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2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y＝F（K，AL），或者采用紧凑形式Y＝ALf（k）。假设
，
。假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。证明使成本最小化的k值唯一确定并且独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同的生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于上述N个成本最小化厂商的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本rK＋wAL，同时厂商受到生产函数Y＝ALf（k）的约束。这是一个典型的最优化问题。
本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数：
求一阶条件：
用第一个结果除以第二个结果：
上式潜在地决定了最佳资本k的选择。很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，下面是N个成本最小化厂商的总产量关系式：
其中，
是总的雇佣人数。
单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。因此，如果单一厂商拥有
的劳动人数，则它也会生产
的产量。这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
（2.43）
令P 1 和P 2 分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：P 1 C 1 ＋P 2 C 2 ＝W。
（a）已知P 1 、P 2 和W，则使此人效用最大化的C 1 和C 2 是多少？
（b）两期消费之间的替代弹性为：
，或
。证明若效用函数为（2.43）式，则C
1
与C
2
之间的替代弹性为
。
解： （a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）
（2）
求解约束条件：
（3）
将方程（3）代入（1）中，可得：
（4）
这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。在方程（4）两边对C 1 求一阶条件可得：
再简化为：
（5）
将方程（5）代入（3），则有：
化简得：
再简化为：
（6）
将方程（6）代入（5）中，则有：
（7）
（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：
（8）
对方程（8）两边取对数可得：
（9）
则消费的跨期替代弹性为：
因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a）假设事先知道在某一时刻t 0 ，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。那么，消费是否会在时刻t 0 发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻t 0 前后消费之间的关系。）
（b）假设事先知道在某一时刻t 0 ，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。那么，消费是否会在时刻t 0 发生突然变化？为什么？（如果会，请说明时刻t 0 前后消费之间的关系。）
解：
（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期
内，从（t
0
－ε）到（t
0
＋ε）。
考虑家庭在（t
0
－ε）时期减少每单位有效劳动的消费为
。然后他在（t
0
＋ε）投资并消费这一部分财富。如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本
，在（t
0
＋ε）会有一收益
，财富的回报率为r（t），不过，此刻有一半的财富会被没收。此时的效用收益为
。总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：
在
且
时，有下式：
因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4 假设方程（2.1）中的瞬时效用函数u（C）为lnC，考虑家庭在（2.6）的约束下最大化（2.1）的问题。请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、r（t）以及效用函数中各参数的函数。
注意：
（2.1）
（2.1）中，C（t）是每个家庭成员在时间t的消费。
是瞬时效用函数，表示在给定时刻下每个家庭成员的效用。L（t）是经济中的总人口，所以L（t）/H是每个家庭的成员人数，而u（C（t））L（t）/H是家庭所有成员在时间t的总瞬时效用。最后，ρ是贴现率。ρ越大，则家庭就越看重当期消费而不是未来消费。
由于每个家庭有L（t）/H个成员，因此在时刻t，每个家庭的劳动收入为W（t）L（t）/H，消费支出为C（t）L（t）/H。在0时刻，每个家庭的初始财富是经济总初始财富的1/H，或等于K（0）/H。因此，每个家庭的预算约束为：
（2.6）
解： 本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。
（1）
（2）
令
，建立拉格朗日方程：
求一阶条件：
抵消L（t）/H项得：
（3）
可以推出：
（4）
将其代入预算约束方程：
（5）
将
代入上式：
（6）
只要ρ－n＞0，则积分项收敛，为1/（ρ－n），则：
（7）
将方程（7）代入（4）：
（8）
因此，初始消费为：
（9）
个人的初始财富为W/[L（0）/H]，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。（ρ－n）为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在均衡增长路径上是独立于利率的。对于折现率ρ而言，ρ越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
2.5 设想某家庭的效用函数由教材中（2.1）～（2.2）式给定。假设实际利率不变，令W表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值[教材中（2.6）式的右端]。已知r、W和效用函数中的各参数，求C的效用最大化路径。
（2.1）
（2.2）
（2.6）
解： 本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：
（1）
（2）
代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r是常数。
建立拉格朗日方程如下：
求一阶条件，可得：
抵消L（t）/H，得：
（3）
两边对时间t求导，可得：
得到下面的方程：
（4）
将方程（3）代入（4），可得：
抵消
然后求消费的增长率
，可得：
（5）
