝x ₃ ^1/3 ＋x ₅ ^1/3 ，x ₃ ＝x ₅ ＝y ³ /8，则x ₁ ＝x ₃ /3＝y ³ /24，x ₄ ＝x ₅ /3＝y ³ /24，则该企业成本函数为：

C＝w ₁ x ₁ ＋w ₂ x ₂ ＋w ₃ x ₃ ＋w ₄ x ₄ ＋w ₅ x ₅ ＝5y ³ /12

66 考虑一个全支付密封拍卖，即所有投标人同时出价，出价最高的人得到商品，并且支付他自己报的价格，其他所有投标人即使没有得到商品也要支付他报的价格。在有多个投标人出最高价格的情况下，胜利方随机决定（所有出最高价者等概率成为胜利方）。假定投标人数为n（n＞2）。投标人i对拍卖者所持商品的估价为V _i ，V _i 为投标人的私人信息。若投标人i最后付出价格p得到商品，则i的收益为V _i －p。假设n个投标人的估价相互独立且服从相同的分布。

（1）假设每个投标人的估价V _i 服从[0，1]区间上的均匀分布。证明在此拍卖中，所有投标人采用相同的报价函数b（V）＝V ⁿ （n－1）构成一个贝叶斯纳什均衡。

（2）假设每个投标人的估价V _i 在[0，1]区间上服从分布函数F（x）＝x ² 。即对任意x∈[0，1]，估价V _i 小于或等于x的概率为x ² 。证明在此拍卖中，所有投标人采用相同的报价函数b（V）＝V ^{2n － 1} ×2（n－1）构成一个贝叶斯纳什均衡。（上海财经大学2017研）

证明：（1）当每个投标人的估价V _i 服从[0，1]区间上的均匀分布时，则：

现在假设只有两个人A、B。现在每个人要决定自己的投标价（b _A 和b _B ）。

A从拍卖中得到的收益是：

现在用数学的语言来表示每个参与人的投标策略：假设每个参与人的投标价与其评价成一定比例k _i （k _i ≤1），即b _i ＝k _i V _i ，i＝A，B。

于是，A的预期收益为：π _A ＝（V _A －b _A ）×prob（b _A ＞b _B ）＋（－b _A ）×prob（b _A ＜b _B ）。

而prob（b _A ＞b _B ）＝prob（b _A ＞k _B V _B ）＝prob（b _A /k _B ＞V _B ）＝b _A /k _B 。

因此有：π _A ＝（V _A －b _A ）（b _A /k _B ）＋（－b _A ）（1－b _A /k _B ）。

由A的收益最大化的一阶条件可得：∂π _A /∂b _A ＝V _A b _A /k _B －1＝0；可得b _A ＝k _B /V _A 。

假设有n－1个竞争者与A竞争，那么A的预期收益为：π _A ＝（V _A －b _A ）prob（b _A ＞b _i ）＋（－b _A ）×[1－prob（b _A ＞b _i ）]。因为每个投标人的估价V _i 是服从[0，1]的均匀分布，所以有：prob（b _A ＞b _i ）＝prob（b _A /k _i ＞V _i ）＝b _A ^{n － 1} /k ^{n － 1} 。

根据假设的对称性，对于所有的i，令k _i ＝k，即有：

π _A ＝（V _A －b _A ）（b _A ^{n － 1} /k ^{n － 1} ）＋（－b _A ）×（1－b _A ^{n － 1} /k ^{n － 1} ）

根据最大化的一阶条件有：

将k＝b _A /V _A 代入上式可得：b（V _A ）＝V _A ⁿ （n－1）。由一般性可得：b（V）＝V ⁿ （n－1）。

（2）当每个投标人的估价V _i 在[0，1]区间上服从分布函数F（x）＝x ² ，即对任意x∈[0，1]，估价V _i 小于或等于x的概率为x ² 时，有：

prob（b _A ＞b _B ）＝prob（b _A ＞k _B V _B ）＝b _A ² /k _B ²

prob（b _A ＞b _i ）＝（b _A /k _B ） ^{2 （ n － 1 ）}

于是，A的预期收益为：

π _A ＝（V _A －b _A ）[b _A ^{2 （ n － 1 ）} /k _B ^{2 （ n － 1 ）} ]＋（－b _A ）[1－b _A ^{2 （ n － 1 ）} /k _B ^{2 （ n － 1 ）} ]

