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1 设函数
则f′（x）的零点个数为（ ）。
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】 B
【考点】 函数求导公式
【解析】 由题意得f′（x）＝2xln（2＋x 2 ），且ln（2＋x 2 ）≠0，所以x＝0是f′（x）的唯一零点，故应选B项。
2 函数f（x，y）＝arctan（x/y）在点（0，1）处的梯度等于（ ）。
A． i
B．－ i
C． j
D．－ j
【答案】 A
【考点】 梯度的定义和求法
【解析】 由梯度定义得
3 在下列微分方程中，y＝C 1 e x ＋C 2 cos2x＋C 3 sin2x（C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数）为通解的是（ ）。
A．y‴＋y″－4y′－4y＝0
B．y‴＋y″＋4y′＋4y＝0
C．y‴－y″－4y′＋4y＝0
D．y‴－y″＋4y′－4y＝0
【答案】 D
【考点】 齐次线性微分方程的特征多项式、特征值、通解
【解析】 因为y＝C 1 e x ＋C 2 cos2x＋C 3 sin2x（C 1 ，C 2 ，C 3 是任意常数）为通解，所以微分方程的特征值为1，±2i，于是特征多项式为（λ－1）（λ－2i）（λ＋2i）＝0，即λ 3 －λ 2 ＋4λ－4＝0。故微分方程为y‴－y″＋4y′－4y＝0。
4 设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界，{x n }为数列，下列命题正确的是（ ）。
A．若{x n }收敛，则{f（x n ）}收敛
B．若{x n }单调，则{f（x n ）}收敛
C．若{f（x n ）}收敛，则{x n }收敛
D．若{f（x n ）}单调，则{x n }收敛
【答案】 B
【考点】 极限收敛的单调有界定理
【解析】 对于B项，若{x n }单调，而由题设函数f（x）在（－∞，＋∞）内单调有界知，{f（x n ）}单调有界，从而收敛。故选择B项。
5 设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A 3 ＝O，则（ ）。
A．E－A不可逆，E＋A不可逆
B．E－A不可逆，E＋A可逆
C．E－A可逆，E＋A可逆
D．E－A可逆，E＋A不可逆
【答案】 C
【考点】 矩阵可逆的定义及矩阵的运算法则
【解析】 由A 3 ＝O得，A 3 ＋E＝E⇒（A＋E）（A 2 －A＋E）＝E，所以A＋E可逆。由A 3 ＝O得，A 3 －E＝－E⇒（E－A）（A 2 ＋4＋E）＝E，所以E－A可逆。因此，选择C项。
6
设A为三阶实对称矩阵，如果二次曲面方程
在正交变换下的标准方程的图形如图1所示，则A的正特征值的个数为（ ）。
图1
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】 B
【考点】 考查双叶双曲面，特征值与标准型的关系
【解析】 图1为双叶双曲面，其方程的标准型为
在题设条件下，矩阵A的正特征值的个数就是标准方程中正项的项数，故A的正特征值的个数为1。
7 设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为F（x），则Z＝max{X，Y}的分布函数为（ ）。
A．F 2 （x）
B．F（x）F（y）
C．1－[1－F（x）] 2
D．[1－F（x）][1－F（y）]
【答案】 A
【考点】 分布函数的定义与求法，相互独立的随机变量的性质
【解析】 由X，Y独立同分布知，Y的分布函数也为F（x）。记Z的分布函数为F Z （x），则
F Z （x）＝P{max{X，Y}≤x}＝P{X≤x，Y≤x}＝P{X≤x}P{Y≤x}（X与Y独立）＝F 2 （x）
8 设随机变量X～N（0，1），Y～N（1，4），且相关系数ρ XY ＝1，则（ ）。
A．P{Y＝－2X－1}＝1
B．P{Y＝2X－1}＝1
C．P{Y＝－2X＋1}＝1
D．P{Y＝2X＋1}＝1
【答案】 D
【考点】 考查相关系数的相关概念
【解析】 方法一：已知1＝ρ XY ，则X，Y正相关，排除A、C两项。由题意知EX＝0，EY＝1，又E（ax＋b）＝aEx＋b＝1，1＝2×0＋b＝1，可得b＝1，因此排除B项。因此，选择D项。
