第3章

内生增长

3.1　考虑3.2节中θ＜1时的模型。

（a）在平衡增长路径上，，其中是平衡增长路径上的g _A 值。利用这一事实以及方程（3.6），试推导平衡增长路径上A（t）的表达式，即用B、a _L 、γ、θ和L（t）来表示A（t）。

（b）利用（a）小题的答案以及生产函数（3.5）式，推导平衡增长路径上Y（t）的表达式。找出使平衡增长路径上的产出最大化的a _L 值。

答：（a）关于产出和知识的生产函数为：

（1）

（2）

在均衡增长路径上，

（3）

对（2）两边除以A（t），即：

（4）

将（3）（4）联立得：

上式简化为：

（5）

（b）将（5）代入（1）得：

两边取对数，可得：

一阶条件为：

经过简单的数学运算求：

（6）

θ值越大，新知识在生产函数中的作用越大。γ值越大，劳动在生产函数中的作用越大，需要雇佣越多的劳动。

3.2　考虑两个由和刻画的经济（其中i＝1，2，θ＞1）。假定两个经济具有相同的初始K值，但s ₁ ＞s ₂ 。证明Y ₁ /Y ₂ 会持续增加。

证明：将产出函数代入资本累积方程得：

（1）

在方程（1）两边同时除以K _i （t）以求出资本增长率的表达式，即：

（2）

对方程（2）求导数，求出资本增长率的增长率，即：

（3）

方程（3）简化为：

（4）

如图3-1所示。

图3-1　资本增长率

由于θ＞1，所以总是保持增长。的初始值是由储蓄率和资本存量决定的，如方程（2）所示。因此，即使两个经济中的初始值相同，只要s ₁ ＞s ₂ ，则两个经济的初始资本存量的增长率便不同。由方程（3）可知，的增长率是由决定的。因此，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率。因此，对于所有的t≥0，有，并且两个国家的差距会越来越大。

将高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出相比，即：

（5）

对方程（5）两边取对数，然后求导，得：

（6）

由方程（6）可以发现，高储蓄国家的资本存量的增长率总是高于低储蓄国家的资本存量的增长率，且由于对于所有的t≥0，都有成立，并且两个国家的差距会越来越大，高储蓄国家的产出与低储蓄国家的产出的比率将持续上升，并且以递增的速率上升。

3.3　考虑3.3节中所分析的经济。假设θ＋β＜1且n＞0，并且经济处于平衡增长路径。描述下述各种变化如何影响线和线，以及当变化发生时经济在空间所处的位置。

（a）n增加。

（b）a _K 增加。

（c）θ增加。

答：（a）n增加

线和线由下式给出：

（1）

（2）

资本和知识的增长率公式为：

（3）

（4）

从方程（1）可以看出，对于给定的，由于n增加，满足的g _K 变大了，线向上移动；从方程（2）可以看出，由于n增加，对于给定的g _A ，满足的g _K 变小了，因此向下移动，如图3-2所示。

图3-2　n增加对与的影响

由于n并没有出现在方程（3）中，因此在人口增加的时刻g _K 不会发生变化。同理，由于n并没有出现在方程（4）中，在n最初增加时g _A 的值也不发生变化。

（b）a _K 增加

由于a _K 并没有出现在方程（1）和（2）中，因此线和线随着a _K 的增加都没有变化。在方程（3）中，a _K 增加将引起资本的增长率g _K 下降。在方程（4）中，知识的增长率g _A 在a _K 增加的瞬间将上升。因此经济向F点移动，如图3-3所示。

图3-3　a _K 增加对与的影响

（c）θ增加

因为θ没有出现在方程（1）中，因此没有随着θ增加而变化；因为θ出现在方程（2）中，因此变的更加平坦；因为θ没有出现在方程（3）中，因此资本的增长率g _K 没有变化；因为θ出现在方程（4）中，需要判断θ增加的效果，可以发现θ增加可能会导致g _A 增加、下降或保持不变，如图3-4所示。