根据最大化的一阶条件有：b（V _A ）＝V _A ^{2n － 1} ×2（n－1）；

由一般性可得：b（V）＝V ^{2n － 1} ×2（n－1）。

67 已知市场价格为P _x ＝2，P _y ＝1，消费者的收入为20元，消费者的效用函数为U（x，y）＝xy。

（1）写出消费者的预算线并求解消费者的选择。

（2）现在厂家促销，消费者购买前两个单位的商品x时享受半价，之后回到原价，写出消费者的新的预算线。

（3）写出消费者的最优解。（上海财经大学2018研）

解： （1）由题意知，消费者的预算线为：2x＋y＝20 ①

消费者效用最大化条件为：MU _x /MU _y ＝P _x /P _y ，即y/x＝2/1 ②

联立 ① ② 可得：x＝5，y＝10。

即消费者的选择为：消费5单位x，消费10单位y。

（2）由题意知，消费者的预算线为：

（3）当x≤2时，消费者效用最大化条件为：MU _x /MU _y ＝P _x /P _y ，即y/x＝1/1，与相应预算线x＋y＝20联立，得：x＝10，y＝10。不满足前提条件x≤2，故舍去。

当x＞2时，消费者效用最大化条件为：MU _x /MU _y ＝P _x /P _y ，即y/x＝2/1，与相应预算线2x＋y＝22联立，得：x＝5.5，y＝11。满足前提条件x＞2，故这就是消费者的最优解。

68 商品h只由两个厂商供应，h的市场需求为h＝1200－20p。两个厂商的生产成本分别为成本函数C（h ₁ ）＝10h ₁ ，C（h ₂ ）＝20h ₂ 。

（1）若厂商1为领导者，厂商2为追随者，求解它们的反应函数、市场均衡时的产量水平、市场价格和两个厂商的利润。

（2）若两个厂商同时行动，推导它们的反应函数，并计算市场上均衡时的产量水平、市场价格和两个厂商的利润。

（3）两个厂商是否能够通过串谋提高利润？如果可能，计算串谋之后的总产量，如果不可能，解释原因。（上海财经大学2018研）

解： （1）由题意知，h＝h ₁ ＋h ₂ ，则市场价格为p＝60－（h ₁ ＋h ₂ ）/20。

若厂商1为领导者，厂商2为追随者，厂商2根据厂商1的产量决定自己的产量。

厂商2的利润函数为：π ₂ ＝ph ₂ －C（h ₂ ）＝40h ₂ －（h ₁ ＋h ₂ ）h ₂ /20；

其一阶条件为：∂π ₂ /∂h ₂ ＝40－（h ₁ ＋2h ₂ ）/20＝0；

则厂商2反应函数为：h ₂ ＝400－0.5h ₁ 。

厂商1根据厂商2的反应决定自己的产量。

厂商1的利润函数为：π ₁ ＝ph ₁ －C（h ₁ ）＝50h ₁ －（h ₁ ＋h ₂ ）h ₁ /20 ①

将厂商2的反应函数代入 ① ，得：π ₁ ＝50h ₁ －（400＋0.5h ₁ ）h ₁ /20；

其一阶条件为：dπ ₁ /dh ₁ ＝50－（400＋h ₁ ）/20＝0；

解得：h ₁ ＝600，则h ₂ ＝100，h＝700，p＝25，π ₁ ＝9000，π ₂ ＝500。

（2）由（1）可得，两个厂商同时行动时，厂商2的反应函数为h ₂ ＝400－0.5h ₁ 。

根据 ① 式可以得到此时的一阶条件为：∂π ₁ /∂h ₁ ＝50－（2h ₁ ＋h ₂ ）/20＝0，即h ₁ ＝500－0.5h ₂ ，这就是厂商1的反应函数。

联立两反应函数，解得h ₁ ＝400，h ₂ ＝200，h＝600，p＝30，π ₁ ＝8000，π ₂ ＝2000。

（3）若串谋，相当于两厂商合并成为一个垄断厂商，进行利润最大化的产量和价格决定。

对该垄断厂商而言，厂商1生产的边际成本（等于常数10）始终小于厂商2生产的边际成本（等于常数20），所以该垄断厂商利润最大化原则是：全部产量均由厂商1生产，即h ₂ ＝0，h＝h ₁ 。

