一、名词解释

边际替代率（厦门大学2009研；中央财经大学2012研；中山大学2015研）

答： 边际替代率（marginal rate of substitution， ）即为无差异曲线的斜率，它表示的是消费者愿意用一种商品替代另一种商品的比率。商品1对商品2的边际替代率的定义公式为：

其中， 、 分别为商品1和商品2的变化量。如果 、 趋于无穷小，那么，边际替代率就是无差异曲线的斜率。因此，求无差异曲线上任何一点的边际替代率，只要过该点作切线，这条切线的斜率就是该点的边际替代率。

边际替代率递减是消费者偏好所普遍具有的一个特征。这是因为，当人们对某一种商品的拥有量增加后，人们就越来越不愿意减少其他商品来进一步增加这种商品。事实上，边际效用递减规律暗含了边际替代率递减规律。边际效用递减规律表明，随着一种商品消费量的增加，其边际效用越来越小。而在这里，当商品1的消费量不断增加时，其边际效用不断减少，从而使它的替代能力不断降低；当商品2的消费量不断减少时，其边际效用不断增加，从而使它能够交换到的其他商品的数量不断增加，因此，在这里，边际效用递减规律表现为边际替代率递减规律。

二、单项选择题

1 小王消费两种商品，X和Y。他的效用函数为U（x，y）＝2x＋5y

x和y分别表示他在X和Y上的消费量。假设商品X的价格为4，商品Y的价格为15，小王的收入为150。现在假设小王可以选择加入一家俱乐部，若加入，则可以享受到购买商品Y的折扣，折扣之后的商品Y的价格为10。试问，小王愿意为加入该俱乐部最多支付多少钱的入会费？（　　）（上海财经大学2011、2016研）

A．0

B．30

C．50

D．75

【答案】 A

【解析】 用函数为

两种商品为完全替代品，未加入俱乐部之前时

则消费者全部收入用来消费 ，此时

效用为

加入俱乐部后，假定费用为 ，此时

此时消费者购买的消费束为 上的任意组合，此时效用为

令 ，可得： ，故小王最多愿意付0元加入该团购俱乐部。

2 如果有A和B两个消费者，对于A消费者来说，以商品 替代商品 的边际替代率为5；对于B消费者来说，以商品 替代商品 的边际替代率为3，假如A和B之间最终进行了交换，那么 和 两种商品之间的交换比率可能为（　　）。（上海财经大学2013研）

A．一单位 和5单位 相交换

B．一单位 和3单位 相交换

C． 和 之间的交换比率介于1/5和1/3之间

D．上述均不正确

【答案】 C

【解析】 对于消费者A来说，5单位 才可以换1单位商品 ，因此只要用更少的商品 换取1单位 ，则消费者A的福利会增加。对于消费者B来说，1单位 可以换3单位 ，只要1单位 能够换取更多单位的 ，则B的福利会增加，因此，若A与B最终进行了交换，则 和 之间的交换比率介于1/5和1/3之间。

3 当一个消费者同时消费其他商品和闲暇时，效用函数是 。下面关于效用函数不正确的是（　　）。（上海财经大学2013研）

A．其他商品 和闲暇 的边际效用都大于0

B．当消费者消费更多的闲暇、同时减少其他消费品时，闲暇和其他消费的边际替代率降低

C．当消费者增加其他消费品 的消费时， 的边际效用递减

D．当消费者增加闲暇的消费时，闲暇的边际效用增加

【答案】 D

【解析】 增加闲暇意味着工资的减少，当减少到一定程度之后，增加闲暇的机会成本递增，从而闲暇的边际效用递减。

4 小王这学期在选修李教授微观经济学。该课程会进行一次期中测验和一次期末测验，在计算总成绩时，期末测验的分数占比80%，期中测验分数占比20%。如果横轴表示期中测验成绩，纵轴表示期末测验成绩，小王的偏好取决于总成绩。那么小王的无差异曲线为（　　）。（上海财经大学2012研）