方法二：由X～N（0，1），Y～N（1，4）知EX＝0，DX＝1，EY＝1，DY＝4。由于ρ XY ＝1，所以存在常数a，b，使得P{Y＝ax＋b}＝1，从而EY＝aEX＋b，得b＝1。而
得a＝2，因此，选择D项。
9 微分方程xy′＋y＝0满足条件y（1）＝1的解是y＝______。
【答案】 1/x
【考点】 用分离变量法求解微分方程
【解析】 xy′＋y＝0⇒y′/y＝－1/x，两边积分得y＝C/x，C为任意常数。将y（1）＝1代入得C＝1，故y＝1/x。
10 曲线sin（xy）＋ln（y－x）＝x在点（0，1）处的切线方程是______。
【答案】 y＝x＋1
【考点】 切线方程的求法及隐函数的求导
【解析】 在sin（xy）＋ln（y－x）＝x两边对x求导，将y看成x的函数，得cos（xy）（y＋xy′）＋（y′－1）/（y－x）＝1。则y′（0）＝1，所以在点（0，1）处切线方程为y－1＝x，即y＝x＋1。
11
已知幂级数
在x＝0处收敛，在x＝－4处发散，则幂级数
的收敛域为______。
【答案】 （1，5]
【考点】 考查幂级数的收敛域及级数的收敛性
【解析】
因为幂级数
在x＝0处收敛，在x＝－4处发散，则级数
收敛，
发散，从而幂级数
的收敛域为（－2，2]。故幂级数
的收敛域为（－2＋3，2＋3]，即（1，5]。
12
设曲面∑是
的上侧，则
______。
【答案】 4π
【考点】 考查高斯公式的条件和利用高斯公式求曲面积分
【解析】 添加曲面∑ 1 ：z＝0，x 2 ＋y 2 ≤4，取下侧，记D＝{（x，y）|x 2 ＋y 2 ≤4}，则可应用高斯公式
13 设A为二阶矩阵，α 1 ，α 2 为线性无关的二维列向量，Aα 1 ＝0，Aα 2 ＝2α 1 ＋α 2 ，则A的非零特征值为______。
【答案】 1
【考点】 相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征值
【解析】 已知Aα 1 ＝0，Aα 2 ＝2α 1 ＋α 2 ，则
令P＝（α 1 ，α 2 ），因为α 1 ，α 2 线性无关，所以P可逆，故
即A，B相似。故A与B有相同的特征值，易求出B的特征值为0，1，所以A的非零特征值为1。
14 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则P（X＝EX 2 ）＝______。
【答案】 1/（2e）
【考点】 泊松分布的定义，期望的性质
【解析】 因为随机变量X服从参数为1的泊松分布，则X的概率分布为P（X＝i）＝e － 1 /i!，则EX 2 ＝DX＋（EX） 2 ＝1＋1＝2，故P{X＝EX 2 }＝P{X＝2}＝e － 1 /2＝1/（2e）。
三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15 （本题满分9分）
求极限
【考点】 考查洛必达法则，等价替换
解：
16 （本题满分9分）
计算曲线积分
，其中L是曲线y＝sinx上从点（0，0）到点（π，0）的一段。
【考点】 曲线积分的求法公式及定积分的求法
解：
17 （本题满分11分）
已知曲线
求曲线C上距离xOy面最远的点和最近的点。
【考点】 考查点到直线的距离公式，函数的极值
解：
设曲线
上的任意一点为（x，y，z），则（x，y，z）到xOy面的距离为|z|，等价于求函数H＝z
2
在条件x
2
＋y
2
－2z
2
＝0与x＋y＋3z＝5下的最大值点和最小值点。
设F（x，y，z，λ，μ）＝z 2 ＋λ（x 2 ＋y 2 －2z 2 ）＋μ（x＋y＋3z－5）。
由
解得
或
根据几何意义得，曲线C上存在距离xOy面最远的点和最近的点，因为点（－5，－5，5）和（1，1，1）到xOy面的距离分别为5和1。所以，（－5，－5，5）为最远点，（1，1，1）为最近点。
18 （本题满分10分）
设函数f（x）连续，
（Ⅰ）利用定义证明函数
可导，且F′（x）＝f（x）；
（Ⅱ）当f（x）是以2为周期的周期函数时，证明函数
也是以2为周期的周期函数。
【考点】 可导的定义、周期函数的定义
解： （Ⅰ）证明：对任意x，由于函数f连续，所以
其中ξ介于x与x＋Δx之间。由
可知函数F（x）在x处可导，且F′（x）＝f（x）。
（Ⅱ）证明：由于f（x）是以2为周期的周期函数，所以对于任意的x，都有f（x＋2）＝f（x），于是
