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设：两个相似面数为 A 、 B ，并且 A 乘 B 得 C 。
那么可以说： C 是平方数。
设： A 自乘得 D ，
那么： D 是平方数。
因为： A 自乘得 D ，且 A 乘 B 得 C ，
所以： A 比 B 如同 D 比 C 。[VII. 17]
因为： A 、 B 是相似面数，
所以：在 A 、 B 之间有一个比例中项数。[VIII. 18]
假如：在两个数之间有多少个数成连比例，就在那些有相同比的数之间也有多少个数成连比例。[VIII. 8]
所以：在 D 、 C 之间有一个比例中项数。
又因： D 是平方数，
因此： C 也是平方数。[VIII. 22]
证完。
设：有两数 A 、 B ，且 A 乘以 B 得平方数 C 。
那么可以说： A 、 B 是相似面数。
设： A 自乘得 D ，
因此： D 是平方数。
因为： A 自乘得 D ，且 A 乘 B 得 C ，
所以： A 比 B 如同 D 比 C 。[VII. 17]
因为： D 是平方数，且 C 也是平方数，
所以： D 、 C 都是相似面数，
因此：在数 D 、 C 之间有一个比例中项数。[VIII. 18]
又因： D 比 C 如同 A 比 B ，
所以：在 A 、 B 之间也有一个比例中项数，[VIII. 8]
因为：假如在两个数之间有一个比例中项数，那么它们是相似面数，[VIII. 20]
所以： A 、 B 是相似面数。
证完。
设：立方数 A 自乘得 B 。
那么可以说： B 是立方数。
设： C 是 A 的边，且 C 自乘得 D 。
那么： C 乘 D 得 A 。
因为： C 自乘得 D ，
所以： C 中的单位数 C 量尽 D 。
因为：依照 C 中的单位数，单位也量尽 C ，
所以：单位比 C 如同 C 比 D 。[VII. 定义20]
因为： C 乘以 D 得 A ，
所以：依照 C 中的单位数， D 量尽 A 。
因为：依照 C 中的单位数，单位量尽 C ，
所以：单位比 C 如同 D 比 A 。
又因：单位比 C 如同 C 比 D ，
所以：单位比 C 如同 C 比 D ，又如同 D 比 A ，
因此：在单位与数 A 之间有成连比例的两个比例中项数 C 、 D 。
因为： A 自乘得 B ，
所以：依照 A 中的单位数， A 量尽 B 。
因为：依照 A 中的单位数，单位也量尽 A ，
所以：单位比 A 如同 A 比 B 。[VII. 定义20]
又因：在单位与 A 之间有两个比例中项数，
因此：在 A 、 B 之间也有两个比例中项数。[VIII. 8]
假如：在两个数之间有两个比例中项数，并且第一个是立方数，那么第二个也是立方数。[VIII. 23]
又因： A 是立方数，
所以： B 也是立方数。
证完。
设：有立方数 A 、 B ，且 A 乘 B 得 C 。
那么可以说： C 是立方数。
设： A 自乘得 D ，
因此： D 是立方数。[IX. 3]
因为： A 自乘得 D ，且 A 乘 B 得 C ，
所以： A 比 B 如同 D 比 C 。[VII. 17]
因为： A 、 B 是立方数，
所以： A 、 B 是相似体数，
因此：在 A 、 B 之间有两个比例中项数，[VIII. 19]
所以：在 D 、 C 之间也有两个比例中项数。[VIII. 8]
已知： D 是立方数，
因此： C 也是立方数。[VIII. 23]
证完。
设：立方数 A 乘以 B 得立方数 C 。
那么可以说： B 是立方数。
设： A 自乘得 D ，
因此： D 是立方数。[IX. 3]
因为： A 自乘得 D ，且 A 乘以 B 得 C ，
所以： A 比 B 如同 D 比 C 。[VII. 17]
因为： D 、 C 是立方数，
所以：它们是相似数体，
因此：在 D 、 C 之间有两个比例中项数。[VIII. 19]
又因： D 比 C 如同 A 比 B ，
所以：在 A 、 B 之间也有两个比例中项数。[VIII. 8]
且已知， A 是立方数，
因此： B 也是立方数。[VIII. 23]
证完。
设：数 A 自乘得立方数 B ，
那么可以说： A 本身就是立方数。
设： A 乘以 B 得 C ，
因为： A 自乘得 B ，且 A 乘 B 得 C ，
所以： C 是立方数。
又因： A 自乘得 B ，
所以：依照 A 中的单位数， A 量尽 B 。
因为：依照 A 中的单位数，单位也量尽 A ，
所以：单位比 A 如同 A 比 B 。[VII. 定义20]
因为： A 乘以 B 得 C ，
所以：依照 A 中的单位数， B 量尽 C 。
因为：依照 A 中的单位数，单位也量尽 A ，
所以：单位比 A 如同 B 比 C 。[VII. 定义20]
因为：单位比 A 如同 A 比 B ，