图3-4　θ增加对与的影响

对方程（4）两边取对数，即：

上式两边对θ求导，可得：

（5）

因此，如果A（t）小于1，则lnA（t）＜0，随着θ增加，知识增长率向下跳动；如果A（t）大于1，则lnA（t）＞0，随着θ增加，知识增长率向上移动；如果A（t）等于1，则lnA（t）＝0，g _A 不发生变化。这意味着向E _NEW 的动态调整可能会取决于θ增加时g _A 的值的变化。

3.4　考虑3.3节中描述的经济，假设β＋θ＜1且n＞0。假设经济最初处于平衡增长路径，然后s永久性地上升。

（a）如果这些变化会有影响，那么将会如何影响线以及线？当变化发生时，经济在（g _A ，g _K ）空间所处的位置又会受到怎样的影响？

（b）s上升后，g _A 和g _K 的动态学如何？试刻画工人平均产出对数值的路径。

（c）试从直观上比较s上升在本模型中的影响与在索洛模型中的影响。

答：（a）和的方程分别为：

（1）

（2）

资本和知识的增长率公式分别为：

（3）

（4）

因为s没有出现在方程（1）和（2）中，因此随着s的增加，和没有发生变化。同样，在（4）中s也没有出现，因此，在s增加时，知识的增长率不发生变化。不过，s的增加使得资本的增长率上升。如图3-5所示，在s增加的时刻，经济从均衡增长路径上的E点移动到F点。

图3-5　s的持久性增加对和的影响

（b）在点F，经济位于曲线之上，因此g _A 会上升，因为s的增加，资本的增长率提高了，资本进入知识生产函数的数量提高了，因此知识的增长率提高了。在点F，经济位于曲线之上，因此g _K 下降了，经济会向右下方移动，并最终会绕过的曲线，从而g _A 也开始下降。因为资本和知识的规模报酬递减，即β＋θ＜1，所以s的增加对于K和A的增长率没有持久效应。经济最终会返回到E点。

生产函数为：

（5）

对方程（5）两边先取对数再求导数，从而求得增长率，即：

（6）

在初始的均衡增长路径上，由（1）可得：，将其代入方程（6）可知，总产出也是以的速度增长。因此，人均产出在初始的均衡增长路径上以的速度增长。在过渡时期，g _A 和g _K 的增长率都变大，因此人均产出Y（t）/L（t）的增长率也变大。图3-6中显示了人均产出Y（t）/L（t）的增长率开始先增加而后又减少。不过，重要的一点是在过渡时期，增长率本身高于均衡增长路径上的。最终，一旦经济返回到稳定点E，人均产出Y（t）/L（t）的增长率再次为。

图3-6　人均产出Y（t）/L（t）的变化

（c）在本模型中，储蓄率s增加的效应与索洛模型中的影响比较相似。因为规模报酬递减，因此储蓄率s的增加只有水平效应。人均产出的路径位于原先的路径之上，不过对于人均产出的增长率没有持久效应，在均衡增长路径上，人均产出的增长率等于知识的增长率。这一点与索洛模型中资本的规模报酬递减有相似之处。从数量上讲，增长效应大于索洛模型，这是因为A的增长率提高后便为既定，这与索洛模型不同。

