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设： a 、 BC 是两条线段，用点 D 、 E 分线段 BC 。
那么可以说：由 a 、 BC 所夹的矩形等于由 a 、 BD 与 a 、 DE 以及 a 、 EC 分别所夹的矩形的和。
因为：从 B 作 BF 和 BC 成直角，[I. 11]
取 BG 等于 a ，[I. 3]
过 G 作 GH 平行于 BC ，[I. 31]
并经过点 D 、 E 、 C ，作 DK 、 EL 、 CH 平行于 BG 。
那么 BH 等于 BK 、 DL 、 EH 的和。
BH 是矩形 a 、 BC ，由于它是由 GB 和 BC 围成的，并且 BG 等于 a ，
BK 是矩形 a 、 BD ，由于它是由 GB 、 BD 围成的，并且 BG 等于 a ，
又因： DL 是矩形 a 、 DE ，由于 DK 是 BG 并且等于 a ，[I. 34]
同理可证： EH 也是矩形 a 、 EC ，
所以：矩形 a 、 BC 等于矩形 a 、 BD 与矩形 a 、 DE 及矩形 a 、 EC 的和。
证完。
设：任意两分线段 AB 于点 C 。
那么可以说：由 AB 、 BC 所夹的矩形与 BA 、 AC 所夹的矩形的和等于 AB 上的正方形。
设：在 AB 上作的正方形为 ADEB 。[I. 46]
经过点 C 作 CF 平行于 AD 或 BE 。[I. 31]
那么 AE 等于 AF 与 CE 的和。
因为： AE 是 AB 上的正方形，
AF 是由 BA 、 AC 围成的矩形，因为它是由 DA 、 AC 围成，且 AD 等于 AB ，
又因： BE 等于 AB ，
因此： CE 是由 AB 、 BC 围成的矩形，
所以：矩形 BA 、 AC 与矩形 AB 、 BC 的和等于 AB 上的正方形。
证完。
设：任意两分线段 AB 于 C 。
那么可以说：由 AB 、 BC 围成的矩形等于由 AC 、 CB 围成的矩形与 BC 上的正方形的和。
在 CB 上作正方形 CDEB ，[I. 46]
延长 ED 至 F ，过 A 作 AF 平行于 CD 或者 BE 。[I. 31]
那么 AE 等于 AD 与 CE 的和。
因为： AE 是由 AB 、 BC 所围成的矩形，这是因为它是由 AB 、 BE 所围成的，且 BE 等于 BC ，
又因： DC 等于 CB ，并且 DB 是 CB 上的正方形，
因此： AD 是矩形 AC 、 CB ，
所以： AB 、 BE 围成的矩形等于由 AC 、 CD 围成的矩形与 BC 上的正方形的和。
证完。
设：任意线段 AB 分于 C 。
那么可以说： AB 上的正方形等于 AC 及 CB 上的正方形的和，加上 AC 、 CB 围成的矩形的二倍。
让 AB 上所作的正方形为 ADEB ，[I. 46]
连接 BD ，过点 C 作 CF 平行于 AD 或 EB ，过点 G 作 HK 平行于 AB 或 DE 。[I. 31]
因为： CF 平行于 AD ，且 BD 与 CF 、 AD 都相交，那么同位角 CGB 、 ADB 相等，[I. 29]
且因边 BA 等于边 AD ，
因此：角 ADB 等于角 ABD ，[I. 5]
所以：角 CGB 等于角 GBC ，边 BC 等于边 CG 。[I. 6]
因为： CB 等于 GK ， CG 等于 KB ，[I. 34]
所以： GK 等于 KB ，
所以： CGKB 是等边的。
然后，又可证明 CGKB 是直角。
因为： CG 平行于 BK 。角 KBC 、角 GCB 的和等于两直角，[I. 29]
又因：角 KBC 是直角，
