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1 若
则a等于（ ）。
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】 C
【考点】 函数极限的计算
【解析】
故选C项。
2 设y 1 ，y 2 为一阶非齐次线性微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，若存在λ，μ使λy 1 ＋μy 2 为该方程的解，λy 1 －μy 2 为该方程对应齐次微分方程的解，则（ ）。
A．λ＝1/2，μ＝1/2
B．λ＝－1/2，μ＝－1/2
C．λ＝2/3，μ＝1/3
D．λ＝2/3，μ＝2/3
【答案】 A
【考点】 一阶线性微分方程组求解
【解析】 因为y 1 ，y 2 为一阶非齐次线性微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，所以
y 1 ′＋p（x）y 1 ＝q（x），y 2 ′＋p（x）y 2 ＝q（x）①
λy 1 ＋μy 2 为该方程的解，则（λy 1 ＋μy 2 ）′＋p（x）（λy 1 ＋μy 2 ）＝q（x）。将①代入上式可得λ＋μ＝1②，λy 1 －μy 2 为该方程对应齐次微分方程的解，则（λy 1 －μy 2 ）′＋p（x）（λy 1 －μy 2 ）＝0。将①代入上式可得λ－μ＝0③，由②和③可得λ＝μ＝1/2，故选A项。
3 设函数f（x），g（x）具有二阶导数，且g″（x）＜0，g（x 0 ）＝a是g（x）的极值，则f（g（x））在x 0 取到极大值的一个充分条件是（ ）。
A．f′（a）＜0
B．f′（a）＞0
C．f″（a）＜0
D．f″（a）＞0
【答案】 B
【考点】 判断极值的条件
【解析】
即x＝x 0 是f（g（x））的驻点。
若想要f（g（x））在x 0 取到极大值，只要f′（g（x 0 ））g″（x 0 ）＜0，即f′（g（x 0 ））＞0，于是f′（a）＞0是一个充分条件，故选B项。
4 设f（x）＝ln 10 x，g（x）＝x，h（x）＝e x/10 ，则当x充分大时，有（ ）。
A．g（x）＜h（x）＜f（x）
B．h（x）＜g（x）＜f（x）
C．f（x）＜g（x）＜h（x）
D．g（x）＜f（x）＜h（x）
【答案】 C
【考点】 函数的比较
【解析】
于是，当x充分大时，f（x）＜g（x）；
于是，当x充分大时，g（x）＜h（x）。故选C项。
5 设向量组（Ⅰ）α 1 ，α 2 ，…α r ，可由向量组（Ⅱ）β 1 ，β 2 ，…β s 线性表示，则（ ）。
A．若向量组（Ⅰ）线性无关，则r≤s
B．若向量组（Ⅰ）线性相关，则r＞s
C．若向量组（Ⅱ）线性无关，则r≤s
D．若向量组（Ⅱ）线性相关，则r＞s
【答案】 A
【考点】 向量组的相关性判定
【解析】 向量组（Ⅰ）α 1 ，α 2 ，…α r ，可由向量组（Ⅱ）β 1 ，β 2 ，…β s 线性表示，则
r（α 1 ，α 2 ，…α r ）≤r（β 1 ，β 2 ，…β s ）≤s
对选项A，若向量组（Ⅰ）线性无关，则r（α 1 ，α 2 ，…α r ）＝r，故r≤s，即选A项。
6 设A为四阶实对称矩阵，且A 2 ＋A＝O，若A的秩为3，则A相似于（ ）。
A．
B．
C．
D．
【答案】 D
【考点】 相似矩阵的性质及判定
【解析】 因为A为4阶实对称矩阵，所以A必可相似对角化，且A的特征值全为实数。设λ为A的特征值，则λ 2 ＋λ＝0⇒λ＝0或λ＝－1。又A的秩为3，则A的特征值为－1，－1，－1，0，故选D项。
7 设随机变量X的分布函数为
则P{X＝1}＝（ ）。
A．0
B．1/2
C．1/2－e － 1
D．1－e － 1
【答案】 C
【考点】 概率的计算
