思考题

3-1 何谓随机过程？它具有什么特点？

答： （1）随机过程是指一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。随机过程可以从两个不同的角度来说明。一个角度是把随机过程看成对应不同随机试验结果的时间过程的集合。从另外一个角度来看，随机过程是随机变量概念的延伸，它在任意时刻的值是一个随机变量

（2）随机过程的特点：

①随机过程具有不可预知性。因为根据随机过程的定义，随机过程相当于任意时刻的一个随机变量，随机也就意味着不可预知性。

②随机过程具有集合性。集合性是指随机过程相当于由许多个随机变量聚合而成的，不仅仅是一个数量的叠加。

3-2 随机过程的数字特征主要有哪些？分别表征随机过程的什么特性？

答： （1）随机过程的数字特征主要包括均值，方差和相关函数

（2）三个数字特征分别表现了以下特性：

①均值表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心。

②方差表示随机过程在时刻t相对于均值的偏离程度。

③相关函数衡量随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的关联程度。

3-3 何谓严平稳？何谓广义平稳？它们之间的关系如何？

答： （1）严平稳随机过程：若一个随机过程的统计特性与时间起点无关，即时间平移不影响其任何统计特性，则称该随机过程为严平稳随机过程。

（2）广义平稳随机过程：若一个随机过程的数学期望与时间无关，而自相关函数仅与时间间隔相关，则称该随机过程为广义平稳随机过程。

（3）严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不然。因此严平稳随机过程的限制条件要高于广义平稳随机过程。

3-4 平稳过程的自相关函数有哪些性质？它与功率谱密度的关系如何？

答： （1）平稳过程的自相关函数R（τ）的性质：

①R（0）＝E[ξ ² （t）]，表示平稳过程ξ（t）的平均功率。

②它是偶函数。

③它的最大值为R（0）。

④ ，表示平稳过程ξ（t）的直流功率。

⑤ ，σ ² 是方差，表示平稳过程ξ（t）的交流功率。

（2）它与功率谱密度是一对傅立叶变换对。

3-5 什么是高斯过程？其主要性质有哪些？

答： （1）定义：如果随机过程的任意n维（n＝1，2，···）分布均服从正态分布，则称它为高斯过程。

（2）主要性质：

①高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值、方差和归一化协方差。

②广义平稳的高斯过程也是严平稳的。

③如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，则它们也是统计独立的。

④高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。

3-6 高斯随机变量的分布函数与Q（x）函数以及erf（x）函数的关系如何？试述erfc（x）函数的定义与性质。

答： （1）高斯随机变量的分布函数F（x）： ，

（2）erfc（x）函数的定义与性质：

①erfc（x）是指互补误差函数，erfc（x）＝1－erf（x）；

②性质：

a．它是自变量的递减函数；

b．erfc（0）＝1，erfc（∞）＝0，erfc（－x）＝2－erfc（x）；

c．对于x＞a，互补误差函数与高斯概率密度函数曲线尾部下的面积成正比；

d．当x大时（实际应用中只要x＞2），它可近似为 。

3-7 随机过程通过线性系统时，输出与输入功率谱密度的关系如何？如何求输出过程的均值、自相关函数？

答： （1）输出与输入功率谱密度的关系： 。

（2）输出过程的均值、自相关函数：

①均值： ，H（0）为线性系统在f＝0处的频率响应，即直流增益。

②自相关函数： ，输出过程的自相关函数仅仅是时间间隔τ的函数。

3-8 什么是窄带随机过程？它的频谱和时间波形有什么特点？

答： （1）若随机过程ξ（t）的谱密度集中在中心频率f _c 附近相对窄的频带范围△f内，即满足 条件，且f _c 远离零频率，则称该ξ（t）为窄带随机过程。

（2）其频谱分布特点是带宽远小于中心频率，时间波形上的特点是呈现出包络和相位随机缓慢变化的正弦波。

3-9 窄带高斯过程的包络和相位分别服从什么概率分布？

答： 一个均值为零、方差为 的窄带平稳高斯过程ξ（t），其包络a _ξ （t）的一维分布是瑞利分布，相位φ _ξ （t）的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，a _ξ （t）与φ _ξ （t）是统计独立的，即

3-10 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何？

答： 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性：一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ（t），它的同相分量ξ _c （t）和正交分量ξ _s （t）同样是平稳高斯过程，而且均值为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的ξ _c （t）和ξ _s （t）是互不相关的或统计独立的。

3-11 正弦波加窄带高斯噪声的合成包络服从什么分布？

答： 正弦波加窄带高斯噪声的合成包络服从莱斯分布，即

当信号很小，即A→0时，信号功率与噪声功率的比值 ，相当于x值很小，于是有I ₀ （x）＝1，莱斯分布退化为瑞利分布。

当信噪比 很大时，有 ，这时在z≈A附近f（z）近似为高斯分布。

3-12 什么是白噪声？其频谱和自相关函数有什么特点？白噪声通过理想低通或理想带通滤波器后的情况如何？

答： （1）白噪声是指噪声的功率谱密度在所有频率上均为一常数的噪声。

（2）频谱为常数；白噪声仅在τ＝0时才相关，而在其它任意两个时刻的随机变量都不相关；同时白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大。

