“这次讲一个许多人碰到都有点儿莫名其妙的题目。”说完,马先生在黑板上写出:
例一:时钟的长针和短针,在二时、三时间,什么时候碰在一起?
我知道,这个题,王有道确实是会算的,但是很奇怪,马先生写完题目以后,他却一声不吭。后来下了课,我问他,他的回答是:“会算是会算,但听听马先生有什么别的讲法,不是更有益处吗?”我听了他的这番话,不免有些惭愧,对于我已经懂得的东西,往往不喜欢再听先生讲,这着实是缺点。
“这题的难点在哪里?”马先生问。
“两只针都是在钟面上转,长针转得快,短针转得慢。”我大胆地回答。
“不错!不过,仔细想一想,便没有什么困难了。”马先生这样回答,并且接着说,“无论是跑圆圈,还是跑直路,总是在一定的时间内,走过了一定的距离。而且,时钟的这两只针,好像受过严格训练一样,在相同的时间内,各自所走的距离总是一定的。——在物理学上,这叫作等速运动。一切的运动法则都可用速度、时间和距离这三项的关系表示出来。在等速运动中,它们的关系是:距离=速度×时间。现在根据这一点,将本题探究一番。”
“李大成,你说长针转得快,短针转得慢,怎么知道的?”马先生向我提出这样的问题,惹得大家都笑了起来。当然,这是看见过时钟走动的人都知道的,还成什么问题。不过马先生特地提出来,我倒不免有点儿发呆了。怎样回答好呢?最终我大胆地答道:“看出来的!”
“当然,不是摸出来的,而是看出来的了!不过我的意思,单说快慢,未免太笼统些,我要问你,这快慢,怎样比较出来的?”
“长针一小时转六十分钟的位置,短针只转五分钟的位置,长针不是比短针转得快吗?”
“这就对了!但我们现在知道的是长针和短针在六十分钟内所走的距离,它们的速度是怎样呢?”马先生望着周学敏。
“用时间去除距离,就得速度。长针每分钟转一分钟的位置,短针每分钟只转十二分之一分钟的位置。”周学敏说。
“现在,两只针的速度都已知道了,暂且放下。再来看题上的另一个条件,正午两点钟的时候,长针距短针多远?”
“十分钟的位置。”四五人一同回答。
“那么,这题目和赵阿毛在赵小毛的前面十里,赵小毛从后面追他,赵小毛每小时走一里,赵阿毛每小时走十二分之一里,几时可以赶上——有什么区别?”
“一样!”真正地是众口一词。
这样推究的结果,我们不但能够将图画出来,而且算法也非常明晰了:
马先生说,这类题的变化并不多,要我们各自作一张图,表出:从零时起,到十二时止,两只针各次相重的时间。自然,这只要将前图扩充一下就行了。但在我将图画完,仔细玩赏一番后,觉得算学真是有趣味的科目。
图26
马先生提出的第二例是:
例二:时钟的两针在二时、三时间,什么时候成一个直角?
图27
马先生叫我们大家将这题和前一题比较,提出要点来,我们都只知道一个要点:
——两针成一直角的时候,它们的距离是十五分钟的位置。
后来经过马先生的各种提示,又得出第二个要点:
——在二时和三时间,两针要成直角,长针得赶上短针同它相重——这是前一题——再超过它十五分钟。
图28
这一来,不用说,我们都明白了。作图的方法,只是在例一的图上增加一条和AB平行的线FG,和CD交于H,便指示出我们所要的答案了。这理由也很清晰明了,FG和AB平行,AF相隔十五分钟的位置,所以FG上的各点垂直画线下来和AB相交,则FG和AB间的各线段都是一样长,表示十五分钟的位置,所以FG便表示距长针十五分钟的位置的线。
至于这题的算法,那更是容易明白了。长针先赶上短针十分钟,再超过十五分钟,一共自然是长针需比短针多走10+15分钟,所以,
便是答案。
这些,在马先生问我们的时候,我们都回答出来了。虽然是这样,但对于我——至少我得承认——实在是一个谜。为什么我们平时遇到一个题目不能这样去思索呢?这几天,我心里都怀着这个疑问,得不到答案,不是吗?倘若我们这样寻根究底地推想,还有什么题目做不出来呢?我也曾问过王有道这个问题,但他的回答,使我很不满意。不,简直使我生气。他只是轻描淡写地说:“这叫作:‘难者不会,会者不难。’”
老实说,要不是我平时和王有道关系很好,知道他并不会“恃才傲物”,我真会生气,说不定要翻脸骂他一顿。——王有道看到这里,伸伸舌头说:“喂!谢谢你!嘴下留情!我没有自居会者,只是羡慕会者的不难罢了!”——他的回答,不是等于不回答吗?难道世界上的人生来就有两类:一类是对于算学题目,简直不会思索的“难者”;一类是对于算学题目,不用费心思索就解答出来的“会者”吗?真是这样,学校里设算学这一科目,对于前者,便是白费力气;对于后者,便是多此一举!这和马先生的议论也未免矛盾了!怀着这疑问,有好几天了!从前,我也是用性质相近、不相近来解释的,而我自己,当然自居于性质不相近之列。但马先生对于这种说法持否定态度,自从听了马先生这几次的讲解以后,我虽不敢成为否定论者,至少也是怀疑论者了。怀疑!怀疑!怀疑只是过程!最后总应当有个不容怀疑的结论呀!这结论是什么?
