2.2　课后习题详解

2-1 在图2-2-1的液位自动控制系统中，设容器横截面积为F，希望液位为c ₀ 。若液位高度变化率与液体流量差Q ₁ －Q ₂ 成正比，试列写以液位为输出量的微分方程式。

解： 由题意知液位高度变化率与液体流量差Q ₁ －Q ₂ 成正比，比例系数为容器横截面积F，即：

则以液位为输出量的微分方程式为：

2-2 设机械系统如图2-2-2所示，其中x _i 是输入位移，x _o 是输出位移。试分别列写各系统的微分方程式。

解： （1）系统（a）

根据力平衡方程，可得：

f ₁ （ x ( · ) _i － x ( · ) _o ）－f ₂ x ( · ) _o ＝m x ( ·· ) _o （重力不计）

则系统的微分方程式为：

（2）系统（b）

弹簧K ₁ 与阻尼器之间取辅助点A，并设A点位移为x，方向向下。根据力平衡方程，可得：

K ₁ （x _i －x）＝f（ x ( · ) － x ( · ) _o ）

K ₂ x ₀ ＝f（ x ( · ) － x ( · ) _o ）（重力不计）

消去中间变量x，化简得：

K ₁ K ₂ x _o ＝K ₁ f x ( · ) －K ₁ f x ( · ) _o ＝fK ₁ x ( · ) _i －fK ₁ x ( · ) ₀ －fK ₂ x ( · ) _o

则系统的微分方程式为：

（3）系统（c）

根据力平衡方程，可得：

K ₁ （x _i －x _o ）＋f（ x ( · ) _i － x ( · ) _o ）＝K ₂ x _o

则系统的微分方程式为：

2-3 试证明图2-2-3（a）的电网络与图2-2-3（b）的机械系统有相同的数学模型。

证明：（1）系统（a）

由复数阻抗的方法，可得u _o 和u _i 关系为：

故得电网络的传递函数为

（2）系统（b）

在弹簧K ₁ 和阻尼器f ₁ 之间引入辅助点，设其位移为x，方向向下。根据力平衡方程，可得：

K ₂ （x _i －x _o ）＋f ₂ （ x ( · ) _i － x ( · ) _o ）＝f（ x ( · ) _o － x ( · ) ）

K ₁ x＝f ₁ （ x ( · ) _o － x ( · ) ）

对两式作零初始条件下拉氏变换得：

K ₂ X _i （s）－K ₂ X _o （s）＋f ₂ ·sX _i （s）－f ₂ ·sX _o （s）＝f ₁ ·sX _o （s）－f ₁ ·sX（s）

K ₁ X（s）＝f ₁ ·sX _o （s）－f ₁ ·sX（s）

消去中间变量X（s），则有：

则机械系统的传递函数为：

比较G _a （s）、G _b （s）可知：两传递函数的类型相同，即图中两系统有相同的数学模型。命题得证。

2-4 试分别列写图2-2-4中各无源网络的微分方程式。

解： （1）图（a）：如图2-2-4（c），可设通过电阻R ₁ 的电流为i ₁ （方向自左向右），通过电容C的电流为i ₂ （方向自左向右），通过电阻R ₂ 的电流为i（方向自上向下）。

根据电压平衡可得：

又因为i＝i ₁ ＋i ₂ ，解得：i ₁ ＝（u _i －u _o ）/R ₁ ，

整理可得图（a）所示的微分方程为：

（2）图（b）：如图2-2-4（d），可设通过电阻R ₁ 的电流为i ₁ （方向自左向右），通过电阻R的电流为i ₂ （方向自右向左），通过电容C ₁ 的电流为i ₂ （方向自左向右），通过电容C ₂ 的电流为i（方向自上向下）。