所以： A 比 B 如同 B 比 C 。
因为： B 、 C 是立方数，
所以：它们是相似体数，
因此：在 B 、 C 之间有两个比例中项数。[VIII. 19]
又因： B 比 C 如同 A 比 B ，
所以：在 A 、 B 之间也有两个比例中项数。[VIII. 8]
已知： B 是立方数，
所以： A 也是立方数。[VIII. 23]
证完。
设：合数 A 乘 B 得 C ，
那么可以说： C 是体数。
因为：合数 A 能被某数 D 量尽，[VII. 定义13]
且设：数 D 量尽 A 的次数为 E ，
那么： D 乘 E 得 A ，
所以： A 是 D 、 E 的乘积。
因为：依照 D 量尽 A 有多少次，就设 E 中有同样多少单位，
并且依照 E 中的单位个数， D 量尽 A ，
所以： E 乘 D 得 A 。[VII. 定义15]
因为： A 乘 B 得 C ，
且 A 是 D 、 E 的乘积，
所以： D 、 E 的乘积乘以 B 得 C ，
所以： C 是体数，且 D 、 E 、 B 分别是它的边。
证完。
设：由单位开始有数 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 成连比例。
那么可以说：从单位起的第三个数 B 是平方数，之后每隔一个数就是平方数；
C 是第四个数，是立方数，以后每隔两个数就是立方数；
F 是第七个数，是立方数也是平方数，以后每隔五个数是立方数也是平方数。
因为：单位比 A 如同 A 比 B ，
所以：单位量尽 A 与 A 量尽 B 有相同的次数。[XI. 定义20]
因为：依照 A 中的单位数，单位量尽 A ，
所以：依照 A 中的单位数， A 也量尽 B ，
故： A 自乘得 B ，
因此： B 是平方数。
因为： B 、 C 、 D 成连比例，且 B 是平方数，
所以： D 也是平方数，[VIII. 22]
因此： F 也是平方数。
同理可证：每隔一个数就是一个平方数。
可以证明： C 是由单位起的第四个数，是立方数。以后每隔两个数都是立方数。
因为：单位比 A 如同 B 比 C ，
所以：单位量尽数 A 与 B 量尽 C 有相同的次数。
因为：依照 A 中的单位数，单位量尽 A ，
所以：依照 A 中的单位数， B 量尽 C ，
因此： A 乘以 B 得 C 。
因为： A 自乘得 B ，且 A 乘 B 得 C ，
所以： C 是立方数。
因为： C 、 D 、 E 、 F 成连比例，且 C 是立方数，
所以： F 也是立方数。[VIII. 23]
又因：它已被证明是平方数，
因此：由单位起第七个数既是立方数也是平方数。
同理可证：所有每隔五个数的数既是平方数也是立方数。
证完。
设：由单位起给定连比例的几个数 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F ，且单位后面的数 A 是平方数。
那么可以说：所有其余的数也是平方数。
因为：从单位起第三个数 B 是平方数，并且以后每隔一个数也是平方数，[IX. 8]
那么可以说：其余的数都是平方数。
因为： A 、 B 、 C 成连比例，且 A 是平方数，
所以： C 也是平方数。[VIII. 22]
又因： B 、 C 、 D 成连比例，且 B 是平方数， D 也是平方数，[VIII. 22]
同理可证：所有其余的数也是平方数，
设： A 是立方数，
那么可以说：其余的数也是立方数。
因为：从单位起第四个数 C 是立方数，以后每隔两个都是立方数，[IX. 8]
那么可以说：所有其余的数也是立方数。
因为：单位比 A 如同 A 比 B ，
所以：单位量尽 A 与 A 量尽 B 有相同的次数。
又因：依照 A 中的单位数，单位量尽 A ，
所以：依照单位 A 中单位数， A 也量尽 B 。
因此： A 自乘得 B 。
因为： A 是立方数，
且若一个立方数自乘得某个数，乘积也是立方数，[IX. 3]
所以： B 也是立方数。
因为： A 、 B 、 C 、 D 成连比例， A 是立方数，
所以： D 也是立方数。[VIII. 23]
同理可证： E 也是立方数，所有其余的数都是立方数。
证完。
设：由单位开始有成连比例的几个数 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F ，且单位后的数 A 不是平方数。
那么可以说：除去从单位起第三个数和每隔一个数以外，其余的数都不是平方数。
这是因为，如果可能，设： C 是平方数， B 也是平方数，[IX. 8]
那么： B 、 C 相比如同一个平方数比一个平方数。
又因： B 比 C 如同 A 比 B ，
所以： A 、 B 相比如同一个平方数比一个平方数，
因此： A 、 B 是相似平面数。[VIII. 26，逆命题]
因为： B 是平方数，
所以： A 也是平方数，