由于利率r是常数，所以消费的增长率为常数。如果r＞ρ，则市场利率超过贴现率，消费会增加；反之，如果r＜ρ，则市场利率小于贴现率，消费会减少。如果r＞ρ，则θ决定了消费增长的幅度。θ值越低，也就是替代弹性越高，1/θ越高，即消费增长的越快。
重写方程（5），得：
（6）
对方程（6）积分，积分区间是从时间τ＝0到时间τ＝t，可得：
上式可以简化为：
（7）
对方程（7）两边取指数，可得：
，整理得：
（8）
下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：
将
代入上式，可得：
（9）
只要
，从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：
（10）
将方程（10）代入（9）中，求解C（0）：
（11）
将方程（11）代入（8），求解C（t）：
（12）
上式便是C的效用最大化路径。
2.6 生产力增长减速与储蓄。设想一个处于平衡增长路径的拉姆塞—卡斯—库普曼斯模型，假设g永久性下降。
（a）
曲线会如何变化（如果有影响）？
（b）
曲线会如何变化（如果有影响）？
（c）当g下降时，c如何变化？
（d）用一个式子表示g的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。能否判断此表达式的正负？
（e）设生产函数是柯布—道格拉斯函数f（k）＝k
α
，请用ρ、n、g、θ和α重新表示（d）中的结果。[提示：利用等式
。]
解： （a）关于资本的欧拉方程为：
（1）
该方程描述了资本的动态方程，在拉姆齐模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
图2-1 拉姆齐模型
在均衡增长路径上，
，由此可以推出：c＝f（k）－（n＋g）k。在该方程中，当g永久性地下降时，会导致消费c上升以保持方程的均衡。因而在图形上
曲线向上移动。同时，保持k不变，g永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资（n＋g）下降的幅度更大，因而在更高的k水平上，
向上移动得更大。图2-1是该模型的图示。
（b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：
（2）
该方程描述了消费的动态变化，在拉姆齐模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。
在均衡增长路径上，要求
，即
，在g永久性地下降时，为保持
，f＇（k）必须下降。由于f＂（k）＜0，因而f＇（k）下降必然导致k上升。因此，
必须上升，在图形上表现为
向右移动，如图2-1所示。
（c）在g永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持在均衡增长路径k * 处。
与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着g永久性地下降而迅速变化。为使经济从旧的均衡增长路径达到新的均衡增长路径，每单位有效劳动的消费c必将发生变化。
不过，此处无法确定新的均衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费c是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的均衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费c甚至可能保持不变。因此，c和k逐步移动到新的均衡增长路径，此时的值高于原先的均衡增长路径值。
（d）在均衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：
因为k保持不变，即
，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：
由上面两个式子可以推出在均衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：
（3）
对方程（3）两边关于g求导数，可得：
可以再简化为：
（4）
由于k
*
由
决定，对该式两边关于g求导数，可得：
，从而求出
为：
（5）
将方程（5）代入（4）中，可得：
（6）
在方程（6）中，分母
为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。因此，无法判断在均衡增长路径上g永久性地下降会使s上升还是下降。
（e）将柯布—道格拉斯生产函数
，
和
代入方程（6）中，可得：
简化为：
从上式可以推出：
最终有下面的结果：
2.7 说明下列变化如何影响图2-2中的
线和
线，并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的c值和k值。
（a）θ上升。
（b）生产函数向下移动。
（c）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。
图2-2 鞍点路径
解： （a）关于c与k的欧拉方程为：
（1）
（2）
θ的上升即消费的跨期替代弹性1/θ下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。这种情况使家庭更偏好于即期消费。
由于θ没有出现在资本积累方程（2）中，因而资本积累方程不受θ的上升的影响。在消费的动态方程中，在均衡增长路径上
，从而
，由于θ的上升，因而f＇（k）必须上升，又因为f＂（k）＜0，所以为使
，k必须下降。此时
向左移动，消费移动到新的鞍点路径A点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点
，此时c
*
和k
*
低于原先的值。如图2-3所示。
图2-3 θ的上升的影响
（b）由于生产函数的向下移动，因而f（k）和f＇（k）都变小了，如图2-4所示。
图2-4 生产函数向下移动
根据资本的欧拉方程：
，在均衡增长路径上
，因而有c＝f（k）－（n＋g）k。由于f（k）变小，因此
这条曲线会向下移动，如图2-5所示。
图2-5 生产函数向下移动的影响
根据消费的欧拉方程：
，在均衡增长路径上
，从而
，由于f＇（k）变小，为保持
，必须使k下降，从而使f＇（k）保持不变。因此
向左移动，如图2-5所示。经济最终将收敛到新的均衡点
点，此刻c
*
和k
*
会变小。
（c）由于折旧率δ由0变为正数，因而资本的欧拉方程变为：
（3）
由于折旧率δ由0变为正数，因此持平投资变大，持平投资线向左上移动，如图2-6所示。
图2-6 持平投资线向左移动
这便要求增加储蓄或者投资，从而降低消费。由于持平投资变大，因此
会向下移动，如图2-7所示。
图2-7 折旧率由0变为正数的影响
资本的回报也下降为：
，从而消费的欧拉方程变为：
（4）
在均衡增长路径上，
要求
。与折旧率δ由0变为正数之前相比较，f＇（k）必须变大，从而k必须变小。由于k必须变小，这便要求
曲线向左移动，如图2-7所示。经济最终将收敛到新的均衡点
点，此刻c
*
和k
*
会变小。
2.8 请在折旧率为正的情形下推导类似于（2.39）的表达式。
解： 教材中方程（2.39）中折旧率为0的情形为：
当考虑到折旧率δ＞0的情况时，消费和资本的欧拉方程变为：
（1）
（2）
对方程（1）和（2）分别在c＝c * 和k＝k * 处进行一阶泰勒展开，可得：
（3）
（4）
定义
和
，因为c
*
和k
*
为常数，所以