A．一条斜率为－4的直线

B．一条斜率为－0.25的直线

C．L型，拐点落在直线 上

D．L型，拐点落在直线 上

【答案】 B

【解析】 假定期中测试成绩为 ，期末成绩为 ，可知期中成绩与期末成绩是完全替代的，因此小王的效用函数可表示为

即有

无差异曲线为一条斜率为－0.25的直线。

5 关于消费者需求曲线向斜下方倾斜的原因，下列陈述中正确的是（　　）。（电子科技大学2010研）

A．消费者的边际效用递减

B．替代效应

C．收入效应

D．替代效应的程度高于收入效应

【答案】 A

【解析】 基数效用论者认为，商品的需求价格取决于商品的边际效用。具体地说，如果某一单位的某种商品的边际效用越大，则消费者为购买这一单位的该种商品所愿意支付的最高价格就越高；反之，如果某一单位的某种商品的边际效用越小，则消费者为购买这一单位的该种商品所愿意支付的最高价格就越低。由于边际效用递减规律的作用，随着消费者对某一种商品消费量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，相应地，消费者为购买这种商品所愿意支付的最高价格即需求价格也是越来越低的。这意味着，建立在边际效用递减规律上的需求曲线是向右下方倾斜的。

6 序数效用理论认为，不同消费者从相同商品中获得的效用大小（　　）。（上海财经大学2004研）

A．取决于商品的使用价值

B．取决于商品的价格

C．不可比较

D．可以比较

【答案】 C

【解析】 基数效用论认为效用可以用具体的数来衡量，所以可以加总，并且不同消费者对同一商品的效用大小可以进行比较；序数效用论认为效用不可以用具体的数来表示，但是可以排序，同一消费者对不同商品的偏好可以通过排序来比较，不同消费者从相同商品中获得的效用大小不可以比较。

7 商品的需求价格由（　　）决定。（上海财经大学2003研）

A．消费者的收入

B．消费者的偏好

C．该产品的边际效用

D．该商品的生产成本

【答案】 C

【解析】 总效用决定消费商品的数量，边际效用决定消费商品的价格。基数效用论者认为商品的需求价格取决于商品的边际效用。如果一单位的某种商品的边际效用越大，则消费者购买一单位这种商品所愿意支付的最高价格就越高；反之，如果某一单位的这种商品的边际效用越小，则消费者为购买一单位这种商品所愿意支付的最高价格就越低。

8 就商品 、 的偏好次序来讲，下列效用函数中哪一个与效用函数 相等？（　　）（中山大学2006研）

A．

B．

C．

D．以上三者都正确

【答案】 B

【解析】 根据效用函数的性质，一个效用函数的单调变换所代表的偏好与原效用函数代表的偏好相同。B项，

为原来效用函数的单调变换。

9 对于消费两种商品的消费者，如果这两种商品 和 是完全替代的，则当消费组合 和 无差异时，则消费组合 对应的效用水平（　　）消费组合A（或者B）对应的效用水平。（电子科技大学2010研）

A．大于

B．等于

C．小于

D．无法确定

【答案】 B

【解析】 因为两种商品是完全替代的，所以效用函数可以设为

所以

则

所以效用水平不变。

10 关于一个严格凹的效用函数，下列陈述中正确的是（　　）。（电子科技大学2008研）

A．两个无差异商品组合均比二者的严格凸组合好

B．任何一条无差异曲线凸向原点

C．存在一条无差异曲线凹向原点

D．以上陈述均不对

【答案】 B

【解析】 效用函数的凹性对应无差异曲线的凸性，所以如果效用函数是凹的，那么无差异曲线是凸向原点的。

11 已知某消费者的效用函数为

商品 和 的单位价格分别为1和2元。如果该消费者以最大化效用为目标，那么他应以何种比例消费这两种商品？（　　）（中央财经大学2010研）

A．

B．

C．

D．没有预算约束，无法判断

【答案】 C

【解析】 是描述完全互补偏好的效用函数，则商品 和 之间的消费比例关系是恒定的，即当以 的比例消费这两种商品时，该消费者实现了最大化效用。

12 已知某消费者的收入为10元，效用函数为

商品 和 价格分别为3和2元。如果该消费者以最大化效用为目标，那么他消费的商品 数量应该是多少？（　　）（中央财经大学2012研）

A．5

B．4

C．2

D．0

【答案】 D

【解析】 由效用函数可以看出每单位的 带来的效用是每单位的 带来的效用的两倍，而每单位 的价格是每单位 的价格的1.5倍，消费者将全部收入用于购买 才会获得最大的效用。因此，消费者对商品 的需求为零。

