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设：已知圆 ABC ，现求圆 ABC 的圆心。
任意作弦 AB ，作点 D 二等分 AB 。
在点 D 作 DC 和 AB 成直角，且设 DC 经过点 E ， CE 二等分于 F 。
那么可以说： F 就是已知圆 ABC 的圆心。
设 F 并非圆心，那么就设 G 为圆心，连接 GA 、 GD 、 GB 。
因为： AD 等于 DB ，并且 DG 公用， DG 等于 DG ，
又因：底 GA 、 GB 都是半径，
所以：两者相等，
所以：角 ADG 等于角 GDB 。[I. 8]
因为：当一条直线和另一条直线所成的邻角彼此相等时，它们每一个都是直角，[I. 定义10]
所以：角 GDB 是直角。
但是，若角 FDB 是直角，那么角 FDB 等于角 GDB 。大的角等于小的角，这并不符合常理，
所以： G 不是圆 ABC 的圆心。
同理可证：除 F 外，圆心不会是任何其他的点，
所以：点 F 是圆 ABC 的圆心。
作完。
推论 由此可得：如果一个圆内一条直线把一条弦截成相等的两部分且交成直角，则这个圆的圆心在该直线上。
设： A 、 B 是圆 ABC 上任取的两点。
那么可以说：从 A 到 B 连成的线段落在圆内。
设：若不落在圆内，则落在圆外，是 AEC 。设圆 ABC 的圆心可以求出。[III. 1]
再设：圆心为 D ，连接 DA 、 DB ，画 D FE 。
因为： DA 等于 DB ，角 DAE 等于角 DBE ，[I. 5]
并延长三角形 DAE 的一边 A EB ，
所以：角 DEB 大于角 DAE 。[I. 16]
又因：角 DAE 等于角 D BE ，
所以：角 DEB 大于角 DBE ，并且大角对的边也大，[I. 19]
故 DB 大于 DE 。
又因： DB 等于 DF ，
因此： DF 大于 DE ，小的等于大的，这是不符合常理的，
所以：由 A 到 B 连接的线段不可能落在圆外。
同理可证：它也不会落在圆周上，
所以：它落在圆内。
证完。
设： ABC 是一个圆，直线 CD 经过圆心且二等分不过圆心的弦 AB 于点 F 。
那么可以说： CD 与 AB 交成直角。
可求圆 ABC 的圆心。
设： E 是圆心。连接 EA 、 EB 。
因为： AF 等于 FB ，并且 FE 是公共的，两边相等；且底 EA 等于底 EB ，
所以：角 AFE 等于角 BFE 。[I. 8]
又因：当一条直线和另一条直线交成两个彼此相等的邻角时，每一个等角都等于直角，[I. 定义10]
所以：角 AFE 、角 BFE 都是直角，
所以：经过圆心的 CD 二等分不过圆心的 AB 时，它们交成直角。
又设： CD 和 AB 成直角。
那么可以说： CD 将 AB 二等分， AF 等于 FB 。
再用上图作，因为 EA 等于 EB ，角 EAF 等于角 EBF 。[I. 5]
又因：直角 AFE 等于直角 B FE ，
所以： EAF 、 EBF 是两个角相等且有一条边相等的两个三角形，且 EF 是公共的，对着相等的角，
所以：剩下的边等于剩下的边，[I. 26]
所以： AF 等于 FB 。
证完。
设： ABCD 是一个圆，并且其中有两条弦 AC 、 BD ，不经过圆心，彼此相交于点 E 。
那么可以说：它们彼此不二等分。
设：它们彼此二等分，故 AE 等于 EC ， BE 等于 ED 。圆 ABCD 的圆心可以求出。[III. 1]
再设：圆心是 F ，连接 FE 。
因为：直线 FE 经过圆心，并二等分不经过圆心的直线 AC ，
那么：它们交成直角，[III. 3]
所以：角 FEA 为直角。
又因：直线 FE 二等分弦 BD ，它们交成直角，[III. 3]
所以：角 FEB 是直角。
又因：已经证明角 FEA 是直角，
所以：角 FEA 等于角 FEB ，小的角等于大的角，这并不符合实际，
所以： AC 、 BD 不互相平分。
证完。
设：圆 ABC 、 CDG 彼此相交于点 B 、 C 。
那么可以说：它们不同心。
因为：若两个圆同心，假设圆心为 E 。连接 EC ，作任意直线 E FG ，
因为：点 E 是圆 ABC 的圆心， EC 等于 EG ，[I. 定义15]
又因：点 E 是圆 CDG 的圆心， EC 等于 EG ，但是， EC 已被证明等于 EF ，所以： EF 等于 EG ，小的等于大的，这并不符合实际，
所以：点 E 不是圆 ABC 、 CDG 的圆心。
证完。
设：圆 ABC 、 CDE 彼此相切于点 C 。
那么可以说：它们没有共同的圆心。
设：若圆 ABC 、 CDE 有共同的圆心 F ，连接 FC ，并经过 F 任意作 F EB 。