且
，将（3）和（4）重写为：
（5）
（6）
对方程（1）和（2）计算偏导数：
（7）
（8）
（9）
（10）
将方程（7）和（8）代入（5），将方程（9）和（10）代入（6），可得：
（11）
（12）
方程（12）的第二步用到了
，第三步用到了定义β＝ρ－n－（1－θ）g。
对方程（11）除以
以求
的增长率，对方程（12）除以
以求
的增长率：
（13）
（14）
可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样，也就是说折旧率的存在对增长率没有影响。因此，经济在向均衡增长路径移动时的
和
的不变增长率μ与教材中的结果应该一致。
令
方程（13）可以推出：
（15）
由方程（15），令（13）和（14）相等，可得：
，求解可得：
如果μ为正，则经济会偏离稳定点，所以μ必为负：
现在考虑柯布—道格拉斯生产函数
，分别求其一阶导和二阶导：
（16）
（17）
将方程（16）两边同时平方：
，将其代入（17）式：
定义均衡增长路径上的储蓄率为s * ，则均衡增长路径上的消费为：
（18）
将方程（17）和（18）代入（15）：
化简为：
（19）
在均衡增长路径上，
意味着r
*
＝ρ＋θg，即：
（20）
另外，实际投资等于持平投资：s * f（k * ）＝（n＋g＋δ）k * ，可以推出：
（21）
上步用到了
，由（21）可以推出：
（22）
将方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：
上式与教材中的（2.39）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将α＝1/3，ρ＝4%，n＝2%，g＝1%，θ＝1，δ＝3%代入上式，得到μ 1 ＝－8.8%）要快于不存在折旧时的调整速度。
2.9 拉姆塞模型的解析解[来自于史密斯（Smith，2006）。]考虑生产函数为柯布—道格拉斯函数的拉姆塞模型y（t）＝k（t） α 的情形，假设相对风险规避系数θ与资本份额α相等。
（a）平衡增长路径上的k值（即k * ）为多少？
（b）平衡增长路径上的c值（即c * ）为多少？
（c）令z（t）表示资本产出比k（t）/y（t），x（t）表示消费资本比c（t）/k（t）。请用z、x和模型参数表示
和
。
（d）暂且猜测x在鞍点路径上是常数。根据这一猜想：
（i）给定初始值z（0），求z的路径。
（ii）给定初始值k（0），求y的路径。经济沿鞍点路径向平衡增长路径收敛的速度dln[y（t）－y * ]/dt是否是常数？
（e）上述猜测的解是否满足c与k的运动方程（2.24）与（2.25）？
解： （a）关于c与k的欧拉方程为：
（1）
（2）
在平衡增长路径上，资本和消费的增长均为零，即：
，
。于是在方程（1）中令
可得：
（3）
将
，θ＝α代入（3）得：
解得：
（4）
此即为平衡增长路径上的k值。
（b）令（2）中
，并将f（k（t））＝y（t）＝k（t）
α
代入可得：
（5）
将（4）代入（5）中可得：
提取公因式，化简得：
此即为平衡增长路径上的c。
（c）由题意知：
（6）
对上式两边同时取对数得：
（7）
（7）两边同时对时间t求导得：
（8）
而由f（k（t））＝y（t）＝k（t） α 可得：
（9）
将f（k（t））＝y（t）＝k（t） α 以及（9）代入（8）可得：
化简得：
（10）
将（2）代入（10）中得：
于是有：
（11）
对x（t）两边同时取对数得：
（12）
（7）两边同时对时间t求导得：
（13）
将f（k（t））＝y（t）＝k（t） α （1）和（2）代入（13）得：
（14）
将θ＝α代入（14）并化简得：
（15）
（d）因猜测x是常数，所以方程（11）变为：
（16）
为了找到z的路径，观察方程（12），它是一个线性非齐次常微分方程，它的解由通解z c 和特解z p 组成。为了简便，令λ＝（1－α）（n＋g＋x * ）。
为了求得通解，考虑
的齐次情形，求得通解为：
（17）
其中，A 1 是一个常数。
为了求得特解，考虑
的非齐次情形。利用积分因子，求得：
（18）
其中，A 2 是一个常数。
所以：
（19）
因为z（0）已知，将其代入（19）可求得A 1 ＋A 2 ＝z（0）－（1－α）λ，将其代入（19）得：
（20）
又因为：
（21）
其中，
，将其代入上式得：
（22）
又
，所以：
（23）
将方程（23）代入（20）得z的路径：
（24）
（ii）因为y（t）＝k（t）
α
，
，可求得y与z之间的关系为：
（25）
在（i）中已求得z，将其即方程（24）代入得：
（26）
再将
及
代入得y的路径：
（27）
现在考虑经济沿鞍点路径向平衡增长路径收敛的速度
是否是常数。
因为
，
，所以：
（28）
注意，θ＝α。
对时间求导得：
（29）
显然，这不是常数，所以收敛速度不是常数。
（e）考虑上述猜测的解是否满足c与k的运动方程，即方程（2.24）
和（2.25）
。这些方程是用于寻找
，当且仅当方程（2.24）和（2.25）成立时，
才能成立。然而，方程（2.25）是成立的，因为它之前用来寻找
。因此，可以说当且仅当
时，
。假定
并代入方程（15）得：
（30）
又根据（a）和（b）部分，求得：
（31）
方程（31）与（30）是相同的，所以（2.24）和（2.25）是满足的。
2.10 拉姆塞—卡斯—库普曼斯模型中的资本税。考虑处于平衡增长路径上的拉姆塞—卡斯—库普曼斯经济。假设在某一时刻（我们称作0时），政府采取了一项对投资所得按税率征税的政策，因此家庭面临的实际利率变为
。假设政府将税收收入以一次性转移支付的形式返还给家庭。最后，假设税收政策是意料之外的。
（a）该税收政策如何影响
线和
线？
（b）经济在0时会对该税收政策作出何种反应？0时之后的动态学又是如何？
（c）c和k在新旧两种平衡增长路径上的值有何不同？
（d）[本小题基于巴罗、曼昆和萨拉伊马丁（Barro，Mankiw，and Sala-i-Martin，1995）]假设存在许多与本题相同的国家，各国工人们的偏好相同，但各国间的投资收入税率可以不同。假设各国都处于其平衡增长路径。
（i）证明平衡增长路径上的储蓄率（y * －c * ）/y * 随τ递减。
（ii）低τ、高k * 、高储蓄率国家的居民是否有动机向低储蓄率国家投资？为什么？
（e）（c）小题中的答案是否说明补贴投资（即让τ＜0）并通过一次性税收为补贴筹资的政策可以提高福利？为什么？
（f）如果政府并不返还税收收入，而是将其用于政府购买，（a）小题和（b）小题中的答案会如何变化？
解：
（a）由于资本的税后报酬变为：
，家庭将改变每单位有效劳动的消费增长率来实现一生效用的最大化，即：
（1）
在均衡增长路径上，
要求
，即税后报酬率为ρ＋θg。为保持
，
必须上升，又因为
，所以资本存量必须下降。因此，
这条曲线将会左移，如图2-8所示。
图2-8 对投资增税的影响
家庭的每单位有效劳动的资本的欧拉方程仍为：
（2）
由于政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭，所以家庭投资决策不受影响，因而
的轨迹不变。
（b）在0时刻，由于资本的存量由历史上的投资决策所决定，因而资本不会发生非连续的变化。资本仍然保持在原来的均衡增长路径上的k * 处。
在0时刻，与每单位有效劳动的资本相反，每单位有效劳动的消费会由于征税而立刻发生变化。由于税收政策的这种变化是非预期性的并且是毫无准备的，因此消费的变化是非连续的。