3.5　考虑3.3节中β＋θ＝1且n＝0时的模型。

（a）利用（3.14）与（3.16）式，找出使得g _K 与g _A 相等的A/K值。

（b）利用（a）小题中的结果，找出g _K ＝g _A 时A与K的增长率。

（c）s上升会如何影响经济的长期增长率？

（d）什么样的a _K 值会最大化经济的长期增长率？直观上看，这个值为什么不会随研发部门中资本的重要性β递增？

答：（a）资本的增长率为：

（1）

其中，

知识的增长率为：

（2）

其中，。

假设β＋θ＝1和n＝0，方程（1）（2）可简化为：

（3）

（4）

因此，给定模型的参数和人口增长率，A/K决定了g _K 和g _A 两个增长率。

使g _K 和g _A 相等，即：

进一步简化为：

（5）

（b）令g _A ＝g _K ＝g ^* ，将（5）代入（3）得：

上式简化为：

即：

（6）

（c）将c _K 和c _A 代入（6）中，可得：

（7）

对（7）求自然对数得：

（8）

利用方程（8）求经济长期增长率对储蓄率的弹性，即：

（9）

因此储蓄率的增加会导致经济长期增长率的增加。这是因为储蓄率的增加导致更多的资本被投入到生产中，而生产函数是规模报酬不变的。

（d）通过lng ^* 对a _K 求导来判断资本用于研发部门的比例以最大化经济的增长率。

一阶条件为：

求解最优的：

因此有：

（10）

在研发部门使用的最优的资本份额为劳动的产出弹性。可以发现知识生产函数的资本份额并不影响研发部门使用的最优的资本份额。这是因为β增加有两个效应：一方面它使得资本在研发部门更加重要，因而倾向于提高a _K ；同时，β增加也使得新资本的生产更有价值，当更多的产出被储蓄和投资时，新资本就生产出来。这倾向于降低a _K ，因为这意味着更多的资源被投资于产出的生产而不是知识的产出，此处两种效应正好抵消。

3.6　考虑3.3节中β＋θ＞1且n＞0时的模型。

（a）画出这种情形下的相图。

（b）证明，不论经济的初始条件如何，A和K的增长率（从而Y的增长率）最终都将持续增加。

（c）在β＋θ＝1，n＞0的情形下重做（a）小题和（b）小题。

答：（a）由教材中（3.15）式可得，资本增长率的增长率为：

（1）

由（1）式可知，所表示的轨迹为：

（2）

由（2）式可知，在（g _A ，g _K ）平面上，所表示的轨迹是一条斜率为1且纵截距为n的直线，如图3-7所示。此外，当g _A ＋n－g _K ＞0（即位于这条直线下方）时，g _K 将增加；当g _A ＋n－g _K ＜0（即位于这条直线上方）时，g _K 将减小。

图3-7 的相图

由教材中（3.17）式可得，知识增长率的增长率为：

（3）

由（3）式可知，的轨迹方程为：

（4）

由（4）式可知，在（g _A ，g _K ）平面上，所表示的轨迹是一条斜率为（1－θ）/β且纵截距为－γn/β的直线，如图3-8所示。此外，当（即位于这条直线上方）时，g _A 将增加；当（即位于这条直线下方）时，g _A 将减小。

图3-8 的相图

由于β＋θ＞1且n＞0，所以所示的直线的斜率大于所示直线的斜率，两条直线的相对位置如图3-9所示，不再相交。

图3-9　β＋θ＞1且n＞0时经济的动态

（b）g _A 和g _K 的初始值是由模型中的参数和A、K、L的初始值所决定的。如图3-9所示，不论经济始于何处，它最终将进入直线与之间的区域。一旦经济进入该区域，A和K的增长率将不断提高，从而总产出

以及总产出增长率

也将不断增加。

（c）当β＋θ＝1且n＞0时，直线与将有相同的斜率，且所示的直线将位于所示直线的上方。此时经济的动态与β＋θ＞1且n＞0时的情形类似，如图3-10所示。不论经济始于何处，它最终将进入直线与之间的区域。一旦经济进入该区域，资本、知识和产出的增长率将不断提高。