因为：点 F 是圆 ABC 的圆心， FC 等于 FB ，
又因：点 F 是圆 CDE 的圆心，则 FC 等于 FE ，
并且已经证明 FC 等于 FB ，
所以： FE 等于 FB 。
小的等于大的，这不符合实际，
所以： F 不是圆 ABC 、 CDE 的圆心。
证完。
设：已知圆 ABCD ， AD 为其直径。在 AD 上取一个不是圆心的点 F 。
又设： E 为圆心， FB 、 FC 是由 F 向圆 ABCD 上所引的线段。
那么可以说： FA 最大， FD 最小，并且 FB 大于 FC ， FC 大于 FG ，连接 BE 、 CE 、 GE 。
因为：在任何一个三角形中，两边之和大于第三边，[I. 20]
所以： EB 、 EF 的和大于 BF 。
又因： AE 等于 BE ，
因此： AF 大于 BF 。
因为： BE 等于 CE ， FE 是公共的，两边 BE 、 EF 等于两边 CE 、 EF ，
且角 BEF 大于角 C EF ，
所以：底 BF 大于底 CF 。[I. 24]
同理可证： CF 大于 FG 。
又因： GF 、 FE 之和大于 EG ，且 EG 等于 ED ； GF 与 EF 的和大于 ED ，
将以上两边减去 EF ，剩下的 GF 大于剩下的 FD ，
所以： FA 最大， FD 最小，并且 FB 大于 FC ， FC 大于 FG 。
又可证：从点 F 到圆 ABCD 上可画出相等的线段只有两条，它们各在最短线段 FD 的一侧。
在线段 EF 的点 E 上，作角 FEH 等于角 GEF 。[I. 23]
连接 FH 。
因为： GE 等于 EH ，并且 EF 是公共的，两边 GE 、 EF 等于两边 HE 、 EF ，角 GEF 等于角 H EF ，
所以：底 FC 等于底 FH 。[I. 4]
又可证：从点 F 到圆上再没有等于 FG 的线段。
若有这么条线段，设为 FK 。
因为： FK 等于 FG ，并且 FH 等于 FG ， FK 等于 FH ，
那么：离圆心较近的线段等于较远的线段，这是不符合实际的，
所以：从点 F 引到圆上等于 GF 的另外的线段是没有的，
所以：这样的线段只有一条。
证完。
设： ABC 是一个圆， D 是圆 ABC 外取定的点，画线段 DA 、 DE 、 DF 、 DC 。其中， DA 经过圆心。
那么可以说：在凹圆弧 AEFC 上经过圆心的连线 DA 最长，且 DE 大于 DF ， DF 大于 DC ；但落在凸圆弧 HLKG 上的连线中，在这点与直径 AG 之间的连线 DG 是最短的；并且靠近最短线 DG 的连线小于远离的连线。也就是， DK 短于 DL ，并且 DL 短于 DH 。
设：圆 ABC 的圆心[III. 1]为 M ；
连接 ME 、 MF 、 MC 、 MK 、 ML 、 MH 。
因为： AM 等于 EM ，故将 MD 加在它们各边，
可以得出： AD 等于 EM 与 MD 的和。
又因： EM 与 MD 的和大于 ED ，[I. 20]
所以： AD 大于 ED 。
又因： ME 等于 MF ，且 MD 是公共的，
所以： EM 与 MD 的和等于 FM 与 MD 的和。
又因：角 EMD 大于角 F MD ，
所以：底 ED 大于底 FD 。[I. 24]
同理可证： FD 大于 CD ，因此 DA 最大。
又因： DE 大于 FD ，所以 DF 大于 DC ，而 MK 、 KD 的和大于 MD ，[I. 21]
且 MG 等于 MK 。
所以：剩下的 KD 大于剩下的 GD ，
由此， GD 小于 KD 。
因为：在三角形 MLD 的一边 MD 上，有两条直线 MK 、 KD 相交在三角形内，
因此： MK 、 KD 的和小于 ML 、 LD 的和。[I. 21]
且 MK 等于 ML ，
因此：剩下的 DK 小于剩下的 DL 。
同理可证： DL 小于 DH ，
所以： DG 最小， DK 小于 DL ， DL 小于 DH 。
又可证：从点 D 到圆所连接的相等的两条线段，各在最短的连线 DG 一边。
在线段 MD 上取一点 M ，作角 DMB 等于角 KMD ，连接 DB 。
因为： MK 等于 MB ，并且 MD 是公共的，两边 KM 、 MD 分别等于两边 BM 、 MD 。并且角 KMD 等于角 B MD ，
所以：底 DK 等于底 DB 。[I. 4]
又可证：从点 D 到圆上再没有另外的连线等于 DK 。
又如果可行，有那么条连线，设为 DN 。
因为： DK 等于 DN ，且 DK 等于 DB ， DB 等于 DN ，
所以：靠近最短连线 DG 的等于远离的，这是不符合实际的，
所以：由点 D 起，落在圆 ABC 上的相等连线不能多于两条，这两条线段各在最短线 DG 的一侧。