根据电压平衡可得：

又i＝i ₁ ＋i ₂ ，解得：

整理可得图（b）所示的微分方程为：

2-5 设初始条件均为零，试用拉氏变换法求解下列微分方程式，并概略绘制x（t）曲线，指出各方程式的模态：

（1）2 x ( · ) （t）＋x（t）＝t；

（2） x ( ·· ) （t）＋ x ( · ) （t）＋x（t）＝δ（t）；

（3） x ( ·· ) （t）＋2 x ( · ) （t）＋x（t）＝1（t）。

解： （1）由零初始条件拉氏变换可得：

由拉氏反变换可得：x（t）＝t－2＋2e ^{－ 0.5t} 。

由x（t）的表达式可得系统的特征根为：λ＝－0.5。故该方程的运动模态为e ^{－ 0.5t} 。

x（t）的曲线如图2-2-5所示。

（2）由零初始条件拉氏变换可得：

由拉氏反变换可得：

由x（t）的表达式可得系统的特征根为：

故该方程的运动模态为

x（t）曲线如图2-2-6所示。

（3）由零初始条件拉氏变换可得：

由拉氏反变换可得：x（t）＝1－te ^{－ t} －e ^{－ t} 。

由x（t）的表达式可得系统的特征根为：λ _{1 ， 2} ＝－1，故该方程的运动模态为：te ^{－ t} ，e ^{－ t} 。

x（t）曲线如图2-2-7所示。

2-6 在液压系统管道中，设通过阀门的流量Q满足如下流量方程： 。式中，K为比例常数；P为阀门前后的压差。若流量Q与压差P在其平衡点（Q ₀ ，P ₀ ）附近做微小变化，试导出线性化流量方程。

解： 在平衡点（Q ₀ ，P ₀ ）处对流量Q泰勒展开，并取一次项近似可得

通过阀门的流量Q＝Q ₀ ＋ΔQ，由此可得，线性化流量方程为：

2-7 设弹簧特性由下式描述：F＝12.65y ^1.1 。其中，F是弹簧力；y是变形位移。若弹簧在变形位移0.25附近做微小变化，试推导ΔF的线性化方程。

解： y ₀ ＝0.25处，F ₀ ＝12.65×（0.25） ^1.1 ＝2.75，故平衡点为（0.25，2.75）。在平衡点处对F进行泰勒展开，并取一次项近似可得：

由此可得，ΔF的线性化方程为：

2-8 设晶闸管三相桥式全控整流电路的输入量为控制角α，输出量为空载整流电压e _d ，其间的关系为：

式中， 是整流电压的理想空载值；试推导其线性化方程式。

解： 在α＝α ₀ 处对e _d 进行泰勒展开，然后取其一次项近似可得：

空载整流电压

则线性方程式为：

2-9 若某系统在阶跃输入r（t）＝1（t）时，零初始条件下的输出响应c（t）＝1－e ^{－ 2t} ＋e ^{－ t} 。试求系统的传递函数和脉冲响应。

解： 系统的输入的拉氏变换为：R（s）＝1/s。

系统的输出响应为：c（t）＝1－e ^{－ 2t} ＋e ^{－ t} 。

拉氏反变换得：

则系统的传递函数为：

单位脉冲信号R（s）＝1，故求系统脉冲响应只需对系统传递函数做拉氏反变换，则

2-10 设系统传递函数为：

初始条件c（0）＝－1， c ( · ) （0）＝0，求单位阶跃输入r（t）＝1（t）时，系统的输出响应c（t）。

解： 系统的传递函数对应的微分方程为：

对上式两边同时作拉氏变换得：

[s ² C（s）－sc（0）－ c ( · ) （0）]＋3[sC（s）－c（0）]＋2C（s）＝2R（s）

代入初始条件c（0）＝－1， c ( · ) （0）＝0，R（s）＝1/s，可得：

对上式作拉氏反变换，可得：

c（t）＝1－4e ^{－ t} ＋2e ^{－ 2t} （t≥0）

2-11 在图2-2-8中，已知G（s）和H（s）两方框相对应的微分方程分别是：

且初始条件均为零，试求传递函数C（s）/R（s）及E（s）/R（s）。

解： 对题中微分方程两边作零初始条件下拉氏变换有：

由上式可得：

又由图2-2-8可得传递函数为：

即

由图2-2-8同样可得传递函数：

则传递函数分别为：

2-12 求图2-2-9所示有源网络的传递函数U _o （s）/U _i （s）。

解： （1）图（a）

由“虚短虚断”原理可知，

因此

（2）图（b）

由“虚短虚断”原理可知，

因此

（3）图（c）

由“虚短虚断”原理可知，

因此

2-13 由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图2-2-10所示，试求闭环传递函数U _o （s）/U _i （s）。