【解析】 P{X＝1}＝F（1）－F（1－0）＝1－e － 1 －1/2＝1/2－e － 1 ，故选C项。
8 设f 1 （x）是标准正态分布的概率密度函数，f 2 （x）是[－1，3]上均匀分布的概率密度，且
为概率密度，则a，b应满足（ ）。
A．2a＋3b＝4
B．3a＋2b＝4
C．a＋b＝1
D．a＋b＝2
【答案】 A
【考点】 概率密度的性质
【解析】
所以
于是2a＋3b＝4，故选A项。
9 设可导函数y＝y（x）由方程
确定，则
______。
【答案】 －1
【考点】 函数的微分
【解析】 由方程
可知，y（0）＝0，两边对x求导得
所以
解得y′| x ＝ 0 ＝－1。
10 设有位于曲线
下方，x轴上方的无界区域G，则G绕x轴旋转一周所形成空间区域的体积为______。
【答案】 π 2 /4
【考点】 旋转体的体积
【解析】
11 设某商品的收益函数为R（p），收益弹性为1＋p 3 ，其中p为价格，且R（1）＝1，则R（p）＝______。
【答案】
【考点】 导数的经济意义——收益弹性的概念及计算
【解析】 由题设可知，1＋p 3 ＝（dR/dp）·（p/R）⇒（dR/R）＝[（1＋p 3 ）/p]dp⇒lnR＝lnp＋p 3 /3＋C，将R（1）＝1代入上式，则C＝－1/3，故
12 曲线y＝x 3 ＋ax 2 ＋bx＋1有拐点（－1，0），则b＝______。
【答案】 3
【考点】 函数的拐点
【解析】 拐点在曲线上，所以0＝－1＋a－b＋1；又y＝x 3 ＋ax 2 ＋bx＋1二阶可导，所以0＝y″（－1）＝（6x＋2a）| x ＝－ 1 ＝－6＋2a⇒a＝3，b＝a＝3。
13 设A，B为3阶矩阵，且|A|＝3，|B|＝2，|A － 1 ＋B|＝2，则|A＋B － 1 |＝______。
【答案】 3
【考点】 行列式的计算
【解析】 |A＋B － 1 ||B|＝|AB＋E|，|A||A － 1 ＋B|＝|AB＋E|，所以|A||A － 1 ＋B|＝|A＋B － 1 ||B|⇒3×2＝|A＋B － 1 |×2⇒|A＋B － 1 |＝3。
14 设X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自总体X～N（μ，σ 2 ）（σ＞0）的简单随机样本，统计量
则ET＝______。
【答案】 σ 2 ＋μ 2
【考点】 数学期望的计算
【解析】
三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15 （本题满分10分）
求极限
【考点】 极限的计算（洛必达法则）
解：
利用等价无穷小，由
得
故原极限＝1/e。
16 （本题满分10分）
计算二重积分
，其中D由曲线
与直线
所围成。
【考点】 二重积分的计算
解： 画出积分域草图如下图1所示。
图1
由上可知，积分域关于x轴对称，又被积函数（x＋y） 3 ＝x 3 ＋3x 2 y＋3xy 2 ＋y 3 ，其中3x 2 y＋y 3 是y的奇函数，x 3 ＋3xy 2 是y的偶函数，所以
17 （本题满分10分）
求函数M＝xy＋2yz在约束条件x 2 ＋y 2 ＋z 2 ＝10下的最大值和最小值。
【考点】 多元函数的极值问题
解： 设L＝xy＋2yz＋λ（x 2 ＋y 2 ＋z 2 －10），令
解得
x＝1，
z＝2或x＝－1，
z＝－2或
y＝0，
因为
所以比较后可得最大值为
，最小值为
18 （本题满分10分）
（Ⅰ）比较
与
的大小，说明理由；
（Ⅱ）记
，求极限
【考点】 积分的比较和极限的计算
解： （Ⅰ）令f（t）＝[ln（1＋t）] n －t n ，f是连续函数。当n＝1，0＜t≤1时，f′（t）＝1/（1＋t）－1＜0，所以此时f（t）＝ln（1＋t）－t＜f（0）＝0，0＜ln（1＋t）＜t，从而有0＜[ln（1＋t）] n ＜t n （0＜t≤1），所以f（t）＝[ln（1＋t）] n －t n ＜0，即有|lnt|[ln（1＋t）] n ＜t n |lnt|，故
