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设： AB 是已知的有限直线。
要求：在线段 AB 上作一个等边三角形。
以 A 为圆心，再将 AB 作为半径来画圆 BCD 。[公设3]
以 B 为圆心，再将 BA 作为半径来画圆 ACE 。[公设3]
从两个圆的交点 C 到 A 、 B ，连接线段 CA 、 CB 。[公设1]
因为：点 A 是圆 CDB 的圆心，因此 AC 等于 AB ，[定义15]
又因：点 B 是圆 CAE 的圆心，因此 BC 等于 BA ，[定义15]
并且之前证明了 CA 等于 AB ，因而线段 CA 、 CB 都等于 AB 。且等于同量的量相等，[公理1]
所以： CA 等于 CB ，
所以：三条线段 CA 、 AB 、 BC 均相等，
所以：三角形 ABC 是等边三角形，也就是在已经给出的有限直线 AB 上作了等边三角形。
这就是命题所要求作的。
设： A 是已知的点， BC 则是已知线段，也就是，需要由点 A 作为端点，作一个等于已知的线段 BC 。
要求：从点 A 到点 B 连接线段 AB ，[公设1]
并且在 AB 上作等边三角形 DAB ，[I. 1]
再延长 DA 、 DB 为直线 AE 、 BF ，[公设2]
以 B 为圆心，将 BC 作为半径画圆 CGH ，[公设3]
之后再以 D 为圆心，以 DG 为半径画圆 GKL 。[公设3]
因为：点 B 是圆 CGH 的圆心，所以 BC 等于 BG ，[定义15]
点 D 是圆 GKL 的圆心，所以 DL 等于 DG ，[定义15]
又因： DA 等于 DB ，因此剩下的余量 AL 也就等于余量 BG ，[公理3]
并且已经证明了 BC 等于 BG ，因此线段 AL 、 BC 都等于 BG ，并且因为等于同量的量彼此相等，[公理1]
所以： AL 也就等于 BC ，
所以：从已知的点 A 作的线段 AL 等于已知线段 BC 。
这就是命题所要求作的。
设： AB 、 c 是两条不相等的线段，并且 AB 大于 c 。
要求：从较长的线段 AB 上，截取一条线段，让它等于较短的线段 c 。
从点 A 截取 AD ，让它等于线段 c ，[I. 2]
将 A 作为圆心，以 AD 为半径画出圆 DEF ，[公设3]
因为：点 A 是圆 DEF 的圆心，因此 AE 等于 AD ，[定义15]
又因： c 等于 AD ，因此线段 AE 、 c 都等于 AD ；由此推断出， AE 等于 c ，[公理1]
所以：给定两条线段 AB 、 c ，从较长的 AB 上截取 AE ，让它等于较短的线段 c 。
这就是命题所要求作的。
设： ABC 、 DEF 是两个三角形， AB 等于 DE ， AC 等于 DF ，并且角 BAC 等于角 E DF 。
因为：底边 BC 等于底边 EF ，三角形 ABC 全等于三角形 DEF ，剩下的角也分别相等，即角 ABC 等于角 DEF ，角 ACB 等于角 D FE ，
若将三角形 ABC 移动到三角形 DEF 上，如果点 A 落在点 D 上，并且线段 AB 落在 DE 上，已知 AB 等于 DE ，因此点 B 与点 E 重合，
又因： AB 与 DE 重合，角 BAC 等于角 EDF ，因此线段 AC 也就与 DF 重合，
并且 AC 等于 DF ，因此点 C 也与点 F 重合，
又因： B 也与 E 重合，所以底 BC 也与底 EF 重合，
假定：在 B 与 E 重合，并且 C 与 F 也重合时，底 BC 若是不和底 EF 重合，那么二条直线就围成了一块空间，但这是不可能的。因此底 BC 就与底 EF 重合并相等，[公理4]
所以：整个三角形 ABC 与整个三角形 DEF 重合，因此它们是全等的，
所以：其余的角也与其余的角重合，所以它们全都相等，也就是角 ABC 等于角 DEF ，并且角 ACB 等于角 D FE 。
这就是命题所要求证明的。
设： ABC 是一个等腰三角形，边 AB 等于边 AC ，延长 AB 、 AC 成直线 BD 、 CE 。[公设2]
求证：角 ABC 等于角 ACB ，并且角 CBD 等于角 B CE 。
如果从 BD 上任取一点 F ，又在较大的 AE 上截取线段 AG ，让它等于较小的 AF 。[I. 3]
连接 FC 和 GB 。[公设1]
因为： AF 等于 AG ，且 AB 等于 AC ，两边 FA 、 AC 分别等于边 GA 、 AB ，并且它们包含着公共角 F AG ，
所以：底 FC 等于底 GB ，且三角形 AFC 全等于三角形 A GB ，
所以：剩下的角也分别相等，也就是相等的边所对的角，即角 ACF 等于角 ABG ，角 AFC 等于角 AGB 。[I. 4]
因为：整体 AF 等于整体 AG ，并且它们中的 AB 等于 AC ，因此余量 BF 等于余量 CG ，[公理3]
又因：已经证明了 FC 等于 GB ，因此，边 BF 等于 CG ，边 FC 等于 GB ，而角 BFC 等于角 C GB ，
并且底 BC 是公用的，因此，三角形 BFC 也全等于三角形 CGB ；并且，剩下的角也分别相等，也就是等边所对的角，
因此：角 FBC 等于角 GCB ，并且角 BCF 等于角 C BG 。
因为：已经证明了角 ABG 等于角 ACF ，而角 CBG 等于角 BCF ，剩下的角 ABC 等于剩下的角 ACB ，[公理3]
而它们都在三角形 ABC 的底边以上，
所以：角 FBC 等于角 GCB ，并且它们都在三角形的底边以下。
证完。
设：在三角形 ABC 中，角 ABC 等于角 A CB 。
求证：边 AB 等于边 AC 。
因为：若 AB 不等于 AC ，那么其中肯定有一个是比较大的边，假设 AB 是较大的边；从 AB 上截取 DB 等于较小的 AC ，[I. 3]