解： 设第一和第二个运算放大器的输出电压分别为U ₁ 和U ₂ ，由题图可知

又由运算放大器“虚短虚断”原理知

则有

即：

整理得闭环传递函数为：

2-14 试参照（教材中）例2-2给出的电枢控制直流电动机的三组微分方程式，画出直流电动机的结构图，并由结构图等效变换求出电动机的传递函数Ω _m （s）/U _a （s）和Ω _m （s）/M _c （s）。

解： 电枢控制直流电动机的三组微分方程式分别为：

M _m （t）＝C _m i _a （t）

对上述三式分别进行零初始条件下拉氏变换得：

U _a （s）－C _e Ω _m （s）＝（L _a s＋R _a ）I _a （s）

M _m （s）＝C _m I _a （s）

（J _m s＋f _m ）Ω _m （s）＝M _m （s）－M _c （s）

则可以画出直流电动机如图2-2-11所示。

电动机的传递函数为：

2-15 某位置随动系统原理方块图如图2-2-12所示。已知电位器最大工作角度θ _max ＝330°，功率放大级放大系数为K ₃ ，要求：

（1）分别求出电位器传递系数K ₀ ，第一级和第二级放大器的放大系数K ₁ 和K ₂ ；

（2）画出系统结构图；

（3）简化结构图，求系统传递函数Θ _o （s）/Θ _i （s）。

解： （1）由题可知：

K ₁ ＝30×10 ³ /（10×10 ³ ）＝3

K ₂ ＝20×10 ³ /（10×10 ³ ）＝2

（2）视直流电动机为一阶惯性环节，时间常数为T _m ，传递系数为K _m ，可得直流电动机的传递函数为（忽略电枢电感的影响）：

视测速发电机为比例环节，斜率为K _t ，则其传递函数为：

系统的结构如图2-2-13所示。

（3）系统结构图的简化如图2-2-14所示。

则系统的传递函数为：

2-16 设直流电动机双闭环调速系统的原理线路如图2-2-15所示，要求：

（1）分别求速度调节器和电流调节器的传递函数；

（2）画出系统结构图（设可控硅电路传递函数为K ₃ /（T ₃ s＋1）；电流互感器和测速发电机的传递系数分别为K ₄ 和K ₅ ；直流电动机的结构图用题2-14的结果）；

（3）简化结构图，求系统传递函数Ω（s）/U _i （s）。

解： （1）由运算放大器“虚短虚断”原理，求得速度调节器和电流调节器的传递函数分别为：

（2）依据系统原理图画出直流电动机调速系统的结构图，如图2-2-16所示，注意电流反馈在结构图中的体现。

（3）对结构图依次化简，如图2-2-17所示，其中，图2-2-17（b）是经过反馈连接等效的。

由简化的结构图可得系统的传递函数

其中

2-17 已知控制系统结构图如图2-2-18所示，试通过结构图等效变换求系统传递函数C（s）/R（s）。

解： （1）经比较点前移后，图（a）所示系统的简化结构图如图2-2-19所示，则系统传递函数为：

（2）经反馈连接等效后，图（b）所示系统的简化结构图如图2-2-20所示。

则系统传递函数为：

（3）经比较点后移后，图（c）所示系统的简化结构图如图2-2-21（b）所示。

则系统传递函数为：

（4）经比较点前移和引出点后移以及反馈连接后，图（d）所示系统的简化结构图如图2-2-22（b）所示。

则系统传递函数为：

（5）经比较点后移和引出点前移以及并联等效后，图（e）所示系统的简化结构图如图2-2-23所示.

