考研数学（一）历年真题与模拟试题详解最新章节_圣才电子书著

2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1 当x→0时，f（x）＝x－sinax与g（x）＝x ² ln（1－bx）为等价无穷小，则（　　）。

A．a＝1，b＝－1/6

B．a＝1，b＝1/6

C．a＝－1，b＝－1/6

D．a＝－1，b＝1/6

【答案】 A

【考点】等价无穷小的定义

【解析】根据泰勒展开得

f（x）＝x－sinax＝x－[ax－（ax） ³ /3!＋o（x ³ ）]＝（1－a）x＋（ax） ³ /3!－o（x ³ ）

又g（x）＝x ² ln（1－bx）～－bx ³ 。

由于f（x）＝x－sinax与g（x）＝x ² ln（1－bx）为等价无穷小，故

即a＝1，b＝－1/6。

2 如图1所示，正方形{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}被其对角线划分为四个区域D _k （k＝1，2，3，4），

则（　　）。

图1

A．I ₁

B．I ₂

C．I ₃

D．I ₄

【答案】 A

【考点】二重积分的性质

【解析】被积函数ycosx关于y为奇函数，关于x为偶函数，而D ₂ ，D ₄ 均关于x轴对称，所以

D ₁ ，D ₃ 均关于y轴对称，所以

3 设函数y＝f（x）在区间[－1，3]上的图形如图2所示。

图2

则的图形为（　　）。

【答案】 D

【考点】考查函数的数形结合法

【解析】 ①在区间（－1，0）上，f（x）＞0，则F（x）在此区间上单调递增，排除A项。②F（0）＝0，排除C项。③F（x）为连续函数，排除B项。

4 设有两个数列{a _n }，{b _n }，若

则（　　）。

A．当收敛时，收敛

B．当发散时，发散

C．当收敛时，收敛

D．当发散时，发散

【答案】 C

【考查】级数收敛的判别

【解析】取

则收敛，发散，排除A项；取a _n ＝b _n ＝1/n，则发散，收敛，收敛，排除B、D两项。

5 设α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 是三维向量空间R ³ 的一组基，则由基α ₁ ，α ₂ /2，α ₃ /3到α ₁ ＋α ₂ ，α ₂ ＋α ₃ ，α ₃ ＋α ₁ 的过渡矩阵为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】 A

【考点】考查过渡矩阵的求法

【解析】设α ₁ ，α ₂ /2，α ₃ /3到α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 的过渡矩阵为P ₁ ，α ₁ ，α ₂ ，α ₃ 到α ₁ ＋α ₂ ，α ₂ ＋α ₃ ，α ₃ ＋α ₁ 的过渡矩阵为P ₂ ，则

（α ₁ ＋α ₂ ，α ₂ ＋α ₃ ，α ₃ ＋α ₁ ）＝（α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ）P ₂ ＝（α ₁ ，α ₂ /2，α ₃ /3）P ₁ P ₂

又

即

又有

即

故由基α ₁ ，α ₂ /2，α ₃ /3到α ₁ ＋α ₂ ，α ₂ ＋α ₃ ，α ₃ ＋α ₁ 的过渡矩阵为

6 设A，B均为二阶矩阵，A ^* ，B ^* 分别为A，B的伴随矩阵，若|A|＝2，|B|＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】 B

【考点】伴随矩阵的定义，分块矩阵的性质

【解析】对任一n级矩阵A，有AA ^* ＝|A|E代入选项，例如

而

知B项正确。

7 设随机变量X的分布函数为F（x）＝0.3Φ（x）＋0.7Φ[（x－1）/2]，其中Φ（x）为标准正态分布的分布函数，则EX＝（　　）。

A．0

B．0.3

C．0.7

D．1

【答案】 C

【考点】分布函数与密度函数的关系，期望的定义和性质及标准正态分布的定义

【解析】由题设可知X的密度函数为f（x）＝F′（x）＝0.3φ（x）＋0.35φ[（x－1）/2]，φ（x）为标准正态分布的密度函数。于是

8 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为P{Y＝0}＝P{Y＝1）＝1/2，记F _Z （x）为随机变量Z＝XY的分布函数，则函数F _Z （z）的间断点的个数为（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】 B