该垄断厂商的利润函数为：π＝ph ₁ －C（h ₁ ）＝（60－h ₁ /20）h ₁ －10h ₁ ；

其一阶条件为：dπ/dh ₁ ＝50－h ₁ /10＝0；

解得：h ₁ ＝500，则p＝35，π＝π ₁ ＝12500，π ₂ ＝0。

因为12500＞8000＋2000，所以只要厂商1愿意分配给厂商2超过2000的利润，两个厂商就能够通过串谋提高利润，串谋后的总产量为500。

69 在一个完全竞争市场中，行业的生产成本不变，单个厂商的长期成本函数为LTC＝Q ³ －40Q ² ＋600Q。又假设该市场的需求函数为Q＝13000－5P。问：

（1）该行业的长期供给曲线是什么？

（2）该行业实现长期均衡时的厂商数量是多少？（中国人民大学2016研）

解： （1）成本不变行业的长期供给曲线是一条水平线。它表示：成本不变行业是在不变的均衡价格水平提供产量，该均衡价格水平等于厂商的长期平均成本的最低点。市场需求变化会引起行业长期均衡产量的同方向的变化，但长期均衡价格不会发生变化。

已知单个厂商的长期成本函数为LTC＝Q ³ －40Q ² ＋600Q，则长期平均成本函数为LAC＝Q ² －40Q＋600＝（Q－20） ² ＋200。

LAC的最低点是200，即价格P＝200。因为成本不变行业的长期供给曲线是一条水平线。它表示：成本不变行业是在不变的均衡价格水平提供产量，因此，该行业的长期供给曲线是：P＝200。

（2）当P＝200时，单个厂商的产量是：Q＝20；当P＝200时，市场的需求量是Q＝13000－1000＝12000。该行业实现长期均衡时，市场供给量等于市场需求量。所以，市场供给量为12000，即厂商数量是600。

70 考虑社会中一个典型消费者的效用函数为U（x ₁ ，x ₂ ）＝ln（x ₁ ）＋31n（x ₂ ），x ₁ 和x ₂ 分别为商品1和商品2的消费量，该消费者的收入为1000元，两种商品价格都是1。求：

（1）消费者最优消费的x ₁ 和x ₂ 的量。

（2）假设政府想征收100元的税，它有两个选择：一是对收入征收10%的所得税，二是对商品1征收消费税，设消费税率为t（即每消费一单位的商品1需要交纳t元的税），请设置一个恰好能够在消费者最优消费时征收到100元的税率t。

（3）比较上述两种措施对消费者效用的影响，哪种情况下消费者效用较大？（中国人民大学2016研）

解： （1）消费者实现消费均衡的条件是：MRS ₁₂ ＝MU ₁ /MU ₂ ＝P ₁ /P ₂ 。已知消费者的效用函数为U（x ₁ ，x ₂ ）＝ln（x ₁ ）＋31n（x ₂ ），对消费者的效用函数求导，得到商品1的边际效用为：MU ₁ ＝1/x ₁ ；商品2的边际效用为：MU ₂ ＝3/x ₂ 。将商品1和商品2的效用函数代入消费者均衡条件，可以得到：x ₂ ＝3x ₁ 。将此方程与方程x ₁ ＋x ₂ ＝1000联立，可以得到：x ₁ ＝250，x ₂ ＝750。

（2）如果对商品1征收消费税，税率是t。消费者实现消费均衡的条件是：MRS ₁₂ ＝MU ₁ /MU ₂ ＝P ₁ /P ₂ 。已知消费者的效用函数为U（x ₁ ，x ₂ ）＝ln（x ₁ ）＋31n（x ₂ ），对消费者的效用函数求导，得到商品1的边际效用为：MU ₁ ＝1/x ₁ ；商品2的边际效用为：MU ₂ ＝3/x ₂ 。将商品1和商品2的效用函数代入消费者均衡条件，可以得到：x ₂ ＝3x ₁ （1＋t）。将此方程与方程x ₁ （1＋t）＋x ₂ ＝1000联立，可以得到：x ₁ ＝250/（1＋t），x ₂ ＝750。征收的税额为x ₁ ·t＝t·250/（1＋t）＝100，解得：t＝2/3。

（3）第一种情况：对收入征收10%的所得税。对收入征收10%的所得税，此时收入有900元。消费者实现消费均衡的条件是：MRS ₁₂ ＝MU ₁ /MU ₂ ＝P ₁ /P ₂ 。已知消费者的效用函数为U（x ₁ ，x ₂ ）＝ln（x ₁ ）＋31n（x ₂ ）。