则系统传递函数为：

（6）经比较点后移以及反馈连接和并联等效后，图（f）所示系统的简化结构图如图2-2-24所示。

则系统传递函数为：

2-18 试简化图2-2-25中的系统结构图，并求传递函数C（s）/R（s）和C（s）/N（s）。

解： （1）图（a）系统

令N（s）＝0，并联等效简化结构图如图2-2-26（b）所示，则系统传递函数为：

令R（s）＝0，移相加点简化结构图如图2-2-27（d）所示，则系统传递函数为：

（2）图（b）系统

令N（s）＝0，简化结构图如图2-2-28（c）所示，则系统传递函数为：

令R（s）＝0，旋转简化结构图如图2-2-29所示，则系统传递函数为：

2-19 试绘制图2-2-30中各系统结构图对应的信号流图，并用梅森公式求各系统的传递函数C（s）/R（s）。

解： （1）图（a）所示系统的信号流图如图2-2-31（a）所示，系统有两条前向通道，一个单独回路，即：

L ₁ ＝－G ₂ G ₃ ，Δ＝1－L ₁ ＝1＋G ₂ G ₃

p ₁ ＝G ₁ ，Δ ₁ ＝1

p ₂ ＝G ₂ ，Δ ₂ ＝1

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（2）图（b）系统信号流图如图2-2-31（b）所示，系统有一条前向通道，两个互相接触的单独回路，即：

L ₁ ＝G ₁ H ₁ ，L ₂ ＝－H ₁ H ₂

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ）＝1－G ₁ H ₁ ＋H ₁ H ₂

p ₁ ＝G ₁ G ₂ ，Δ＝1＋H ₁ H ₂

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（3）图（c）所示系统的信号流图如图2-2-31（c）所示，系统有两条前向通道，两个互相接触的单独回路，即：

L ₁ ＝－G ₂ H ₁ ，L ₂ ＝－G ₁ G ₂ H ₂

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ）＝1＋G ₂ H ₁ ＋G ₁ G ₂ H ₂

p ₁ ＝G ₁ G ₂ ，Δ ₁ ＝1

p ₂ ＝G ₂ G ₃ ，Δ ₂ ＝1

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（4）图（d）系统信号流图如图2-2-31（d）所示，系统有一条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即

L ₁ ＝－G ₁ H ₁ ，L ₂ ＝－G ₂ H ₂ ，L ₃ ＝－G ₃ H ₃ ，L ₁ 与L ₃ 不接触，L ₁ L ₃ ＝G ₁ H ₁ G ₃ H ₃

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ）＋L ₁ L ₃ ＝1＋G ₁ H ₁ ＋G ₂ H ₂ ＋G ₃ H ₃ ＋G ₁ H ₁ G ₃ H ₃

p ₁ ＝G ₁ G ₂ G ₃ ，Δ＝1

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（5）图（e）所示系统的信号流图如图2-2-31（e）所示，系统有两条前向通道，三个回路，无不接触回路，即

L ₁ ＝－G ₂ H ₁ ，L ₂ ＝－G ₂ G ₃ H ₂ ，L ₃ ＝G ₁ G ₂ H ₁

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ）＝1＋G ₂ H ₁ ＋G ₂ G ₃ H ₂ －G ₁ G ₂ H ₁

p ₁ ＝G ₁ G ₂ G ₃ ，Δ ₁ ＝1

p ₂ ＝G ₄ ，Δ ₂ ＝1

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（6）图（f）系统信号流图如图2-2-31（f）所示，系统有两条前向通道，一个单独回路，即：