【考点】分布函数的求法，随机变量相互独立的性质，函数间断点的定义和求法

【解析】随机变量Z＝XY的分布函数为

F _Z （z）＝P{Z≤z}＝P{XY≤z}＝P{XY≤z|Y＝0}P{Y＝0}＋P{XY≤z|Y＝1}P{Y＝1}＝P{XY≤z|Y＝0}/2＋P{XY≤z|Y＝1}/2

由于X与Y相互独立，故F _Z （z）＝P{0≤z}/2＋P{X≤z}/2。当z＜0时，F _Z （z）＝P{X≤z}/2＝Φ _X （z）/2；当z≥0时，F _Z （z）＝1/2＋P{X≤z}/2＝1/2＋Φ _X （z）/2。于是

故z＝0为F _Z （z）的间断点，选B。

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）

9 设函数f（u，v）具有二阶连续偏导数，z＝f（x，xy），则∂ ² z/∂x∂y＝______。

【答案】 xf ₁₂ ″＋xyf ₂₂ ″＋f ₂ ′

【考点】复合函数的偏导公式

【解析】 ∂z/∂x＝f ₁ ′＋yf ₂ ′＝f ₁ ′·1＋yf ₂ ′

∂ ² z/∂x∂y＝∂（f ₁ ′＋yf ₂ ′）/∂y＝f ₁₁ ″·0＋f ₁₂ ″·x＋f ₂ ′＋yf ₂₁ ″·0＋yf ₂₂ ″·x＝xf ₁₂ ″＋xyf ₂₂ ″＋f ₂ ′

10 若二阶常系数线性齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的通解为y＝（C ₁ ＋C ₂ x）e ^x ，则非齐次方程y″＋ay′＋by＝x满足条件y（0）＝2，y′（0）＝0的解为y＝______。

【答案】 y＝x（1－e ^x ）＋2

【考点】齐次线性微分方程的通解与其特征值的关系，非齐次线性微分方程的特解的求法

【解析】由题设可知，λ＝1为齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的特征方程式λ ² ＋aλ＋by＝0的二重根，则a＝－2，b＝1，于是非齐次方程为y″－2y′＋y＝x。设其特解为y ^* ＝Ax＋B，代入得A＝1，B＝2。故非齐次方程的通解为y＝（C ₁ ＋C ₂ x）e ^x ＋x＋2，C ₁ 、C ₂ 是任意常数。

由y（0）＝2可得C ₁ ＝0。y′＝（C ₂ xe ^x ＋x＋2）′＝C ₂ （1＋x）e ^x ＋1，由y′（0）＝0可得C ₂ ＝－1。所以满足条件的解为y＝x（1－e ^x ）＋2。

11 已知曲线L：

则 ______。

【答案】 13/6

【考点】第一型曲线积分的求解公式，定积分的求法

【解析】

12 设Ω＝{（x，y，z）|x ² ＋y ² ＋z ² ≤1}，则 ______。

【答案】 4π/15

【考点】利用球坐标系求三重积分

【解析】

13 若三维列向量α，β满足α ^T β＝2，其中α ^T 为α的转置，则矩阵βα ^T 的非零特征值为______。

【答案】 2

【考点】矩阵乘法的性质，特征值的定义

【解析】由题设可知，βα ^T ·βα ^T ＝2βα ^T ，设βα ^T 的非零特征值为λ，则λ ² ＝2λ，得λ＝2，λ＝0（舍去）。

14 设X ₁ ，X ₂ ，…，X _m 为来自二项分布总体B（n，p）的简单随机样本， X ( ＿ ) 和S ² 分别为样本均值和样本方差。若 X ( ＿ ) ＋kS ² 为np ² 的无偏估计量，则k＝______。