证完。
设： ABC 是一个圆， D 是在圆内所取的点，并且从点 D 到圆上可以引多于两条相等的线段，即 DA 、 DB 、 DC 。
那么可以说： D 就是圆 ABC 的圆心。
这是因为，可连接 AB 、 BC 且平分它们于点 E 、 F ；再连接 ED 、 FD ，让它们经过点 G 、 K 、 H 、 L 。
因为： AE 等于 EB ， ED 是公共的，两边 AE 、 ED 等于两边 BE 、 ED ，底 DA 等于底 DB ，
所以：角 AED 等于角 BED ，[I. 8]
所以：角 AED 、 BED 中的每一个都是直角，[I. 定义10]
所以： GK 将 AB 平分，且成直角。
又因：如果在一个圆内一条直线截另一条线段成相等两部分，且交成直角，那么圆心在前一条直线上，[III. 1，推论]
即圆心在 G K 上。
同理可证：圆 ABC 的圆心也在 HL 上，并且弦 GK 、 HL 除点 D 以外再没有公共点，
所以：点 D 是圆 ABC 的圆心。
证完。
设：圆 ABC 截圆 DEF 其交点多于两个，分别为 B 、 G 、 F 、 H 四个点。
连接 BH 、 BG ，且平分它们于点 K 、 L ，又由 K 、 L 作 KC 、 LM 和 BH 、 BG 成直角，且使其通过点 A 、 E 。
因为：在圆 ABC 内一条弦 AC 截另一条弦 BH 成相等两部分且成直角，
所以：圆 ABC 的圆心就在 AC 上。[III. 1，推论]
又因：在同一圆 ABC 中，弦 NO 截弦 BG 成相等两部分，且成直角，
所以：圆 ABC 的圆心在 N O 上。
因为：已经证明圆心在 AC 上，并且弦 AC 、 NO 除点 P 外不再有交点，
所以：点 P 是圆 ABC 的圆心。
同理可证：点 P 也是圆 DEF 的圆心，
所以：两个圆 ABC 、 DEF 彼此相截时有一个共同的圆心 P ，这是不符合实际的。[III. 5]
证完。
设：两圆 ABC 、 ADE 相互内切于点 A ，且给定圆 ABC 的圆心为 F ， ADE 的圆心为 G 。
那么可以说：连接 G 、 F 的直线必过点 A 。
这是因为，假设不是这样，可设连线为 FGH ，且连接 AF 、 AG 。
因为： AG 、 GF 的和大于 FA ，即大于 FH ，
从以上各边减去 FG ，那么剩下的 AG 大于剩下的 GH ，
又因： AG 等于 GD ，
所以： GD 大于 GH 。
小的大于大的，这是不符合实际的，
所以： F 与 G 的连线不能落在 FA 的外边，
所以：它一定经过切点 A 。
证完。
设：两圆 ABC 、 ADE 相互外切于点 A ，并且给定圆 ABC 的圆心为 F ， ADE 的圆心为 G 。
那么可以说： F 与 G 的连线通过切点 A 。
如果 F 与 G 的连线通过切点 A 。
这是因为，假设不是这样，可设它通过 FCDG ，连接 AF 、 AG 。
因为：点 F 是圆 ABC 的圆心， FA 等于 FC ，
又因：点 G 是圆 ADE 的圆心， GA 等于 GD ，
且已经证明 FA 等于 FC ，
且 FA 、 AG 的和等于 FC 、 GD 的和，
所以：整体的 FG 大于 FA 、 AG 的和，但小于它们的和。[I. 20]
这是不符合实际的。
所以：从 F 到 G 的连线不会不经过切点 A ，也就是它一定会经过 A 。
证完。
这是因为，如果可能，设：圆 ABDC 与圆 EBFD 相切，切点多于一个，也就是 D 、 B 。先假设它们内切。
又设：圆 ABDC 的圆心是 G ， EBFD 的圆心是 H 。
连接从 G 到 H 的直线通过 B 、 D 。[III. 11]
设其为 BG HD 。
因为：点 G 是圆 ABCD 的圆心， BG 等于 GD ，
所以： BG 大于 HD ，
故， BH 比 HD 更大。
因为：点 H 是圆 EBFD 的圆心， BH 等于 HD ，
又因：已经证明 BH 比 HD 更大，这是不符合实际的，
所以：一个圆和另外一个圆内切时，切点不多于一个。
进一步可证，外切时，切点也不会多于一个。
这是因为，如果可能，设：圆 ACK 与圆 ABDC 的切点多于一个，也就是 A 、 C ，连接 AC 。
又因：圆 ABDC 、 ACK 每个的圆周上已经任意取定了两个点 A 与 C 。它们的连线将落在每个圆的内部，[III. 2]
但是，它落在圆 ABDC 内部，并且落在圆 ACK 的外部，[III. 定义3]
这是不符合实际的。
所以：一个圆与另一个圆外切时，切点不多于一个，
且已证明，内切时也不可能。
证完。
设： ABDC 是一个圆， AB 、 CD 是圆中相等的弦。
那么可以说： AB 、 CD 的弦心距相等。
这是因为，设：圆 ABDC 的圆心已定。[III. 1]