（3）白噪声通过理想低通滤波器后输出为低通白噪声，也称带限白噪声；通过理想带通滤波器后输出为带通白噪声。

3-13 何谓高斯白噪声？它的概率密度函数、功率谱密度如何表示？

答： （1）高斯白噪声是指取值的概率密度分布服从高斯分布的白噪声。

（2）其概率密度函数为高斯函数，其功率谱密度为常数。

3-14 不相关、统计独立、正交的含义各是什么？它们之间的关系如何？

答： （1）含义：

①如果两个随机变量的协方差函数为零，则称它们不相关；

②如果两个随机变量的联合概率密度等于它们各自概率密度的乘积，则称它们统计独立。

③如果两个随机变量的互相关函数为零，则称它们正交。

（2）关系：两个均值为零的随机变量如果统计独立，则一定是正交及不相关；两个均值为零的随机变量正交与不相关等价。三者的严格程度从高到低依次为：统计独立、正交、不相关。

习题

3-1 设X是均值a＝0、方差σ ² ＝1的高斯随机变量，试确定随机变量Y＝cX＋d的概率密度函数f（y），其中c，d均为常数且c＞0。

解： 由于高斯随机变量X经过线性变换后仍是高斯型，所以Y是高斯随机变量。

Y的均值：E[Y]＝E[cX＋d]＝d

Y的方差：

根据教材式（3.3-5）可得，Y的概率密度函数为

3-2 设随机过程ξ（t）可表示成

ξ（t）＝2cos（2πt＋θ）

式中，θ是一个离散随机变量，且P（θ＝0）＝1/2、P（θ＝π/2）＝1/2，试求E _ξ [ξ（1）]及R _ξ （0，1）。

解： 当t＝1时，ξ（t）的均值为

当t ₁ ＝0，t ₂ ＝1时，ξ（t）的自相关函数为

3-3 设随机过程 ，若X ₁ 与X ₂ 是彼此独立且均值为0、方差为σ ² 的高斯随机变量，试求：

（1）E[Y（t）]、E[Y ² （t）]；

（2）Y（t）的一维分布密度函数f（y）；

（3）Y（t）的相关函数R（t ₁ ，t ₂ ）和协方差函数B（t ₁ ，t ₂ ）。

解： （1）由题意得

已知E[X ₁ ]＝E[X ₂ ]＝0，所以 。又因为X ₁ 和X ₂ 相互独立，所以 ，故

（2）由于X ₁ 和X ₂ 均服从高斯分布，且Y（t）是X ₁ 和X ₂ 的线性组合，因此Y（t）也服从高斯分布。又Y（t）的方差为

将其代入教材式（3.3-5）得Y（t）的一维概率密度函数为

（3）Y（t）的相关函数R（t ₁ ，t ₂ ）为

其中 。则

3-4 已知X（t）和Y（t）是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为a _X 和a _Y ，自相关函数分别为R _x （τ）和R _y （τ）。试问两者之和的过程Z（t）＝X（t）＋Y（t）是否平稳？

解： Z（t）的均值为

Z（t）的自相关函数为

可见，Z（t）的均值为常数且自相关函数仅与时间间隔τ有关，与时间t无关，所以Z（t）是平稳随机过程。

3-5 设s（t）是一个平稳随机脉冲序列，其功率谱密度为P _s （f），求已调信号 的功率谱密度P _e （f）。

解： 方法一：设s（t）的自相关函数为R _s （τ）。

由于s（t）的自相关函数R _s （τ）和功率谱密度P _s （f）是一对傅里叶变换对，所以

又由于e（t）＝s（t）cosω ₀ t，则e（t）的自相关函数为

利用 关系及傅里叶变换的频移特性，可得

方法二：R _e （τ）可表示为

其中， ，

又有， ，由傅里叶变换的频域卷积定理得

3-6 已知随机过程 ，其中，m（t）是广义平稳过程，且其自相关函数为

随机变量θ在[0，2π]上服从均匀分布，它与m（t）彼此统计独立。

（1）证明z（t）是广义平稳过程；

（2）求自相关函数R _z （τ），并画出波形；

（3）求功率谱密度P _z （f）及功率。

解： （1）已知m（t）是广义平稳过程，所以E[m（t）]为常数。又随机变量θ在[0，2π]上服从均匀分布，所以f（θ）＝1/2π（0≤θ≤2π），则z（t）的均值为