这与假设不符合，
因此： C 不是平方数。
同理可证：除了由单位起的第三个和每隔一个以外，其余的数都不是平方数。
设： A 不是立方数。
那么可以说：除去由单位起第四个和每隔两个数以外，其余的数都不是立方数。
这是因为，如果可能，设： D 是立方数。
因为： C 是从单位起的第四个，
所以： C 是立方数。[IX. 8]
因为： C 比 D 如同 B 比 C ，
所以： B 比 C 如同一个立方数比一个立方数。
又因： C 是立方数，
所以： B 也是立方数。[VIII. 25]
因为：单位比 A 如同 A 比 B ，且依照 A 中单位数，单位量尽 A ，
所以：依照 A 中的单位数， A 量尽 B ，
因此： A 自乘得立方数 B 。
因为：一个数自乘得一个立方数，它自己也是立方数，[IX. 6]
所以： A 也是立方数，
这与假设不符合，
因此： D 不是立方数。
同理可证：除去由单位起的第四个和每隔两个数以外，其余数都不是立方数。
证完。
设：由单位 A 起，数 B 、 C 、 D 、 E 成连比例。
那么可以说： B 、 C 、 D 、 E 中最小数 B 量尽 E ，所依照的是数 C 、 D 中的一个。
由于：单位 A 比 B 如同 D 比 E ，
因此：单位 A 量尽数 B 与 D 量尽 E 有相同的次数。
由更比：单位 A 量尽 D 与 B 量尽 E 有相同的次数。
因为：根据 D 中的单位数， A 量尽 D ，
故：根据 D 中的若干单位数， B 量尽 E ，
所以：依照所给成连比例中某一个数 D ，较小数 B 量尽较大数 E 。
证完。
推论 由单位开始的成连比例的数，沿着量数前面的数的方向，所按照的数从被量数算起也有相同的位置。
设：由单位起有 A 、 B 、 C 、 D 成连比例。
那么可以说：不管有几个量尽 D 的素数， A 也被同样的素数所量尽。
设： D 被某个素数 E 量尽，
那么可以说： E 量尽 A 。
设： E 量不尽 A ，
因为： E 是素数，
且任何素数与它量不尽的数是互素的，[VII. 29]
故： E 、 A 是互素的。
由于： E 量尽 D ，
设：按照 F 、 E 量尽 D ，
因此： E 乘以 F 得 D 。
因为：按照 C 中的单位数， A 量尽 D ，[IX. 11和推论]
故： A 乘以 C 得 D 。
又有： E 乘以 F 得 D ，
因此： A 、 C 的乘积等于 E 、 F 的乘积，
故： A 比 E 如同 F 比 C 。[VII. 19]
因为： A 、 E 是互素的，
且互素的数也是最小的。[VII. 21]
又因：有相同比的数中的最小者以同样的次数量尽那些数，也就是前项量尽前项，后项量尽后项，[VII. 20]
那么，设：若按照数 G ，那么 E 量尽 C ，
故： E 乘以 G 得 C 。
根据命题： A 乘以 B 得 C ，[IX. 11和推论]
所以： A 、 B 的乘积等于 E 、 G 的乘积，
因此： A 比 E 如同 G 比 B 。[VII. 19]
又因： A 、 E 是互素的，
且互素的数也是最小的，[VII. 21]
并且有相同比的数中的最小者，以同样的次数量尽那些数，也就是前项量尽前项，后项量尽后项，[VII. 20]
因此： E 量尽 B 。
设：按照 H 、 E 量尽 B ，
故： E 乘以 H 得 B 。
由于： A 自乘得 B ，[IX. 8]
因此： E 、 H 的积等于 A 的平方，
故： E 比 A 如同 A 比 H 。[VII. 19]
因为： A 、 E 是互素的，
且互素的数也是最小的，[VII. 21]
又因：有相同比的数中最小者量那些数时有相同次数，也就是前项量尽前项，后项量尽后项，[VII. 20]
所以： E 量尽 A ，也就是前项量尽前项。
由于：已经假设 E 量不尽 A ，
这是不符合实际的，
因此： E 、 A 不是互素的，它们互为合数。
因为：互为合数时可被某一数量尽，[VII. 定义14]
根据假设： E 是素数，
且素数是除自己外，不被任何数量尽，
所以： E 量尽 A 、 E ，
因此： E 量尽 A 。
因为： E 也量尽 D ，
故： E 量尽 A 、 D 。
同理可证：不管有几个素数能量尽 D ， A 也将被同一素数量尽。
证完。
假设：由单位起有数 A 、 B 、 C 、 D 成连比例，其中 A 是素数。
那么可以说：除 A 、 B 、 C 以外任何其他的数都量不尽它们中最大的数 D 。
设： D 能被 E 量尽， E 不同于 A 、 B 、 C 中的任何一个，且 E 不是素数。
由于：若 E 是素数并且量尽 D ，
那么：它也就能量尽 A ，[IX. 12]
根据假设： E 不同于 A ，
因此： E 不是素数。
所以： E 是合数。
由于：任何合数都要被某一个素数量尽，[VII. 31]
故： E 被某一素数量尽。