设：圆心是 E ，从 E 向 AB 、 CD 作垂线 EF 、 EG ；连接 AE 、 EC 。
因为：通过圆心的直线 EF 交不经过圆心的直线 AB 成直角，并二等分 AB ，[III. 3]
所以： AF 等于 FB ，故， AB 是 AF 的二倍。
同理可证： CD 也是 CG 的二倍，又因 AB 等于 CD ，
因此： AF 等于 CG 。
因为： AE 等于 EC ， AE 上的正方形等于 EC 上的正方形，
又因：在 F 处的是直角，
所以： AF 、 EF 上的正方形的和等于 AE 上的正方形。
又因：在 G 处的是直角，
所以： EG 、 GC 上的正方形的和等于 EC 上的正方形。
所以：在 AF 、 FE 上的正方形的和等于 CG 、 GE 上的正方形的和。
又因： AF 上的正方形等于 CG 上的正方形，这是因为 AF 等于 CG ，
所以：剩下的 FE 上的正方形等于 EG 上的正方形，
所以： EF 等于 EG 。
但当弦心距相等时，这些弦叫作有相等弦心距的弦，[III. 定义4]
所以： AB 、 CD 的弦心距相等。
又设：弦 AB 、 CD 有相等的弦心距，即 EF 等于 EG 。
那么可以说： AB 等于 CD 。
这是因为，用同样的作图，类似地可以证明： AB 是 AF 的二倍， CD 是 CG 的二倍。
又因： AE 等于 CE ， AE 上的正方形等于 CE 上的正方形，
但 EF 、 FA 上的正方形的和等于 AE 上的正方形；并且 EG 、 GC 上的正方形的和等于 CE 上的正方形。[I. 47]
所以： EF 、 FA 上的正方形的和等于 EG 、 GC 上的正方形的和。
又因： EF 等于 EG ，
所以： EF 上的正方形等于 EG 上的正方形，
所以：剩下的 AF 上的正方形等于 CG 上的正方形，
所以： AF 等于 CG 。
又因： AB 是 AF 二倍， CD 是 CG 二倍，
所以： AB 等于 CD 。
证完。
设： ABCD 是一个圆， AD 是直径， E 为圆心；
又设： BC 靠近直径 AD ，且 FG 较远。
那么可以说： AD 最长， BC 大于 FG 。
由圆心 E 向 BC 、 FG 作垂线 EH 、 EK 。
因为： BC 是靠近圆心且 FG 是远离圆心的， EK 大于 EH ，[III. 定义5]
取 EL 使它经过 EH ，过 L 作 LM 使它和 EK 成直角且经过点 N ；连接 ME 、 EN 、 FE 、 EG 。
因为： EH 等于 EL ， BC 等于 MN ，[III. 14]
又因： AE 等于 EM ， ED 等于 EN ， AD 等于 ME 与 EN 的和，
但 ME 、 EN 的和大于 MN ，[I. 20]
又因： MN 等于 BC ，
所以： AD 大于 BC 。
因为：两边 ME 、 EN 的和等于两边 FE 、 EG 的和，且角 MEN 大于角 F EG ，
所以：底 MN 大于底 FG 。[I. 24]
又因：已经证明 MN 等于 BC ，
所以：直径 AD 最大， BC 大于 FG 。
证完。
设： ABC 是一个圆， D 为圆心， AB 为直径。
那么可以说：从 AB 的端点 A 作与 AB 成直角的直线落在圆外。
这是因为，假设是不这样，但如果可设：它是 CA 且落在圆内，连接 DC 。
因为： DA 等于 DC ，角 DAC 等于角 ACD ，[I. 5]
又因：角 DAC 是直角，
所以：角 ACD 也是直角。这样，在三角形 ACD 中，角 DAC 、 ACD 的和等于两直角，这是不符合实际的，[I. 17]
所以：从点 A 作直线与 BA 成直角时，这条直线不能落在圆内。
同理可证：这样的直线也绝对不能落在圆周上，只能落在圆外。
设：它落在 A E 处。
接着，可以证明：在这个平面上，在直线 AE 和圆周 CHA 之间不能再插入其他直线。
这是因为，如果可能，设：插入的直线是 FA ，由点 D 作 DG 垂直于 FA 。
因为：角 AGD 是直角，角 DAG 小于直角，
所以： AD 大于 DG ，[I. 19]
但 DA 等于 DH ，因此： DH 大于 DG ，
小的大于大的，这是不符合实际的，
所以：在这个平面上，不能在直线与圆周之间再插入其他的直线。
进一步可证：弦 BA 与圆周 CHA 所夹的半圆角大于任何锐直线角，而余下的由圆周 CHA 与直线 AE 所包含的角小于任何锐直线角。
因为：若有某一直线角大于由直线 BA 与圆弧 CHA 包含的角，并且某一直线角小于由圆周 CHA 与直线 AE 包含的角，
那么：在平面内，在圆弧与直线 AE 之间可以插入这么一个角，它由直线包含，且大于由直线 BA 和圆弧 CHA 包含的角，并且与直线 AE 包含的其他的角都小于由圆弧 CHA 与直线 AE 包含的角。