对消费者的效用函数求导，得到商品1的边际效用为：MU ₁ ＝1/x ₁ ；商品2的边际效用为：MU ₂ ＝3/x ₂ 。将商品1和商品2的效用函数代入消费者均衡条件，可以得到：x ₂ ＝3x ₁ 。将此方程与方程x ₁ ＋x ₂ ＝900联立，可以得到：x ₁ ＝225，x ₂ ＝675。此时，消费者效用为ln225＋31n675＝24.96。

第二种情况：对商品1征收消费税，税率是t。由（2）问可知：x ₁ ＝250/（1＋t）＝150，x ₂ ＝750，消费者效用为ln150＋31n750＝24.87。

由于24.87＜24.96。因此，第一种情况，即对收入征收10%的所得税，消费者效用较大。

71 考虑有2×2交换经济，2种商品为x和y，2个消费者A和B，消费者A的效用函数为u _A ＝x _A y _A ，初始禀赋为w _A ＝（2，2）；消费者B的效用函数为u _B ＝x _B y _B ² ，初始禀赋为w _B ＝（3，3），一个决策者断言（x _A ，y _A ）＝（4，1）和（x _B ，y _B ）＝（1，4），以及p _x ＝p _y ＝1是竞争均衡。

（1）请问决策者断言的均衡配置是初始禀赋的帕累托改进吗，请解释。

（2）在这个价格下，请分别求出消费者A和B的最优消费向量（x _A ^* ，y _A ^* ）和（x _B ^* ，y _B ^* ）。

（3）根据前面的计算，决策者断言的配置向量和价格是竞争均衡吗，如果不是，请计算竞争均衡。（中国人民大学2016研）

解： （1）决策者断言的均衡配置不是初始禀赋的帕累托改进。

在初始禀赋下，消费者A的效用u _A ＝x _A y _A ＝2×2＝4，消费者B的效用u _B ＝x _B y _B ² ＝3×3 ² ＝27；

在决策者断言下，消费者A的效用u _A ＝x _A y _A ＝1×4＝4，消费者B的效用u _B ＝x _B y _B ² ＝1×4 ² ＝16。

将初始禀赋下消费者的效用和决策者断言的均衡配置下的消费者效用相比较，消费者A的效用不变，消费者B的效用下降，因此，决策者断言的均衡配置不是初始禀赋的帕累托改进。

（2）消费者A面临的效用最大化问题如下：

解得：

消费者B面临的效用最大化问题如下：

解得：

故消费者A和B的最优消费向量（x _A ^* ，y _A ^* ）和（x _B ^* ，y _B ^* ）分别为（2，2）和（2，4）。

（3）在竞争均衡的条件下，需要满足：对于每个生产者来说达到利润最大化，对于每个消费者来说达到效用最大化，对于整个市场来说达到出清状态。由（2）可知，在p _x ＝p _y ＝1时，消费者的最优消费量分别为（2，2）和（2，4），此时市场没有出清，所以决策者断言的状态不是竞争均衡状态。

设商品价格为p ₁ ，p ₂ ，消费者A、B面临的效用最大化问题分别如下：

令p＝p ₁ /p ₂ ，解得最优消费向量为（x _A ，y _A ）＝[（p＋1）/p，p＋1]，（x _B ，y _B ）＝[（p＋1）/p，2p＋2]。

市场出清条件：2（p＋1）/p＝2＋3＝5，得p＝2/3。故竞争均衡为：消费向量（x _A ，y _A ）＝（5/2，5/3），（x _B ，y _B ）＝（5/2，10/3），价格为p ₁ /p ₂ ＝2/3。

72 一个垄断厂商生产某种产品的成本函数为：C＝5＋3Q，将其产品在两个地理上分割的市场上销售，这两个市场对该产品的需求函数分别为：P ₁ ＝15－Q ₁ ，P ₂ ＝25－2Q ₂ 。

（1）该垄断厂商将针对两个市场制定何种价格策略？两个市场各自能够销售多少产品？厂商实现多少总利润？在两个市场上分别造成多少福利损失？

（2）假设企业被禁止使用价格歧视策略，那么该企业将采取何种价格策略？能够在两个市场各自销售多少产品？两个市场总共实现多少利润？在两个市场上分别造成多少福利损失？（中国人民大学2017研）