L ₁ ＝－G ₁ G ₂ H ₁ ，Δ＝1－L ₁ ＝1＋G ₁ G ₂ H ₁

p ₁ ＝G ₁ G ₂ ，Δ ₁ ＝1

p ₂ ＝G ₂ G ₃ ，Δ ₂ ＝1

由梅森增益公式得系统传递函数为：

2-20 画出图2-2-32各系统结构图对应的信号流图，并用梅森增益公式求传递函数C（s）/R（s）和C（s）/N（s）。

解： （1）图（a）系统信号流图如图2-2-33（a）所示。

①求C（s）/R（s）

系统有一条前向通道，两个互相接触的单独回路，即：

L ₁ ＝－G ₁ G ₂ H ₁ ，L ₂ ＝－G ₁ G ₂

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ）＝1＋G ₁ G ₂ H ₁ ＋G ₁ G ₂

p ₁ ＝G ₁ G ₂ ，Δ ₁ ＝1

由梅森增益公式得系统传递函数为：

②求C（s）/N（s）

系统有两条前向通道，两个互相接触的单独回路，即：

L ₁ ＝－G ₁ G ₂ H ₁ ，L ₂ ＝－G ₁ G ₂

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ）＝1＋G ₁ G ₂ H ₁ ＋G ₁ G ₂

p ₁ ＝－1，L ₁ 与p ₁ 不接触，Δ ₁ ＝1＋G ₁ G ₂ H ₁

p ₂ ＝G ₂ G ₃ ，Δ ₂ ＝1

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（2）图（b）所示系统的信号流图如图2-2-33（b）所示。

①求C（s）/R（s）

系统有三条前向通道，两个互相接触的单独回路，即：

L ₁ ＝－G ₂ G ₄ ，L ₂ ＝－G ₃ G ₄

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ）＝1＋G ₂ G ₄ ＋G ₃ G ₄

p ₁ ＝G ₂ G ₄ ，Δ ₁ ＝1

p ₂ ＝G ₁ G ₂ G ₄ ，Δ ₂ ＝1

p ₃ ＝G ₃ G ₄ ，Δ ₃ ＝1

由梅森增益公式得系统传递函数为：

②求C（s）/N（s）

系统有一条前向通道，两个互相接触的单独回路，即：

L ₁ ＝－G ₂ G ₄ ，L ₂ ＝－G ₃ G ₄

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ）＝1＋G ₂ G ₄ ＋G ₃ G ₄

p ₁ ＝G ₄

Δ ₁ ＝1

由梅森增益公式得系统传递函数为：

2-21 试绘制图2-2-34中系统结构图对应的信号流图，并用梅森增益公式求传递函数C（s）/R（s）和E（s）/R（s）。

解： （1）系统（a）信号流图如图2-2-35（a）所示。

①求C（s）/R（s）

系统有两条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即：

L ₁ ＝－G ₁ H ₁ ，L ₂ ＝－G ₃ H ₂ ，L ₃ ＝－G ₁ G ₂ G ₃ H ₁ H ₂

L ₁ 与L ₂ 不接触，L ₁ L ₂ ＝G ₁ G ₃ H ₁ H ₂ ，则

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ）＋L ₁ L ₂ ＝1＋G ₁ H ₁ ＋G ₃ H ₂ ＋G ₁ G ₂ G ₃ H ₁ H ₂ ＋G ₁ G ₃ H ₁ H ₂

p ₁ ＝G ₁ G ₂ G ₃ ，Δ ₁ ＝1

p ₂ ＝G ₃ G ₄ ，L ₁ 与p ₂ 不接触，Δ ₂ ＝1＋G ₁ H ₁

由梅森增益公式得传递函数为：

②求E（s）/R（s）

系统有两条前向通道，三个单独回路，其中一对回路互不接触，即：

L ₁ ＝－G ₁ H ₁ ，L ₂ ＝－G ₃ H ₂ ，L ₃ ＝－G ₁ G ₂ G ₃ H ₁ H ₂

L ₁ 与L ₂ 不接触，L ₁ L ₂ ＝G ₁ G ₃ H ₁ H ₂ ，则

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ）＋L ₁ L ₂ ＝1＋G ₁ H ₁ ＋G ₃ H ₂ ＋G ₁ G ₂ G ₃ H ₁ H ₂ ＋G ₁ G ₃ H ₁ H ₂

p ₁ ＝1，L ₂ 与p ₁ 不接触，Δ ₁ ＝1＋G ₃ H ₂ ；p ₂ ＝－G ₃ G ₄ H ₁ H ₂ ，Δ ₂ ＝1

由梅森增益公式得传递函数为：

（2）系统（b）的信号流图如图2-2-35（b）所示。

①求C（s）/R（s）

系统有四条前向通道，五个单独回路，无不接触回路，即：

L ₁ ＝G ₁ ，L ₂ ＝－G ₂ ，L ₃ ＝－G ₁ G ₂ ，L ₄ ＝－G ₁ G ₂ ，L ₅ ＝－G ₁ G ₂

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ＋L ₄ ＋L ₅ ）＝1－G ₁ ＋G ₂ ＋3G ₁ G ₂