图3-10　β＋θ＞1且n＞0时经济的动态

3.7　干中学。假设产出由方程（3.22），即给定；L等于1并且固定不变：；并且知识积累是产品生产过程的副产品：。

（a）用A（t）、K（t）和模型参数来表示g _A （t）和g _K （t）。

（b）在（g _A ，g _K ）空间中画出线和线。

（c）经济是否会收敛于一个平衡增长路径？如果是，那么在平衡增长路径上，K、A和Y的增长率分别是多少？

（d）s上升将会如何影响长期增长？

答：（a）相关的方程为：

（1）

（2）

（3）

将方程（1）代入（2）得，在该式两边除以K（t），可以得到资本的增长率，即：

（4）

将（1）代入（3）得：

在该式两边除以A（t），可以得到知识的增长率，即：

（5）

（b）对方程（4）两边取对数，产生资本的增长率为：

即：

（6）

从（6）可知，当g _A ＝g _K 时，g _K 将是常数。因此，在（g _A ，g _K ）空间中与45°线重合。如果g _A ＞g _K ，即g _K 位于线之下，g _K 将上升；如果g _A ＜g _K ，即g _K 位于之上，则g _K 将下降。如图3-11所示。

图3-11 曲线

（5）两边取对数，可以求出知识的增长率：

上式简化为：

（7）

由（7）式可知，如果g _A ＝g _K ，则g _A 将保持不变，即将在（g _A ，g _K ）空间中位于45°线上；如果g _K ＞g _A ，即位于线之上时，g _A 将上升；如果g _K ＜g _A ，即位于线之下时，g _A 将下降，如图3-12所示。

图3-12 曲线

（c）将和置于一个图3-13上。

尽管在g _A ＝g _K 的情况下可以推出经济将以一不变的速度增长，仍然没有足够的信息可以断定唯一的均衡增长路径。如图3-13所示。

图3-13　g _A ＝g _K 时的和曲线

由上面的分析，已知：

在任何情况下，资本和知识的增长率都是联系在一起的，因为它们都依赖于资本对知识的比率。

由（5）可推出：

或简化为：

（8）

将（8）代入（4）得：

（9）

g _K 和g _A 必须位于某一点上以满足方程（9），在图3-14中标为AA线。不论A/K的初始比率如何，经济将从AA线上的某一点开始，最后移动到E点。因此，经济将收敛到唯一的均衡增长路径上的E点。

图3-14　经济收敛于E点

为计算在均衡增长路径上资本和知识的增长率，在E点，与相交，此时g _A ＝g _K 。令g ^* 代表共同的增长率，由（9）可知：。

简化为：

（10）

对方程（1）两边取对数并求导数，可以得出实际产出的增长率：

在均衡增长路径上，g _A ＝g _K ≡g ^* ，代入上式，可得：

（11）

因此，在均衡增长路径上，资本、知识和产出的增长率均为g ^* 。

（d）由（10）可知，储蓄率的提高，会使长期的资本、知识和产出的增长率提高g ^* 。由（6）和（7）可知，随着储蓄率的变化，和曲线都不会发生变化。由（4）可知，s的增加会使g _K 向上跳动。由（9）可知，AA曲线会移动。因此，随着s的增加，经济将从原先的均衡增长路径上的E点移动到F点，接着经济沿着AA线向新的稳定点E _NEW 移动，如图3-15所示。