连接 DC ，
又因： DB 等于 AC ，并且 BC 是公用边，边 DB 等于 AC ， BC 等于 CB ，并且角 DBC 等于角 A CB ，
所以：底 DC 等于底 AB ，并且三角形 DBC 全等于三角形 ACB ，也就是小的等于大的：这并不合理，
所以： AB 必须等于 AC 。
证完。
设：过 A 、 B 两点作交于点 C 的两条线段 AC 、 CB 。在同一侧，过 A 、 B 两点作另外两条线段 AD 、 DB ，相交于另外一点 D 。
因为：这二线段分别等于前面二线段，也就是每个交点到相同的端点，
因此： CA 等于 DA ，它们都有共同的端点 A ，而 CB 等于 DB ，它们也都有共同的端点 B ，连接 CD 。
又因： AC 等于 AD ，角 ACD 也就等于角 ADC ，[I. 5]
因此：角 ADC 大于角 DCB ，也就是角 CDB 比角 DCB 更大。
因为： CB 等于 DB ，并且角 CDB 等于角 DCB 。可是上述已证明角 CDB 更大于角 D CB ，
所以：这是不成立的。
证完。
设：三角形 ABC 和三角形 DEF ，两边 AB 、 AC 分别等于两边 DE 、 DF ，也就是 AB 等于 DE ，并且 AC 等于 DF 。
设：底 BC 等于底 EF 。
那么可以说：角 BAC 等于角 E DF 。
如果移动三角形 ABC 到三角形 DEF ，让点 B 落在点 E 上，线段 BC 在 EF 上，点 C 也就和点 F 重合。
因为： BC 等于 EF ，
因此： BC 和 EF 重合， BA 、 AC 也和 ED 、 DF 重合。
又因：若底 BC 与底 EF 重合，并且边 BA 、 AC 不和 ED 、 DF 重合，而是它们旁边的 EG 、 G F 处，
那么：在已知的线段（在它的端点）以上有相较于一点的给定两条线段。此时，在同一侧，从同一线段的两个端点，作交于另一个点的其余两条线段，它们分别等于前面二线段，也就是每一交点到同一端点的连线。
然而，不能作后二线段。[I. 7]
设：把底 BC 移动到底 EF ，边 BA 、 AC 和 ED 、 DF 不重合：以上并不成立，
因此：它们要重合，
所以：角 BAC 也重合并等于角 E DF 。
证完。
设：已知角 BAC 是一个直线角，要求将其二等分。
假设在 AB 上任意选取一点 D ，在 AC 上截取 AE ， AE 等于 AD ；[I. 3]
连接 DE ，并且在 DE 上作一个等边三角形 DEF ，连接 AF 。
所以：角 BAC 被 AF 二等分。
因为： AD 等于 AE ，而 AF 是公用边，且底 DF 等于底 EF ；
因此：角 DAF 等于角 EAF 。[I. 8]
所以：直线 AF 二等分给定直线角 B AC 。
证完。
设： AB 是给定有限直线，要求二等分有限直线 AB 。
假设在 AB 上作一个等边三角形 ABC 。[I. 1]
并且设直线 CD 二等分角 ACB 。[I. 9]
可以说，线段 AB 在点 D 被二等分。
因为： AC 等于 BC ，而 CD 为公用边，角 ACD 等于角 B CD 。
因此：底 AD 等于底 BD 。[I. 4]
所以：将已知有限直线 AB 二等分于点 D 。
证完。
设： AB 是已知的直线， C 是直线上的已知点。
要求由点 C 作一条直线和直线 AB 成直角。
在 AC 上任意截取一个点 D ，并且使 CE 等于 CD ，[I. 3]。
从 DE 上作一个等边三角形 F DE
[I. 1]，连接 FC 。
因此：直线 FC 就是在已知直线 AB 上的点 C 作的垂直线。
因为： DC 等于 CE ，而 CF 为公用边，并且底 DF 等于底 FE ，
因此：角 DCF 等于角 ECF 。[I. 8]
又因：角 DCF 与角 ECF 是邻角，
当一条直线和另一个直线相交成相等的邻角时，这些等角都是直角，[定义10]
所以：角 DCF 、 FCE 都是直角，
所以：从已知的直线 AB 上的给定点 C 作的直线 CF 和 AB 成直角。
证完。
设： AB 为已知的无限直线，并且假设给定点 C 不在直线上。
要求：从点 C 作无限直线 AB 的垂线。
令：在直线 AB 的另一侧任意取一个点 D ，并且以点 C 为圆心，以 CD 为半径作圆 EFG 。[公设3]
假设线段 EG 被点 H 二等分。[I. 10]
连接 CG 、 CH 、 CE 。[公设1]
因为： GH 等于 HE ， HC 为公用边，并且底 CG 等于 CE 。
因此：角 CHG 等于角 E HC 。
又因：角 CHG 与角 EHC 是邻角，[I. 8]
在两条直线相交成相等的邻角时，每一个角都是直角，就称一条直线垂直于另一条直线。[定义10]
所以：从不在所给定的无限直线 AB 外的给定点 C 作的 CH 垂直于 AB 。
证完。
设：在直线 CD 上的任意一条直线 AB ，交成角 CBA 与角 ABD ，要么是两个直角，要么它们的和互补（180˚）。
如果：角 CBA 等于角 ABD ，则可以推断出它们是两个直角，[定义10]
若不是，假设 BE 是在点 B 所作的和 CD 成直角的直线，[I. 11]
因此：角 CBE 和角 EBD 是两个直角。
因为：角 CBE 等于角 CBA 与角 ABE 的和，那么将它们都加上角 EBD ；可以得出角 CBE 、 EBD 的和就等于角 CBA 、 ABE 、 EBD 的和，[公理2]
又因：角 DBE 加上角 EBA 等于角 DBA ，那么角 DBA 加上角 ABC 等于角 DBE 加上角 EBA 再加上角 ABC ，等于两个直角（180˚），[公理2]
那么：角 CBE 与角 EBD 的和（180˚）也就证明了等于相同的三个角（60˚）的和。
因为：等于同量的量彼此相等，[公理1]
所以：角 CBE 、角 EBD 的和就等于角 DBA 、角 ABC 的和。