所以：角 BCG 也是直角，对角 CGK 及角 GKB 同样是直角，[I. 34]
所以： CGKB 四个角都是直角，由于已经证明它是等边，因此它是正方形，从而推出 CGKB 是作在 CB 上的正方形。
同理可证： HF 也是正方形，它是作在 HG 上的，也就是作在 AC 上的正方形，[I. 34]
所以：正方形 HF 、 KC 是作在 AC 、 CB 上的正方形。
因为： AG 等于 GE ，并且 AG 是矩形 AC 、 CB ，且 GC 等于 CB ，
所以： GE 等于矩形 AC 、 CB ，
所以： AG 、 GE 的和等于矩形 AC 、 CB 的二倍。
因为：正方形 HF ， CK 的和等于 AC 、 CB 上的正方形的和，
所以：四个面 HF 、 CK 、 AG 、 GE 等于 AC 、 CB 上的正方形加上 AC 、 CB 围成的矩形的二倍。
又因为： HF 、 CK 、 AG 、 GE 的和是整体 ADEB ，它就是 AB 上的正方形，
所以： AB 上的正方形等于 AC 、 CB 上的正方形的和加上 AC 、 CB 围成的矩形的二倍。
证完。
设：由点 C 将线段 AB 分成相等的两线段，用点 D 将线段 AB 分成不相等的两线段。
那么可以说： AD 、 DB 围成的矩形加上 CD 上的正方形的和等于 CB 上的正方形。
设： CEFB 是作在 CB 上的正方形。[I. 46]
连接 BE ，过 D 作 DG 平行于 CE 或 BF ，过 H 作 KM 平行于 AB 或 EF ，再过 A 作 AK 平行于 CL 或 BM ，[I. 31]
那么：补形 CH 等于补形 HF 。[I. 43]
将 DM 加在以上两边，那么整体 CM 等于整体 DF 。
因为： AC 等于 CB ，
所以： CM 等于 AL ，[I. 36]
AL 等于 DF 。
将 CH 加在以上各边，那么整个 AH 等于拐尺形 N OP 。
因为： DH 等于 DB ，
所以：拐尺形 NOP 等于矩形 AD 、 DB 。
LG 等于 CD 上的正方形，将它加在以上各边，
那么：拐尺形 NOP 与 LG 的和等于 AD 、 DB 围成的矩形与 CD 上的正方形的和。
又因：拐尺形 NOP 与 LG 的和是 CB 上的整体正方形 CE FB ，
所以： AD 、 DB 围成的矩形与 CD 上的正方形的和等于 CB 上的正方形。
证完。
设：点 C 平分线段 AB ，在同一直线上加上线段 BD 。
那么可以说： AD 、 DB 围成的矩形与 CB 上的正方形的和等于 CD 上的正方形。
设： CEFD 是在 CD 上所作的正方形。[I. 46]
连接 DE ，过点 B 作 BG 平行于 EC 或 DF ，过点 H 作 KM 平行于 AB 或 EF ，过点 A 作 AK 平行于 CL 或 DM 。[I. 31]
因为： AC 等于 CB ， AL 等于 CH ，[I. 36]
又因： CH 等于 HF ，[I. 43]
所以： AL 等于 HF 。
将 CM 加在各边，
那么：整个 AM 等于拐尺形 N OP 。
又因： AM 是由 AD 、 DB 围成的矩形，且 DM 等于 DB ，
所以：拐尺形 NOP 等于矩形 AD 、 DB 。
将 LG 加在以上各边，等于 BC 上的正方形，
所以： AD 、 DB 围成的矩形与 CB 上的正方形的和等于拐尺形 NOP 与 LG 的和。
又因：拐尺形 NOP 与 LG 是作在 CD 上的整体正方形 CE FD ，
所以：由 AD 、 DB 围成的矩形与 CB 上的正方形的和等于 CD 上的正方形。
证完。
设：线段 AB 被点 C 任意分为两段。