由于政府的这种税收征集，储蓄和资本积累的回报会比以前低，家庭会转而减少储蓄，增加消费，在图2-8上表现为c向上移动到A点，然后沿着新的均衡路径移动。经济沿着新的鞍点均衡路径缓慢移动，最终移动到新的均衡点E NEW 。
（c）由图2-8可知，由于税收扭曲了经济刺激，因此税后处在新的均衡增长路径上的c与k的值将变小。
（d）（i）由上述的分析可以看出，税率τ越高，在均衡增长路径上的k
*
越小，而且
曲线向左移动得越多，因而有∂k
*
/∂τ＜0。
在均衡增长路径上，储蓄率可以表示为：
，同时，
时，由
可以推出f（k * ）－c * ＝（n＋g）k * ，由此可以将储蓄率表示为：
（3）
对方程（3）两边求关于税率τ的导数：
可以简化为：
由于资本的收入份额为
，以及∂k
*
/∂τ＜0，可以改写上式为：
（4）
以上便证明了均衡增长路径上的储蓄率（y * －c * ）/y * 关于τ是递减的。
（ii）在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。由（a）可知，在均衡增长路径上
，可以推出
，即税后的资本回报为ρ＋θg，假定在国家之间偏好与技术特征是相同的。因而在低储蓄国家资本的税后回报与高储蓄国家的资本的税后回报相同。因此，在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。
（e）补贴投资不会增加福利。
原先的市场结果便已经是中央计划者能够达到的社会效用最大化水平了，它给予了家庭最高可能的终生效用水平。
从初始的E点开始，投资补贴能够使消费短期内下降到A点，但最终经济会沿着新的均衡增长路径达到更大的消费水平E NEW 点。可以发现短期的效用损失会超过长期的效用收益（都用现值形式表示），如图2-9所示。
图2-9 对投资补贴不会增加福利
（f）假定政府未将税收所得返给家庭，而是用于政府购买。令G（t）为每单位有效劳动的政府购买，则每单位有效劳动的资本存量变化的欧拉方程仍为：
（5）
政府购买被视为是政府的消费而不是投资，这将不会增加资本存量。由（5）可得，
曲线将向下移动。如图2-10所示。
由（a）可知，由于政府征税，
曲线向左移动，k
*
移动到
，在新的均衡增长路径上，每单位有效劳动的消费会低于存在政府的总量税返还的情况。如图2-10所示。
图2-10 税收全部用于政府购买对经济的影响
2.11 应用相图分析预期变化的影响。考虑习题2.10中提到的政策，假设政府并不是在0时宣布并执行该政策，而是在0时宣布将在以后某一时刻t 1 对投资收入按照税率τ征税。
（a）用相图画出t 1 之后c和k的动态学。
（b）c在t 1 时刻的变化是否连续？为什么？
（c）用相图画出t 1 之前c和k的动态学。
（d）根据（a）、（b）和（c）的答案，c在0时应如何变化？
（e）总结上述4个小问题，并把c和k的路径描绘为时间的函数。
解： （a）－（c）在t 1 时刻征税之前，c与k的欧拉方程仍为：
（1）
（2）
对于方程（1），在均衡增长路径上，
可以推出
。由于政府返还总量税，资本积累方程不受影响。
在t 1 时刻征税之后，c的欧拉方程为：
（3）
在均衡增长路径上，
可以推出
，即税后的回报为ρ＋θg。因此，税前的资本回报
高于税后的资本回报。为保持
，
必须上升，从而k必须下降。因此，在t
1
时刻，
曲线必须向左移动。如图2-11所示。
图2-11 t
1
时刻征税使得
向左移动
不过值得注意的是，资本的动态在实际征税之前仍由原先的欧拉方程决定。在t 1 时刻征税之后，消费c不可能发生不连续的变化，原因在于家庭已经在事先知道了将要征税的消息，家庭希望平滑消费。
（d）在t 1 时刻征税之后，消费不可能发生不连续的变化，同时经济会达到新的均衡增长路径。在0时刻宣布并施行征税后，c会立即由原先的均衡点E移动到均衡增长路径上的A点，如图2-12所示。
图2-12 征税对
曲线的影响
在A点，由于消费c太高，从而不足以将资本维持在原先的资本水平k
*
上，因此k开始下降。从0时刻到t
1
时刻，动态系统仍由原先的
的欧拉方程决定。消费在鞍点路径的左边，因此消费开始上升。
在t
1
时刻经济恰好移动到新的鞍点路径，此时税收开始执行，并且动态系统仍由新的
的欧拉方程决定。因此，c开始下降，经济最终移动到新的鞍点E
NEW
。
（e）每单位有效劳动的消费与每单位有效劳动的资本如图2-13所示。
图2-13 每单位有效劳动的消费、有效劳动的资本
2.12 应用相图分析暂时性变化的影响。考虑习题2.11的如下两种变形：
（a）在0时，政府宣布将对0时到其后某一时刻t 1 间的投资收入按照税率τ征税，而此后的投资收入仍将免税。
（b）在0时，政府宣布将对t 1 时到其后某一时刻t 2 间的投资收入按照税率τ征税，而t 1 之前和t 2 之后的投资收入仍将免税。
解： （a）第一问是分析预期到的税收将在t 1 时刻结束，因而消费在t 1 时刻将不会发生非连续的变化。原因在于家庭的跨期消费最优化要求家庭平滑消费。因此，在经济返回到旧的鞍点路径时，消费必须在t 1 时刻位于旧的鞍点路径上。
在征税之前，即到0时刻，和在结束征税之后，即t 1 时刻之后，经济动态变化由下面两个欧拉方程决定：
（1）
（2）
资本积累的动态方程
不会受到征税的影响，但是，消费的动态方程
则会受到征税的影响。在0时刻到t
1
时刻，资本的税后回报为
，为了保证
成立，
必须上升，由于
，所以k必须下降，从而
必须左移。在0时刻，开始征税，
保持不变，但经济位于原鞍点路径的右边，因而c开始下降。此时经济在
的下边，因而k开始上升，经济会偏离到E点的东南，离开了原来的鞍点路径。
如图2-14所示，在0时刻，经济上升到A点，k和c开始下降，最终经济会降到
曲线的下方，因而k开始上升。这是因为家庭预测到税收将被取消，因而开始增加投资。在t
1
时刻，税收被取消，经济将位于动态系统的右边，即B点。在t
1
时刻之后，动态方程
再次支配动态系统。此刻经济再次返回原先的鞍点路径，最终返回到原先的稳定点E。
图2-14 鞍点路径
（b）由于家庭可以事先预测到税收将被执行或取消，因此从家庭会进行跨期消费最优化这一角度出发，家庭会选择在各期之间平滑消费，因此在t 1 时刻和t 2 时刻，c不会发生不连续的变化。为了使经济返回到均衡增长路径上，在t 2 时刻经济必须位于原先的鞍点路径上。
在税收被执行的t 1 时刻之前和税收被取消的t 2 时刻之后，经济仍由动态系统（1）和（2）来支配。在税收被宣布的0时刻直到被执行的t 2 时刻为止，原先的欧拉方程仍然支配动态系统。
在0时刻税收被宣布执行，消费开始上升到A点，经济仍然位于
的动态系统上，但是位于
的动态系统的上方，因此k开始下降。因而开始偏离到
的左边，c开始上升，经济此刻偏离到动态系统的西北方。
在t
1
时刻税收开始执行，家庭倾向于减少储蓄，因而k开始下降，导致
左移，经济到达B点。此刻经济位于
的动态系统的上方和
的动态系统右边，因而，k继续下降而c开始下降。最终经济会下降到
的动态系统的下方，因而k开始上升。为实现家庭的跨期最优化，必须选择资本的初始值以使经济在t
2
时刻税收取消时位于旧的鞍点路径上的C点。在t
2
时刻之后，经济仍由动态方程
支配，从而经济最终会返回到旧的稳定点E上。如图2-15所示。
图2-15 鞍点的路径
2.13 本章在分析拉姆塞—卡斯—库普曼斯模型中的政府政策时假定了政府购买并不影响私人消费的效用，与此相反的情况是政府购买和私人消费是完全替代品。具体而言，假设效用函数（2.12）变为