因为：角 CBE 、 EBD 的和是两个直角，
所以：角 DBA 、 ABC 的和等于两个直角。
证完。
设： AB 为任意直线， B 是端点。直线 BC 、 BD 与 AB 不在同侧，邻角 ABC 、 ABD 的和等于两个直角（180˚）。
那么： BD 和 CB 在同一直线上。
假设： BD 和 BC 不在同一直线上， BE 和 CB 在同一直线上。
因为：直线 AB 位于直线 CBE 上面，角 ABC 、角 ABE 的和等于两个直角，而角 ABC 、 ABD 的和等于两个直角，[I. 13]
因此：角 CBA 、角 ABE 的和等于角 CBA 、角 ABD 的和。
[公设4和公理1]
如果：从它们中各减去角 CBA ，就让剩下的角 ABE 等于剩下的角 ABD ，[公理3]
此时，小角等于大角：不符合常理，
所以：假设无法成立， BE 和 CB 不在一条直线上。
同理可证：除 BD 外，再没有其他的直线和 CB 在同一直线上，
所以： CB 和 BD 在同一直线上。
证完。
设：直线 AB 、 CD 相交于点 E 。
那么： AEC 等于角 DEB ，并且角 CEB 等于角 A ED 。
因为：直线 AE 位于直线 CD 上方，所构成的角 CEA 、 AED ，两个角的和等于两个直角，
又因：直线 CE 位于直线 AB 的上方，所组成的角 AED 、 DEB 的和等于两个直角，[I. 13]
并且之前证明了角 CEA 、 AED 的和等于两个直角，
所以：角 CEA 、 AED 的和等于角 AED 、 DEB 的和，[公设4和公理1]
从它们中各自减去角 AED ，那么剩下的角 CEA 等于剩下的角 BED 。[公理3]
同理可证：角 CEB 等于角 D EA 。
证完。
推论 很明显，如果两条直线相交，那么在交点处所构成的角的和等于四个直角的和（360˚）。
设： ABC 是一个三角形，延长边 BC 到点 D 。
那么：外角 ACD 大于内角 CBA 或角 B AC 。
线段 AC 被点 E 二等分，[I. 10]
连接 BE 并延长至点 F ，让 EF 等于 BE ，[I. 3]
连接 FC ，[公设1]
延长 AC 至 G 。[公设2]
因为： AE 等于 EC ， BE 等于 EF ，两边 AE 、 EB 分别等于两边 CE 、 EF ，
又因：角 AEB 和角 FEC 是对相等顶角，[I. 15]
所以：底 AB 等于底 FC ，并且三角形 ABE 全等于三角形 CFE ，剩下等边所对的角也都分别相等，[I. 4]
角 BAE 等于角 E CF 。
又因：角 ECD 大于角 ECF ，[公理5]
所以：角 ACD 大于角 B AE 。
同理可证：如果 BC 被平分，那么角 BCG ，或是角 ACD ，[I. 15]
大于角 A BC 。
证完。
设： ABC 是一个三角形。
那么：三角形 ABC 的任意两个角的和都小于两个直角。
将 BC 延长至点 D 。[公设2]
因为：角 ACD 是三角形 ABC 的外角，因此，它大于内对角 A BC 。
将角 ACB 与其他角相加，
那么：角 ACD 、 ACB 的和，大于角 ABC 、 BCA 的和。
因为：角 ACD 、 ACB 的和等于两个直角，[I. 13]
所以：角 ABC 、 BCA 的和小于二直角。
同理可证：角 BAC 、角 ACB 的和小于两个直角；角 CAB 、角 ABC 的和小于两个直角。
证完。
设：在三角形 ABC 中，边 AC 大于边 AB 。
则可证：角 ABC 大于角 B CA 。
因为： AC 大于 AB ，截取 AD 等于 AB ，[I. 3]
连接 BD 。
因为：角 ADB 是三角形 BCD 的外角，大于内对角 DCB ，[I. 16]
又因：边 AB 等于边 AD ，
所以：角 ADB 等于角 A BD ，
所以：角 ABD 大于角 A CB ，
因此：角 ABC 大于角 A CB 。
证完。
设：在三角形 ABC 中，角 ABC 大于角 B CA 。
则可证：边 AC 大于边 AB 。
若假设不是，那么边 AC 等于或者小于 AB 。
现假设 AC 等于 AB ，那么角 ABC 也会等于角 ACB 。[I. 5]
但事实上是不相等的。
因此： AC 不等于 AB 。
同理， AC 也不能小于 AB ，因为这样，角 ABC 也会小于角 ACB 。[I. 18]
但事实并非如此，因此： AC 不小于 AB 。
又因：已经证明了 AC 不能等于 AB ，
所以： AC 大于 AB 。
证完。
设： ABC 是三角形。
则可证：在三角形 ABC 中，任意两边之和大于第三边。
也就是： BA 、 AC 之和大于 BC ； AB 、 BC 之和大于 AC ； BC 、 CA 之和大于 AB 。
那么：延长 BA 至点 D ，让 DA 等于 CA ，连接 DC 。
因为： DA 等于 AC ，角 ADC 等于角 ACD ，[I. 5]
所以，角 BCD 大于角 ADC 。[公理5]
又因：在三角形 DCB 中，因为大角对大边，而角 BCD 大于角 BDC ，[I. 19]
所以： DB 大于 BC ，
并且 DA 等于 AC ，
所以： BA 、 AC 的和大于 BC 。
同理可证： AB 、 BC 的和大于 CA ； BC 、 CA 的和大于 AB 。
证完。
设：在三角形 ABC 的一条边 BC 上，从端点 B 、端点 C 作两条线段 BD 、 DC ，相交于三角形内部。
则可证： BD 与 DC 的和，小于三角形的其余两边 BA 与 AC 的和，所夹的角 BDC 大于角 B AC 。
令：延长 BD 和 AC 交于点 E 。
因为：在三角形中任意两边之和大于第三边，[I. 20]
所以：在三角形 ABE 中，边 AB 与 AE 的和大于 BE 。