那么可以说： AB 、 BC 上的正方形的和等于 AB 、 BC 围成的矩形的二倍与 CA 上的正方形的和。
设：在 AB 上所作的正方形为 ADEB ，[I. 46]
并且图已作。[I. 46]
因为： AG 等于 GE ，[I. 43]
将 CF 加在以上各边，那么整体 AF 等于整体 CE ，因此 AF 、 CE 的和是 AF 的二倍，
因为： AF 、 CE 的和是拐尺形 KLM 与正方形 CF 的和，
所以：拐尺形 KLM 与正方形 CF 的和是 AF 的二倍。
又因：矩形 AB 、 BC 的二倍也是 AF 的二倍，且 BF 等于 BC ，
所以：拐尺形 KLM 与正方形 CF 的和等于二倍的矩形 AB 、 BC 。
将 DG 加在以上各边， DG 是 AC 上的正方形，
所以：拐尺形 KLM 与正方形 BG 、 GD 的和，等于 AB 、 BC 围成的矩形的二倍与 AC 上的正方形的和。
因为：拐尺形 KLM 与正方形 BG 、 GD 的和是整体 ADEB 与 CF 的和，它们是在 AB 、 BC 上所作的正方形，
所以： AB 、 BC 上的正方形的和等于 AB 、 BC 围成的矩形的二倍与 AC 上的正方形的和。
证完。
设：线段 AB 分于 C 。
那么可以说： AB 、 BC 所夹的矩形的四倍与 AC 上的正方形的和，等于 AB 与 BC 合成直线上的正方形。
延长线段 AB 至 D ，使 BD 等于 CB ，假设画在 AD 上的正方形是 AEFD ，并且作这样两个图。
因为： CB 等于 BD ，且 CB 等于 GK ，并且 BD 等于 KN ，
所以： GK 等于 KN 。
同理可证： QR 等于 RP 。
又因： BC 等于 BD ， GK 等于 KN ，
所以： CK 等于 KD ， GR 等于 RN 。[I. 36]
又因： CK 和 RN 是平行四边形 CP 的补形，
所以： CK 等于 RN ，[I. 43]
所以： KD 等于 GR ，四个面 DK 、 CK 、 GR 、 RN 都彼此相等，
因此：这四个面的和是 CK 的四倍。
又因： CB 等于 BD ，
BD 等于 BK ，也是 CG ，并且 CB 等于 GK ，也是 GQ ，故 CG 等于 GQ 。
并且 CG 等于 GQ ，并且 QR 等于 RP ，
AG 等于 MQ ， QL 等于 RF ，[I. 36]
又因： MQ 和 QL 是平行四边形 ML 的补形，因此 MQ 等于 QL ，[I. 43]
所以： AG 等于 RF ，
故，四个面 AG 、 MQ 、 QL 、 RF 彼此相等，
所以：这四个面的和是 AG 的四倍。
因为：四个面 CK 、 KD 、 GR 、 RN 已被证明它们的和是 CK 的四倍，
所以：这八个面构成的拐尺形 STU 是 AK 的四倍。
又因： BK 等于 BD ，
所以： AK 是矩形 AB 、 BD ，故四倍的矩形 AB 、 BD 是 AK 的四倍。
因为：拐尺形 STU 已经被证明了是 AK 的四倍，
所以：矩形 AB 、 BD 的四倍等于拐尺形 S TU 。
将 OH 加在以上各边，等于 AC 上的正方形，
所以：矩形 AB 、 BD 的四倍与 AC 上的正方形的和等于拐尺形 STU 与 OH 的和。
又因：拐尺形 STU 与 OH 的和等于作在 AD 上的整体正方形 AE FD ，
所以：四倍的矩形 AB 、 BD 与 AC 上的正方形的和等于 AD 上的正方形。
又因： BD 等于 BC ，
所以：四倍的矩形 AB 、 BC 与 AC 上的正方形的和等于 AD 上的正方形，也就是 AB 与 BC 合成直线上的正方形。
证完。
设：线段 AB 被点 C 分成相等的线段，又被点 D 分成不相等的线段。