如果经济最初处于平衡增长路径，并且家庭偏好由U给定，政府购买的暂时增加会对消费路径、资本路径和利率路径有何影响？
解： 将政府购买纳入到动态系统中，则资本积累方程为：
（1）
其中，G（t）代表t时刻每单位有效劳动的政府购买。
因为假定政府购买会完全替代掉私人消费，G（t）的变化将会一对一的抵消掉c的变化。在初期，定义G（t）＝G L ，家庭的消费增长率变为：
（2）
对于处在均衡增长路径上的消费来讲，动态方程
要求
。短期政府购买的变化只会产生水平效应，即只影响c的变化，而不会影响增长率的变化，也就是不会移动
曲线。假定经济处于均衡增长路径上的E点，在t
0
时刻，G（t）从G
L
上升到G
N
，家庭预测到加税只是暂时的，在t
1
时刻之后G
N
会返回到G
L
。G（t）的上升会使（1）式中
的动态系统向下移动，移动的数量恰好为（G
N
－G
L
）。政府购买的增加直接地减少了家庭消费。
与拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型中政府政策的分析假设政府购买并不影响私人消费的效用的情况相反，政府购买与私人消费是完全替代的，假定会要求在t 1 时刻c必须立即向上跳动（G N －G L ）以抵消政府购买的减少，从而返回到原先的均衡增长路径上。如图2-16所示，经济必须在t 0 时刻向下跳动到E NEW 点，下降的数量为（G N －G L ）。经济在这一点上一直停留到t 1 时刻。此后，经济向上跳动（G N －G L ）以返回到旧的均衡增长路径上的E点。
图2-16 拉姆齐—卡斯—库普曼斯模型
下面分析两种非均衡的情况。
第一种：在t
0
时刻，c下降的数量小于（G
N
－G
L
）。此种情况下，经济将位于新的
的上方，k便会减少从而位于
的左方，c便会上升，则经济会向动态系统的西北方向移动。那么，在t
1
时刻，c即使向上移动（G
N
－G
L
），经济也不会返回到原先的路径上，这是第一种非均衡的情况。
第二种：在t
0
时刻，c下降的数量大于（G
N
－G
L
）。此种情况下，经济将位于新的
的下方，k便会上升从而位于
的右方，c便会下降，则经济会向动态系统的东南方向移动。那么，在t
1
时刻，c即使向上移动（G
N
－G
L
），经济也不会返回到原先的路径上，这是第二种非均衡的情况。
总之，G（t）的暂时性变化，并不会对资本存量和实际利率产生影响，随着G（t）的暂时性上升，c会下降同样的数量。在G（t）返回到初始水平时，c会返回到原先的均衡增长路径上。
2.14 设戴蒙德模型中的效用函数为对数函数，生产函数为柯布—道格拉斯函数。请说明下列变化会如何影响k t ＋ 1 （k t ）函数。
（a）n上升。
（b）生产函数向下移动[即f（k）的形式为Bk α 并且B下降]。
（c）α上升。
解： （a）在对数效用函数与柯布—道格拉斯生产函数的假定下，k t ＋1 与k t 的关系为：
（1）
n的上升会导致k t ＋1 函数向下移动，如图2-17所示。
图2-17 n的上升对k * 的影响
因为每单位有效劳动的要素收入为：
，它不依赖于劳动的增长率n，因此t期同样数量的每单位有效劳动的资本和每单位有效劳动的收入会产生同样数量的储蓄，也就会导致在t＋1期产生同样数量的资本。但是，由于劳动的增加，每单位个人的资本数量减少了，低于原先的k
t
。
（b）修改生产函数为f（k）＝Bk α ，因此，k t ＋1 的函数修改为：
B的下降会导致k
t
＋1
的函数向下移动。在t期，每单位有效劳动的资本能生产的每单位有效劳动的产量会下降。因为
且劳动收入中用于储蓄的比例与B无关，因此会导致在t＋1期数量更少的资本。
（c）对方程（1）两边关于α求导如下：
（2）
为决定
，定义
，两边取对数如下：
，对该式两边关于α求导，可得：
（3）
由于下式：
（4）
将方程（3）代入（4）中，可得：
（5）
方程（5）可以重写为：
（6）
将方程（6）代入（2）中，可得：
再简化为：
（7）
当（1－α）lnk t －1＞0或lnk t ＞1/（1－α）时，α上升意味着k t ＋1 函数应该向上移动，相反，当lnk t ＜1/（1－α）时，α上升意味着k t ＋1 的函数应该向下移动。最终在lnk t ＝1/（1－α）的右边，新的和旧的k t ＋1 函数相交。
2.15 索洛模型的离散时间形式。假设Y t ＝F（K t ，A t L t ），其中F（·）规模报酬不变，并且其紧凑形式满足稻田条件。同时假设A t ＋ 1 ＝（1＋g）A t ，L t ＋ 1 ＝（1＋n）L t ，以及K t ＋ 1 ＝K t ＋sY t －δK t 。
（a）请把k t ＋ 1 表示为k t 的函数。
（b）做图把k t ＋ 1 表示为k t 的函数。该经济是否有平衡增长路径？如果k的初始值与平衡增长路径上的值不同，该经济是否会向平衡增长路径收敛？
（c）请把平衡增长路径上单位有效劳动的平均消费表示为k的函数。当k最大化平衡增长路径上单位有效劳动的平均消费时，资本的边际产出f＇（k）是多少？
（d）假设生产函数是柯布—道格拉斯函数。
（i）请把k t ＋ 1 表示为k t 的函数。
（ii）平衡增长路径上的k值即k * 是多少？
（iii）按照本章中方程（2.64）～（2.67）的思路，请在k t ＝k*附近线性化（i）小题中的表达式，并求出k向k * 收敛的速度。
解： （a）第二期的资本存量等于第一期的资本存量加上当期的投资并且减去当期的折旧，即：
（1）
将上式两端除以A t ＋ 1 L t ＋1 ，如下：
上式简化为：
（2）
方程（2）为k t ＋1 关于k t 的函数表达式。
（b）下面检验该函数是否满足收敛的条件。分别求k t ＋1 关于k t 的一阶和二阶导数，即：
检验稻田条件：
该函数的斜率小于1，则它必然与45°线相交。由上可见，该函数定义良好且与45°线只相交一次。如图2-18所示。
图2-18 k在均衡增长路径上的k * 值
注意，k＝0并不是一个稳定点，任何大于0的资本存量都会收敛于k * 。例如，设某一点小于k * ，由于k t ＋1 大于k t ，因此k值会不断地变大，最终收敛于k * 点。相反，设某一点大于k * ，由于k t ＋1 小于k t ，因此k值会不断地变小，最终收敛于k * 点。在k * 点，存在一条均衡增长路径。
（c）在均衡增长路径上，k t ＋1 ＝k t ＝k * ，将其代入到方程（2）中，可得：
上式可简化为：
再次简化为：
（3）
由方程（3）求储蓄率s，可得：
（4）
在均衡增长路径上每单位有效劳动的消费为：
（5）
将方程（4）代入（5）中，可得：
上式再次化简为：
（6）
为求得在均衡增长路径上每单位有效劳动资本的边际产品，将方程（6）关于k求导如下：
则黄金律资本存量由下式隐性决定：
（7）
（d）将柯布—道格拉斯生产函数
代入方程（2），得：
（8）
在均衡增长路径上，有k t ＋1 ＝k t ＝k * ，将该式代入方程（8），可得：
上式可以简化为：
由此推出：
。
最后得到：
（9）
对方程（8）两边求导，可得：
（10）
将方程（9）代入（10），得：
由于（n＋g＋ng＋δ）＝（1＋n）（1＋g）－（1－δ），所以可以将上式简化为：
进一步简化为：
（11）
对方程（8）在k＝k * 处一阶泰勒展开，可得：
（12）
方程（12）可以简化为：
从方程（12）可以推出：
（13）
因此，经济向均衡增长路径移动
，即：
下面进行校准：令α＝1/3，n＝1%，g＝2%及δ＝3%，则收敛速度为3.9%，它比连续时间的索洛模型要慢。
