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1 曲线y＝（x－1）（x－2） 2 （x－3） 3 （x－4） 4 的拐点是（ ）。
A．（1，0）
B．（2，0）
C．（3，0）
D．（4，0）
【答案】 C
【考点】 本题考查曲线凹凸性及拐点的定义和求法
【解析】 因为x＝3是方程y＝（x－1）（x－2） 2 （x－3） 3 （x－4） 4 ＝0的三重根，所以它是方程y″＝0的单根，从而函数y＝（x－1）（x－2） 2 （x－3） 3 （x－4） 4 的2阶导数在点x＝3的两侧附近改变正负号，故点（3，0）是曲线y＝（x－1）（x－2） 2 （x－3） 3 （x－4） 4 的拐点。
2 设数列{a n }单调减少，
无界，则幂级数
的收敛域是（ ）。
A．（－1，1]
B．[－1，1）
C．[0，2）
D．（0，2]
【答案】 C
【考点】 本题考查幂级数的收敛半径、收敛区间、及收敛域的求法
【解析】
已知幂级数
的收敛中心为1，收敛半径为1，收敛区间为（0，2），下面判定此幂级数在区间端点处的敛散性。当x＝0时，原级数为
，由于
且数列{a
n
}单调减少，则此级数为交错级数。从而利用交错级数收敛的条件知，幂级数在x＝0处收敛。当x＝2时，原级数为
，由题设知
无界，故幂级数在x＝2处发散。综上所述，幂级数的收敛域为[0，2）。
3 设函数f（x）具有二阶连续导数，且f（x）＞0，f′（0）＝0，则函数z＝f（x）lnf（y）在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件是（ ）。
A．f（0）＞1，f″（0）＞0
B．f（0）＞1，f″（0）＜0
C．f（0）＜1，f″（0）＞0
D．f（0）＜1，f″（0）＜0
【答案】 A
【考点】 考查函数取极值的充分条件，复合函数的求导公式
【解析】
z x ′＝f′（x）lnf（y）
z xx ″＝f″（x）lnf（y）
z y ′＝f（x）f′（y）/f（y）
z yy ″＝f（x）[f″（y）f（y）－（f′（y）） 2 ]/f 2 （y）
z xy ″＝f′（x）f′（y）/f（y）
从而A＝z xx ″（0，0）＝f″（0）lnf（0），B＝z xy ″（0，0）＝f′（0）f′（0）/f（0）＝0，C＝z yy ″（0，0）＝f（0）f″（0）f（0）/f 2 （0）＝f″（0）。由函数取极值的充分条件知，B 2 －AC＝－f″ 2 （0）lnf（0）＜0，f″（0）lnf（0）＞0。从而有f（0）＞1且f″（0）＞0。
4 设
则I，J，K的大小关系为（ ）。
A．I＜J＜K
B．I＜K＜J
C．J＜I＜K
D．K＜J＜I
【答案】 B
【考点】 定积分的性质
【解析】 被积函数中lnx为单调递增函数，而当x∈（0，π/4）时，sinx＜cosx＜cosx/sinx＝cotx。从而由定积分的性质有I＜K＜J。
5 设A为三阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第三行得到单位矩阵，记
则A＝（ ）。
A．P 1 P 2
B．P 1 － 1 P 2
C．P 2 P 1
D．P 2 P 1 － 1
【答案】 D
【考点】 考查矩阵的行列初等变换和初等矩阵的关系：对矩阵进行行初等变换相当于在矩阵左边乘以相应的初等矩阵，对矩阵进行列初等变换相当于在矩阵右边乘以相应的初等矩阵
【解析】 由题意知，B＝AP 1 ，P 2 B＝E，从而P 2 AP 1 ＝E⇒A＝P 2 － 1 P 1 － 1 ＝P 2 P 1 － 1 。
6 设A＝（α 1 ，α 2 ，α 3 ，α 4 ）是四阶矩阵，A * 为A的伴随矩阵，若（1，0，1，0） T 是方程Ax＝0的一个基础解系，则A * x＝0的基础解系可为（ ）。
A．α 1 ，α 3
B．α 1 ，α 2
C．α 1 ，α 2 ，α 3
D．α 2 ，α 3 ，α 4
【答案】 D
【考点】 考查矩阵伴随矩阵的性质及方程组基础解系的定义和求法
【解析】
由伴随矩阵性质知，A
*
A＝|A|E。又Ax＝0有非零解，故|A|＝0，即A
*
A＝0。即α
1
，α
2
，α
3
，α
4
都为A
*
x＝0的解。又r（A）＝3，从而r（A
*
）＝1，故A
*
x＝0的基础解系的秩为3。又由条件
知，α
1
＋α
3
＝0，即α
1
，α
3
线性相关。从而，α
2
，α
3
，α
4
线性无关且为A
*
x＝0的基础解系。
7 设F 1 （x），F 2 （x）为两个分布函数，其相应的概率密度f 1 （x），f 2 （x）是连续函数，则必为概率密度的是（ ）。