即G（x）也是以2为周期的周期函数。
19 （本题满分11分）
将函数f（x）＝1－x
2
（0≤x≤π），展开成余弦级数，并求级数
的和。
【考点】 函数的傅立叶展开，级数的和
解： 由于f（x）为偶函数，于是b n ＝0（n＝1，2，…）。计算得
当n＝1，2，…时，
所以f（x）的余弦展开为
令x＝0，则
又f（0）＝1，可求得
20 （本题满分10分）
设α，β是3维列向量，矩阵A＝αα T ＋ββ T ，其中α T ，β T 分别为α，β的转置。证明：
（Ⅰ）r（A）≤2；
（Ⅱ）若α，β线性相关，则r（A）＜2。
【考点】 矩阵秩的性质：r（A＋B）≤r（A）＋r（B）；r（AB）≤min（r（A）＋r（B）
证明：（Ⅰ）设B，C是任意m×n矩阵，则r（B＋C）≤r（B）＋r（C）。
利用这个结论，有r（A）＝r（αα T ＋ββ T ）≤r（αα T ）＋r（ββ T ）。
又由于α，β均为3维列向量，即它们都是3×1矩阵，所以
r（αα T ）≤r（α）≤1
r（ββ T ）≤r（β）≤1
因而r（A）≤r（α）＋r（β）≤2。
（Ⅱ）当α，β线性相关，不妨设β＝kα，于是A＝αα T ＋ββ T ＝（1＋k 2 ）αα T 。故r（A）＝r[（1＋k 2 ）αα T ]＝r（αα T ）≤r（α）≤1＜2。
21 （本题满分12分）
设n元线性方程组Ax＝b，其中
x＝（x 1 ，x 2 ，…，x n ） T ，b＝（1，0，…，0） T 。
（Ⅰ）证明行列式|A|＝（n＋1）a n ；
（Ⅱ）当a为何值时，该方程组有唯一解，并求x 1 ；
（Ⅲ）当a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。
【考点】 用数学归纳法求行列式；线性方程组有唯一解的条件；线性方程组有无穷解的条件及通解的求法
解： （Ⅰ）
现用数学归纳法证明。
当n＝1时，D 1 ＝2a，结论成立。
当n＝2时，
显然结论成立。
假设当n≤k时，结论成立，即D k ＝（k＋1）a k ；
则当n＝k＋1时，有D k ＋ 1 ＝2aD k －a 2 D k － 1 ＝2a（k＋1）a k －a 2 ka k － 1 ＝（k＋2）a k ＋ 1 ，即当n＝k＋1时，结论成立。
综上可得，|A|＝（n＋1）a n 。
（Ⅱ）|A|＝（n＋1）a n ≠0，即当a≠0时，方程组有唯一解。设将A的第一列用b替换后所得矩阵为A 1 ，根据克莱姆法则可得
（Ⅲ）当a＝0时，方程组有无穷多解。此时
则A＝b的同解方程组为
易求得Ax＝b的基础解系为（1，0，…，0） T 。
又方程组Ax＝b的一个特解为（0，1，…，0） T ，所以方程组Ax＝b的通解为x＝k（1，0，…，0） T ＋（0，1，…，0） T ，其中k为任意常数。
22 （本题满分11分）
设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X＝i}＝1/3（i＝－1，0，1），Y的概率密度为
记Z＝X＋Y。
（Ⅰ）求P{Z≤1/2|X＝0}；
（Ⅱ）求Z的概率密度f Z （z）。
【考点】 条件概率计算公式，相互独立随机变量的性质，分布函数与密度函数的定义和求法
解： （Ⅰ）由已知及条件概率计算公式得
（Ⅱ）设z的分布函数为F Z （z），则其值为非零时z的取值区间为[－1，2]。
当z≤－1时，F Z （z）＝0；
当z≥2时，F Z （z）＝1；
当－1＜z＜2时，F Z （z）＝P{Z≤z}＝P{X＋Y≤z}＝P{X＋Y≤z|X＝－1}P{X＝－1}＋P{X＋Y≤z|X＝0}P{X＝0}＋P{X＋Y≤z|X＝1}P{X＝1}＝[P{Y≤z＋1}＋P{Y≤z}＋P{Y≤z－1}]/3＝[F Y （z＋1）＋F Y （z）＋F Y （z－1）]/3。
所以z的分布密度函数为
23 （本题满分11分）
设X 1 ，X 2 ，…，X n 是总体N（μ，σ 2 ）的简单随机样本，记
T＝ X 2 －S 2 /n
（Ⅰ）证明T是μ 2 的无偏估计量；
（Ⅱ）当μ＝0，σ＝1时，求DT。
【考点】 （Ⅰ）无偏估计的定义和求法；（Ⅱ）方差的定义与性质
证明：（Ⅰ）因为
故T是μ 2 的无偏估计量。
（Ⅱ）当μ＝0，σ＝1时，X～N（0，1）， X ～N（0，1/n），所以n X 2 ～χ 2 （1），（n－1）S 2 ～χ 2 （n－1），于是D（n X 2 ）＝2，D[（n－1）S 2 ]＝2（n－1）。
因此