将 EC 加到以上各边，那么 BA 与 AC 的和大于 BE 与 EC 的和。
因为：在三角形 CED 中， CE 与 ED 两边的和大于 CD ，
将它们分别与 DB 相加，
那么： CE 与 EB 的和大于 CD 与 DB 的和。
因为：已证明 BA 与 AC 的和大于 BE 与 EC 的和，
所以： BA 与 AC 的和大于 BD 与 DC 的和。
又因：在任何三角形中，外角大于内对角，[I. 16]
所以：在三角形 CDE 中，外角 BDC 大于角 C ED 。
同理可证：在三角形 ABE 中，外角 CEB 大于角 BAC 。而角 BDC 大于角 C EB ，
所以：角 BDC 比角 BAC 更大。
证完。
设：已知的三条线段是 a 、 b 、 c 。它们中任何两条之和大于另外一条。即 a 与 b 的和大于 c ； a 与 c 的和大于 b ； b 与 c 的和大于 a 。
则可用等于 a 、 b 、 c 的三条线段，作一个三角形。
假设另外有一条直线 DE ，一端为 D ，另一端向 E 的方向无限延长，
令： DE 等于 a ， FG 等于 b ， GH 等于 b 。[I. 3]
以 F 为圆心， FD 为半径，画圆 DKL ；以 G 为圆心， GH 为半径，画圆 K LH 。
圆 KLH 与圆 KLD 相交于 K ，并连接 KF 、 KG 。
可以说：三角形 KFG 是由等于 a 、 b 、 c 的三条线段所做成的三角形。
因为：点 F 是 DKL 的圆心，因此 FD 等于 FK ，
并且 FD 等于 a ，所以 KF 等于 a 。
又因：点 G 是圆 LKH 的圆心，因此 GH 等于 GK ，
所以： GH 等于 c ，
所以： KG 等于 c ，且 FG 等于 b ，
所以：三条线段 KF 、 FG 、 GK 等于已知的线段 a 、 b 、 c ，
因此：用分别等于已知线段 a 、 b 、 c 的三条线段 KF 、 FG 、 GK 作了三角形 K FG 。
证完。
设： AB 是已知直线， A 是其上面的一个点，角 DCE 是已知的直线角。
则可从已知直线 AB 上选取的已知点 A ，作一个角等于给定直线角 D CE 。
令：在直线 CD 、 CE 上分别任意取点 D 、 E ，连接 DE 。
用等于 CD 、 DE 、 CE 的三条线段作三角形 AFG ，让 CD 等于 AF ， CE 等于 AG ， DE 等于 FG 。[I. 22]
因为： CD 等于 AF ， CE 等于 AG ，且底 DE 等于底 FG ；角 DCE 等于角 FAG ，[I. 8]
所以：在已知的直线 AB 和它上面已知点 A 作了直线角 FAG ，并等于已知直线角 D CE 。
证完。
设： ABC 、 DEF 是两个三角形，边 AB 与 AC 分别等于边 DE 与 DF ，也就是 AB 等于 DE ， AC 等于 DF ，并且在 A 的角大于在 D 的角。
可以说：底 BC 大于底 EF 。
因为：角 BAC 大于角 EDF ，在线段 DE 的点 D 作角 EDG ，等于角 BAC ，[I. 23]
令：截取 DG 等于 AC ，并且等于 DF ，连接 EG 、 FG ，
那么： AB 等于 DE ， AC 等于 DG ，两边 BA 等于 ED ， AC 等于 DG ，
并且角 BAC 等于角 EDG ，因此底 BC 等于底 EG 。[I. 4]
由于 DF 等于 DG ，角 DGF 等于角 DFG ，[I. 5]
所以：角 DFG 大于角 E GF ，
因此：角 EFG 大于角 E GF 。
因为： EFG 是一个三角形，角 EFG 大于角 EGF ，并且较大角所对的边较大，[I. 19]
边 EG 大于 EF ，但 EG 等于 BC ，
所以： BC 大于 EF 。
证完。
设： ABC 、 DEF 是两个三角形，其中两边 AB 、 AC 分别等于两边 DE 、 DF ，即 AB 等于 DE ， AC 等于 DF ；并且设底 BC 大于底 EF 。
那么，可以说：角 BAC 大于角 E DF 。
若非如此，则角 BAC 小于或等于角 E DF ，
现在，先设角 BAC 不等于角 EDF ，否则底 BC 就会等于底 EF ，这与已知相矛盾，[I. 4]
所以：角 BAC 不等于角 E DF 。
又设角 BAC 不小于角 EDF ，那么底 BC 就会小于底 EF ，[I. 24]
但事实并非如此，
所以：角 BAC 不小于角 E DF 。
由于已证三角不相等，
所以：角 BAC 大于角 E DF 。
证完。
设：在三角形 ABC 、 DEF 中，有两角分别相等，
即角 ABC 等于角 DEF ，角 BCA 等于角 E FD 。
又设：有一边等于另一边，可以先设它们是等角所夹的边，也就是 BC 等于 EF ，
那么可以说：其余的边也分别相等，也就是 AB 等于 DE ， AC 等于 DF ，
同样，其余的角也分别相等，即角 BAC 等于角 E DF 。
因为：如果 AB 不等于 DE ，那么其中有一条边较大，
设： AB 是较大的，截取 BG 等于 DE ，连接 GC 。
因为： BG 等于 DE ， BC 等于 EF ，
所以：两边 GB 、 BC 分别等于 DE 、 EF 。
又因：角 GBC 等于角 D EF ，
所以：底 GC 等于底 DF 。
因为：三角形 GBC 全等于三角形 DEF ，其余的角也分别相等，即等边相对的角对应相等，[I. 4]
所以：角 GCB 等于角 D FE 。
但是根据假设，角 DFE 等于角 B CA ，
所以：角 BCG 等于角 B CA ，
就是小的等于大的，这是不可能的，
因此： AB 不能不等于底 DE ，从而得出 AB 等于 DE 。
但是， BC 等于 EF ，
所以：两边分别相等，即 AB 等于 DE ， BC 等于 EF ，并且角 ABC 等于角 D EF ，