解： （1）该垄断厂商在两个市场上能制定不同的价格以实现利润最大化，则要实行三级价格歧视策略。

市场1的收益函数为：R ₁ ＝P ₁ Q ₁ ＝15Q ₁ －Q ₁ ² 。

市场2的收益函数为：R ₂ ＝P ₂ Q ₂ ＝25Q ₂ －2Q ₂ ² 。

所以总收益函数为：R＝R ₁ ＋R ₂ ＝15Q ₁ －Q ₁ ² ＋25Q ₂ －2Q ₂ ² 。

总利润函数为：π＝R－C＝15Q ₁ －Q ₁ ² ＋25Q ₂ －2Q ₂ ² －5－3（Q ₁ ＋Q ₂ ）＝12Q ₁ －Q ₁ ² ＋22Q ₂ －2Q ₂ ² －5。

要实现利润最大化，则利润函数关于Q ₁ 、Q ₂ 的一阶导数等于零，即：∂π/∂Q ₁ ＝12－2Q ₁ ＝0，∂π/∂Q ₂ ＝22－4Q ₂ ＝0。

解得：Q ₁ ＝6，Q ₂ ＝5.5，P ₁ ＝9，P ₂ ＝14，π＝91.5。

如果是在完全竞争条件下，P ₁ ＝P ₂ ＝MC＝3，Q ₁ ＝12，Q ₂ ＝11。

所以，市场1的福利损失为：W ₁ ＝1/2×（9－3）×（12－6）＝18。

市场2的福利损失为：W ₂ ＝1/2×（14－3）×（11－5.5）＝30.25。

（2）如果企业被禁止使用价格歧视策略，则要采用一价策略，即P ₁ ＝P ₂ ＝P；

新的利润函数为：π＝R－C＝P（Q ₁ ＋Q ₂ ）－5－3（Q ₁ ＋Q ₂ ）。

又因为P ₁ ＝15－Q ₁ ＝P＝P ₂ ＝25－2Q ₂ ，所以化简后的利润函数为：π＝－6Q ₂ ² ＋86Q ₂ －225。

最大化条件为：dπ/dQ ₂ ＝86－12Q ₂ ＝0，解得：Q ₁ ＝13/3，Q ₂ ＝43/6，P＝32/3，π＝499/6。

如果是在完全竞争条件下，P ₁ ＝P ₂ ＝MC＝3，Q ₁ ＝12，Q ₂ ＝11。

所以，市场1的福利损失为：W ₁ ＝1/2×（32/3－3）×（12－13/3）＝529/18。

市场2的福利损失为：W ₂ ＝1/2×（32/3－3）×（11－43/6）＝529/36。

73 假设一个地区有两家企业，企业1是上游企业，生产x产品，生产函数为x＝g（L _x ），其中L表示劳动力投入，企业2是下游企业，生产y产品，其产量不仅取决于自身劳动投入，还取决于企业1的产量x，生产函数为y＝h（L _y ，x），劳动力的工资为w，x和y产品的价格分别为P ₁ 、P ₂ 。请证明：在存在外部性的情况下，追求利润最大化的企业会出现无效率的资源配置。（中国人民大学2017研）

证明：（1）先看厂商1和厂商2分开决策的资源配置情况。

对于厂商1而言：π ₁ ＝P ₁ g（L _x ）－wL _x 。

最大化π ₁ 的一阶条件为：∂π ₁ /∂L _x ＝P ₁ g′（L _x ）－w＝0 ①

对于厂商2而言：π ₂ ＝P ₂ h（L _y ，x）－wL _y 。

最大化π ₂ 的一阶条件为：∂π ₂ /∂L _y ＝P ₂ （∂h/∂L _y ）－w＝0 ②

式 ① 和式 ② 对L _x 、L _y 求解即为两个追求利润最大化的企业各自会实现的资源配置情况。

（2）再看厂商1和厂商2作为一个利益整体进行决策的资源配置情况。

此时π＝P ₁ g（L _x ）＋P ₂ h（L _y ，g（L _x ））－wL _x －wL _y 。

最大化π的一阶条件为：

③

④

式 ③ 和式 ④ 对L _x 、L _y 求解即为最有效率的资源配置情况。

（3）接下来讨论若存在外部性，判断追求利润最大化的企业的资源配置是否会失效。

若存在正外部性，那么∂h/∂x＞0，从而：

此外根据边际报酬递减规律知g′（L _x ）随L _x 增大而递减，因此式 ③ 解得的L _x （有效率的资源配置）会大于式 ① 解得的L _x ，因此存在正外部性时追求利润最大化的企业资源投入不足，不是最有效的资源配置。