那么可以说： AD 、 DB 上的正方形的和等于 AC 、 CD 上的正方形的和的二倍。
因为：从 AB 上的点 C 作 CE 和 AB 成直角，并且它与 AC 或 CB 相等。连接 EA 、 EB 。经过点 D 作 DF 平行于 EC ，并且过 F 作 FG 平行于 AB ，连接 AF ，
并且 AC 等于 CE ，角 EAC 等于角 A EC ，
又因：在点 C 的角是直角，其余两个角 EAC 、 AEC 的和等于直角，[I. 32]
且它们又相等，
所以：角 CEA 、 CAE 各是直角的一半。
同理可证：角 CEB 、 EBC 各是直角的一半，
所以：整体角 AEB 是直角。
又因： GEF 是直角的一半，角 EGF 是直角，由于它与角 ECB 是同位角，[I. 29]
剩下的角 EFG 是直角的一半，[I. 32]
所以：角 GEF 等于角 E FG ，
由此，边 EG 等于边 GF 。[I. 6]
又因：在点 B 处的角是直角的一半，并且因为角 FDB 与角 ECB 是同位角，所以角 FDB 是直角，[I. 29]
剩下的角 BFD 是直角的一半，[I. 32]
所以：在点 B 处的角等于角 D FB ，
由此，边 FD 等于边 DB 。
因为： AC 等于 CE ， AC 上的正方形等于 CE 上的正方形，
所以： AC 、 CE 上的正方形的和是 AC 上的正方形的二倍。
又因：角 ACE 是直角，所以 EA 上的正方形等于 AC 、 CE 上的正方形的和，[I. 47]
所以： EA 上的正方形是 AC 上的正方形的二倍。
又因： EG 等于 GF ； EG 上的正方形等于 GF 上的正方形，
所以： EG 、 GF 上的正方形的和等于 GF 上的正方形的二倍。
又因： EF 上的正方形等于 EG 、 GF 上的正方形的和，
所以： EF 上的正方形是 GF 上的正方形的二倍。
又因： GF 等于 CD ，[I. 34]
所以： EF 上的正方形是 CD 上的正方形的二倍。
因为： EA 上的正方形也是 AC 上的正方形的二倍，
所以： AE 、 EF 上的正方形的和是 AC 、 CD 上的正方形的和的二倍。
又因：角 AEF 是直角，
所以： AF 上的正方形等于 AE 、 EF 上的正方形的和，[I. 47]
所以： AF 上的正方形是 AC 、 CD 上的正方形的和的二倍。
因为：在点 D 的角是直角，
所以： AD 、 DF 上的正方形的和等于 AF 上的正方形，[I. 47]
所以： AD 、 DF 上的正方形的和是 AC 、 CD 上的正方形的和的二倍。
又因： DF 等于 DB ，
所以： AD 、 DB 上的正方形的和等于 AC 、 CD 上的正方形的和的二倍。
证完。
用点 C 将线段 AB 二等分，并在同一直线上给 AB 添上 BD 。
那么可以说： AD 、 DB 上的正方形的和等于 AC 、 CD 上的正方形的和的二倍。
设： CE 在 C 点和 AB 成直角，[I. 11]
让它等于 AC 或 CB 。[I. 3]
连接 EA 、 EB ，过点 E 作 EF 平行于 AD ，过点 D 作 FD 平行于 EC 。[I. 31]
因为：直线 EF 和平行线 EC 、 FD 都相交，角 CEF 、 EFD 的和等于两直角，[I. 29]
所以：角 FEB 、 EFD 的和小于两直角。
又因：直线在小于两直角的这一侧经延长后相交，[I. 公设5]
所以：若在同方向 B 、 D 延长 EB 、 FD 定相交。
设：其交点为 G ，连接 AG 。
因为： AC 等于 CE ，角 EAC 等于角 AEC ，[I. 5]
在点 C 是直角，