13 某人消费 和 ，他的效用函数为

如果 和 的价格分别为4和5，那么他至少要花多少钱，才能使其效用水平与消费4单位 和3单元 时一样？（　　）（上海财经大学2009研）

A．10

B．12

C．18

D．以上都不是

【答案】 D

【解析】 该人消费4单位 和3单元 时，效用

由效用函数可知，当满足 即 时，消费者实现效用最大化，显然在 ， 时 ，此时花费金额为19元。因此，要使效用水平为10，该人花费金额必然超过19元。

14 假设一个消费者的效用函数为

下列说法中不正确的是（　　）。（上海财经大学2007研）

A．消费者的偏好具备位似特征（Homothetic Preference）

B．商品1的收入效应为零

C．边际替代率与 无关

D．商品1的价格变化所引起的消费者效用的变化可用消费者剩余的变化量（ ）来精确度量

【答案】 A

【解析】 在二维商品空间里，如果经原点出发的任一条射线与所有的无差异曲线相交，并且每个交点所对应的无差异曲线斜率相等，则这一簇无差异曲线代表的偏好关系称为位似特征（Homothetic Preference），也称为同类偏好。从消费者的效用函数 可以得出该消费者的偏好不具备位似特征，属于拟线性偏好。

三、简答题

1 两百多年前，亚当·斯密在《国富论》（The Wealth of Nations，1776）中提出价值悖论：没有什么能比水更有用，然而水很少能交换到任何东西。相反，钻石几乎没有任何使用价值，但却经常可以交换到大量的物品。试画图解释上述悖论。（中山大学2005研；厦门大学2010研；东南大学2017研）

答： 对人的生命不可或缺的水的价格要比没有多少实际用处的钻石的价格低这一悖论就是著名的“钻石与水悖论”，也称为“价值悖论”。不同学派对此给予不同的解释，其中边际学派试图用“边际效用”来说明价值悖论。

如图2-6所示，由于水源充足，边际效用很少，因此最后一单位水所带来的边际效用 就微不足道了。相反，相对于人类而言，钻石几乎没有任何使用价值，其总效用并不大，但由于钻石稀缺，边际效用 很大。根据边际效用理论，消费者分配收入的方式是使一切物品的最后一个货币单位支出的边际效用相等，即 。消费者也是根据这一原则把收入分配于水和钻石的：

即

钻石的边际效用 高，水的边际效用 低，所以钻石的价格 要远远高于水的价格 ，即人们愿为边际效用高的钻石支付高价格，为边际效用低的水支付低价格。“物以稀为贵”的道理正在于“稀”的物品边际效用高。

2 边际效用递减和边际替代率递减有何关系？消费者最优选择的等边际条件和切点条件有何关系？（上海大学2009研）

答： （1）边际效用递减决定了边际替代率递减

边际效用递减规律是指在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量是递减的。

边际替代率递减规律是指在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。

之所以会普遍发生商品的边际替代率递减的现象，其原因在于：随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的，从而消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，也即他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少。由此可知，边际效用递减决定了边际替代率递减。

（2）消费者的最优选择的切点条件是等边际条件的一个特例，等边际条件也满足消费者效用最大化时，两者才是相等的。

由于在保持效用水平不变的前提下，消费者增加一种商品的数量所带来的效用增加量和相应减少的另一种商品数量所带来的效用减少量必定是相等的，即有

该式可以写为

消费者最优选择的等边际条件为：

因此消费者的最优选择的等边际条件和切点条件相同。

四、计算题

1 若某人的效用函数取下述形式：

求每一商品的边际效用函数。当消费的每一个商品均为3个单位时，第一个商品的边际效用值是多少？（厦门大学2010研）

解： 由效用函数

可得：

当 时

2 假设某消费者的效用函数为

试证明：给定商品1和2的价格 和 ，如果消费者的收入 足够高，则收入的变化不会影响该消费者对商品1的消费。（电子科技大学2009研）

证明：该消费者的效用最大化行为可表示为：

构造拉格朗日辅助函数

效用最大化的一阶条件为：

解得：

所以，如果消费者的收入 足够高，则收入的变化不会导致该消费者对商品1消费的变化，即对商品1的需求不受收入影响。 iw55RzkTg6i82oX/wLnQl9yMfgvVBSGbd3XM9gmwqT6sQNMGc1Oiebjb4P/OIV43