第二节

高中数学实验分类

数学实验和物理、化学及生物实验相比，不仅需要动手，更需要动脑。思考量大是数学实验的基本特征之一，笔者认为数学实验大体上可分为：传统数学实验、现代数学实验、探索性数学实验、验证性数学实验、动态操作性数学实验、解释性数学实验及数学思想实验等。

一、传统数学实验

传统数学实验是指：通过用手工的方法、利用实物模型或数学教具等进行实验操作，从中发现并解决数学问题。

实验课题： 等比定理的发现。

实验工具： 一杯清水、一瓶盐、大小不同的一批玻璃杯。

实验过程： 教师（演示），把盐放进一个大玻璃杯内，添上水，均匀搅拌后，得一大杯盐水，然后随意分别倒在4个小杯中，记每小杯盐水的浓度为 a _i / b _i （这里 a _i ， b _i 为正数，分别表示每小杯含盐与盐水，且i=1，2，3，4）。

教师： 请同学想一想，这4个小杯盐水浓度有什么关系？

学生： 相同。即 a ₁ / b ₁ = a ₂ / b ₂ = a ₃ / b ₃ = a ₄ / b ₄ 。

教师： 如果我把这4个小杯盐水都倒进一个空的大杯中，那么混合后的盐水与原先4小杯盐水的浓度有什么关系？

学生： 相等。

教师： 非常正确，我把大杯盐水分成小杯，小杯盐水合成大杯，这说明什么数学现象，能从中提炼一个数学命题吗？

学生： 混合后盐水浓度为（ a ₁ + a ₂ + a ₃ + a ₄ ）/（ b ₁ + b ₂ + b ₃ + b ₄ ）与原来4个小杯盐水浓度相同。所以有 a ₁ / b ₁ = a ₂ / b ₂ = a ₃ / b ₃ = a ₄ / b ₄ =（ a ₁ + a ₂ + a ₃ + a ₄ ）/（ b ₁ + b ₂ + b ₃ + b ₄ ）。

教师： 好！我们给上面同学的结论给起个名字，就叫作“等比定理”吧。我们从“盐水情境”到“等比定理”的发现过程，正是从具体实验现象抽象到形式化的数学问题的过程。正如常庚哲教授所说，“……大多数的定理和命题就是数学家‘瞎鼓捣’而玩出来的……‘鼓捣’数学其实就是数学实验；数学实验是推动所有数学的一种方式”。在“盐水情境”中， a _i ， b _i 只能是正数，并且 b _i > a _i >0（ i =1，2，3，…， n ），而作为等比定理， a _i ， b _i 可以不需要这么多限制，只要分母不为0即可。

二、现代数学实验

所谓现代数学实验是指：以计算机数学软件为平台，模拟实验环境结合数学建模的进行一种探索活动。借助于计算机，数学已经成为一种新的实验学科，现代数学实验不仅扩大了数学实践的内容和范围，从模型的建立到演绎，归纳思维分析，以及算法设计的估价……都可通过计算机来实现，为研究数学问题的规律提供了方便可行的新途径。

实验课题： 比如，有一矩形纸片 ABCD ，已知 AB =4 cm， AD =8 cm，将 B 点向 AD 边对折（ B 在 AD 边上的相应点为 B' ）， EF 为折痕（点 F 也可以落在 CD 边上）；过 B' 作 B'T 垂直于 AD ，交 EF 于点 T ，如图1-2-1所示。观察折痕 EF 的分布规律并观察 T 点的轨迹。

实验过程：

（1）按题设要求，将矩形纸片 ABCD 中的 B 点向 AD 边对折（折痕要在15条左右），在折叠过程中按要求过 B' 作 EF 的交点 T （可用针尖打洞）。

（2）在实物实验的基础上，让学生用“几何画板”或其他软件，在电脑上再次模拟以上实验，观察实验结果。

（3）在电脑上改变矩形 ABCD 的形状，观察折痕 EF 和 T 点轨迹的变化。

实验结果：

如图1-2-2，直觉观察折痕， EF 边缘是一条抛物线的一部分，而 T 点正好在此抛物线上。

分析：如图1-2-3所示，连接线段 TB ，∵折痕 EF 是 BB' 的中垂线，∴△ BT B' 是等腰三角形，可得： TB = TB' ，且 EF 是∠ BT B' 的平分线。按照抛物线的定义，把 B 点看作为焦点， AD 看作为准线，则动点 T 到焦点 B 和到准线 AD 的距离始终相等，所以 T 点的轨迹是开口向下的抛物线。以 AB 的中点 O 为原点，以 AB 为 y 轴， Ox 为 x 轴，建立直角坐标系，可得：焦点 B （0，-2），准线 AD ： y =2，则焦准距离为 p =4.所以， T 点的轨迹为抛物线，方程为： x ² =- 8 y （ x ∈[0，8]）。

三、探索性数学实验

问题、实验、观察、猜想往往是实施探究学习的有效途径与方法，是培养学生创新意识与探索精神的有效契机，更是课堂实验教学的一项重要任务。让学生通过实验、观察、发现和掌握规律，提出猜想。在教学过程中，要充分发挥学生的自主性和创造性，鼓励学生即兴去创造、去超越、去探究、去发现。