但这样的直线无法插入。
所以：没有由直线所夹的任何锐角大于由弦 BA 与圆弧 CHA 包含的角；也没有由直线所夹的任何锐角小于由圆弧 CHA 与直线 AE 所夹的角。
证完。
推论 由此可得，由圆的直径的端点作和它成直角的直线切于此圆。
设： A 是已给定的点， BCD 是已知圆。
要求由点 A 作一直线切于圆 B CD 。
设：圆心为 E 。[III. 1]
连接 AE ，用圆心 E 和距离 EA 画圆 AFG ，由 D 作 DF 和 EA 成直角，连接 EF 、 AB 。
那么可以说：由点 A 作的 AB 是切于圆 BC D 的。
因为： E 是圆 BCD 、 AFG 的圆心， EA 等于 EF ，并且 ED 等于 EB ，
所以：两边 AE 、 EB 等于两边 FE 、 ED ，并且它们包含在点 E 处的公共角，
所以：底 DF 等于底 AB ，三角形 DEF 全等于三角形 B EA ，
其余的角等于其余的角，[I. 4]
所以：角 EDF 等于角 E BA 。
又因：角 EDF 是直角，因此：角 EBA 也是直角，
现在， EB 是半径，
而由圆的直径的端点所作的直线和直径成直角，那么直线切于圆，[III. 16，推论]
所以： AB 切于圆 B CD ，
所以：从给定的点 A 作了圆 BCD 的切线 AB 。
作完。
设：直线 DE 与圆 ABC 相切于点 C ，点 F 为圆 ABC 的圆心，由 F 到 C 的连线为 FC 。
那么可以说： FC 垂直于 DE 。
这是因为，如果不垂直，设：由 F 作垂直于 DE 的直线 FG 。
因为：角 FGC 是直角，角 FCG 是锐角，[I. 17]
且较大的角所对的边也较大。
所以： FC 大于 FG 。
又因： FC 等于 FB ，
所以： FB 大于 FG 。
小的大于大的，这是不符合实际的，
所以： FG 不垂直于 DE 。
同理可证：除了 FC 外，没有其他的直线垂直于 DE ，
所以： FC 垂直于 DE 。
证完。
设：直线 DE 切圆 ABC 于点 C ，并且从 C 作 CA 与 DE 成直角。
那么可以说：圆心在 A C 上。
这是因为，假设不是这样，但如果可设： F 为圆心，连接 CF 。
因为：直线 DE 切于圆 ABC ，并且 FC 是由圆心到切点的连线， FC 垂直于 DE ，[III. 18]
所以：角 FCE 是直角。
又因：角 ACE 也是直角，
所以：角 FCE 等于角 ACE ，小角等于大角，这是不符合实际的，
所以： F 不是圆 ABC 的圆心。
同理可证：除圆心在 AC 上外，不可能是其他的点。
证完。
设： ABC 是一个圆，角 BEC 是圆心角，角 BAC 是圆周角，它们有一个以 BC 为底的弧。
那么可以说：角 BEC 是角 BAC 的二倍。连接 AE ，经过 F 。
因为： EA 等于 EB ，角 EAB 等于 EBA ，[I. 5]
所以：角 EAB 、 EBA 的和是角 EAB 的二倍。
又因：角 BEF 等于角 EAB 与 EBA 的和，[I. 32]
所以：角 BEF 也是角 EAB 的二倍。
同理可证：角 FEC 也是角 EAC 的二倍，
所以：整个角 BEC 是整体角 BAC 的二倍。
又，移动另外的直线，就有另一个角 BDC ；连接 DE ，延长到 G ；
同理可证：角 GEC 是角 EDC 的二倍，角 GEB 是角 EDB 的二倍，
所以：剩下的角 BEC 是角 BDC 的二倍。
证完。
设： ABCD 是一个圆，令角 BAD 与角 BED 是同一弓形 BAED 上的角。
那么可以说：角 BAD 与角 BED 相等。
这是因为，假设圆 ABCD 的圆心为 F ，连接 BE 、 FD 。
因为：角 BFD 的顶点在圆心上，并且角 BAD 的顶点在圆周上，它们以相同的弧 BCD 为底，
所以：角 BFD 是角 BAD 的二倍。[III. 20]
同理可证：角 BFD 也是角 BED 的二倍，
所以：角 BAD 等于角 B ED 。
证完。
设： ABCD 是一个圆， ABCD 是其内接四边形。
那么可以说：其对角的和等于两直角。
连接 AC 、 BD 。
因为：在任意三角形中，三个角的和等于两直角，[I. 32]
三角形 ABC 的三个角分别为角 CAB 、 ABC 、 BCA 的和等于两直角，
又因：角 CAB 、角 BDC 在同一弓形 BAD C 上，
所以：角 CAB 等于角 BDC 。[III. 21]
因为：角 ACB 、角 ADB 在同一弓形 ADC B 上，
所以：角 ACB 等于角 A DB ，
所以：整体角 ADC 等于角 BAC 与角 ACB 的和。
将角 ABC 加在以上两边，