因此：底 AC 等于底 DF ，剩下的角 BAC 等于角 EDF 。[I. 4]
又设：等角的对边相等，比如 AB 等于 DE ，
那么可以说：其余的边分别相等，也就是 AC 等于 DF ， BC 等于 EF ，角 BAC 等于角 E DF 。
假如 BC 不等于 EF ，其中有一个较大，
又设： BC 是较大的，且 BH 等于 EF ，连接 AH ，
那么：由于 BH 等于 EF ， AB 等于 DE ，
所以：有两边分别相等，即 AB 等于 DE ， BH 等于 EF ，且它们的夹角相等，
所以：底 AH 等于底 DF ，三角形 ABH 全等于三角形 D EF ，
其余的角也互相相等，也就是等边所对的角相等，[I. 4]
所以：角 BHA 等于角 E FD 。
但是角 EFD 等于角 B CA ，
所以：在三角形 AHC 中，外角 BHA 等于内对角 BCA ；这是不可能的，[I. 16]
因此： BC 不能不等于 EF ，必须要等于。
但是， AB 等于 DE ，因此两边 AB 、 BC 分别等于两边 DE 、 EF ，它们所夹的角也相等，
所以：底 AC 等于底 DF ，
三角形 ABC 等于三角形 DEF ，并且其余的角 BAC 等于其余的角 EDF 。[I. 4]
证完。
设：直线 EF 和两条直线 AB 、 CD 相交所成的错角 AEF 与 EFD 彼此相等。
那么可以说： AB 平行于 CD 。
事实上，如果两条直线不平行，在延长 AB 、 CD 时，它们要么在 B 、 D 方向，要么在 A 、 C 方向相交，假设它们在 B 、 D 方向相交于 G ，
所以：在三角形 GEF 中，外角 AEF 等于内对角 EFG ：这是不可能的，[I. 16]
因此： AB 、 CD 经过延长后在 B 、 D 方向不相交。
同理可证：它们在 A 、 C 方向也无法相交。
如果两条直线不在任何一方相交，那么就相互平行。[定义23]
所以： AB 平行于 CD 。
证完。
设：直线 EF 和两条直线 AB 、 CD 相交所成的同位角 EGB 和 GHD 相等，又或者同旁内角，即 BGH 与 GHD 的和等于两直角。
那么可以说： AB 平行于 CD 。
因为：角 EGB 等于角 GHD ，角 EGB 等于角 AGH ，[I. 15]
又因：角 AGH 等于角 GHD ，并且它们是错角，
因此： AB 平行于 CD 。[I. 27]
因为：角 BGH 、 GHD 的和等于两直角，并且角 AGH 、 BGH 的和等于两直角，[I. 13]
角 AGH 、 BGH 的和等于角 BGH 、 GHD 的和。在前面两边各减去角 BGH ，那么剩下的角 AGH 等于剩下的角 GHD ，并且它们是错角，
所以： AB 平行于 CD 。[I. 27]
证完。
设：直线 EF 与两条平行线 AB 、 CD 相交。
那么可以说：错角 AGH 、 GHD 相等；同位角 EGB 、 GHD 相等；同旁内角 BGH 、 GHD 的和等于两直角。
因为：如果角 AGH 不等于角 GHD ，假设其中一个比较大，较大的角是 AGH 。在这两个角都加上角 BGH ，那么角 AGH 、 BGH 的和大于角 BGH 、 GHD 的和，
又因：角 AGH 、 BGH 的和等于两直角，[I. 13]
所以：角 BGH 、 GHD 的和小于两直角，
将两直线无限延长，在二角的和小于两直角这侧相交。[公设5]
所以：如果无限延长 AB 、 CD 则必定会相交，但是它们并不相交。由于，假设它们是平行的。因此角 AGH 不能不等于角 GHD ，它们必须相等。
又因：角 AGH 等于角 EGB ，[I. 15]
所以：角 EGB 等于角 GHD ，[公理1]
在上面两边各加角 BGH ，那么角 EGB 、 BGH 的和等于角 BGH 、 GHD 的和。[公理2]
又因：角 EGB 、 BGH 的和等于两直角，[I. 13]
所以：角 BGH 、 GHD 的和等于两直角。
证完。
设：直线 AB 、 CD 的每一条线都平行于 EF 。
那么可以说： AB 也平行于 CD 。
可设：直线 GK 与这三条直线相交，此时，由于直线 GK 和平行直线 AB 、 EF 都相交，角 AGK 等于角 GHF 。[I. 29]
因为：直线 GK 和平行直线 EF 、 CD 相交，角 GHF 等于角 GKD ，[I. 29]
又因：已证角 AGK 等于角 G HF ，
因此：角 AGK 等于角 GKD ；[公理1]
且它们都是错角，
所以： AB 平行于 CD 。
证完。
设：给定点 A ，给定直线 BC 。要求经过点 A 作一条直线平行于直线 BC 。
从 BC 上任意取一点 D ，连接 AD ；在直线 DA 上的点 A ，作角 DAE 等于角 ADC 。[I. 23]
假设直线 AF 是直线 EA 的延长线。
因为：直线 AD 和两条直线 BC 、 EF 相交成彼此相等的错角 EAD 、 A DC ，
所以： EAF 平行于 BC ，[I. 27]
所以：经过已知点 A 作了一条平行于已知直线 BC 的直线 E AF 。
作完。
设： ABC 是一个三角形，延长边 BC 至 D 。
那么可以说：角 ACD 等于两个内对角 CAB 、 ABC 的和，并且三角形的三个内角和，也就是角 ABC 、 BCA 、 CAB 的和等于两直角。
可设：过点 C 作平行于直线 AB 的直线 CE 。[I. 31]
因为： AB 平行于 CE ，并且 AC 和它们相交，形成的错角 BAC 、错角 ACE 相等，[I. 29]
因为： AB 平行于 CE ，且直线 BD 与它们相交，同位角 ECD 与角 ABC 相等，[I. 29]
但已证，角 ACE 等于角 B AC ，
所以：整体角 ACD 等于两内对角 BAC 、 ABC 的和。
将上面各边加上角 A CB ，