2.16 戴蒙德模型中的折旧与索洛模型的微观基础。假设戴蒙德模型中资本折旧率为δ，从而
。
（a）模型的上述变化会如何影响方程（2.59）？
（b）在对数效用、柯布—道格拉斯生产函数以及δ＝1的特殊情形下，请把k t ＋ 1 表示为k t 的函数，并将此结果与习题2.15（a）中索洛模型离散形式在δ＝1时的类似表达式进行比较。
解： （a）k t 的函数k t ＋1 为：
家庭的最优化行为不受折旧的影响，即
。家庭的最优化行为为：
（1）
（2）
不存在折旧的储蓄率为：
，该式简化为：
（3）
方程（3）中，储蓄率依赖于利率r
t
＋1
，此时r
t
＋1
发生了变化，为
。
由于t＋1期的资本积累为t期年轻人的储蓄，因此有：
（4）
S
t
是t期单个年轻人的储蓄，由于
，代入方程（4），可得：
（5）
为得到t＋1期的有效劳动的形式，两边除以A t ＋1 L t ＋1 ，即：
（6）
由于A t /A t ＋1 ＝1/（1＋g），L t /L t ＋1 ＝1/（1＋n）和K t ＋1 /（A t ＋1 L t ＋1 ）＝k t ＋1 ，将其代入方程（6），可得：
（7）
最后将劳动和资本的边际产品，即
和
代入方程（7），可得：
（8）
在没有折旧的情况下，k t 的函数k t ＋1 为：
添加折旧的确会影响k t 与k t ＋1 的关系。k t ＋1 是变大还是变小取决于储蓄如何随利率的变化而变化。
（b）在对数效用函数的情况下，储蓄率并不依赖于利率，储蓄率的表达式如下：
（9）
根据柯布—道格拉斯生产函数
，实际工资为
，将上式与方程（9）代入方程（8），可得：
（10）
习题2.15的（a）部分的
时索洛模型的离散时间表达式为：
（11）
本模型中储蓄率为总储蓄除以总产出，而习题2.15的储蓄率为劳动收入中用于储蓄的部分。定义经济的总储蓄为
，
等于年轻人的正储蓄加上老年人的负储蓄。
年轻人的正储蓄为
，由于折旧率为100%，因此不存在老年人的负储蓄。因此，总储蓄为：
从而方程（10）可以重写为：
（12）
在方程（11）中，令折旧率为1，（11）可以简化为（12），两者是一样的。因此，索洛模型的确具有微观基础，尽管折旧率为1是不现实的。
2.17 戴蒙德模型中的社会保障。考虑g为零、柯布—道格拉斯生产函数以及对数效用情形下的戴蒙德模型。
（a）到期即付式社会保障。假设政府对每个年轻人征税T，并将此税收收入用于补贴老年人，因此每个老年人得到（1＋n）T。
（i）这种变化会如何影响方程（2.60）？
（2.60）
（ii）这种变化会如何影响平衡增长路径上的k值？
（iii）若经济最初处于动态有效的平衡增长路径上，T的边际变化会如何影响当前和未来各代的福利？若最初的平衡增长路径是动态无效的，答案有何不同？
（b）全额社会保障。假设政府对每个年轻人征税T，并将此税收收入用于购买资本，因此生于时刻t的个人将会在年老时得到（1＋r t ＋ 1 ）T。
（i）这种变化会如何影响方程（2.60）？
（ii）这种变化会如何影响平衡增长路径上的k值？
解： （a）（i）效用函数为：
（1）
在对每个年轻人征收数量为
的社会保障税之后，个人面临的预算约束为：
（2）
（3）
（2）式为第一期的预算约束，其中S t 代表第一期的个人储蓄。从个人的角度看，社会保障的回报率为（1＋n），这不同于私人储蓄率的回报率（1＋r t ＋1 ）。由方程（3）可以解出：
（4）
将方程（4）代入（2）：
重新安排可以得到跨期的个人预算约束：
（5）
对于对数效用函数，在第一阶段，个人将消费其终生财富的比例为（1＋ρ）/（2＋ρ），将其代入（5）中：
（6）
将方程（6）代入（2）中：
化简得：
进一步可简化为：
（7）
如果n＝r t ＋1 ，则储蓄会由于社会保障税而一对一的下降；如果n＞r t ＋1 ，储蓄会下降更快，相反，储蓄则会下降的较慢。
定义
并将其代入（7），可得：
（8）
由于t＋1期的资本存量等于t期的储蓄，因此有：
（9）
将方程（9）转化为每单位有效劳动的形式，并使用方程（8），可得：
（10）
对于柯布—道格拉斯生产函数，实际工资为：
（11）
将方程（11）代入（10），产生新的关系，即：
（12）
（ii）为判断社会保障的引入对均衡增长路径上的k值的影响，必须判定Z t 的正负号。如果Z t 为正数，则社会保障税T的引入会使k t ＋1 曲线下移并且降低k值。
下面计算Z t ：
上式可简化为：
因此，k t ＋1 曲线向下移动，k * 也降低了。
（iii）如果经济是初始动态有效的，则T的边际增长会提高老年人的福利，但是它将使k * 低于黄金律所要求的资本水平k GR ，从而使未来一代人的福利恶化，降低他们的消费水平。但是，如果经济初始是动态无效的，则k * ＞k GR ，则T的边际增加会提高老年人的福利。同时，还会提高未来一代人的福利水平，从而是福利改进的。此时社会保障税T的引入会降低过度的资本积累，从而消除动态无效率。
（b）（i）方程（3），即第二期的预算约束变为：
（13）
从个人角度讲，社会保障的回报率等于储蓄的回报率。由方程（13）推出储蓄，即：
（14）
将方程（14）代入（2）（即第一期的预算约束），可得：
上式进一步简化为：
（15）
家庭的最优化行为产生了通常的欧拉方程，即：
将上式代入方程（15）中，可得：
（16）
为得到每个人的储蓄，将方程（16）代入（2）中，可得：
上式进一步简化为：
（17）
社会保障的引入引起储蓄的一对一的减少。
t＋1期的资本存量等于个人在t期的储蓄加上政府投资，即：
（18）
将方程（18）转化为每单位有效劳动的形式，并利用方程（17），可得：
上式进一步简化为：
利用方程（11）来替代上式中的工资，即：
（19）
因此，全额融资的社会保障税T的引入对后续各期的资本没有影响。
（ii）因为全额融资的社会保障的引入对各期资本之间的关系没有影响，因此在均衡增长路径上各期资本是一样的。各期的总资本与总储蓄是一样的，政府的作用仅仅是使年轻人储蓄。因为社会保障回报率与储蓄率是一致的，因此对个人来说谁来为他们储蓄是无差异的，个人将一对一的抵消政府为他们所做的任何储蓄。
2.18 基本的世代交叠模型。（本题来源于萨缪尔森，1958；阿莱，1947。）与戴蒙德模型类似，假设在t期出生的L t 个人只生存两期，并且L t ＝（1＋n）L t － 1 。为了简单起见，令效用函数为不折现的对数效用函数：U t ＝ln（C 1t ）＋ln（C 2t ＋ 1 ）。
在经济的生产方面，该模型也比戴蒙德模型更为简单：经济中只有一种产品，它既可用于消费，也可用于储存；每个在t期出生的人都拥有A单位该产品；储存每单位产品可使经济主体在下一期得到x（x＞0）单位产品。
最后，假设在最初的第0期，除L 0 个拥有A单位产品的年轻人之外，还有[1/（1＋n）]L 0 个只生活在第0期的老年人，每个老年人拥有Z单位的产品，其效用就是在起始期的消费C 20 。
（a）说明该经济的分散均衡。（提示：给定上述世代交叠结构，某一代的成员是否会与另一代的成员进行交易？）
（b）假设经济人的禀赋中用于储蓄的份额f t 是不随时间变化的常数。在这样的路径上，请把人均总消费（总消费指所有年轻人与所有老年人的消费总和）表示为f的函数形式。如果x＜1＋n，满足0≤f≤1且最大化人均消费的f值是多少？分散均衡在这种情况下是否是帕累托有效的？如果不是，社会计划者怎样才能提高福利？
解： （a）首先，该模型不存在任何一代的成员将会同另一代的成员交易的可能性。原因是即使年轻人愿意交换，但他们的交易对象只能是老人，而老人则因为下一期已去世而不可能同年轻人进行交换。
个人的效用函数为：