接下来，可以证明：除了 A 外 E 不被任何另外的素数量尽。
设： E 被另外的素数量尽，且 E 量尽 D ，
所以：这个另外的数也将量尽 A ，
因此：它也量尽 A ，[IX. 12]
但是它不同于 A ，这是不符合实际的，
故： A 量尽 E 。
因为： E 量尽 D ，
设： E 依照 F 量尽 D ，
那么可以说： F 不同于数 A 、 B 、 C 中任何一个。
设： F 与数 A 、 B 、 C 中一个相同，依照 E 量尽 D ，
那么：数 A 、 B 、 C 中之一也依照 E 量尽 D 。
由于：数 A 、 B 、 C 中之一依照数 A 、 B 、 C 之一量尽 D ，[IX. 11]
所以： E 也必须与 A 、 B 、 C 中之一相同，
这是不符合实际的，
因此： F 不同于 A 、 B 、 C 中任何一个。
同理可证： F 被 A 量尽。
现在需要证明： F 不是素数。
假如： F 是素数，且量尽 D ，
那么： F 也量尽素数 A 。[IX. 12]
又因： F 不同于 A ，
这是不符合实际的。
因此： F 不是素数，是合数。
因为：任何合数都可被某一个素数量尽，[VII. 31]
故： F 被某一个素数量尽。
可以证明：除 A 外， F 不能被任何另外的素数所量尽。
设：若有其他素数量尽 F ，且 F 量尽 D ，
那么：这个素数量尽 D ，
所以：它也量尽素数 A 。[IX. 12]
因为：它不同于 A ，
这是不符合实际的。
所以： A 量尽 F ，
所以：依照 F 、 E 量尽 D ，那么 E 乘以 F 得 D 。
又因： A 乘 C 得 D ，[IX. 11]
所以： A 、 C 的乘积等于 E 、 F 的乘积，
因此：有比例， A 比 F 如同 F 比 C 。[VII. 19]
又因： A 量尽 E ，
因此： F 也量尽 C 。
设：依照 G 量尽它，
同理可证： G 不同于 A 、 B 中任何一个，且 A 量尽它。
因为： F 依照 G 量尽 C ，
所以： F 乘以 G 得 C 。
由于： A 乘以 B 得 C ，[IX. 11]
故： A 、 B 的乘积等于 F 、 G 的乘积。
因此：有比例， A 比 F 如同 G 比 B 。[VII. 19]
因为： A 量尽 F ，
所以： G 也量尽 B 。
设：它依照 H 量尽 B 。
同理可证： H 与 A 不同。
由于： G 依照 H 量尽 B ，
因此： G 乘以 H 得 B 。
又因： A 自乘得 B ，[IX. 8]
所以： H 、 G 的乘积等于 A 的平方，
因此： H 比 A 如同 A 比 G 。[VII. 19]
因为： A 量尽 G ，
因此： H 也量尽素数 A 。
又因： H 不同于 A ，
所以：这是不符合实际的，
因此：除 A 、 B 、 C 外任何另外的数量不尽最大的数 D 。
证完。
设：数 A 是被素数 B 、 C 、 D 量尽的最小数。
那么可以说：除 B 、 C 、 D 以外，任何另外的素数都量不尽 A 。
设：素数 E 能量尽它，且 E 和 B 、 C 、 D 中任何一个都不相同。
因为： E 量尽 A ，且设 E 依照 F 量尽 A ，
所以： E 乘 F 得 A 。
又因： A 被素数 B 、 C 、 D 量尽，
且假如两个数相乘得某数，并且任一素数量尽这个乘积，那么它也量尽原来两数中的一个，[VII. 30]
所以： B 、 C 、 D 量尽数 E 、 F 中的一个。
又因： E 是素数，不同于数 B 、 C 、 D 中的任何一个，
因此：它们量尽 F 。
根据假设： A 是被 B 、 C 、 D 量尽最小的数，
而 F 小于 A ，是不符合实际的，
所以：除 B 、 C 、 D 外没有素数量尽 A 。
证完。
设：三个成连比例的数 A 、 B 、 C 是与它们有相同比中的最小者。
那么可以说： A 、 B 、 C 中任何两个的和与其余一个数互素。
也就是 A 、 B 之和与 C 互素； B 、 C 之和与 A 互素； A 、 C 之和与 B 互素。
设：已知数 DE 、 EF 是与 A 、 B 、 C 有相同比的数中最小者，[VIII. 2]
因为： DE 自乘得 A ，且 DE 乘以 EF 得 B ，且 EF 自乘得 C ，[VIII. 2]
又因： DE 、 EF 是最小的，它们互素，[VII. 22]
且假如两个素互素，那么它们的和与每一个数都互素，[VII. 28]
所以： DF 与数 DE 、 EF 每一个互素。
又因： DE 与 EF 互素，
所以： DF 、 DE 与 EF 互素。
因为：假如两个数与任一数互素，它们的乘积也与该数互素，[VII. 24]
所以： DF 、 DE 的积与 EF 互素，
所以： FD 、 DE 的乘积也与 EF 的平方互素。[VII. 25]
因为： FD 、 DE 的乘积是 DE 的平方与 DE 、 EF 乘积的和，[II. 3]