比如：有一个折纸游戏，规则如下：

（1）如图1-2-4所示，将圆心记作点 F ₁ ，然后在圆内任取一定点 F ₂ ；

（2）在圆周上任取10个点，分别记作 N ₁ ， N ₂ ， N ₃ ，…， N ₁₀ ，将它们与圆心相连，得半径 F ₁ N ₁ ， F ₁ N ₂ ， F ₁ N ₃ ，…， F ₁ N ₁₀ 。

（3）折叠圆形纸片，使点 N ₁ 与点 F ₂ 重合，将折痕与半径 F ₁ N ₁ 的交点记作 M ₁ ；然后再次折叠圆形纸片，使点 N ₂ 与点 F ₂ 重合，将折痕与半径 F ₁ N ₂ 的交点记作 M ₂ ；……；以此类推，最后折叠圆形纸片，使点 N ₁₀ 与点 F ₂ 重合，将折痕与半径 F ₁ N ₁₀ 的交点记作 M ₁₀ 。

（4）用平滑曲线顺次连接点 M ₁ ， M ₂ ， M ₃ ，…， M ₁₀ 。你有何探索发现？你能解释你的发现吗？探索性数学实验，也可通过“几何画板”或其他软件，在电脑上来实现，如探究函数 y = ax + 的图像及性质等。

四、验证性数学实验

验证式的实验主要是借助计算机。作为一种多媒体信息的载体，计算机的信息传输通道宽阔多样、容量大、速度快、效果好，利用其强大的求值、计算、作图、动画等功能来验证数学问题的存在性、正确性及知识形成过程，可以简便地解决诸如函数及其性质、图形的数形关系、轨迹、方程求解等问题，直观形象地展示数学问题的背景、过程、结果，揭示数学问题的“庐山真面目”。

实验课题： 用计算器验算函数 y = （ x >1）的若干个值，可以猜想下列命题中的真命题只能是（ ）。

A. y = 在（1，+∞）上是单调减函数

B . y = ， x ∈（1，+∞）的值域为（0， ］

C . y = ， x ∈（1，+∞）有最小值

D. =0， n ∈ N ^*

实验目的： 利用计算器的功能验证结论。

实验工具： 高考可使用的计算器。

实验任务： （1）批量给出数据，并直观比较数据之间的联系。（2）由于计算器内存的限制，列表功能可显示的数据有限，需多次实验来完成。

实验过程：

（1）采用计算器[MODE]中的TABLE模式。在“f（ x ）=”后输入“ ”，根据题目中提供的信息，不妨先研究区间（0，20］中的情况。

（2）第一次实验：在“Start?”输入0，在“End?”输入20，在“Step?”输入1.观察数据发现，函数值先增后减，在 x =3处较大，故A错误。

（3）为考查函数是否在 x =3处取得最大值，则开展第二次实验，研究的范围在 x =3附近。第二次实验：在“Start?”输入2，在“End?”输入4，在“Step?”输入0.1.观察数据发现， x =2.7时函数值较大，故B错误。

（4）为考查C和D两者哪个正确，需将研究区间扩大，故需再进行几次实验。通过对研究区域：［1，20］，［10，100］，［100，1000］进行列表观察，可以猜测随着 x 的增大， f （ x ）的值无限趋近于0。

实验结果： D为正确选项。

五、解释性数学实验

解释数学实验是在讲解新的数学概念、原理、方法和数学思想时，为了使学生更好地理解抽象的数学知识，由教师给学生演示的课程内容，目的是展示知识的合理性，使学生确信无疑，它能更深刻地揭示数学概念、原理、思想方法的实质，使学生对知识的理解与认识更进一步深化。

六、操作性数学实验

“多做数学习题是学好数学的有效途径”这是部分数学教师指导学生更好应试的“经验之谈”，多少有点应试教育的味道。而数学实验中的“做”，则主要是要求学生多动手、多上机，在教师指导下探索建立模型解决问题的方法，在失败和成功中获得真知。数学中的很多问题和概念是可以由“做”数学实验来帮助加深理解的。

操作性实验是通过动手操作或模拟空间中的点、线、面元素位置关系变化探究解题过程，如翻折、展开、旋转、射影等。操作性实验赋予静态的立体几何问题以“生命”活力，也使其更具有挑战性、开放性，从而加强了学生的空间想象力和能力。如全国2002年高考文科最后一题“剪拼”问题的出现恰是动态操作性数学实验体现。

如图1-2-5所示，四面体的一条棱长为 x ，其余棱长为1，求 x 取值范围。

分析：运用动态观点，极限的思想去观察、分析、处理问题，可收到意想不到的效果。设 AB = x ，其余棱长均为1.固定△ BCD 、△ ACD 绕 CD 转动实验，如图1-2-6所示。当 A → B 时， x →0；当 A → A ₁ （ A ₁ ∈平面 BCD ）时， x → ，故可得0< x < 。