A．f 1 （x）f 2 （x）
B．2f 2 （x）F 1 （x）
C．f 1 （x）F 2 （x）
D．f 1 （x）F 2 （x）＋f 2 （x）F 1 （x）
【答案】 D
【考点】 概率分布函数的性质
【解析】 对D项，
从而D项满足连续分布概率密度的条件，为概率密度（其他选项均无法验证满足实数轴上积分为1的条件）。
8 设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在。记U＝max{X，Y}，V＝min{X，Y}，则E（UV）等于（ ）。
A．EU·EV
B．EX·EY
C．EU·EY
D．EX·EV
【答案】 B
【考点】 相互独立随机变量的性质
【解析】 UV＝max{X，Y}min{X，Y}，而无论X与Y的关系如何，UV＝XY，从而EUV＝EXY＝EXEY。
9
曲线
的弧长S＝______。
【答案】
【考点】 曲线积分的求法
【解析】
10 微分方程y′＋y＝e － x cosx满足条件y（0）＝0的解为y＝______。
【答案】 e － x sinx
【考点】 非齐次线性微分方程的解的求法
【解析】
代入y（0）＝0，得C＝0，从而满足条件的特解为y＝e － x sinx。
11 设函数
则
______。
【答案】 4
【考点】 多元函数的偏导公式
【解析】
从而
有
12 设L是柱面x 2 ＋y 2 ＝1与平面z＝x＋y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分∮ L xzdx＋xdy＋y 2 dz/2＝______。
【答案】 π
【考点】 斯托克斯公式；利用极坐标变换求二重积分
【解析】 由斯托克斯公式
其中L为所围曲面上侧，从而
13 若二次曲面的方程x 2 ＋3y 2 ＋z 2 ＋2axy＋2xz＋2yz＝4，经过正交变换得y 1 2 ＋4z 1 2 ＝4，则a＝______。
【答案】 1
【考点】 考查二次型的矩阵、秩的定义及求法
【解析】 二次型对应的矩阵为
由题设知矩阵A的秩为2，而
易知a＝1。
14 设二维随机变量（X，Y）服从正态分布N（μ，μ；σ，σ 2 ；0），则E（XY 2 ）＝______。
【答案】 μ（σ 2 ＋μ 2 ）
【考点】 考查二维正态分布的性质、相关系数及相互独立的随机变量的期望的性质
【解析】 由题设知，（X，Y）～N（μ，μ；σ，σ 2 ；0），从而x，y的相关系数为0。所以由二元正态分布的性质知X，Y相互独立，所以E（XY 2 ）＝EXEY 2 ＝μ[DY＋（EY） 2 ]＝μ（σ 2 ＋μ 2 ）。
三、解答题（15～23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15 （本题满分10分）
求极限
【考点】 考查等价替换及洛必达法则
解： 记
当x＞0时，
则
当x＜0时，
同样可得
综上可知
16 （本题满分10分）
设函数z＝f（xy，yg（x）），其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g（x）可导且在x＝1处取得极值g（1）＝1，求
。
【考点】 考查复合函数偏导数的求法及函数取极值的必要条件
解： 由题意知，g（1）＝1，因为
∂z/∂x＝yf 1 ′＋yg′（x）f 2 ′
∂ 2 z/∂x∂y＝f 1 ′＋y[xf 11 ″＋g（x）f 12 ″]＋g′（x）f 2 ′＋yg′（x）[xf 21 ″＋g（x）f 22 ″]
所以
17 （本题满分10分）
求方程karctanx－x＝0不同实根的个数，其中k为参数。
【考点】 函数的零点定理
解： 令f（x）＝karctanx－x，则f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，且f（0）＝0，f′（x）＝（k－1－x 2 ）/（1＋x 2 ）。
当k－1≤0即k≤1时，f′（x）＜0（x≠0），f（x）在（－∞，＋∞）内单调减少，方程f（x）＝0只有一个实根x＝0。
当k－1＞0即k＞1时，在
内，f′（x）＞0，f（x）单调增加；在
内，f′（x）＜0，f（x）单调减少，故
是f（x）在（0，＋∞）内的最大值。
由于f（0）＝0，则
又因为
所以存在
使得f（ξ）＝0。
由f（x）是奇函数及其单调性可知：当k＞1时，方程f（x）＝0有且仅有三个不同实根，即x＝－ξ，x＝0，x＝ξ。
18 （本题满分10分）
（Ⅰ）证明：对任意正整数n，都有1/（n＋1）＜ln（1＋1/n）＜1/n成立；