所以： DE 的平方与 DE 、 EF 的乘积的和与 EF 的平方互素。
因为： DE 的平方是 A ， DE 、 EF 的乘积是 B ， EF 的平方是 C ，
所以： A 、 B 的和与 C 互素。
同理可证： B 、 C 的和与 A 互素。
接下来可以证明： A 、 C 的和与 B 互素，
因为： DF 与 DE 、 EF 中的每一个互素，
所以： DF 的平方也与 DE 、 EF 的乘积互素。[VII. 24, 25]
因为： DE 、 EF 的平方加上 DE 、 EF 乘积的二倍等于 DF 的平方，[II. 4]
所以： DE 、 EF 的平方加上 DE 、 EF 乘积的二倍与 DE 、 EF 的乘积互素。
取分比： DE 、 EF 的平方与 DE 、 EF 乘积的和与 DE 、 EF 的乘积互素，
那么，再取分比： DE 、 EF 的平方和与 DE 、 EF 的乘积互素。
又因： DE 的平方是 A ，而 DE 、 EF 的乘积是 B ，且 EF 的平方是 C ，
因此： A 、 C 的和与 B 互素。
证完。
设：两数 A 、 B 互素。
那么可以说： A 比 B 不同于 B 比任何其他数。
设： A 比 B 如同 B 比 C ，
因为： A 、 B 互素，
互素的数也是最小的，[VII. 21]
又因：有相同比的数中的最小者以相同的次数量尽其他的数，前项量尽前项，后项量尽后项，[VII. 20]
所以：前项量尽前项， A 量尽 B 。
又因：它也量尽自身，
所以： A 量尽互素的数 A 、 B 。
这是不符合实际的。
因此： A 比 B 不同于 B 比 C 。
证完。
设：有成连比例的数 A 、 B 、 C 、 D ，其中 A 、 D 互素。
那么可以说： A 比 B 不同于 D 比任何另外的数。
设： A 比 B 如同 D 比 E ，
由更比： A 比 D 如同 B 比 E 。[VII. 13]
因为： A 、 D 互素，
互素的数也是最小的，[VII. 21]
且有相同比的数中最小者量其他数有相同的次数，也就是前项量尽前项，后项量尽后项。[VII. 20]
又因： A 量尽 B ，且 A 比 B 如同 B 比 C ，
所以： B 也量尽 C ，那么 A 也量尽 C 。
因为： B 比 C 如同 C 比 D ，且 B 量尽 C ，
所以： C 也量尽 D 。
因为： A 也量尽 C ，那么 A 也量尽 D ，且 A 也量尽自己，
所以： A 量尽互素的 A 、 D 。
这是不符合实际的。
因此： A 比 B 不同于 D 比任意其他的数。
证完。
设：已知两数 A 、 B ，探寻它们能否求出第三个比例数。
那么： A 、 B 要么互素，要么不互素。
设： A 、 B 是互素的，
那么：已经证明不可能找到和它们成比例的第三个数。[IX. 16]
又设： A 、 B 不互素， B 自乘得 C ，
因此： A 要么量尽 C ，要么量不尽 C 。
先设： A 依照 D 量尽 C ，那么 A 乘 D 得 C 。
因为： B 自乘得 C ，
所以： A 、 D 的乘积等于 B 的平方，
所以： A 比 B 如同 B 比 D ，[VII. 19]
因此：对 A 、 B 已经求到了第三个比例数 D 。
又设： A 量不尽 C ，
那么可以说： A 、 B 不可能求得第三个比例数。
设：已求到第三个比例数 D ，
那么： A 、 D 的乘积等于 B 的平方。
又因： B 的平方等于 C ，
所以： A 、 D 的乘积等于 C ，
所以： A 乘以 D 等于 C ，
因此：依照 D 、 A 量尽 C 。
又，根据假设： A 量不尽 C ，
这是不合理的。
因此：当 A 量不尽 C 时，对数 A 、 B 不可能找到第三个比例数。
证完。
设：已知 A 、 B 、 C 三个数，
要求：如何找到第四比例数。
因为：要么 A 、 B 、 C 不成连比例，两端是互素的；
要么成连比例，两端不是互素的；
要么不成连比例，两端也不互素；
要么成连比例，两端也互素。
若 A 、 B 、 C 成连比例，且两端 A 、 C 互素。
那么：已经证明它们不可能找到第四比例数。[IX. 17]
又设： A 、 B 、 C 不成连比例，而两端 A 、 C 仍然互素。
那么可以说：不可能找到第四比例数。
这是因为，如果可能，设： D 是第四比例数，
其中 A 比 B 如同 C 比 D ，且存在数 E ，令 B 比 C 如同 D 比 E 。
因为： A 比 B 如同 C 比 D ，且 B 比 C 如同 D 比 E ，
因此，取首末比： A 比 C 如同 C 比 E 。[VII. 14]
因为： A 、 C 是互素的，互素的数也是最小的，[VII. 21]
且有相同比的数中的最小者，以相同倍数量尽其余的数，也就是前项量尽前项，后项量尽后项，[VII. 20]
所以：作为前项量尽前项， A 量尽 C 。