可以得出角 ACD 、 ACB 的和等于三个角 ABC 、 BCA 、 CAB 的和。
又因：角 ACD 、 ACB 的和等于两直角，[I. 13]
所以：角 ABC 、 BCA 、 CAB 的和等于两直角。
证完。
设： AB 、 CD 是相等且平行的直线，且 AC 、 BD 是沿着同一方向（分别）连接它们端点的线段。
那么可以说： AC 、 BD 相等且平行。连接 BC 。
因为： AB 平行 CD ，并且 BC 与它们相交，错角 ABC 与角 BCD 相等，[I. 29]
又因： AB 等于 CD ，并且 BC 公用，
两边 AB 、 BC 分别等于两边 DC 、 CB ，角 ABC 等于角 B CD ，
所以：底 AC 等于底 BD ，并且三角形 ABC 全等于三角形 DCB 。剩下的角也分别相等，也就是相等边所对的角，[I. 4]
所以：角 ACB 等于角 C BD 。
由于，直线 BC 同时与两直线 AC 、 BD 相交所成的错角相等， AC 平行于 BD ，[I. 27]
已证它们也相等。
证完。
设： ACDB 是平行四边形面， BC 是对角线。
那么可以说：平行四边形面 ACDB 的对边相等，对角相等，对角线 BC 二等分此面。
实际上，因为 AB 平行于 CD ，并且直线 BC 和它们相交的错角 ABC 与错角 BCD 相等，[I. 29]
又因： AC 平行于 BD ，且 BC 与它们相交，内错角 ACB 与 CBD 相等，[I. 29]
所以： ABC 、 DCB 是有两个角 ABC 、 BCA 分别等于角 DCB 、 CBD 的三角形，并且一条边等于一条边，也就是与等角相邻并且是二者公共的边 BC ，
所以：其余的边也分别相等，其余的角也分别相等，[I. 26]
所以：边 AB 等于 CD ， AC 等于 BD ，并且角 BAC 等于角 C DB 。
因为：角 ABC 等于角 BCD ，角 CBD 等于角 ACB ，整体角 ABD 等于整体角 ACD ，[公理2]
因此：也证明了角 BAC 等于角 C DB ，
所以：在平行四边形面中，对边彼此相等，对角也相等。
然后，证明对角线二等分其图形。
因为： AB 等于 CD ，并且 BC 公用，
两边 AB 、 BC 分别等于两边 DC 、 CB ，并且角 ABC 等于角 B CD ，
因此：底 AC 等于底 DB ，三角形 ABC 全等于三角形 DCB ，[I. 4]
所以：对角线 BC 二等分平行四边形 AC DB 。
证完。
设： ABCD 、 EBCF 是平行四边形，有着同底 BC ，并且在相同两平行线 AF 、 BC 之间。
那么可以说：平行四边形 ABCD 等于平行四边形 EB CF 。
因为： ABCD 是平行四边形，因此 AD 等于 BC ，[I. 34]
同理可证： EF 等于 BC ，而 AD 等于 EF 。[公理1]
又因： DE 为公用，因此整体 AE 等于整体 DF ，[公理2]
且 AB 等于 DC ，[I. 34]
所以：两边 EA 、 AB 分别等于两边 FD 、 DC ，且由于同位角相等，角 FDC 等于角 EAB ，[I. 29]
因此：底 EB 等于底 FC ，
且三角形 EAB 全等于三角形 FDC 。[I. 4]
从上边每一个减去三角形 D GE ，
那么剩余的不规则四边形仍然相等，即四边形 ABGD 等于四边形 EGCF 。[公理3]
在上面两个图形加上三角形 G BC ，
那么整体平行四边形 ABCD 等于整体平行四边形 EBCF 。[公理2]
证完。
设： ABCD 、 EFGH 是平行四边形，它们在等底 BC 、 FG 上。并且在相同的平行线 AH 、 BG 之间。
那么可以说：平行四边形 ABCD 面积等于 EFGH 面积。连接 BE 、 CH 。由于 BC 等于 FG ， FG 等于 EH ，因此 BC 等于 EH 。[公理1]
由于它们也相互平行。
连接 EB 、 HC ；
因为：在同方向（分别）连接相等且平行的（在端点）线段相等且平行，[I. 33]
所以： EBCH 是一个平行四边形，[I. 34]
并且它等于平行四边形 ABCD ，由于有相同底 BC ，并在相同平行线 BC 、 AH 之间。[I. 35]
同理可证：平行四边形 EFGH 等于同一个平行四边形 EBCH ，[I. 35]
所以：平行四边形 ABCD 等于平行四边形 EFGH 。[公理1]
证完。
设：三角形 ABC 、三角形 DBC 同底，并处在相同平行线 AD 、 BC 之间。
那么可以说：三角形 ABC 等于三角形 D BC 。
向两个方向延长 AD 到 E 、 F ；过 B 点作 BE 平行于 CA ，[I. 31]
过 C 点作 CF 平行于 BD 。
那么图形 EBCA 、图形 DBCF 的每一个都是平行四边形；并且它们相等。
因为：它们在同底 BC 上，并且在两平行线 BC 、 EF 之间，[I. 35]
又因：对角线 AB 二等分三角形 ABC ，因此：三角形 ABC 是平行四边形 EBCA 的一半，[I. 34]
[相等的量一半也彼此相等。]
所以：三角形 ABC 等于三角形 D BC 。
证完。
设：三角形 ABC 、三角形 DEF 在等底 BC 、 EF 上，并且在相同两条平行线 BF 、 AD 之间。
那么可以说：三角形 ABC 等于三角形 D EF 。
因为：向两个方向延长 AD 至 G 、 H ；过 B 作 BG 平行于 CA ，[I. 31]
过 F 作 FH 平行于 DE ，
那么图形 GBCA 、 DEFH 每一个都是平行四边形，并且相等。
因为：它们在等底 BC 、 EF 上，并且在相同的两条平行直线 BF 、 GH 之间，[I. 36]
同时，由于对角线 AB 二等分平行四边形 GBCA ，因此，三角形 ABC 是平行四边形 GBCA 的一半，[I. 34]