那么：角 ABC 、 BAC 、 ACB 的和等于角 ABC 与角 ADC 的和。
因为：角 ABC 、 BAC 、 ACB 的和等于两直角，
所以：角 ABC 与角 ADC 的和等于两直角。
同理可证：角 BAD 、 DCB 的和等于两直角。
证完。
这是因为，如果可能，设：在同一线段 AB 的同侧可以作两个相似且不相等的弓形 ACB 、 A DB 。
作 ACD 与二弓形相交，连接 CB 、 DB 。
因为：弓形 ACB 相似于弓形 A DB ，
又因：相似的弓形有相等的角，[III. 定义11]
所以：角 ACB 等于角 ADB ，也就是外角等于内对角，这是不符合实际的。[I. 16]
证完。
设： AEB 、 CFD 是相等线段 AB 、 CD 上的相似弓形。
那么可以说：弓形 AEB 等于弓形 C FD 。
将弓形 AEB 移动到 C FD ；
若点 A 落在 C 上以及 AB 落在 CD ，点 B 也将与点 D 重合。
这是因为， AB 等于 CD ，且 AB 与 CD 重合，
所以：弓形 AEB 重合于弓形 C FD 。
若线段 AB 与 CD 重合，但弓形 AEB 不与弓形 CFD 重合，
它或者落在里面，或者落在外面，或者落在 CGD 的位置，
那么：一个圆与另一个圆的交点多于两个，这是不符合实际的，[III. 10]
所以：若线段 AB 移至 CD ，弓形 AEB 也必定与弓形 CFD 重合，
所以：两个弓形互相重合，因此是相等的。
证完。
设： ABC 是已给定的弓形，求作一个整圆，使弓形 ABC 是圆的一个截段。
设：点 D 将 AC 二等分，从点 D 作 DB 和 AC 成直角。连接 AB 。
那么：角 ABD 大于、等于或小于角 B AD 。
先设：角 ABD 大于角 BAD ，且在直线 BA 上的点 A 处作角 BAE 等于角 ABD ，延长 DB 到点 E 。连接 EC 。
因为：角 ABE 等于角 BAE ，线段 EB 等于 EA ，[I. 6]
又因： AD 等于 DC ， DE 是公共的，
两边 AD 、 DE 分别等于两边 CD 、 DE 。角 ADE 等于角 CDE ，因为每一个都是直角，
所以：底 AE 等于底 CE 。
又因：已经证明 AE 等于 BE ，
所以： BE 等于 CE ，
所以：三条线段 AE 、 EB 、 EC 彼此相等，
所以：以 E 为圆心，以线段 AE 、 EB 、 EC 之一为距离所画的圆，是可经过其余点而得的整圆，[III. 9]
因此：已知一个弓形，可作整圆。
又因：圆心 E 在弓形 AB C 外，
所以：弓形 ABC 小于半圆。
同理可证：如果角 ABD 等于角 BAD ， AD 等于 BD 、 DC 的每一个。三条线段 DA 、 DB 、 DC 彼此相等， D 是整圆的圆心。
那么显而易见，弓形 ABC 是一个半圆。
但若角 ABD 小于角 BAD ，且在 BA 上 A 点处作一个角等于 ABD ，圆心落在 DB 上，同时也在弓形 AB C 内，
那么显而易见，弓形 ABC 大于半圆，
所以：给定一个圆的一个弓形，它所在的整圆就可以画出。
作完。
设： ABC 、 DEF 是相等的圆，它们的圆心角 BGC 、 EHF 相等；圆周角 BAC 、 EDF 相等。
那么可以说：弧 BKC 等于弧 E LF 。
连接 BC 、 EF 。
因为：圆 ABC 、 DEF 相等，它们的半径也相等，
所以：线段 BG 等于 EH ，线段 GC 等于 HF ，且 G 处的角等于 H 处的角，
所以：底 BC 等于底 EF 。[I. 4]
因为： A 处的角等于 D 处的角，弓形 BAC 与弓形 EDF 相似，[III. 定义11]
且弓形 BAC 与弓形 EDF 是在相等的线段上，
又因：相等线段上的相似弓形彼此相等，[III. 24]
所以：弓形 BAC 等于弓形 E DF 。
又因：整体圆 ABC 等于整体圆 D EF ，
所以：余下的弧 BKC 等于余下的弧 E LF 。
证完。
设：圆 ABC 、 DEF 彼此相等，在相等的弧 BC 、 EF 上，角 BGC 、 EHF 在圆心 G 和 H 处，角 BAC 、 EDF 在圆周上。
那么可以说：角 BGC 等于角 EHF ，角 BAC 等于角 E DF 。
这是因为，若角 BGC 不等于角 EHF ，设角 BGC 是较大的：在线段 BG 上点 G 处，作角 BGK 等于角 EHF 。[I. 23]
当角在圆心处时，在等弧上的角相等，[III. 26]
所以：弧 BK 等于弧 EF 。
又因：弧 EF 等于弧 BC ，
所以：弧 BK 等于弧 BC ，
小的等于大的，这不符合实际，
所以：角 BGC 一定等于角 E HF 。