又因： A 也量尽自己，
所以： A 量尽互素的数 A 、 C 。
这是不符合实际的。
因此： A 、 B 、 C 不可能找到第四比例数。
又设： A 、 B 、 C 成连比例，而 A 、 C 不互素，
那么可以说：它们可能找到第四比例数。
设： B 乘以 C 得 D ，
因此： A 要么量尽 D ，要么量不尽 D 。
设： A 依照 E 量尽 D ，
因此： A 乘 E 得 D 。
因为： B 乘以 C 得 D ，
所以： A 、 E 的乘积等于 B 、 C 的乘积，
因此： A 比 B 如同 C 比 E ，[VII. 19]
因此：对 A 、 B 、 C 已经找到第四比例数 E 。
设： A 量不尽 D 。
那么可以说： A 、 B 、 C 不可能找到第四比例数。
设： E 为第四比例数，
因此： A 、 E 乘积等于 B 、 C 乘积。[VII. 19]
因为： B 、 C 的乘积是 D ，
所以： A 、 E 的乘积等于 D ，
因此： A 乘以 E 得 D ，也就是 A 依照 E 量尽 D 。
因此： A 量尽 D 。
又，根据假设： A 量不尽 D ，
这是不符合实际的。
所以：当 A 量不尽 D 时，对 A 、 B 、 C 不可能找到第四比例数。
设： A 、 B 、 C 既不成连比例， A 、 C 不互素，
再设： B 乘 C 得 D ，
同理可证：当 A 量尽 D 时，它们能找到第四比例数，
当 A 量不尽 D 时，就不可能找到第四比例数。
证完。
设：已知素数 A 、 B 、 C ，
那么可以说：有比 A 、 B 、 C 更多的素数。
设：能被 A 、 B 、 C 量尽的最小数为 DE ，且 DE 的单位是 DF 。
那么： EF 要么是素数，要么不是素数。
先设： EF 是素数，
那么：已经找到多于 A 、 B 、 C 的素数 A 、 B 、 C 、 EF 。
又设： EF 不是素数，那么 EF 能被某个素数量尽。[VII. 31]
设： EF 能被素数 G 量尽，
那么可以说： G 与数 A 、 B 、 C 任何一个都不相同。
这是因为，如果可能，设：它是这样。
因为： A 、 B 、 C 能量尽 DE ，
所以： G 也量尽 DE 。
又因：它也量尽 EF ，
所以： G 作为一个数，将量尽剩余的数，也就是量尽单位 DF 。
这是不符合实际的。
因此： G 与数 A 、 B 、 C 任何一个数都不同。
又，根据假设： G 是素数，
因此：已经找到素数 A 、 B 、 C 、 G ，它们的个数多于已知的 A 、 B 、 C 的个数。
证完。
设：将偶数 AB 、 BC 、 CD 、 DE 相加。
那么可以说：总和 AE 是偶数。
因为：数 AB 、 BC 、 CD 、 DE 的每一个都是偶数，它们有一个半部分，[VII. 定义6]
所以：总和 AE 也有一个半部分。
又因：可以被分成相等的两部分的数是偶数，[VII. 定义6]
因此： AE 是偶数。
证完。
设：有偶数个奇数 AB 、 BC 、 CD 、 DE 相加，
那么可以说：总和 AE 是偶数。
因为：数 AB 、 BC 、 CD 、 DE 每一个都是奇数，假如从每一个减去一个单位，所得的余数是偶数，[VII. 定义7]
所以：它们的总和是偶数。[IX. 21]
又因：单位的个数也是偶数个，
因此：总和 AE 也是偶数。
证完。
设：奇数 AB 、 BC 、 CD 相加，它们的个数是奇数，
那么可以说：总和 AD 是奇数。
设：从 CD 中减去单位 DE ，
那么：余数 CE 是偶数。[VII. 定义7]
因为： CA 也是偶数，[IX. 22]
所以：总和 AE 也是偶数。[IX. 21]
又因： DE 是一个单位，
所以： AD 是奇数。[VII. 定义7]
证完。
设：从偶数 AB 中减去偶数 BC 。
那么可以说：余数 CA 也是偶数。
因为： AB 是偶数，它有一个半部分，[VII. 定义6]
同理可证： BC 也有一个半部分，
所以：余数 CA 也有一个半部分，
因此：余数 AC 也是偶数。
证完。
设：从偶数 AB 减去奇数 BC 。
那么可以说：余数 CA 也是奇数。
设：从 BC 减去单位 CD ，
那么： DB 是偶数。[VII. 定义7]
因为： AB 是偶数，
所以：余数 AD 也是偶数。[IX. 24]
又因： CD 是一个单位，
因此： CA 也是奇数。[VII. 定义7]
证完。
设：从奇数 AB 中减去奇数 BC ，
那么可以说： CA 是偶数。
设：从奇数 AB 中减去单位 BD ，
那么：余数 AD 是偶数。[VII. 定义7]
同理可证： CD 也是偶数。[VII. 定义7]
所以：余数 CA 是偶数。[IX. 24]
证完。
设：从奇数 AB 减去偶数 BC 。
那么可以说：余数 CA 是奇数。
设：从奇数 AB 减去单位 AD ，