（Ⅱ）设a n ＝1＋1/2＋…＋1/n－lnn（n＝1，2，…），证明数列{a n }收敛。
【考点】 拉格朗日中值定理及数列收敛的单调有界定理
证明：（Ⅰ）根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈（n，n＋1），使得ln（1＋1/n）＝ln（n＋1）－lnn＝1/ξ，所以1/（n＋1）＜ln（1＋1/n）＝1/ξ＜1/n。
（Ⅱ）当n≥1时，由（Ⅰ）知a n ＋ 1 －a n ＝1/（n＋1）－ln（1＋1/n）＜0，且
故数列{a n }单调下降且有下界，即{a n }收敛。
19 （本题满分10分）
已知函数f（x，y）具有二阶连续偏导数，且f（1，y）＝0，f（x，1）＝0，
其中D＝{（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1），计算二重积分
【考点】 分部积分法
解： 因为f（1，y）＝0，f（x，1）＝0，所以f y ′（1，y）＝0，f x ′（x，1）＝0。从而
20 （本题满分11分）
设向量组α 1 ＝（1，0，1） T ，α 2 ＝（0，1，1） T ，α 3 ＝（1，3，5） T ，不能由向量组β 1 ＝（1，1，1） T ，β 2 ＝（1，2，3） T ，β 3 ＝（3，4，a） T 线性表示。
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）将β 1 ，β 2 ，β 3 由α 1 ，α 2 ，α 3 线性表示。
【考点】 考查向量线性相关及线性表出相关知识
解： （Ⅰ）4个3维向量β 1 ，β 2 ，β 3 ，α i 必线性相关（i＝1，2，3）。若β 1 ，β 2 ，β 3 线性无关，则α i 可由β 1 ，β 2 ，β 3 线性表示（i＝1，2，3），与题设矛盾。于是β 1 ，β 2 ，β 3 线性相关，从而
故a＝5。此时，α 1 不能由向量组β 1 ，β 2 ，β 3 线性表示。
（Ⅱ）令A＝（α 1 ，α 2 ，α 3 ，β 1 ，β 2 ，β 3 ）。对A作初等行变换，得
从而β 1 ＝2α 1 ＋4α 2 －α 3 ，β 2 ＝α 1 ＋2α 2 ，β 3 ＝5α 1 ＋10α 2 －2α 3 。
21 （本题满分11分）
设A为三阶实对称矩阵，A的秩为2且
（Ⅰ）求A的所有特征值与特征向量；
（Ⅱ）求矩阵A。
【考点】 矩阵的特征值及相应特征向量的定义和求法，对称矩阵相似于其特征值所组成的对角阵
解： （Ⅰ）由于A的秩为2，故0是A的一个特征值。
由题设可得
故－1是A的一个特征值，且属于－1的特征向量为
（k
1
是任意非零常数）；1也是A的一个特征值，且属于1的特征向量为
（k
2
为任意非零常数）。
设
是A的属于0的特征向量，由于A为实对称矩阵，则
即
于是属于0的特征向量为
（k
3
为任意非零常数）。
（Ⅱ）令
则
于是
22 （本题满分11分）
设随机变量X与Y的概率分布如表1和表2所示。
表1
表2
且P{X 2 ＝Y 2 }＝1。
（Ⅰ）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；
（Ⅱ）求Z＝XY的概率分布；
（Ⅲ）求X与Y的相关系数ρ XY 。
【考点】 联合分布的求法、概率的性质、相关系数的概念和求法
解： （Ⅰ）由P{X 2 －Y 2 }＝1得P{X 2 ≠Y 2 }＝0，则P{X＝0，Y＝－1}＝P{X＝0，Y＝1}＝P{X＝1，Y＝0}＝0。
故（X，Y）的概率分布如表3所示。
表3
（Ⅱ）Z＝XY的可能取值为－1，0，1。由（X，Y）的概率分布可得Z＝XY的概率分布如表4所示。
表4
（Ⅲ）由X，Y及Z的概率分布得，EX＝2/3，DX＝2/9，EY＝0，DY＝2/3，EZ＝E（XY）＝0，故Cov（X，Y）＝0，ρ XY ＝0。
23 （本题满分11分）
设X 1 ，X 2 ，…，X n 为来自正态总体N（μ 0 ，σ 2 ）的简单随机样本，其中μ 0 已知，σ 2 ＞0未知。 X 和S分别表示样本均值和样本方差。
（Ⅰ）求参数σ 2 的最大似然估计 σ 2 ；
（Ⅱ）计算E σ 2 和D σ 2 。
【考点】 最大似然估计的定义和求法、期望和方差的性质
解： （Ⅰ）设x 1 ，x 2 ，…，x n 为样本观测值，则似然函数为
令dlnL（σ 2 ）/d（σ 2 ）＝0，得
从而得σ 2 的最大似然估计
（Ⅱ）解法1：
由于
则E σ 2 ＝σ 2 ·n/n＝σ 2 ，D σ 2 ＝σ 4 ·2n/n 2 ＝2σ 4 /n。
解法2：