再如：在透明料制成的长方形 ABCD — A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 容器内灌注一些水，固定底面上的一边 BC ，再将容器倾斜，如图1-2-7所示。随着倾斜度的不同，有下列命题：①水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形 EFGH 的面积不会改变；③棱 A ₁ D ₁ 始与水面 EFGH 平行；④ BE · BF 是定值。其中正确命题的序号是_____。

解：正确命题是①③④。容器倾斜过程中，长方体的两侧面 A ₁ B ₁ BA ， D ₁ C ₁ CD 的平行关系始终不变，因此有水部分的两个面总是平行，而其余各面是四边形，所以有水部分始终是棱柱。沿 BC 倾斜，则 BC 始终与水平面 EFGH 平行，所以 BC ∥ FG ，又因为 BC ∥ A ₁ D ₁ ，所以 A ₁ D ₁ ∥ FG ，所以 A ₁ D ₁ 平行平面 EFGH. 不管 E ， H 在 AB ， DC 上如何移动，水的体积总不变。即三棱锥 EFB HGC 的体积不变，由于三棱柱的高 BC 为定值，从而 BE · BF 为定值，故正确命题的序号为①③④。

七、数学思想实验

尝试、归纳、猜想被爱因斯坦称为“思想实验”。牛顿说得好：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”，所谓的思想实验是指对给定数学问题，人为地创设、改变、挖掘和控制某种数学情景1，经过1思想活动，来研究某种数学现象、探索数学规律的思维过程。通过仔细观察，进行合理的归纳与整理，从而提出科学的猜想，也是培养学生创新能力的一种有效途径。如多面体欧拉公式的发现与证明，这是高中新教材（实验修订本）中安排的一个研究性课题。学生的分组探究活动可分为以下两个阶段。

（1）考察几个特殊的简单多面体，通过观察，记录每个多面体的顶点数、面数和棱数，计算、归纳、猜想一般规律。

（2）探究公式的证明：设想多面体是空的并且表面是由薄橡皮制成，对它进行想象性实验操作——割去一面，将其压扁铺平在一个平面上，化为平面多边形，通过实验性推理完成证明。

在实验的第一阶段，由特殊多面体观察、归纳、猜想一般结论，这是思想实验常用的手段。在这个阶段中，学生亲身参与了欧拉公式的发现过程，通过再创造，将数学知识纳入自己的认知结构。思想实验彻底改变了“只讲授结果”的传统数学教学模式，真正体现了学生的主体性。在第二阶段，把多面体想象为薄橡皮制成的空壳，并割去一面，创设了空间图形平面化的思维情境，把多面体按照实验方式展开在一个平面上，其思维过程是想象与逻辑的统一，是最具典型性的数学思想实验，培养了学生思维的深刻性与灵活性。

在上述解决问题探究的过程中，通过创设条件、观察记录、探索规律等手段，并利用综合分析或归纳猜想，使学生亲身经历了动手操作、思考分析、探究问题的全过程，从而激活了思维，促进了探索能力的提高。

思想实验面对的往往是数据、图形、方程之类的思想材料，它根据研究目的，人为地创设、改变和控制某种数学情景，在有利的条件下经过思想活动，来研究某种数学现象和数学规律。通过思想实验，往往会形成一些新概念，提出一种猜想，或酝酿一种结构。思想实验的基本特征是抽象性和可行性。

1.抽象性

由于思想实验是具体实验的抽象化，那么，它的设计和操作就是对具体实验设计和操作的模拟，因此，这种实验必须有一个具体实验操作的原型。比如我们研究“平面上若干条（ n 条）直线相交，其中任何2条不相交，任何3条不过同一点，求交点个数”的问题。如果 n 很大，很难实际画出，故往往要靠思想实验。这时，需要对较小的 n （ n =1，2，3，4，5）进行具体操作（绘画），以弄清直线间相关的机制：相交时交点的构成、相互关系，特别是相互间的数量关系；尤其重要的是，要弄清当在原有的基础上增加一条直线时，交点将会怎样变化；进而通过思想实验，弄清 n 由 k 变到 k +1时，交点发生的情况。

2.可行性

思想实验与通常实验比较起来，一个明显的优势，是它往往不受具体条件的限制，而只要“理论上”能办到（或假设能办到），使因素如此这般变化，而预测其结果，因此，这种实验一般不要任何设备，不担任何风险，无须任何经费，是比较“经济”的一种实验。但是，思想实验到了一定的阶段，就要进行必要的理论分析和计算，这就是它同“想象”的差别。现在发展起来的计算几何、计算化学和计算机辅助实验，应看作思想实验的一种发展。

应当注意的是，思想实验所应用的理论分析和计算方法，来自具体操作的经验和有关的数学知识。如要检验的是具体结果，那么计算的方法或公式，就应是已知其成立的；反之，如要检验的是公式本身，则除了需要在最初的操作中观察数据以外，还需有另一个正确数据的来源。否则，只能获得有关公式或方法的猜想。 cKm55jWtPpUwvWI4WZ3/KuAJKHJQX7yIsu2uCL2OK8pTTxO9woW3fZRAMy5BJjey