又因：点 A 处的角是角 BGC 的一半，点 D 处的角是角 EHF 的一半，[III. 20]
所以：在点 A 处的角等于在点 D 处的角。
证完。
设： ABC 、 DEF 是等圆， AB 、 ED 是相等的弦，它们截取了优弧 ACB 与 DFE 与劣弧 AGB 与 D HE 。
那么可以说：优弧 ACB 等于优弧 DFE ，劣弧 AGB 等于劣弧 D HE 。
又设： K 、 L 是给定的圆心，连接 AK 、 KB 、 DL 、 LE 。
因为：圆相等，半径也相等，
所以：两边 AK 、 KB 等于两边 DL 、 LE ；底 AB 等于底 DE ，
所以：角 AKB 等于角 DLE 。[I. 8]
而相等的圆心角所对的弧也相等，[III. 26]
所以：弧 AGB 等于弧 D HE 。
又因：整体圆 ABC 等于整体圆 D EF ，
所以：余下的弧 ACB 等于余下的弧 D FE 。
证完。
设：圆 ABC 、 DEF 彼此相等，在两个圆中截取等弧 BGC 与 EHF ，连接弦 BC 、 EF 。
那么可以说： BC 等于 EF 。
又设： K 、 L 是已给定的圆心，连接 BK 、 KC 、 EL 、 LF 。
因为：弧 BGC 等于弧 E HF ，
角 BKC 等于角 ELF ，[III. 27]
又因：圆 ABC 、 DEF 相等，半径也相等，
所以：两边 BK 、 KC 等于两边 EL 、 LF ，它们的夹角也相等，
所以：底 BC 等于底 EF 。[I. 4]
证完。
设： ADB 是给定的弧，要求将其二等分。
连接 AB ，于 C 点处将其二等分；从点 C 向直线 AB 作 CD 成直角，连接 AD 、 DB 。
因为： AC 等于 CB ， CD 是公共的，两边 AC 、 CD 等于两边 BC 、 CD ；角 ACD 与角 BCD 都是直角，彼此相等，
所以：底 AD 等于底 DB ，[I. 4]
而相等的弦截出相等的弧，优弧等于优弧，劣弧等于劣弧，[III. 28]
又因： AD 、 DB 的每一个都小于半圆，
所以：弧 AD 等于弧 DB ，
所以：点 D 二等分给定的弧 A DB 。
作完。
设： ABCD 是一个圆， BC 是其直径， E 是圆心，连接 BA 、 AC 、 AD 、 DC 。
那么可以说：半圆 BAC 上的角 BAC 是直角，
在大于半圆的弓形 ABC 上的角 ABC 小于一直角，
在小于半圆的弓形 ADC 上的角 ADC 大于一直角。
连接 AE ，将 BA 延长到 F 。
因为： BE 等于 EA ，角 ABE 等于角 BAE ，[I. 5]
又因： CE 等于 EA ，
角 ACE 等于角 CAE ，[I. 5]
所以：整体角 BAC 等于角 ABC 、 ACB 的和。
又因：角 FAC 是三角形 ABC 的外角，等于角 ABC 、 ACB 的和，[I. 32]
所以：角 BAC 等于角 F AC ，
所以：每一个角都是直角，[I. 定义10]
所以：半圆 BAC 上的角 BAC 是直角。
因为：在三角形 ABC 内两角 ABC 、 BAC 的和小于两直角，[I. 17]
角 BAC 是直角，角 ABC 小于直角，并且它是在大于半圆的弓形 ABC 上的角，
又因： ABCD 是圆内接四边形，
而在圆内接四边形中对角的和等于二直角，[III. 22]
且角 ABC 小于一直角，
所以：余下的角 ADC 大于一个直角，并且它是在小于半圆的弓形 ADC 上的角。
同理可证：由弧 ABC 和弦 AC 所构成的较大的弓形角大于一个直角；由弧 ADC 和弦 AC 所构成的较小的弓形角小于一个直角。
这是显而易见的。
因为：直线 BA 、 AC 所构成的角是直角，
所以：由弧 ABC 与弦 AC 所构成的角大于一直角。
又因：由弦 AC 和 AF 所构成的角是直角，
所以：弦 CA 与弧 ADC 所构成的角小于一直角。
作完。
设：圆 ABCD 被直线 EF 切于点 B ，从点 B 作圆 ABCD 内直线 BD 和圆相交。
那么可以说： BD 和切线 EF 所成的角等于在另一个弓形上的角，也就是角 FBD 等于在弓形上的角 BAD ，并且角 EBD 等于弓形上的角 D CB 。
因为：从 B 作 BA 与 EF 成直角，在弧 BD 上任取一点 C ，连接 AD 、 DC 、 CB ，
且直线 EF 切圆 ABCD 于 B ，从切点作 BA 和切线成直角，
所以：圆 ABCD 的圆心在 BA 上，[III. 19]
所以： BA 是圆 ABCD 的直径，
那么：角 ADB 就是半圆上的角，是直角，[III. 31]
因此：其余的角 BAD 、 ABD 的和等于一直角。[I. 32]
又因：角 ABF 也是直角，
所以：角 ABF 等于角 BAD 、 ABD 的和。