所以：角 EAC 、 AEC 各是直角的一半。[I. 32]
同理可证：角 CEB 、 EBC 各是直角的一半，
因此：角 AEB 是直角。
又因：角 EBC 是直角的一半，角 DBG 也是直角一半，[I. 15]
并且角 BDG 与角 DCE 相等，且它们是错角，因此：角 BDG 也是直角，[I. 29]
所以：剩下的角 DGB 是直角的一半，[I. 32]
故，角 DGB 等于角 D BG ，
所以：边 BD 等于边 GD 。[I. 6]
又因：角 EGF 等于在点 C 处的对角，故角 EGF 是直角的一半，且在点 F 处的是直角，[I. 34]
剩下的角 EFC 是直角的一半，[I. 32]
所以：角 EGF 等于角 F EG ，
边 GF 等于 EF 。
因为： EC 上的正方形等于 CA 上的正方形； EC 、 CA 上的正方形的和是 CA 上的正方形的二倍，
又因： EA 上的正方形等于 EC 、 CA 上的正方形的和，[I. 47]
所以： EA 上的正方形是 AC 上的正方形的二倍。[公理1]
因为： FG 等于 EF 、 FG 上的正方形等于 FE 上的正方形，
所以： GF 、 FE 上的正方形的和是 EF 上的正方形的二倍。
又因： EG 上的正方形等于 GF 、 FE 上的正方形的和，[I. 47]
所以：在 EG 上的正方形是在 EF 上的正方形的二倍， EF 等于 CD ，[I. 34]
所以： EG 上的正方形是 CD 上的正方形的二倍。
又因：已证 EA 上的正方形是 AC 上的正方形的二倍，
所以： AE 、 EG 上的正方形的和是 AC 、 CD 上的正方形的和的二倍。
又因：在 AG 上的正方形等于 AE 、 EG 上的正方形的和，[I. 47]
所以： AG 上的正方形是 AC 、 CD 上的正方形的和的二倍。
因为： AD 、 DG 上的正方形的和等于 AG 上的正方形，[I. 47]
所以： AD 、 DG 上的正方形的和是 AC 、 CD 上的正方形的和的二倍，
又因： DG 等于 DB ，
所以： AD 、 DB 上的正方形的和是 AC 、 CD 上的正方形的和的二倍。
证完。
设：将已知线段 AB 分成两段，让它和一小线段所夹的矩形等于另一小线段上的正方形。
设：在 AB 上作正方形 ABDC 。[I. 46]
将 AC 二等分于点 E ，连接 BE ，延长 CA 到 F ，取 EF 等于 BE 。
设： FH 是作在 AF 上的正方形，延长 GH 至 K 。
那么可以说： H 就是 AB 上所要求作的点，它让 AB 、 BH 所夹的矩形等于 AH 上的正方形。
因为：线段 AC 被点 E 平分，并给它加上 FA ，
CF 、 FA 所夹的矩形与 AE 上的正方形的和等于 EF 上的正方形，[II. 6]
又因： EF 等于 EB ，
所以：矩形 CF 、 FA 与 AE 上的正方形的和等于 EB 上的正方形。
因为：在点 A 的角是直角，
所以： BA 、 AE 上的正方形的和等于 EB 上的正方形，[I. 47]
所以：矩形 CF 、 FA 与 AE 上的正方形的和等于 BA 、 AE 上的正方形的和。
将上面两边各减去 AE 上的正方形，
那么：剩下的矩形 CF 、 FA 等于 AB 上的正方形。
矩形 CF 、 FA 的和是 FK ，由于 AF 等于 FG ，且 AB 上的正方形是 AD ，
所以： FK 等于 AD 。
将上面两边各减去 AK ，余下的部分 FH 等于 HD 。
又因： HD 是矩形 AB 、 BH ，又因为 AB 等于 BD ，并且 FH 是 AH 上的正方形，
所以：由 AB 、 BH 围成的矩形等于 HA 上的正方形，