又因：对角线 DF 二等分平行四边形 DEFH ，因此，三角形 FED 是平行四边形 DEFH 的一半，[I. 34]
[等量的一半也彼此相等。]
所以：三角形 ABC 等于三角形 D EF 。
证完。
设： ABC 、 DBC 是相等的三角形，有共同底 BC ，且在 BC 同一侧。
[那么可以说：它们在相同两条平行线之间。]
如果连接 AD 。
那么可以说： AD 平行于 BC 。因为如果不平行，经过点 A 作 AE 平行于直线 BC ，[I. 31]
连接 EC ，
所以：三角形 ABC 等于三角形 E BC 。
因为：它们在同底 BC 上，并且在相同的两条平行线之间，[I. 37]
又因：三角形 ABC 等于三角形 DBC ，所以：三角形 DBC 等于三角形 EBC ，[公理1]
大的等于小的，不符合常理，
所以： AE 不能平行于 BC 。
同理可证：除 AD 外，任何其他直线都不平行于 BC ，
所以： AD 平行于 BC 。
证完。
设： ABC 、 CDE 是相等的三角形，并有等底 BC 、 CE ，并在底的同侧。
那么可以说：两个三角形在相同的两条平行线之间。如果连接 AD 。
那么： AD 平行于 BE 。
假如不是这样，设 AF 经过点 A ，平行于 BE 。[I. 31]
连接 FE ，
所以：三角形 ABC 等于三角形 FCE 。因为它们在等底 BC 、 CE 上，并在相同平行线 BE 、 AF 之间。[I. 38]
但是，三角形 ABC 等于三角形 D CE ，
所以：三角形 DCE 等于三角形 F CE ，
大的等于小的：不符合常理，
所以： AF 不平行于 BE 。
同理可证：除了 AD 外，其他任何直线都不平行于 BE ，
所以： AD 平行于 BE 。
证完。
设：平行四边形 ABCD 和三角形 EBC 有共同底 BC ，又在相同平行线 BC 、 AE 之间。
那么可以说：平行四边形 ABCD 是三角形 BEC 的二倍。
连接 AC 。
因为：三角形 ABC 和三角形 EBC 相等，又有同底 BC ，且二者在相同平行线 BC 、 AE 间，因此两个三角形相等，[I. 37]
又因：对角线 AC 二等分 ABCD ，因此：平行四边形 ABCD 是三角形 ABC 的二倍，[I. 34]
所以：平行四边形 ABCD 也是三角形 EBC 的二倍。
证完。
设： ABC 是已知三角形，且 D 是给定直线角，用直线角 D 作一个平行四边形等于三角形 A BC 。
将 BC 二等分于 E ，连接 AE ；
在直线 EC 上的点 E 作角 CEF ，让它等于给定角 D 。[I. 23]
经过 A 作 AG 平行于 EC ，[I. 31]
经过 C 作 CG 平行于 EF ，
因此： EFCG 是平行四边形。
因为： BE 等于 EC ，
又因：在相等的底 BE 、 EC 上，并在相同的平行线 BC 、 AG 之间，
因此：三角形 ABE 等于三角形 AEC ，[I. 38]
所以：三角形 ABC 是三角形 AEC 的二倍。
因为：平行四边形 FECG 等于三角形 AEC 的二倍，因此：它们同底并在相同的平行线之间，[I. 41]
所以：平行四边形 FECG 等于三角形 A BC ，
并且角 CEF 等于给定角 D ，
所以：作了平行四边形 FECG ，等于已知三角形 ABC ，并有一个角 CEF 等于给定角 D 。
作完。
设： ABCD 是平行四边形， AC 是它的对角线； AC 也是平行四边形 EH 、 FG 的对角线。把 BK 、 KD 称为补形（也就是填满空间的图形）。
那么可以说：补形 BK 等于补形 KD 。
因为： ABCD 是平行四边形，并且 AC 是它的对角线。三角形 ABC 等于三角形 ACD ，[I. 34]
又因： EH 是平行四边形，并且 AK 是它的对角线，三角形 AEK 等于三角形 A HK ，
同理可证：三角形 KFC 等于三角形 K GC 。
因为：三角形 AEK 等于三角形 AHK ，且 KFC 等于 KGC ，因此：三角形 AEK 与 KGC 的和等于三角形 AHK 与 KFC 的和，[公理2]
又因：整体三角形 ABC 等于整体三角形 A DC ，
所以：剩下的补形 BK 等于补形 KD 。[公理3]
证完。
设： AB 是已知线段， C 是给定三角形， D 是给定直线角。求用已知线段 AB ，以及等于 D 的一个角，贴合出一个平行四边形，等于给定三角形 C 。
设：作等于三角形 C 的平行四边形是 BEFG ，角 EBG 等于角 D ，[I. 42]
移动线段 BE 到直线 AB 上，延长 FG 至 H ，过 A 作 AH 平行于 BG 或 EF 。[I. 31]
连接 HB 。
因为：直线 HF 交平行线 AH 、 EF ；角 AHF 与 HFE 的和等于两直角，[I. 29]
所以：角 BHG 和 GFE 的和小于两直角，且将直线无限延长后在小于两直角的一侧相交，[公设5]
所以： HB 、 FE 延长后会相交，设延长之后交点为 K ，过点 K 作 KL 平行于 EA 或 FH ，[I. 31]
设： HA 、 GB 延长至点 L 、 M 。
因为： HLKF 是平行四边形， HK 是其对角线； AG 、 ME 是平行四边形； LB 、 BF 是关于 HK 的补形，
所以： LB 等于 BF 。[I. 43]
因为： BF 等于三角形 C ，因此 LB 等于 C ，[公理1]
又因：角 GBE 等于角 ABM ，[I. 15]
此时角 GBE 等于角 D ，角 ABM 等于角 D ，
所以：对线段 AB 贴合出的平行四边形 LB 等于已知三角形 C ，并且角 ABM 等于给定角 D 。
作完。
设： ABCD 是给定的直线形， E 是给定直线角。
要求：作一个平行四边形，使其等于直线形 ABCD ，且角等于给定直线角 E 。