被我们尊称为“马浪荡”的马先生,我想他一定可以给我们一个确切的回答。我怀着这样的期望,屡次想将这个问题提出来,静候他的回答,但最终因为缺乏勇气,不敢提出。今天,到了这个时候,我真忍无可忍了。题目的解答法,一经道破,真是“会者不难”,为什么别人会这样想,我们不能呢?
我斗胆问马先生:“为什么别人会这样想,我们却不能呢?”
马先生笑容满面地说:“好!你这个问题很有意思!现在我来跑一次野马。”
马先生跑野马!真是使得大家哄堂大笑!
“你们知道小孩子走路吗?”这话问得太不着边际了,大家只好沉默不语。他接着说:“小孩子不是一生下来就会走路的,他先是自己不能移动,随后再练习站起来走路。只要不是过分娇养或残疾的小孩子,两岁总会无所倚傍地直立步行了。但是,你们要知道,直立步行是人类的一大特点,现在的小孩子只要两岁就能够做到,我们的祖先却费了不少力气才能够呀!自然,我们可以这样解释,古人不如今人,但这并不能使人佩服。现在的小孩子能够走得这么早,一半是遗传的因素,而一半却是因为有一个学习的环境,一切他所见到的比他大的人的动作,都是他模仿的样品。
“一切文化的进展,正和小孩子学步一样。明白了这个道理,那么这疑问就可以解答了。一种题目的解决,就是一个发明。发明这件事,说它难,它真难,一定要发明点儿什么,这是谁也没有把握能够做到的。但,说它不难,真也不难!有一定的学力和一定的环境,继续不断地努力,总不至于一无所成。
“学算学,以及学别的功课都是一样,一面先弄清楚别人已经发明的,并且注意他们研究的经过和方法,一面应用这种态度和方法去解决自己所遇到的新问题。广泛地说,你们学了一些题目的解法,自然也就学会了解别的问题,这也是一种发明,不过这种发明是别人早就得出来的罢了。
“总之,学别人的算法是一件事,学思索这种算法的方法,又是一件事,而后一种更重要。”
对于马先生的议论,我还是持怀疑态度,总有些人比较会思索些。但是,马先生却说,不可以忘记一切的发展都是历史的产物,都是许多人的劳力的结晶。他的意思是说“会想”并不是凭空会的,要我们去努力学习。这话,虽然我还不免怀疑,但努力学习总是应当的,我的疑问只好暂时放下了。
马先生发表完议论,就转到本题上:“现在你们自己去研究在各小时以后两针成直角的时间,你们要注意,有几小时内是可以有两次成直角的时间的。”
课后,我们聚集在一起研究,便画成了图29。我们将一只表从正午十二点旋转到正午十二点来观察,简直是不差分毫。我感到愉快,同时也觉得算学真是一个活生生的科目。
图29
关于时钟两针的问题,一般的书上,还有“两针成一直线”的,马先生说,这再也没有什么难处,要我们自己去“发明”,其实参照前两个例题,真的一点儿也不难啊!