p ₁ ＝－G ₁ ，Δ ₁ ＝1；p ₂ ＝G ₂ ，Δ ₂ ＝1

p ₃ ＝G ₁ G ₂ ，Δ ₃ ＝1；p ₄ ＝G ₁ G ₂ ，Δ ₄ ＝1

由梅森增益公式得传递函数为：

②求E（s）/R（s）

系统有一条前向通道，五个单独回路，没有互不接触回路，即：

L ₁ ＝G ₁ ，L ₂ ＝－G ₂ ，L ₃ ＝－G ₁ G ₂ ，L ₄ ＝－G ₁ G ₂ ，L ₅ ＝－G ₁ G ₂

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ＋L ₄ ＋L ₅ ）＝1－G ₁ ＋G ₂ ＋3G ₁ G ₂

p ₁ ＝1，L ₅ 与p ₁ 不接触，Δ ₁ ＝1＋G ₁ G ₂

由梅森增益公式得传递函数为：

2-22 试用梅森增益公式求图2-2-36中各系统信号流图的传递函数C（s）/R（s）。

解： （1）系统（a）

有两条前向通道，三个单独回路，无不接触回路，即：

L ₁ ＝－G ₃ H ₁ ，L ₂ ＝－G ₂ G ₃ H ₂ ，L ₃ ＝－G ₃ G ₄ H ₃

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ）＝1＋G ₃ H ₁ ＋G ₂ G ₃ H ₂ ＋G ₃ G ₄ H ₃

p ₁ ＝G ₁ G ₂ G ₃ G ₄ G ₅ ，Δ ₁ ＝1

p ₂ ＝G ₆ ，L ₁ ，L ₂ ，L ₃ 与p ₂ 不接触，Δ ₂ ＝Δ

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（2）系统（b）

有四条前向通道，九个单独回路，其中六对回路互不接触，一组三回路互不接触，即：

九个单独回路

L ₁ ＝－G ₂ H ₁ ，L ₂ ＝－G ₄ H ₂ ，L ₃ ＝－G ₆ H ₃ ，L ₄ ＝－G ₃ G ₄ G ₅ H ₄

L ₅ ＝－G ₁ G ₂ G ₃ G ₄ G ₅ G ₆ H ₅ ，L ₆ ＝－G ₃ G ₄ G ₅ G ₆ G ₇ H ₅ ，L ₇ ＝－G ₁ G ₆ G ₈ H ₅

L ₈ ＝G ₆ G ₇ G ₈ H ₁ H ₅ ，L ₉ ＝G ₈ H ₁ H ₄

六对互不接触的回路

L ₁ L ₂ ＝G ₂ H ₁ G ₄ H ₂ ，L ₁ L ₃ ＝G ₂ H ₁ G ₆ H ₃ ，L ₂ L ₃ ＝G ₄ H ₂ G ₆ H ₃

L ₂ L ₇ ＝G ₄ H ₂ G ₁ G ₆ G ₈ H ₅ ，L ₂ L ₈ ＝－G ₄ H ₂ G ₆ G ₇ G ₈ H ₁ H ₅ ，L ₂ L ₉ ＝－G ₄ H ₂ G ₈ H ₁ H ₄

一组互不接触的三回路

L ₁ L ₂ L ₃ ＝－G ₂ H ₁ G ₄ H ₂ G ₆ H ₃

Δ＝1＋G ₂ H ₁ ＋G ₄ H ₂ ＋G ₆ H ₃ ＋G ₃ G ₄ G ₅ H ₄ ＋G ₁ G ₂ G ₃ G ₄ G ₅ G ₆ H ₅ ＋G ₃ G ₄ G ₅ G ₆ G ₇ H ₅ ＋G ₁ G ₆ G ₈ H ₅ －G ₆ G ₇ G ₈ H ₁ H ₅ －G ₈ H ₁ H ₄ ＋G ₂ H ₁ G ₆ H ₃ ＋G ₄ G ₂ （G ₂ H ₁ ＋G ₆ H ₃ ＋G ₁ G ₆ G ₈ H ₅ －G ₆ G ₇ G ₈ H ₁ H ₅ －G ₈ H ₁ H ₄ ＋G ₂ H ₁ G ₆ H ₃ ）