那么： DB 是偶数。[VII. 定义7]
因为： BC 是偶数，
所以：余数 CD 是偶素，[IX. 24]
因此： CA 是奇数。[VII. 定义7]
证完。
设：奇数 A 乘以偶数 B 得 C 。
那么可以说： C 是偶数。
因为： A 乘以 B 得 C ，
所以：在 A 中有多少单位， C 中就有多少个等于 B 的数相加。[VII. 定义15]
因为： B 是偶数，
所以： C 是一些偶数的和。
又因：假如一些偶数加在一起，那么总和也是偶数，[IX. 21]
因此： C 是偶数。
证完。
设：奇数 A 乘奇数 B 得 C 。
那么可以说： C 是奇数。
因为： A 乘以 B 得 C ，
所以：在 A 中有多少个单位， C 中就有多少个等于 B 的数相加。[VII. 定义15]
又因：数 A 、 B 的每一个是奇数，
所以： C 是奇数个奇数的和，
因此： C 是奇数。[XI. 23]
证完。
设：奇数 A 量尽偶数 B 。
那么可以说： A 也量尽 B 的一半。
因为： A 量尽 B ，
设： A 量尽 B 得 C ，
那么可以说： C 不是奇数，
这是因为，如果可能，设： C 是奇数。
因为： A 量尽 B 得 C ，
所以： A 乘以 C 得 B ，
所以： B 是奇数个奇数的和，
因此： B 是奇数。
这是不符合实际的。[IX. 23]
又，根据假设：它是偶数，
所以： C 不是奇数，是偶数，
那么： A 偶数次量尽 B ，
因此： A 也量尽 B 的一半。
证完。
设：奇数 A 与数 B 互素，且 C 是 B 的二倍。
那么可以说： A 与 C 互素。
设：若 A 与 C 不互素，那么有 D 量尽它们。
因为： A 是奇数，
所以： D 也是奇数。
因为： D 是量尽 C 的奇数，且 C 是偶数，
所以： D 也量尽 C 的一半。[IX. 30]
又因： B 是 C 的一半，
所以： D 量尽 B 。
因为： D 也量尽 A ，
所以： D 量尽互素的数 A 、 B ，
这是不符合实际的。
所以： A 不得不与 C 互素，
因此： A 、 C 是互素的。
证完。
设： B 、 C 、 D 是从 A 为二开始连续二倍起来的数。
那么可以说： B 、 C 、 D 仅是偶倍偶数。
因为： B 、 C 、 D 从二开始被加倍，
所以： B 、 C 、 D 的每一个是偶倍偶数。
可以证明：它们中的每一个也仅是偶倍偶数。
设：从一个单位开始，
因为：从单位开始的几个成连比例的数，单位后面的一个数 A 是素数，
所以：数 A 、 B 、 C 、 D 中最大者 D ，除 A 、 B 、 C 外没有任何数量尽它。[IX. 13]
因为：数 A 、 B 、 C 的每一个是偶数，
所以： D 仅是偶倍偶数。[VII. 定义8]
同理可证： B 、 C 中的每一个也仅是偶倍偶数。
证完。
设：数 A 的一半是奇数。
那么可以说： A 仅是偶倍奇数。
因为： A 的一半是奇数，此奇数量尽原数的次数为偶数，[VII. 定义9]
所以： A 是偶倍奇数。
可以证明：它仅是偶倍奇数。
因为：若 A 也是偶倍偶数，
那么：它被一个偶数量尽的次数是偶数，[VII. 定义8]
所以：它的一半是奇数，它的一半也将被一个偶数量尽。
这是不符合实际的。
因此： A 仅是偶倍奇数。
证完。
设：数 A 既不是从二开始连续二倍起来的数，它的一半也不是奇数。
那么可以说： A 既是偶倍偶数，也是偶倍奇数。
因为： A 的一半不是奇数，[VII. 定义8]
所以： A 是偶倍偶数。
可以证明：它也是偶倍奇数。
设：平分 A ，再平分它的一半，并且一直这样平分下去，
那么：就会得到某个奇数，它量尽 A 的次数是偶数。
因为：如果不是这样，就会得到二，
因此： A 是从二开始连续二倍起来的数中的数。
这与假设矛盾。
所以： A 是偶倍奇数。
又因：已经证明了 A 也是偶倍偶数，
所以： A 是偶倍偶数，也是偶倍奇数。
证完。
设：从最小的 A 开始的一些数 A 、 BC 、 D 、 EF 成连比例，
且从 BC 和 EF 中减去等于 A 的数 BG 、 FH 。
那么可以说： GC 比 A 如同 EH 比 A 、 BC 、 D 之和。
那么，设： FK 等于 BC ，且 FL 等于 D 。
因为： FK 等于 BC ，其中部分 FH 等于部分 BG ，
所以：余数 HK 等于余数 GC 。
因为： EF 比 D 如同 D 比 BC ，且如同 BC 比 A ，
而 D 等于 FL ，且 BC 等于 FK ，且 A 等于 FH ，
所以： EF 比 FL 如同 LF 比 FK ，也如同 FK 比 FH 。
又，由分比： EF 比 LF 如同 LK 比 FK ，又如同 KH 比 FH ，[VII. 11, 13]
所以：前项之一比后项之一，如同所有前项的和比所有后项的和，[VII. 12]