（1）
预算约束为：
（2）
（3）
其中F t 是个人在第一期的储蓄。
将方程（3）代入（2），求个人的跨期预算约束：
（4）
用拉格朗日方法联立方程（1）和（4）以求解个人终生效用的最大化，如下：
求一阶条件：
（5）
（6）
将方程（5）代入（6），可得：
（7）
将方程（7）代入跨期预算约束式（4）中，可得：
，上式可简化为：
（8）
求第二期的消费，将方程（8）代入（7）中，可得：
（9）
当年轻人将他的财富一半储蓄时，下一期他可以消费
。由于是对数效用函数，因此，个人将其禀赋储蓄的比例并不依赖于储蓄的回报率。
（b）在t时刻的总消费为：
其中，L t 是年轻人的数量，L t －1 是老年人的数量。每个年轻人消费他的禀赋的一部分（1－f）A，每个老年人消费他的禀赋的总回报fxA。
由式C t ＝（1－f）AL t ＋fxAL t －1 ，对其两边除以AL t 以转化为每单位有效劳动的形式，即：
由于x＜1＋n，因此每单位有效劳动的消费是一个小于等于1的加权平均值。所以，当权数为1，即f＝0时，每单位有效劳动的消费达到最大。
因此，分散化均衡（即权数为1/2）不是帕累托有效的。因为跨代交易是不可能的，因此个人储蓄为年老时提供消费，即使储蓄的回报率非常低，他们也必须这样做。但是在一个集权经济中，社会计划者则可以从年轻人手中取走一单位物品而给每个老年人（1＋n）的物品。由于x＜1＋n，所以得到了一个更高的回报率。因此，社会计划者可以从年轻人手中取走他们一半的财富交给老年人去消费，从而提高社会的总体福利。社会计划者可以每期都这么做，即允许个人在年轻时消费A/2，而在年老时消费（1＋n）A/2，高于在分散经济的情况下每个人在年老时消费的xA/2。
2.19 萨缪尔森世代交叠模型中的稳态货币均衡。（本题来源于萨缪尔森，1958。）考虑习题2.18中的设定。假设x＜1＋n，并且老年人在第0期除了拥有Z单位产品之外，还拥有M单位可储存、可分割的商品，我们称之为货币。货币不能产生效用。
（a）考虑出生于第t期的某个人。假设在t期用货币计量的产品价格为P t ，而在t＋1期为P t ＋ 1 。因此，这个人可以按价格P t 出售其禀赋，并在下一期用所得的货币购买P t /P t ＋ 1 单位下一代的禀赋。请把此人的行为表示为P t /P t ＋ 1 的函数。
（b）证明存在均衡对任意t满足P t ＋ 1 ＝P t /（1＋n），并且没有储存，因此“货币”的出现使得经济可以达到储蓄的黄金律水平。
（c）证明存在均衡对任意t满足P t ＋ 1 ＝P t /x。
（d）最后，解释为什么对任意t满足P t ＝∞（即货币无价值）也是一种均衡。解释为什么当经济会在某一时期终结时[如习题2.20（b）]，这将是唯一的均衡。（提示：从最后一期反推。）
解： （a）个人的效用函数为：
（1）
预算约束为：
（2）
（3）
是名义的货币需求，F
t
是存储的数量。
个人要作出两项决策，一是将他的禀赋的多少用于储蓄，多少用于消费；二是通过何种方式储蓄：存储还是持有货币或者两者结合。由于对数效用函数，可以分离两项决策，因为储蓄的回报率不影响存储的比例。在上题中，有一半的禀赋用于储蓄，即：
（4）
处理存储的禀赋的方式依赖于储蓄的回报率
和货币的总回报率P
t
/P
t
＋1
。一个人可以在t期卖掉一单位的物品得到P
t
的货币，在t＋1期再花费P
t
＋1
的代价来购买物品。
情况1：x＞P t /P t ＋1
他将消费一半的禀赋，存储剩余的一半而不持有任何货币，因为货币的回报率低于储蓄的回报率。因此有：
情况2：x＜P t /P t ＋1
他将用货币持有一半的禀赋，即他将消费一半的财富而卖掉另一半的禀赋。因此有：
情况3：x＝P t /P t ＋1
由于货币和存储带来同样的回报，因此他将消费一半的禀赋，对于另一半，则在货币和存储两者之间无差异。令
为以货币形式持有的比例。因此有：
（b）均衡要求总的实际货币需求等于总的实际货币供给。
在上式中，在0时刻，每个老人拥有M单位货币，共有[L 0 /（1＋n）]个老人。最后一步用了L t ＝（1＋n） t L 0 ，从而有L 0 ＝L t /（1＋n） t 。
联立总实际货币需求和总实际货币供给两个公式，可得：
（5）
因此有：
下面使用均衡条件求
，即：
（6）
用方程（6）除以（5），有：
上面的分析对任何的t≥0成立，因此P t ＋1 ＝P t /（1＋n）是一个均衡。这表明如果货币被引入到一个动态无效率的经济中，个人将不会选择存储。
（c）由于P
t
＋1
＝P
t
/x，所以货币的回报等于存储的回报。此时，个人对于以何种形式持有禀赋是无差异的。令
为t期储蓄中以货币形式持有的比例。
t期的总实际货币需求和总实际货币供给的表达式如下：
使用均衡条件求P t ：
（7）
t＋1期的总实际货币需求和总实际货币供给的表达式如下：
使用均衡条件求P t ＋1 ：
（8）
用方程（8）除以（7），可得：
因为P t ＋1 /P t ＝1/x，所以有：
因此对于所有的t≥0，P t ＋1 ＝P t /x将是任何满足a t /a t ＋1 ＝x/（1＋n）的a的路径的一个均衡。
（d）P t ＝∞代表货币是无价值的，也是一种均衡。这种情况是因为年轻人相信货币在下一期是无价值的，因此这一代人将不会接受货币作为储存的替代物。在这种情况下，年轻人消费禀赋的一半然后储存另一半，而老年人则拥有一堆无价值的货币。这时，总实际货币需求与总实际货币供给相等且都是0。如果没有人相信下一代人将接受货币作为存储的替代物，这种均衡将持续到未来各期。
在T期，这种情况将是唯一的均衡。在T期没有年轻人愿意出卖禀赋以换取货币。年轻人将通过消费所有的存储来最大化一生的效用，老年人将持有一堆毫无价值的货币。因此，在T－1期，老年人因为知道下一期货币毫无价值，没有人愿意出卖禀赋以换取货币。T－1期将没有人愿意持有货币，逆向归纳，将没有人愿意在任何一期出卖禀赋来换取货币。
2.20 动态无效率的来源。（本题来自于谢尔，1971。）戴蒙德模型和萨缪尔森模型可以在下面两个方面进行改变：第一，不完全市场，即由于一个人不能与尚未出生的人交易，从而排除了一些可能的交易；第二，无限时期，即由于时间是无穷无尽的，因此存在无穷数量的经济人。本题试图讨论其中哪一方面是导致动态无效率的可能原因。为了简单起见，我们着重讨论萨缪尔森世代交叠模型（参见前两题），假设对数效用并且不考虑折现。为简化本题，进一步假设n＝0以及0＜x＜1。
（a）不完全市场。假设我们允许所有经济个体在开始计时前通过竞争市场进行交易，即取消不完全市场假设。换言之，某瓦尔拉斯拍卖者将每个时期的产品叫价为Q 0 ，Q 1 ，Q 2 ，…，然后人们根据其所得禀赋和储存能力按照这些价格进行买卖。因此，出生于t期的个人面临的预算约束为Q t C 1t ＋Q t ＋ 1 C 2t ＋ 1 ＝Q t （A－S t ）＋Q t ＋ 1 xS t ，其中S t 为个人储存的数量，需满足0≤S t ≤A。
（i）假设拍卖者宣布对任意t有Q t ＋ 1 ＝Q t /x。证明在此情况下个人对于储存多少是无差异的；存在一组储存决策使得市场在每一期都出清；并且这一均衡与习题2.18（a）中的均衡相同。
（ii）假设拍卖者宣布价格在某些时期不满足Q t ＋ 1 ＝Q t /x。证明在不满足条件的第一期，产品市场无法出清，因此拍卖者提出的价格路径不可能是均衡。
（b）无限时期。假设经济在某个时期T终结，也就是说，出生于时期T的个人仅在当期生存（从而会试图最大化C 1T ），而且此后再也没有人出生。证明在这种条件下分散均衡是帕累托有效的。