图3-15　经济沿AA线向新稳定点E _NEW 移动

3.8　考虑3.5节中的模型。但是，假设家庭具有常相对风险规避效用，其相对风险规避系数为θ。找出研发部门的均衡劳动数量，L _A 。

解：最终产品生产者的成本最小化方程为：

（1）

由（1）可知，需求弹性是一个固定的常数，且等于，由此可求厂商的收益。

并且由于一单位劳动可以生产出一单位投入品，因此在时刻t垄断者供给投入品的边际成本为w（t）将上述结果代入标准结论可得，每个垄断者收取的价格是乘以w（t），即。

由于所有投入品的价格相同，因此每种投人品在时刻t的使用数量也就相同，根据LA固定不变的假设以及的条件，则该使用数量为从而每个专利持有人的利润为：

（2）

知识创造为：

（3）

上式表明，如果L _A 固定不变，则（即A的增长率）就是BL _A 所有投入品提供者在一定时间点上都收取相同的价格，从而所有可用投入品的使用量都相同。

在本题中，生产函数为：

（4）

由于L _Y （t）是常数，所以Y的增长率就等于乘以A的增长率，即。

由于所有产出均用于消费，消费与工资均按与产出相同的速率增长。

对于（2）来说，是常数；w的增长率为；而A的增长率为BL _A ，于是可知既定发明所获利润的增长率为，或。

具有常相对风险规避效用的家庭，其消费增长率为，其中θ是相对风险规避系数因此，均衡要求：

（5）

可见，若L _A 为常数，则实际利率也为常数，与模型假设条件一致。

根据以上内容可知：发明所获利润的增长率为，并且按照利率折现，时刻t的利润为。因此，在时刻t，发现新思想可得利润的现值为：

（6）

现在可以求解L _A 的均衡值。如果研发的数量严格为正，则均衡时发明所获利润的现值一定等于发明的成本。由于一个工人可以在单位时间内生产BA（t）的思想，所以一项发明的成本是w（t）/[BA（t）]，因此均衡条件是：

（7）

求解此方程即得：

（8）

但是劳动不可能为负数，所以将式（8）改为：

此即为研发部门的均衡劳动数量。

3.9　假设政策制定者意识到垄断势力会导致市场扭曲，因此对罗默模型中专利持有人的投入品定价施加控制。具体而言，假设政府要求专利持有人要价δw（t）/φ，其中δ满足φ≤δ≤1。

（a）把均衡的经济增长率表示为δ和其他模型参数的函数。δ减小会提高还是降低均衡的经济增长率，或是没有影响，又或者无法解释？

（b）从直观上解释为什么设定δ＝φ，即要求专利持有人按边际成本定价，从而消除垄断的扭曲作用，并不会最大化社会福利。

答：（a）政府限定专利价格为δw（t）/φ，其中φ≤δ≤1，那么在时刻t每个专利持有人的利润为：

（1）

化简得：

（2）

通过比较式（2）和式（3.39）可知，既定发明所获利润的增长率与标准模型相比不变，仍为[（1－2φ）/φ]BL _A 。另外，实际利率仍然等于ρ＋[（1－φ）/φ]BL _A 。因此，在时刻t，发现新思想可得利润的现值为：

（3）

化简得：

（4）

如果研发的数量严格为正，则均衡时发明所获利润的现值一定等于发明的成本w（t）/[BA（t）]。因此，均衡条件为：

（5）

化简得：

（6）

求得L _A 为：

（7）

考虑角解的可能性，需要将式（7）修改为：

（8）

由于产出的增长率为[（1－φ）/φ]BL _A ，因此：

（9）

为了了解δ的变化对均衡的经济增长率的影响，在产出增长严格为正时求对δ的导数，得：

（10）

因此，δ减小会降低经济的均衡增长率。

（b）设置δ＝φ将消除垄断扭曲：如果专利持有者被迫收取边际成本的价格，那么垄断厂商的利润的现值为零。但是，模型中一项新发明带来的利润代表了创新的动力。从生产函数来看，生产一单位新思想需要以工资w（t）雇用1/[BA（t）]单位的劳动，所以生产一单位新思想的成本为w（t）/[BA（t）]。边际成本定价意味着新思想的创造者将无法收回产生这种想法的成本，也就没有创新的动力，这将导致没有研发，社会福利不是最优的。