z（t）的自相关函数为

所以z（t）的均值与t无关，且自相关函数仅与时间间隔τ有关，故z（t）广义平稳过程。

（2）自相关函数R _z （τ）为

自相关函数R _z （τ）的波形如图3-1所示。

（3）由于z（t）是广义平稳过程，所以有 。根据图3-1，R _z （τ）的波形可视为余弦函数与三角波的乘积。利用傅里叶变换的频域卷积性质得

且平均功率为

3-7 设X（t）是一个均值为a，自相关函数为R _x （τ）的平稳随机过程，它通过某线性系统的输出为

（1）画出该线性系统的框图；

（2）求Y（t）的自相关函数和功率谱密度；

（3）求Y（t）的平均功率。

解： （1）由题意可知，该线性系统的框图如图3-2所示。

（2）方法一：已知平稳过程通过线性系统后的输出也是平稳过程。由于该系统是线性系统，所以Y（t）是平稳随机过程。

因此，Y（t）的自相关函数为

由维纳-辛钦定理和傅里叶变换的时移特性可得，Y（t）的功率谱密度为

方法二：该系统的单位冲激响应为

系统相应的传递函数为

因此

此时对P _Y （ω）进行傅里叶反变换，则可以得到Y（t）的自相关函数R _Y （τ）。

（3）X（t）的平均功率为R _X （0），因为相关函数为偶函数，即有

R _X （－T）＝R _X （＋T）

所以

R _Y （－T）＝R _Y （＋T）

故Y（t）的平均功率为

3-8 一个中心频率为f _c 、带宽为B的理想带通滤波器如图3-3所示。假设其输入是均值为零、功率谱密度为n ₀ /2的高斯白噪声，试求：

（1）滤波器输出噪声的自相关函数；

（2）滤波器输出噪声的平均功率；

（3）输出噪声的一维概率密度函数。

解： （1）滤波器输出噪声n ₀ （t）的功率谱密度为

由 可知，输出噪声n ₀ （t）的自相关函数为

（2）滤波器输出噪声n ₀ （t）的平均功率为

（3）由于高斯过程通过线性系统后的输出仍为高斯过程，且

所以输出噪声n ₀ （t）的一维概率密度函数为

3-9 一个RC低通滤波器如图3-4所示，假设其输入是均值为零、功率谱密度为n ₀ /2的高斯白噪声，试求：

（1）输出噪声的功率谱密度和自相关函数；

（2）输出噪声的一维概率密度函数。

解： （1）RC低通滤波器的传输函数为

则输出噪声n _o （t）的功率谱密度为

由于 ，又 ，所以n _o （t）的自相关函数为

（2）输出噪声n _o （t）的均值为

方差为

由于高斯过程通过线性系统后的输出仍为高斯过程，则噪声n _o （t）的一维概率密度函数为

3-10 设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每个脉冲的持续时间为T _b ，脉冲幅度取±1的概率相等。现假设任一间隔T _b 内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有广义平稳性，试证：

（1）自相关函数

（2）功率谱密度

解： 由题意可知，这是一个等概率发送的双极性矩形脉冲序列，即有

又由教材式（6.1-26）可得

其中G（f）为g（t）的傅里叶变换，所以该二进制矩形脉冲的功率谱密度为

由维纳-辛钦定理可知，Sa函数与门函数是一对傅里叶变换对，两个Sa函数相乘与两个门函数的卷积是一对傅里叶变换对，可以得出其自相关函数为一个三角波，即

3-11 图3-5为单输入、双输出的线性滤波器，若输入η（t）是平稳过程，求ξ ₁ （t）与ξ ₂ （t）的互功率谱密度的表达式。

解： 方法一：

ξ ₁ （t）与ξ ₂ （t）的互相关函数为

且η（t）为平稳过程，所以 ，其中τ＝t ₂ －t ₁ ，故

则ξ ₁ （t）与ξ ₂ （t）的互功率谱密度为

令τ _' ＝τ＋α－β，则有 ，故

方法二：设η（t），ξ ₁ （t）和ξ ₂ （t）任一实现的截短函数所对应的频谱函数分别为F _η （ω）， 和 ，则由互功率谱密度的定义

可得

3-12 设X（t）是功率谱密度为P _X （f）的平稳随机过程，让其通过图3-6所示的系统。试确定：

（1）输出过程Y（t）是否平稳？

（2）Y（t）的功率谱密度。

解： （1）已知平稳过程通过线性系统后的输出过程也是平稳过程。由于该系统是线性系统，所以Y（t）是平稳过程。

（2）该系统的传输函数为

则Y（t）的功率谱密度为

3-13 已知平稳随机过程X（t）的自相关函数R _x （τ）是周期T＝2的周期性函数，其在区间（－1，1）上的截断函数表达式为

试求X（t）的功率谱密度P _x （ω），并用图形表示。

解： 可以把R _x （τ）看成是截断函数R _x （τ）与周期T为2的冲激序列δ _T （τ）的卷积，即

因为

又由傅里叶变换的时域卷积定理和维纳-辛钦定理可得，X（t）的功率谱密度为

其波形如图3-7所示（负频率部分与正频率部分关于纵轴对称）。