因此： KH 比 FH 如同 EL 、 LK 、 KH 之和比 LF 、 FK 、 HF 之和。
因为： KH 等于 CG ，且 FH 等于 A ，而 LF 、 FK 、 HF 之和等于 D 、 BC 、 A 之和，
所以： CG 比 A 如同 EH 比 D 、 BC 、 A 的和，
因此：从第二个数得的余数比第一个数如同从最后一个数得的余数比最后一个数以前各项之和。
证完。
设：从单位起 A 、 B 、 C 、 D 是连续二倍起来的连比例数，其所有的和是素数，且 E 等于其和， E 乘 D 得 FG 。
那么可以说： FG 是完全数。
因为：不管 A 、 B 、 C 、 D 有多少个，就设有同样多个数 E 、 HK 、 L 、 M ，是从 E 开始连续二倍起来的连比例数，
那么，取首末比： A 比 D 如同 E 比 M ，[VII. 14]
因此： E 、 D 得乘积等于 A 、 M 的乘积。[VII. 19]
因为： E 、 D 的乘积是 FG ，
所以： A 、 M 的乘积也是 FG 。
因为： A 乘 M 得 FG ，
所以：依照 A 中单位数， M 量尽 FG 。
因为： A 是二，
所以： FG 是 M 的二倍。
因为： M 、 L 、 HK 、 E 是彼此连续二倍起来的数，
所以： E 、 HK 、 L 、 M 、 FG 是连续二倍起来的连比例数。
设：从第二个 HK 和最后一个 FG 减去等于第一个 E 的数 HN 、 FO ，
那么：从第二个得的余数比第一个如同从最后一个数得的余数比最后一个数以前各项之和，[IX. 35]
因此： NK 比 E 如同 OG 比 M 、 L 、 HK 、 E 之和。
因为： NK 等于 E ，
所以： OG 等于 M 、 L 、 HK 、 E 之和。
因为： FO 等于 E ，且 E 等于 A 、 B 、 C 、 D 与单位之和，
所以：整体 FG 等于 E 、 HK 、 L 、 M 与 A 、 B 、 C 、 D 以及单位之和， FG 被它们所量尽。
又，可以证明：除 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 HK 、 L 、 M 以及单位以外，其他的数都量不尽 FG 。
这是因为，如果可能，设：某数 P 可以量尽 FG ，
且 P 与数 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 HK 、 L 、 M 中任何一个都不相同，
并且，不管 P 量尽 FG 有多少次，就设在 Q 中有多少个单位，故 Q 乘 P 得 FG 。
因为： E 乘 D 得 FG ，
所以： E 比 Q 如同 P 比 D 。[VII. 19]
因为： A 、 B 、 C 、 D 是由单位起的连比例数，
所以：除 A 、 B 、 C 外，任何其他的数量不尽 D 。[IX. 13]
又，根据假设： P 不同于数 A 、 B 、 C 任何一个，
因此： P 量不尽 D 。
因为： P 比 D 如同 E 比 Q ，
所以： E 也量不尽 Q 。[VII. 定义20]
因为： E 是素数，
任一素数与它量不尽的数互素，[VII. 29]
所以： E 、 Q 互素。
因为：互素的数也是最小的，[VII. 21]
且有相同比的最小数，以相同的次数量尽其他的数，也就是前项量尽前项，后项量尽后项，[VII. 20]
又因： E 比 Q 如同 P 比 D ，
所以： E 量尽 P 与 Q 量尽 D 有相同的次数。
因为：除 A 、 B 、 C 外，任何其他的数都量不尽 D ，
所以： Q 与 A 、 B 、 C 中的一个相同。
设： Q 与 B 相同，
因为：无论有多少个 B 、 C 、 D ，都设从 E 开始也取同样多个数 E 、 HK 、 L ，
且 E 、 HK 、 L 与 B 、 C 、 D 有相同比，
那么，取首末比： B 比 D 如同 E 比 L ，[VII. 14]
因此： B 、 L 的乘积等于 D 、 E 的乘积。
因为： D 、 E 的乘积等于 Q 、 P 的乘积，[VII. 19]
所以： Q 、 P 的乘积等于 B 、 L 的乘积。
因此： Q 比 B 如同 L 比 P ，[VII. 19]
又因： Q 与 B 相同，
所以： L 与 P 相同，
这是不符合实际的，
因此：由假设 P 与给定的数中任何一个都不相同，
因此：除 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 HK 、 L 、 M 和单位外，没有数量尽 FG 。
且已经证明： FG 等于 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 HK 、 L 、 M 以及单位的和，
因为：一个完全数是等于它自己所有部分的和的数，[VII. 定义22]
所以： FG 是完全数。
证完。