所以：点 H 分已知的线段 AB ，由 AB 、 BH 围成的矩形等于 HA 上的正方形。
作完。
设：在 ABC 是钝角三角形，角 BAC 为钝角。由点 B 作 BD 垂直于 CA ，交延长线于点 D 。
那么可以说： BC 上的正方形比 BA 、 AC 上的正方形的和还大 CA 、 AD 围成矩形的二倍。
因为：点 A 任意分线段 CD ， CD 上的正方形等于 CA 、 AD 上的正方形加上 CA 、 AD 所夹的矩形的二倍，[II. 4]
将 DB 上的正方形加在以上各边，
所以： CD 、 DB 上的正方形的和等于 CA 、 AD 、 DB 上的正方形的和加上矩形 CA 、 AD 的二倍。
又因：在点 D 的角都是直角，因此： CB 上的正方形等于 CD 、 DB 上的正方形的和，[I. 47]
且 AB 上的正方形等于 AD 、 DB 上的正方形的和，[I. 47]
所以： CB 上的正方形等于 CA 、 AB 上的正方形的和加上 CA 、 AD 围成的矩形的二倍，
所以： CB 上的正方形比 CA 、 AB 上的正方形的和还大 CA 、 AD 围成的矩形的二倍。
证完。
设： ABC 是锐角三角形，点 B 处的角为锐角，并且设 AD 是由点 A 向 BC 所作的垂线。
那么可以说： AC 上的正方形比 CB 、 BA 上的正方形的和小 CB 、 BD 围成的矩形的二倍。
因为： CB 任意分割于点 D ； CB 、 BD 上的正方形的和等于由 CB 、 BD 围成矩形的二倍与 DC 上的正方形的和，[II. 7]
将 DA 上的正方形加在以上各边，
那么： CB 、 BD 、 DA 上的正方形的和等于 CB 、 BD 围成的矩形的二倍加上 AD 、 DC 上的正方形的和。
因为：在 D 处的角都是直角，因此： AB 上的正方形等于 BD 、 DA 上的正方形的和，[I. 47]
并且， AC 上的正方形等于 AD 、 DC 上的正方形的和，因此： CB 、 BA 上的正方形的和等于 AC 上的正方形加上二倍的矩形 CB 、 BD ，
所以： AC 上的正方形只能比 CB 、 BA 上的正方形的和小 CB 、 BD 所夹的矩形的二倍。
证完。
设：已知直线形 A ，作一个等于直线形面积 A 的正方形。
先设：作了一个等于直线形 A 的矩形 BD 。[I. 45]
若 BE 等于 ED ，那么因为正方形 BD 等于直线形 A ，作图完毕。
如果 BE 不等于 ED ，也就是线段 BE 、 ED 中有一条较大。
再设： BE 较大，且延长至点 F 。
设 EF 等于 ED ，且 BF 被二等分于点 G 。
以 G 为圆心，以 GB 、 GF 中的一个为距离画半圆 B HF 。
将 DE 延长至 H ，连接 GH 。
因为：线段 BF 被点 G 二等分，被点 E 分为不相等的两段，
且由 BE 、 EF 围成的矩形与 EG 上的正方形的和等于 GF 上的正方形，[II. 5]
又因： GF 等于 GH ，
所以：矩形 BE 、 EF 与 GE 上的正方形的和等于 GH 上的正方形。
又因： HE 、 EG 上的正方形的和等于 GH 上的正方形，[I. 47]
所以：矩形 BE 、 EF 加上 GE 上的正方形等于 HE 、 EG 上的正方形的和。
以上各边减去 GE 上的正方形，
那么：剩下的矩形 BE 、 EF 等于 EH 上的正方形。
因为： EF 等于 ED ，所以：矩形 BE 、 EF 是 BD ，
所以：平行四边形 BD 等于 HE 上的正方形。
又因： BD 等于直线形 A ，
所以：直线形 A 等于在 EH 上作的正方形，
所以：在 EH 上作了等于已知直线形 A 的正方形。
作完。