若存在负外部性，那么∂h/∂x＜0，从而：

此外根据边际报酬递减规律知g′（L _x ）随L _x 增大而递减，因此式 ③ 解得的L _x （有效率的资源配置）会小于式 ① 解得的L _x ，因此存在负部性时追求利润最大化的企业资源投入过多，不是最有效的资源配置。

74 假定有2家相同的厂商处于古诺均衡中，边际成本大于零。证明：均衡点市场需求曲线弹性的绝对值一定大于1/2。（中国人民大学2019研）

解： 设这2家相同的厂商不变成本为0，边际成本均为c（c＞0），产量分别为q ₁ 、q ₂ ，总产量为Q＝q ₁ ＋q ₂ ；设市场需求曲线为P＝b－aQ＝b－aq ₁ －aq ₂ （a＞0，b＞0）。

厂商1的利润函数为：π ₁ ＝（b－aq ₁ －aq ₂ ）q ₁ －cq ₁ ；

其利润最大化的一阶条件为：∂π ₁ /∂q ₁ ＝b－2aq ₁ －aq ₂ －c＝0；

解得厂商1的反应函数为：q ₁ ＝（b－c－aq ₂ ）/（2a）。

同理，可得厂商2的反应函数为：q ₂ ＝（b－c－aq ₁ ）/（2a）。

联立厂商1和厂商2的反应函数，解得：q ₁ ＝q ₂ ＝（b－c）/（3a），则Q＝2（b－c）/（3a），P＝b－2（b－c）/3＝（b＋2c）/3，此时需求曲线的弹性绝对值为：

所以均衡点市场需求曲线弹性的绝对值一定大于1/2。

75 小李和小王共用一台电脑，他们分享相同的一个音乐库。假设下载一首歌需要支付1元钱。如果小李下载了x ₁ 首歌，而小王下载了x ₂ 首歌，则音乐库里总共有x ₁ ＋x ₂ 首歌。小李从音乐库听歌中获得的效用为2001n（x ₁ ＋x ₂ ），而小王从音乐库听歌中获得效用1001n（x ₁ ＋x ₂ ）。请回答：

（1）给定小王下载了x ₂ 首歌，求小李的最优反应是下载多少首歌？

（2）给定小李下载了x ₁ 首歌，求小王的最优反应是下载多少首歌？

（3）在纳什均衡时，小王和小李各下载多少首歌？

（4）求Pareto有效的总下载歌曲数目。均衡时的总下载歌曲数目和Pareto有效的总下载歌曲数目相比哪个更多？为什么？（中国人民大学2019研）

解： （1）小李从音乐库听歌中获得的效用为U＝200ln（x ₁ ＋x ₂ ），在给定小王下载了x ₂ 首歌的前提下，小李可以免费听这x ₂ 首歌，不需要支付任何费用，即p ₂ ＝0，而小李自己下载一首歌需要支付1元钱，即p ₁ ＝1。则：

即小李用同样的一元钱购买x ₂ （尽管x ₂ 价格为0）所得到的边际效用始终大于购买x ₁ 所得到的边际效用。

因此，小李的最优反应是下载0首歌。

（2）同理，小王的最优反应是下载0首歌。

（3）在纳什均衡时，小王和小李都选择了各自的占优策略：下载0首歌。

（4）设小王的收入为I ₁ （I ₁ ＞0），小李的收入为I ₂ （I ₂ ＞0），则Pareto有效可表示为如下最优化问题：

解得：x ₁ ＝I ₁ ，x ₂ ＝I ₂ ，则Pareto有效的总下载歌曲数目为I ₁ ＋I ₂ 。

显然，Pareto有效的总下载歌曲数目（I ₁ ＋I ₂ ）比均衡时的总下载歌曲数目（0）更多。其根本原因是歌曲属于不具有排他性的公共物品。因为小李和小王共用一台电脑，他们分享相同的一个音乐库，所以小李不能阻止小王对歌曲的使用，小王也不能阻止小李对歌曲的使用。由于非排他性，歌曲作为一种公共物品，无法收费。对每个人而言，下载歌曲都是具有正外部性的，即小李（小王）下载歌曲可以使小王（小李）从中获益，却不能得到来自小王（小李）的任何补偿。因此，每个人都有不下载歌曲而搭对方便车的激励，所以Pareto有效的总下载歌曲数目比均衡时的总下载歌曲数目更多。 cDsQqP1SZOnHunHRi3j4Uzs2RgTR4OfW8QxzpZqWmhN39P8PyBt3SNGtkCSwnhC4