3.10　（a）证明（3.47）可以推出（3.48）。

（b）推导（3.49）。

解：（a）式（3.47）为：

式3.47变形得：

（1）

式（1）中的第一项可写成：

（2）

化简得：

（3）

（4）

（5）

式（1）中的第二项可写成：

（6）

由积分公式可知，式（6）可写成：

（7）

求解得：

（8）

（9）

又因为：

（10）

所以式（9）可化简为：

（11）

所以，将式（5）和式（11）代入式（1）得：

（12）

式（12）就等于式（3.48）：

（b）式3.48对L _A 求导得：

效用最大化的一阶条件是，所以

解得L _A 的最优选择为：

但L _A 不会为负，所以上式改写为：

现在还需要验证是最大值，通过二阶条件：

二阶导数恒小于0，所以是最大值。因此，

是L _A 的社会最优水平，而且这个式子就是教材中的式（3.49）。

3.11　具有微观经济学基础的干中学。考虑方程（3.22）～（3.25）中模型的一个变形。假设厂商i的产出为，并且A（t）＝BK（t）。

其中，K _i 与L _i 分别为厂商i使用的资本和劳动，K为总资本存量。资本和劳动均获得其私有边际产出。如3.5节中的模型所示，经济中的家庭具有无限生命，并且拥有经济的初始资本存量。代表性家庭的效用函数采用方程（2.1）～（2.2）中的常相对风险规避效用形式。人口增长率为零。

（a）（i）把厂商i的资本和劳动的私有边际产出表示为K _i （t）、L _i （t）、K（t）以及其他参数的函数。

（ii）解释为什么所有厂商的资本劳动比都是相同的，从而对所有i，K _i （t）/L _i （t）＝K（t）/L（t）。

（iii）把w（t）和r（t）表示为K（t）、L和其他模型参数的函数。

（b）均衡时消费增长率必须为多少？[提示：考虑方程（2.21）。]为简单起见，假设参数值使得增长率严格为正并小于利率。试解释为什么产出的均衡增长率等于消费的均衡增长率。

（c）描述下述变化如何影响长期增长。

（i）B上升。

（ii）ρ上升。

（iii）L上升。

（d）均衡增长率大于、小于还是等于社会最优增长率，或者无法解释？

解：（a）（i）将A（t）＝BK（t）代入厂商i的产出函数，得：

为了得到资本和劳动的私有边际产出，分别求产出对资本和劳动的导数。

资本的私有边际产出为：

（1）

化简得：

（2）

劳动的私有边际产出为：

（3）

化简得：

（4）

（ii）由于要素市场是完全竞争的，在均衡状态下，资本和劳动的私有边际产出在各厂商之间不可能有所差异。可以从方程（2）和（4）中看出，这意味着所有厂商的资本劳动比率都是一样的。因此，对所有厂商i，都有

（5）

（iii）没有折旧的情况下，实际利率必定等于资本的私有边际产出，由方程（2）得：

（6）

将方程（5）代入（6）得：

（7）

化简得：

（8）

其中，。

在没有人口增长的情况下，L是固定不变的，实际利率也是如此。

实际工资必定等于劳动的边际产出，由方程（4）得：

（9）

将方程（5）代入（9）得：

（10）

化简得：

（11）

（b）由于有代表性的家庭效用具有固定的相对风险厌恶形式，均衡的消费增长将是：

（12）

将方程（8）代入（12）得：

（13）

其中，。需要注意，没有人口增长所以L是固定不变的，所以消费增长也是固定不变的。

利用零利润的条件，可以将产出写成：

（14）

将方程（8）和（11）代入（14）得：

（15）

（16）

由于b是常数，所以产出和资本以相同的速率增长，资本积累为：

（17）

其中，s是储蓄率。因此，资本存量的增长率为：

（18）

所以，产出的增长率也等于sb。因为消费C＝（1－s）Y，由此可得储蓄率：

（19）

进而产出的增长率为：

（20）

如果产出增长小于消费增长，那么随着时间的推移，C/Y会上升，产出增长和资本增长将转为负值，这不是一条允许的路径。如果产出增长大于消费增长，那么随着时间的推移，C/Y将下降到0，产出增长和资本增长将接近b，这意味着增长最终将超过实际利率αb，这也不是一条允许的路径。因此，产出和消费的均衡增长率必须相等。

（c）由（b）可知，产出的均衡增长率等于消费的均衡增长率，因此，有：

（i）产出的增长率对B求导得：

因此，B上升将提高长期增长。

（ii）产出的增长率对ρ求导得：

所以，ρ上升将会降低长期增长。

（iii）产出的增长率对L求导得：

所以，L上升将增加长期增长。

（d）均衡增长率小于社会最优增长率。社会计划者将知识溢出内在化，并将消费增长率设定为依赖于资本的社会回报而非私人回报。资本的私人边际产出是αb，而社会边际产出是b。因此，除非α＝1，否则社会计划者设定的增长率将大于均衡增长率。