（Ⅱ）
又
所以由夹逼定理得
19 （本题满分10分）
设函数f（x）在闭区间[0，3]上连续，在开区间（0，3）内存在二阶导数，且
（Ⅰ）证明：存在η∈（0，2），使得f（η）＝f（0）；
（Ⅱ）证明：存在ξ∈（0，3），使得f″（ξ）＝0。
【考点】 拉格朗日中值定理和罗尔中值定理
证： （Ⅰ）令
则由拉格朗日中值定理可得存在η∈（0，2），使得F（2）－F（0）＝2f（η），而
即
又
所以f（0）＝f（η）。
（Ⅱ）f（x）在闭区间[2，3]上连续，从而在该区间存在最大值M和最小值m，于是m≤f（2）≤M，m≤f（3）≤M⇒m≤[f（2）＋f（3）]/2≤M。
由介值定理可得存在ζ∈[2，3]，使得f（ζ）＝[f（2）＋f（3）]/2，于是f（0）＝f（η）＝f（ζ），η∈（0，2），ζ∈[2，3]。函数f（x）在[0，η]，[η，ζ]均满足罗尔定理，所以存在ξ 1 ∈（0，η），ξ 2 ∈（η，ζ），使得f′（ξ 1 ）＝f′（ξ 2 ）＝0。函数f′（x）在[ξ 1 ，ξ 2 ]满足罗尔定理，故存在ξ∈（ξ 1 ，ξ 2 ）⊂（0，3），使得f″（ξ）＝0。
20 （本题满分11分）
设
已知线性方程组Ax＝b有两个不同的解。
（Ⅰ）求λ，a；
（Ⅱ）求方程Ax＝b的通解。
【考点】 方程组的求解和通解的表示
解： 线性方程组Ax＝b有两个不同的解，则
可得λ＝1或λ＝－1。
当λ＝1时，
则r（A）＝2≠3＝r（ A ），所以λ＝1不成立。
当λ＝－1时，
因为Ax＝b有解，所以a＋2＝0⇒a＝－2。
（Ⅰ）综上，λ＝－1，a＝－2。
（Ⅱ）原方程与以下方程组同解
21 （本题满分11分）
设
存在正交矩阵Q使得Q
T
AQ为对角阵，若Q的第一列为
，求a，Q。
【考点】 矩阵的特征值特征向量和正交矩阵
解： 由题设
于是
由于A的特征多项式|λE－A|＝（λ－2）（λ－5）（λ＋4）。所以A的特征值为2，5，－4。
属于特征值5的一个单位特征向量为
属于特征值4的一个单位特征向量为
令
则有
故Q为所求矩阵。
22 （本题满分11分）
设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
求常数A及条件概率密度f Y|X （y|x）。
【考点】 二维连续型随机变量条件概率密度的求解
解： 根据已知条件，可得
所以A＝1/π。于是
X的边缘概率密度为
于是当－∞＜x＜＋∞时，条件概率密度
23 （本题满分11分）
箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个，现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。
（Ⅰ）求随机变量（X，Y）的概率分布；
（Ⅱ）求Cov（X，Y）。
【考点】 二维离散型随机变量的概率分布和数字特征
解： （Ⅰ）X的可能值为0，1；Y的可能值为0，1，2。于是
P{X＝0，Y＝0}＝C 3 2 /C 6 2 ＝3/15，P{X＝1，Y＝0}＝C 3 1 /C 6 2 ＝3/15；
P{X＝0，Y＝1}＝C 2 1 C 3 1 /C 6 2 ＝6/15，P{X＝1，Y＝1}＝C 2 1 /C 6 2 ＝2/15；
P{X＝0，Y＝2}＝C 2 2 /C 6 2 ＝1/15，P{X＝1，Y＝2}＝0。
随机变量（X，Y）的概率分布如表1所示。
表1
（Ⅱ）由上可知X的概率分布和Y的概率分布分别如表2和表3所示。
表2
表3
所以EX＝1/3，EY＝2/3，EXY＝2/15。
故Cov（X，Y）＝EXY－EXEY＝（2/15）－（1/3）（2/3）＝－4/45。