（c）根据上述答案，讨论动态无效率的根源是不完全市场还是无限时期？
证明：（a）（i）效用函数为：
（1）
终生的预算约束为：
（2）
从习题2.18可以知道，对于对数效用函数，个人将在第一期消费A/2，个人的行为依赖于存储的回报率x相对于交易的总回报率的大小。
个人可以在t期卖掉一单位物品以取得Q t ，在t＋1期花费Q t ＋1 取得一单位物品，或者说，花费1来取得1/Q t ＋1 单位的物品。因此，对于Q t ，在t＋1期可以取得Q t /Q t ＋1 单位的物品，即交易的总回报率是Q t /Q t ＋1 。
对于t＞0，Q
t
＋1
＝Q
t
/x等价于x＝Q
t
/Q
t
＋1
。换句话说，存储的回报率等价于交易的回报率，因此个人对于存储和交易是无差异的。令
代表储蓄的份额A/2中被卖掉的部分。因此个人在t期卖掉a
t
（A/2）。这允许个人在t＋1期年老时购买a
t
（Q
t
/Q
t
＋1
）（A/2）。个人存储他的储蓄的（1－a
t
），有下式：
（3）
在t＋1期的消费将等于个人购买的数量加上存储的数量，即：
（4）
考虑Q t ＋1 ＝Q t /x的情况，方程（4）可以写为：
（5）
考虑在任意的t＋1期，令L代表各期总人数，它是不变的。总供给等于L乘以个人想卖掉的数量a t ＋1 （A/2）。则总供给为：
（6）
总需求为t＋1期总的老人数量L乘以个人想要购买的数量
。
总需求为：
（7）
要达到市场出清，总需求等于总供给，即：
该式简化为：
（8）
由于均衡的价格路径为：Q t ＋1 ＝Q t /x，方程（8）给出的均衡条件可以写为：
（9）
考虑0期的情况，老年人仅仅消费他们的禀赋，因此在0期令a 0 ＝0以实现市场出清，则方程（9）表明对于任何的t≥0，都有a t ＝0。
均衡的结果与习题2.18的结果是一致的。个人在第一期消费一半的禀赋而存储另一半，在第二期消费xA/2。由于x＜1＋n（因为n＝0和x＜1），因此是动态无效率的。因此，通过在开始之前允许交易以消除市场的不完全性并不能消除动态无效率。
（ii）假定拍卖者宣布Q t ＋1 ＜Q t /x或者x＜（Q t /Q t ＋1 ），这意味着交易占优于存储，即在t期年轻人将卖掉所有的储蓄，a t ＝1。由于他们卖掉A/2，没有存储，因此t期的总供给为L（A/2）。对于t期的老人来讲，Q t ＋1 是无关的，老人基于在年老时Q t /Q t ＋1 ＝x来做决策。因此对于老人来说，正如第一部分分析的，老人不会买任何东西。因此在t期总需求为0，即总需求小于总供给，市场将永远无法出清。因此题目中价格路径永远不可能成为均衡。
假定拍卖者宣布Q t ＋1 ＞Q t /x或者x＞（Q t /Q t ＋1 ），这意味着存储占优于交易，即在t期年轻人将存储所有的储蓄，并且购买A/2。对于t期的老人来讲，Q t ＋1 是无关的，老人基于在年老时Q t /Q t ＋1 ＝x来做决策。因此对于老人来说，正如第一部分分析的，老人不会卖任何东西。因此在t期总供给为0，即总供给小于总需求，市场将永远无法出清。因此题目中价格路径永远不可能成为均衡。
（b）考虑中央计划者的问题。中央计划者可以将用于消费的资源在年轻人和老年人之间以任意的方式分割。中央计划者可以从年轻人手中取走一单位的资源，将其转移给老年人。由于人口的增长，因此老年人的福利可以因为转移资源而变好。由于x＜1，从年轻人手中取走一单位的资源，将其转移给老年人可以产生一个比存储更好的报酬率。如果经济不在T期结束，中央计划者可以通过从下代年轻人拿走资源来弥补年轻人的损失。不过，如果经济在T期结束，则中央计划者便无法阻止年轻人的福利的恶化。因此，如果经济在T期结束，则分散化均衡是帕累托有效的。
（c）无穷的期限是动态无效率的来源。允许个人在开始之前进行交易以达到一条均衡增长路径等同于这种市场不存在。这种均衡不是帕累托有效的。但是一个中央计划者却可以按（b）部分的方法改进福利。但是，如果取消无穷期限这一假定，则一个中央计划者就无法实现分散经济的帕累托改进。
2.21 萨缪尔森世代交叠模型中的爆炸路径。（参考布莱克，1974；布罗克，1975；卡沃，1978a。）考虑习题2.19中的设定。假设x为零，并且效用函数不是对数函数，而是θ＜1的常相对风险规避函数。为了简单起见，假设n＝0。
（a）请把出生于时刻t的个体行为表示为P t /P t ＋ 1 的函数。证明个体用于出售的禀赋数量是P t /P t ＋ 1 的增函数，并且当P t /P t ＋ 1 趋于零时，该数量也趋于零。
（b）假设P 0 /P 1 ＜1，出生于第0期的个体会计划在第1期向那时出生的个体购买多少产品？而要使第1期出生的个体愿意供给这一数量，P 1 /P 2 应为多少？
（c）如果不断重复这一推理过程，P t /P t ＋ 1 会如何随时间变化？这是否代表了经济的一种均衡路径？
（d）是否存在满足P 0 /P 1 ＞1的均衡路径？
解： （a）个人效用函数为：
（1）
以单位货币表示的约束为：
（2）
（3）
合并方程（2）和（3）以产生一生的预算约束，即：
（4）
θ＜1意味着消费的替代弹性1/θ大于1，因此当储蓄的回报率增加时，替代效应占主导，减少消费而增加储蓄。随着持有货币的回报率P t /P t ＋1 的增加，代表性个人将希望持有更多的货币。
代表性个人在预算约束（4）下最大化效用函数（1），即运用拉格朗日法：
一阶条件为：
（5）
（6）
把方程（5）代入（6）式可得：
上式化简为：
（7）
这便是欧拉方程，代入预算约束方程（4）中，可得：
将上式除以P t 可得：
上式化简得：
因此，年轻时消费由下式给出：
（8）
为得到代表性个人卖出的禀赋，用实际变量来表示方程（2），即：
将方程（8）代入上式，可得：
即：
将上式简化为：
（9）
在方程（9）右端除以
得到下式：
（10）
因此，代表性个人卖出的禀赋的比例为：
（11）
可以明显的看出，代表性个人卖出的禀赋的比例是持有货币的报酬率的增函数：
个人为获得货币而出售其禀赋的数量是P t /P t ＋1 的增函数，并且随着这个比率趋于零，该出售量也为零，将方程（9）改写为：
对上式取极限，可得：
（b）以实际变量表达的约束方程为：
（12）
（13）
由于没有人口增长，为不失一般性，可以将人口正规化为1。从（13）可知，一个在0期出生的人计划在其年老时购买
单位的物品。使用方程（10）可以算出
，将t＝0代入，可得：
以实际值表示为：
（14）
从（12）可知，一个在t期出生的人将会卖掉
单位的禀赋来换取钱。因此，一个在1期出生的人将会卖掉
单位的禀赋来换取钱。如下式：
（15）
由于在0期出生的人希望用钱购买的消费品等于在1期出生的人希望卖掉的消费品，即：
即：
因为P 0 /P 1 ＜1，有：
等价于：
既然（θ－1）/θ是负值，则：
（c）将上式向前迭代，货币的回报率将随时间而下降：
所以，
。
正如第一部分所分析的，这意味着禀赋中卖掉的部分将下降为0。经济会在第一期个人消费掉所有的禀赋的情况下达到均衡。在每一期市场出清，从而经济达到均衡。在每期，实际货币需求等于实际货币供给，而且两者都趋向于0。
（d）如果P 0 /P 1 ＞1，可以取得相反的价格路径，即P t /P t ＋1 将随时间而上升，即：
所以，
。
由方程（11）可知，代表性个人卖出的禀赋的比例会趋向于1，即经济会达到这样一种情况：在第一期代表性个人将卖掉所有的禀赋以换取钱。所有对钱的需求都流向A，即年轻人的禀赋。不过在这种价格路径下，价格水平将趋向于0，即由老年人提供的实际货币供给趋向于无穷。因此不可能是均衡，因为实际货币供给超过了实际货币需求，市场不出清。