3.12　[本题取自瑞贝罗（Rebelo，1991）。]假设经济中有两个部门，一个生产消费品，一个生产资本品，并且有两个生产要素：资本和土地。资本可用于两个部门，而土地只能用于生产消费品。具体而言，生产函数分别为和，其中K _C 和K _K 分别是两个部门所用的资本[因此K _C （t）＋K _K （t）＝K（t）]，T表示土地数量，0＜α＜1且B＞0。生产要素的报酬为其边际产出，资本可以自由地在两个部门之间流动。为简单起见，T标准化为1。

（a）令P _K （t）表示在时刻t资本品相对消费品的价格。根据两个部门用消费品表示的资本所得必须相等，推导P _K （t），K _C （t）与参数α、B之间的关系。如果K _C 的增长率为g _k （t），则P _K 增长（或减少）的速率为多少？用g _P （t）表示这个增长率。

（b）用消费品表示的实际利率为B＋g _P （t）。因此，假设家庭具有标准的效用函数（2.21～2.22），则消费增长率应为。假设ρ＜B。

（i）根据（a）小题中的结果，试用g _K （t）而不是g _P （t）来表示g _C （t）。

（ii）给定消费品的生产函数，若要C按速率g _C （t）增长，则K _C 的增长率应为多少？

（iii）结合（i）小题与（ii）小题的答案，用模型参数表示g _K （t）和g _C （t）。

（c）假设投资收入的税率为τ，因此家庭面临的实际利率为（1－τ）（B＋g _P ）。τ会如何影响消费的均衡增长率？

答：（a）将土地正规化为1后，生产函数为：

（1）

（2）

在资本生产部门额外雇佣一单位资本的报酬是：，等于P _K （t）B单位的消费品。在消费品生产部门额外雇佣一单位资本的报酬是：

联立两个结果（即在两个部门额外雇佣一单位资本的报酬），可得：

（3）

对方程（3）两边取对数并求导，得到资本品相对于消费品价格的增长率，即：

上步用到了B和α是常数的假定。因为K _C （t）的增长率为g _K （t），并定义P _K （t）的增长率为g _P （t），可以得到：

（4）

（b）（i）消费增长率为：

（5）

上步是用方程（4）式来代替g _P （t）得到的。

（ii）对消费生产函数两边取对数并求导，可以得到：

（6）

将关于消费的增长率的方程（5）和（6）联立，可得：

求出K _C （t）的增长率为：

（7）

（iii）上面已经用参数求解g _K （t），下面求g _C （t）。

将方程（7）代入（6）得：

（8）

（c）实际利率为：（1－τ）（B＋g _P ），代入方程（5），可得：

（9）

上步使用了（4）去替代g _P （t），联立消费的增长率方程（6）和（9），得到：

化简得：

求解上式，得到：

（10）

将（10）代入（6）中，得到潜在参数的函数，消费的增长率为：

（11）

为得到税收的效果，求g _C （t）关于τ的导数，如下：

因此，税率τ的增加会引起消费的增长率下降。

3.13　[本题来自克鲁格曼（Krugman，1979）；也可参考格罗斯曼和赫普曼（Grossman and Helpman，1991b）]假设世界由两个地区组成：“北方”和“南方”。地区的产出和资本积累分别由

和

新技术由北方开发。具体而言，

另一方面，南方的技术进步来自于学习北方的技术：当A _N （t）＞A _S （t）时，

否则。这里a _LN 是北方从事研发的劳动力比例，a _LS 则是在南方向北方学习技术的劳动力比例；其他都是标准记号。注意，我们这里假设L _N 和L _S 固定不变。