连接 DB ，假设作的等于三角形 ABD 的平行四边形是 FH ，角 HKF 等于角 E ；[I. 42]
设：对线段 GH 贴合一平行四边形 GM 等于三角形 DBC ，角 GHM 等于角 E 。[I. 44]
因为：角 E 等于角 HKF 和角 GHM ，因此：角 HKF 等于角 GHM ，[公理1]
将角 KHG 加在上面各边，得出角 FKH 、 KHG 的和等于角 KHG 、 GHM 的和，
又因：角 FKH 、 KHG 的和等于两直角，[I. 29]
所以：角 KHG 、 GHM 的和等于两直角，
如此，用线段 GH 和它上面的点 H ，不在它同侧的两线段 KH 、 HM 作成相邻的二角和等于两直角，
所以： KH 和 HM 在同一条直线上。[I. 14]
又因：直线 HG 和平行线 KM 、 FG 相交，错角 MHG 、 HGF 相等，[I. 29]
将角 HGL 加在以上各边，
那么角 MHG 、 HGL 的和等于角 HGF 、 HGL 的和。[公理2]
因为：角 MHG 、 HGL 的和等于两直角，[I. 29]
所以：角 HGF 、 HGL 的和等于两直角，[公理1]
所以： FG 和 GL 在同一条直线上。[I. 14]
因为： FK 平行且等于 HG ，[I. 34]
HG 也平行且等于 ML ，于是， KF 也平行且等于 ML ，[公理1，I. 30]
连接线段 KM 、 FL 的端点处， KM 与 FL 平行且相等，[I. 33]
所以： KFLM 是平行四边形。
因为：三角形 ABD 等于平行四边形 FH ，三角形 DBC 等于平行四边形 GM ，整体直线形 ABCD 等于整体平行四边形 KF LM ，
所以：作了一个等于给定直线形 ABCD 的平行四边形 KFLM ，其中，角 FKM 等于给定角 E 。
作完。
设： AB 是给定的线段，要求在 AB 上作一个正方形。
让 AC 是从线段 AB 上的点 A 所画的直线，并与 AB 成直角。[I. 11]
截取 AD 等于 AB ；
过点 D 作 DE 平行于 AB ，过点 B 作 BE 平行于 AD ，因此 ADEB 是平行四边形；从而 AB 等于 DE ，并且 AD 等于 BE 。[I. 34]
因为： AB 等于 AD ，
所以：四条线段 BA 、 AD 、 DE 、 EB 相等；所以平行四边形 ADEB 等边。
然后，证明四个角都是直角。
因为：线段 AD 和平行线 AB 、 DE 相交，角 BAD 、 ADE 的和等于两直角，[I. 29]
又因：角 BAD 是直角，
因此：角 ADE 也是直角，在平行四边形面中，对边及对角相等，[I. 34]
所以：对角 ABE 、 BED 中的每一个也都是直角，所以 ADEB 是直角。
由于已经证明平行四边形 ADEB 是等边的，
所以：它是在线段 AB 上所作的正方形。
证完。
设： ABC 是直角三角形，给定角 BAC 是直角。
那么可以说： BC 上的正方形等于 BA 、 AC 上的正方形之和。
实际上，在 BC 上作正方形 BDEC ，在 BA 、 AC 上作正方形 GB 、 HC 。[I. 46]
过 A 作 AL 平行于 BD 或 CE ，连接 AD 、 FC 。
因为：角 BAC 、 BAG 的每一个角都是直角，过直线 BA 上点 A 的两条直线 AC 与 AG ，不在直线 BA 的同一侧，且和直线 BA 所成的两邻角的和等于两直角，
所以： CA 与 AG 在同一条直线上。[I. 14]
同理可证： BA 与 AH 也在同一条直线上。
因为：角 DBC 等于角 FBA ，因为每个角都是直角，给以上两角分别加上角 A BC ，
所以：整体角 DBA 等于整体角 FBC 。[公理2]
因为： DB 等于 BC ， FB 等于 BA ；两边 AB 、 BD 分别等于两边 FB 、 BC 。
又因：角 ABD 等于角 F BC ，
所以：底 AD 等于底 FC ，并且三角形 ABD 全等于三角形 FBC ，[I. 4]
所以：平行四边形 BL 等于三角形 ABD 的二倍，由于它们有同底 BD ，并在平行线 BD 、 AL 之间。[I. 41]
因为：正方形 GB 与三角形 FBC 同底 FB ，并且在相同平行线 FB 、 GC 之间，
所以：正方形 GB 是三角形 FBC 的二倍，[I. 41]
[等量的二倍仍彼此相等。]
所以：平行四边形 BL 等于正方形 GB 。
同理可证：连接 AE 、 BK 也能证明平行四边形 CL 等于正方形 HC ，
所以：整体正方形 BDEC 等于两个正方形 GB 、 HC 的和。[公理2]
因为：正方形 BDEC 是在 BC 上作的，正方形 GB 、 HC 是在 BA 、 AC 上作的，
所以：在边 BC 上的正方形等于边 BA 、 AC 上的正方形的和。
证完。
设：在三角形 ABC 中，边 BC 上的正方形等于边 BA 、 AC 上的正方形的和。
那么可以说： BAC 是直角。
设：在点 A 作 AD 与 AC 成直角，取 AD 等于 BA ，连接 DC 。
因为： DA 等于 AB ， DA 上的正方形等于 AB 上的正方形，
给上面的正方形各边加上 AC 上的正方形，
那么 DA 、 AC 上的正方形的和等于 BA 、 AC 上的正方形的和。
又因： DC 上的正方形等于 DA 、 AC 上的正方形的和，由于角 DAC 是直角，[I. 47]
由于假设， BC 上的正方形等于 BA 、 AC 上的正方形的和，
所以： DC 上的正方形等于 BC 上的正方形，如此，边 DC 等于边 BC 。
因为： DA 等于 AB 、 AC 公用，
两边 DA 、 AC 等于两边 BA 、 AC ；并且底 DC 等于底 BC ，
所以：角 DAC 等于角 BAC 。[I. 8]
又因： DAC 是直角，
所以：角 BAC 也是直角。
证完。