p ₁ ＝G ₁ G ₂ G ₃ G ₄ G ₅ G ₆ ，Δ ₁ ＝1

p ₂ ＝G ₃ G ₄ G ₅ G ₆ G ₇ ，Δ ₂ ＝1

p ₃ ＝G ₁ G ₆ G ₈ ，Δ ₃ ＝1＋G ₄ H ₂

p ₄ ＝－G ₆ G ₇ G ₈ H ₁ ，Δ ₄ ＝1＋G ₄ H ₂

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（3）系统（c）

有两条前向通道，三个单独回路，二对互不接触回路，即：

L ₁ ＝－0.5，L ₂ ＝－1×10，L ₃ ＝－1×2

L ₁ 与L ₂ 不接触，L ₁ L ₂ ＝5，L ₁ 与L ₃ 不接触，L ₁ L ₃ ＝1，则

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ）＋L ₁ L ₂ ＋L ₁ L ₃ ＝1＋0.5＋10＋2＋5＋1＝19.5

p ₁ ＝5×10＝50，L ₁ 与p ₁ 不接触，Δ ₁ ＝1＋0.5＝1.5。

p ₂ ＝2×10＝20，L ₂ 与p ₂ 不接触，Δ ₂ ＝1＋10＝11。

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（4）系统（d）

有两条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即：

L ₁ ＝af，L ₂ ＝bg，L ₃ ＝ch，L ₄ ＝efgh，L ₁ 与L ₃ 不接触，L ₁ L ₃ ＝afch，则

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ＋L ₄ ）＋L ₁ L ₃ ＝1－af－bg－ch－efgh＋acfh

p ₁ ＝abcd，Δ ₁ ＝1；p ₂ ＝de，L ₂ 与p ₂ 不接触，Δ ₂ ＝1－bg

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（5）系统（e）

当R ₁ 作用时有四条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即：

L ₁ ＝－cf，L ₂ ＝－eg，L ₃ ＝－adeh，L ₄ ＝－bcdeh

L ₁ 与L ₂ 不接触，L ₁ L ₂ ＝cfeg，则

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ＋L ₄ ）＋L ₁ L ₂ ＝1＋cf＋eg＋adeh＋bcdeh＋cefg

p ₁ ＝bcde，Δ ₁ ＝1；p ₂ ＝ade，Δ ₂ ＝1

p ₃ ＝bc，L ₂ 与p ₃ 不接触，Δ ₃ ＝1＋eg

p ₄ ＝a，L ₂ 与p ₄ 不接触，Δ ₄ ＝1＋eg

由梅森增益公式得系统传递函数为：

当R ₂ 作用时有三条前向通道，四个单独回路，一对互不接触回路，即：

L ₁ ＝－cf，L ₂ ＝－eg，L ₃ ＝－adeh，L ₄ ＝－bcdeh

L ₁ 与L ₂ 不接触，L ₁ L ₂ ＝cfeg，则

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ＋L ₄ ）＋L ₁ L ₂ ＝1＋cf＋eg＋adeh＋bcdeh＋cefg

p ₁ ＝el，L ₁ 与p ₁ 不接触，Δ ₁ ＝1＋cf；p ₂ ＝－aehl，Δ ₂ ＝1；p ₃ ＝－dcelh，Δ ₃ ＝1

由梅森增益公式得系统传递函数为：

（6）系统（f）

当R ₁ 作用时，有九条前向通道，一个单独回路，即：

L ₁ ＝defg，Δ＝1－L ₁ ＝1－defg

p ₁ ＝ah，p ₂ ＝aej，p ₃ ＝aegi，p ₄ ＝bdh，p ₅ ＝bdej，p ₆ ＝bdegi，p ₇ ＝ci，p ₈ ＝cdfh，p ₉ ＝cdefj