【答案】－1

【考点】考查样本均值，样本方差，无偏估计的定义及期望的性质

【解析】由题设可知，E X ( ＿ ) ＝np，ES ² ＝np（1－p）。若 X ( ＿ ) ＋kS ² 为np ² 的无偏估计量，则E（ X ( ＿ ) ＋kS ² ）＝np ² ，即E X ( ＿ ) ＋kES ² ＝np ² 。于是np＋knp（1－p）＝np ² ，解得k＝－1。

三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15 （本题满分9分）

求二元函数f（x，y）＝x ² （2＋y ² ）＋ylny的极值。

【考点】函数极值点的定义和求法

解：令

解得唯一驻点为（0，1/e）。

由于A＝∂ ² f/∂x ² ＝2（2＋y ² ），B＝∂ ² f/∂x∂y＝4xy，C＝∂ ² f/∂y ² ＝2x ² ＋1/y。于是

且A＞0，故（0，1/e）为函数f（x，y）的极小值点，且极小值为f（0，1/e）＝－1/e。

16 （本题满分9分）

设a _n 为曲线y＝x ⁿ 与y＝x ⁿ ^＋ ¹ （n＝1，2，…）所围成区域的面积，记

求S ₁ 与S ₂ 的值。

【考点】利用积分求面积，级数求和

解：曲线y＝x ⁿ 与y＝x ⁿ ^＋ ¹ 的交点为（0，0）和（1，1），所围区域的面积

于是

考查幂级数，知其收敛域为（－1，1]，和函数为－ln（1＋x）。

因此

令x＝1，可得S ₂ ＝1－ln2。

17 （本题满分11分）

椭球面S ₁ 由椭圆x ² /4＋y ² /3＝1绕x轴旋转而成，圆锥面S ₂ 由过点（4，0）且与椭圆x ² /4＋y ² /3＝1相切的直线绕x轴旋转而成。

（Ⅰ）求S ₁ 及S ₂ 的方程；

（Ⅱ）求S ₁ 与S ₂ 之间的立体体积。

【考点】（Ⅰ）考查旋转曲面方程及曲线的切线；（Ⅱ）考查旋转体的体积

解：（Ⅰ）利用旋转曲面的公式得椭球面S ₁ 的方程为x ² /4＋（y ² ＋z ² ）/3＝1。

设切点为（x ₀ ，y ₀ ），则x ² /4＋y ² /3＝1在（x ₀ ，y ₀ ）处的切线方程为[2x ₀ （x－x ₀ ）]/4＋[2y ₀ （y－y ₀ ）]/3＝0，即x ₀ x/4＋y ₀ y/3＝1。

故

解得x ₀ ＝1，y ₀ ＝±3/2。

故过点（4，0）且与椭圆x ² /4＋y ² /3＝1相切的直线L的方程为x/4±y/2＝1，即y＝±（x－4）/2。

故圆锥面S ₂ 的方程为y ² ＋z ² ＝（x－4） ² /4，即（x－4） ² －4y ² －4z ² ＝0。

（Ⅱ）S ₁ 与S ₂ 之间的立体体积等于一个底面半径为3/2、高为3的锥体体积9π/4与部分椭圆球体体积V之差，其中

故所求体积为9π/4－5π/4＝π。

【评注】本题综合考查了平面图形绕坐标轴旋转后所得的旋转曲面方程、直线绕坐标轴旋转的旋转曲面方程、旋转体的体积、曲线的切线等知识点。

18 （本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）；

（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x＝0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且

则f _＋ ′（0）存在，且f _＋ ′（0）＝A。

【考点】（Ⅰ）考查拉格朗日中值定理，利用辅助函数和罗尔定理证明；（Ⅱ）函数右导数的定义及连续函数的性质

证明：（Ⅰ）取F（x）＝f（x）－{[f（b）－f（a）]（x－a）}/（b－a）。

由题意知，F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且F（a）＝f（a）－{[f（b）－f（a）]（a－a）}/（b－a）＝f（a），F（b）＝f（b）－{[f（b）－f（a）]（b－a）}/（b－a）＝f（a）。