（a）北方工人平均产出的长期增长率是多少？

（b）定义Z（t）＝A _S （t）/A _N （t）。请把表示为Z和模型参数的函数。Z是稳定的吗？如果是，它将收敛于何值？南方工人平均产出的长期增长率是多少？

（c）假设a _LN ＝a _LS 并且s _N ＝s _S 。当两个经济都分别收敛于其平衡增长路径时，南方工人平均产出对北方工人平均产出的比率是多少？

答：（a）由于北方的经济模型是索洛模型，其中技术进步率为：g＝Ba _LN L _N 。根据索洛模型的分析，可以知道北方每个工人平均产出的长期增长率是技术进步率，即g＝Ba _LN L _N 。

（b）对Z（t）＝A _S （t）/A _N （t）两边求导数，可得：

（1）

将和代入（1）中，如下：

上式化简得：

（2）

将Z（t）＝A _S （t）/A _N （t）代入（2）得：

合并同类项得：

（3）

方程（3）的相图见图3-16。

图3-16　i（t）的相图

注意，方程（3）和相图并不适用于Z≥1的情况，因为当A _S （t）≥A _N （t）时，。

与Z（t）是线形关系，斜率为。由相图可知，如果Z＜Z ^* ，则。因此，如果Z开始在Z ^* 的左边，它会随时间上升到Z ^* 。同理，如果Z＞Z ^* ，则，如果Z开始在Z ^* 的右边，它会随时间下降到Z ^* 。因此，Z作为南方的技术对北方的技术的比率，会收敛到一个稳定值。为求解Z ^* ，令，即：

求解Z ^* ，可得：

（4）

下一步是决定南方每个工人产出的长期增长率。由于收敛到一稳定值，因此，在长期，A _S （t）必须与A _N （t）保持同样的增长率。在长期，南方是一个以技术进步率Ba _LN L _N 增长的索洛经济。因此，在南方，每个工人平均产出的长期增长率也等于技术进步率。

由于在长期，南方每位工人产出的增长率与北方一样。因此，南方劳动力中参与技术学习的比例a _LS 不影响南方长期的增长率。因此，增长率是完全由北方参与新技术的劳动的数量决定的。

（c）在北方的生产函数

两边除以有效劳动A _N （t）L _N ，可得：

（5）

定义每单位有效劳动的产出和资本分别为：

将上面关于产出和资本的两个式子代入方程（5），可得：

（6）

对两边求导，得：

（7）

将资本积累方程，代入（7）得：

（8）

将（8）代入，可得：

（9）

同理可以得到南方的资本动态方程，即：

（10）

上步用到了南方的长期的技术增长率，即：Ba _LN L _N 。

使用s _N ＝s _S 和a _LN ＝a _LS ，可以看出资本的动态方程在两个经济中是一样的。因此，在均衡增长路径上的和是相同的，即：和，从而有：

（11）

由可推出：

（12）

方程（12）表明：在均衡增长路径上，南方每个工人产出与北方每个工人产出的比率等于南方的技术与北方的技术的比率。从（b）中知道，在长期中A _S （t）/A _N （t）收敛于Z ^* 。将（4）代入到（12）中，可得：

（13）

由于Ba _LN L _N ＞0，所以这个比率小于1，南方每个工人产出小于北方每个工人产出。

同时，在均衡增长路径上，南方每个工人产出与北方每个工人产出的比率依赖于a _LS 。事实上，a _LS 越高，南方每个工人产出的路径就越接近于北方每个工人产出的路径。

3.14　知识向穷国的传播滞后。

（a）假设世界由北方和南方两个地区组成。北方由Y _N （t）＝A _N （t）（1－a _L ）L _N 与刻画。南方不进行研发，仅仅简单地使用北方开发的技术；但是，南方使用的技术比北方滞后τ年。因此，Y _S （t）＝A _S （t）L _S 并且A _S （t）＝A _N （t－τ）。如果北方工人平均产出的增长率为每年3%，并且a _L 接近0，则要使北方的工人平均产出达到南方的10倍，τ应为多少？