Δ _i ＝1（i＝1，…，9），由梅森增益公式得系统传递函数为：

当R ₂ 作用时有三条前向通道，一个单独回路，即：

L ₁ ＝defg，Δ＝1－L ₁ ＝1－defg

p ₁ ＝i，p ₂ ＝dfh，p ₃ ＝defj

Δ _i ＝1（i＝1，2，3），由梅森增益公式得系统传递函数为：

当R ₃ 作用时有三条前向通道，一个单独回路，即：

L ₁ ＝defg，Δ＝1－L ₁ ＝1－defg

p ₁ ＝h，p ₂ ＝ej，p ₃ ＝egi

Δ _i ＝1（i＝1，2，3），由梅森增益公式得系统传递函数为：

2-23 图2-2-37所示为双摆系统，双摆悬挂在无摩擦的旋轴上，并且用弹簧把它们的中点连在一起。假定：摆的质量为M；摆杆长度为l，摆杆质量不计；弹簧置于摆杆的l/2处，其弹性系数为k；摆的角位移很小，sinθ，cosθ均可进行线性近似处理；当θ ₁ ＝θ ₂ 时，位于杆中间的弹簧无变形，且外力输入f（t）只作用于左侧的杆。若令a＝g/l＋k/（4M），b＝k/（4M），要求：

（1）列写双摆系统的运动方程；

（2）确定传递函数Θ ₁ （s）/F（s）；

（3）画出双摆系统的结构图和信号流图。

解： （1）弹簧所受到的压力为：F＝k·（l/2）·（sinθ ₁ －sinθ ₂ ）。

左边摆杆的受力方程为：

即：

右边摆杆的受力方程为：

即：

且有如下近似关系：

sinθ ₁ ＝θ ₁ ，cosθ ₁ ＝1

sinθ ₂ ＝θ ₂ ，cosθ ₂ ＝1

将F＝k·（l/2）·（sinθ ₁ －sinθ ₂ ）分别代入左右摆杆的受力方程，可得：

将a＝g/l＋k/（4M），b＝k/（4M）代入①②两个方程，并令ω ₁ ＝ θ ( · ) ₁ ，ω ₂ ＝ θ ( · ) ₂ ，得到双摆系统的运动方程为：

（2）对运动方程作零初始条件下的拉氏变换得：

消去中间变量，化简得传递函数为：

（3）系统结构图和信号流图如图2-2-38及图2-2-39所示。

为便于观察，将图2-2-39改为如图2-2-40所示。

由图2-2-40可知，系统有一条前向通道，三个单独回路，其中L ₁ 和L ₃ 互不接触，即：

L ₁ ＝－a/s ² ，L ₂ ＝b ² /s ⁴ ，L ₃ ＝－a/s ²

Δ＝1－（L ₁ ＋L ₂ ＋L ₃ ）＋L ₁ L ₃

p ₁ ＝1/（2Mls ² ），Δ ₁ ＝1－L ₃

应用梅森增益公式得：

2-24 城市生态系统的多回路模型可能包括下列变量：城市人口数量（变量节点P），现代化程度（变量节点M），流入城市人数（变量节点C），卫生设施（变量节点S），疾病数量（变量节点D），单位面积的细菌数（变量节点B），单位面积的垃圾数（变量节点G）等。假定各变量节点间遵循下列因果关系：

（1）P→G→B→D→P；

（2）P→M→C→P；

（3）P→M→S→D→P；

（4）P→M→S→B→D→P。

各变量节点间支路增益的符号待确定。例如，改变卫生设施后，将减少单位面积的细菌数，因此S到B传输的支路增益应该为负。试确定各支路增益的正负，用恰当的符号，如a，b，c，d，e，f，g，h，k，m等表示支路增益，画出这些因果关系的信号流图，并回答在所给出的四个回路中，哪个是正反馈回路，哪个是负反馈回路？

解： 信号流图如图2-2-41所示，依据实际城市生态确定支路增益符号，回路总增益的正负决定了它是正反馈回路还是负反馈回路。因此在给出的四个回路中，第一个回路为负反馈回路，其余为正反馈回路。