根据罗尔定理，存在ξ∈（a，b），使得F′（ξ）＝f′（ξ）－[f（b）－f（a）]/（b－a）＝0，即f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。

（Ⅱ）对于任意的t∈（0，δ），f（x）在[0，t]上连续，在（0，t）内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理有

其中ξ∈（0，t）。

由于

且当t→0 ^＋时，ξ→0 ^＋，故

即f _＋ ′（0）存在，且f _＋ ′（0）＝A。

19 （本题满分10分）

计算曲面积分

其中∑是曲面2x ² ＋2y ² ＋z ² ＝4的外侧。

【考点】高斯公式的条件及利用高斯公式求曲面积分

解：本题中曲面∑含奇点（0，0，0），不能直接利用高斯定理，根据被积函数的形式做一小球面，然后再计算。令

则

但是因为（0，0，0）包含在曲面2x ² ＋2y ² ＋z ² ＝4内，所以被积函数在所围区域偏导数不连续，不可以利用高斯定理。

作曲面∑ ₁ ：x ² ＋y ² ＋z ² ＝ε ² （ε为一很小的正数），取Ω外侧，Ω为∑与∑ ₁ 之间的部分。

于是

再根据高斯公式有

故I＝4π。

【评注】高斯定理要求P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）在闭曲面∑所围成的空间域Ω中具有一阶连续的偏导数，否则不能利用该定理。

20 （本题满分11分）

设

（Ⅰ）求满足Aξ ₂ ＝ξ ₁ ，A ² ξ ₃ ＝ξ ₁ 的所有向量ξ ₂ ，ξ ₃ ；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ ₂ ，ξ ₃ ，证明ξ ₁ ，ξ ₂ ，ξ ₃ 线性无关。

【考点】（Ⅰ）考查矩阵的行初等变换，方程组解的判定方法；（Ⅱ）向量组线性无关的性质和判别方法

【分析】（Ⅰ）解非齐次线性方程组，利用矩阵初等行变换将 A ( ＿ ) →阶梯形，然后利用A _m _×n x＝b有解⇔r（A）＝r（ A ( ＿ ) ）（其中 A ( ＿ ) ＝（A|b））进行判定并求解。（Ⅱ）可利用|ξ ₁ ，ξ ₂ ，ξ ₃ |≠0或向量组线性无关的定义证明。

解：（Ⅰ）

于是r（A）＝r（ A ( ＿ ) ）＝2，取x ₂ 为自由变量，可得x ₃ ＝－2x ₂ ＋1，x ₁ ＝－x ₂ 。

故

设

则

于是r（B）＝r（ B ( ＿ ) ）＝1，取x ₂ ，x ₃ 为自由变量，则x ₁ ＝－x ₂ －1/2，故

（Ⅱ）证法1：由（Ⅰ）知

故ξ ₁ ，ξ ₂ ，ξ ₃ 线性无关。

证法2：

由题设可得Aξ ₁ ＝0。设存在一组数k ₁ ，k ₂ ，k ₃ ，使得k ₁ ξ ₁ ＋k ₂ ξ ₂ ＋k ₃ ξ ₃ ＝0①。在等式两端左乘A，得k ₁ Aξ ₁ ＋k ₂ Aξ ₂ ＋k ₃ Aξ ₃ ＝0，则k ₂ Aξ ₂ ＋k ₃ Aξ ₃ ＝0，即k ₂ ξ ₁ ＋k ₃ Aξ ₃ ＝0②。在等式两端再同乘A，得k ₂ Aξ ₁ ＋k ₃ A ² ξ ₃ ＝0，即k ₃ ξ ₁ ＝0，于是k ₃ ＝0，代入②式得k ₂ ξ ₁ ＝0，故k ₂ ＝0。