设：从以上两边各减去角 A BD ，
那么：余下的角 DBF 等于 BAD ，它在相对的弓形上。
因为： ABCD 是圆内接四边形，
它的对角之和等于两直角，[III. 22]
又因：角 DBF 、 DBE 的和等于两直角，
所以：角 DBE 、 DBE 的和等于角 BAD 、 BCD 的和。
且已经证明：角 BAD 等于角 D BF ，
因此：余下的角 DBE 等于相对弓形 DCB 上的角 D CB 。
证完。
设：已给定线段 AB ，且已知角 C 。
那么：需在 AB 上作一个弓形，让它所含的角等于点 C 处的角。 C 处的角可以是锐角、直角或是钝角。
先设 C 是锐角。
如图1中，在直线 AB 上的点 A 处作角 BAD 等于在 C 处的角。
所以：角 BAD 是锐角。
作 AE 和 DA 成直角， F 将 AB 二等分；由点 F 作 FG 和 AB 成直角，连接 GB 。
因为： AF 等于 FB ， FG 是公共的，
两边 AF 等于 BF ，且 FG 等于 FG ，角 AFG 等于角 B FG ，
所以：底 AG 等于底 BG ，[I. 4]
所以：以 G 为圆心， GA 为半径，经过 B 作圆 ABE ；连接 EB 。
因为：由端点 A 作 AD 和 AE 成直角，
所以： AD 切于圆 ABE 。[III. 16，推论]
因为：直线 AD 切于圆 ABE ，从切点 A 作一直线 AB 经过圆 ABE 内部，
角 DAB 等于在相对弓形上的角 AEB ，[III. 32]
又因：角 DAB 等于在 C 处的角，
因此：在 C 处的角等于角 A EB ，
所以：在已知直线 AB 上可作包含角 AEB 的弓形 AEB ，使角 AEB 等于 C 处的已知角。
再设 C 是直角。
要求在 AB 上作一弓形使它所含的角等于 C 处的直角。
设：已作角 BAD ，并等于点 C 处的直角，如图2。
设： AB 二等分于 F ，以 F 为圆心，以 FA 或 FB 为半径画圆 A EB 。
而直线 AD 切于圆 ABE ，这是因为，在点 A 处是直角。[III. 16，推论]
又因：角 BAD 等于在弓形 AEB 上的角，因为 AEB 是半圆上的角，因此是直角，[III. 31]
而角 BAD 等于在 C 处的角，
所以：角 AEB 等于 C 处的角，
所以：在 AB 上又可作包含等于 C 处的角的弓形 A EB ，
最后设 C 为钝角。
在线段 AB 上的点 A 作角 BAD 等于 C 处的角，如图3。
作 AE 和 AD 成直角， AB 被 F 二等分，作 FG 与 AB 成直角，连接 GB 。
因为： AF 等于 FB ， FG 是公共的，
两边 AF 、 FG 等于两边 BF 、 FG ，且角 AFG 等于角 B FG ，
所以：底 AG 等于底 BG 。[I. 4]
以 G 为圆心，以 GA 为半径且过 B ，作圆 A EB 。
因为：由直径的端点作的 AD 和直径 AE 成直角，
所以： AD 切于圆 AEB 。[III. 16，推论]
又因： AB 过切点 A 且与圆相交，
所以：角 BAD 等于作在相对弓形 AHB 上的角。[III. 32]
因为：角 BAD 等于 C 处的角，
所以：在弓形 AHB 上的角等于 C 处的角，
所以：在已给定的线段 AB 上作了包含等于 C 处角的弓形 A HB 。
作完。
设： ABC 是已给定的圆，在 D 的角是已知的直线角。
要求由圆 ABC 截出包含等于在 D 处的已知直线角的弓形。
又设： EF 切 ABC 于点 B ，且在直线 FB 上的点 B 处作角 FBC ，等于在 D 处的角。[I. 23]
因为：直线 EF 切于圆 A BC 。
且由切点 B 作经过圆内的弦 BC ，角 FBC 等于在相对弓形 BAC 的角，[III. 32]
又因：角 FBC 等于在 D 处的角，
所以：弓形 BAC 上的角等于 D 处的角，
所以：这便从给定圆 ABC 已经截出了弓形 BAC ，它包含的角等于已知的直线角，即 D 处的角。
作完。
设：圆 ABCD 内两条弦 AC 、 BD 交点 E 。
那么可以说： AE 、 EC 围成的矩形等于由 DE 、 EB 围成的矩形。
若 AC 、 BD 经过圆心，设 E 是圆 ABCD 的圆心，那么， AE 、 EC 、 DE 、 EB 相等。
由 AE 、 EC 围成的矩形等于由 DE 、 EB 围成的矩形。
又设： AC 、 DB 不过圆心；设 F 为圆 ABCD 的圆心。
由 F 作 FG 、 FH 分别垂直于弦 AC 、 DB ；连接 FB 、 FC 、 FE 。
因为：直线 GF 经过圆心，且交一条不经过圆心的弦 AC ，并与它形成直角，且二等分它，[III. 3]
所以： AG 等于 GC 。
因为：弦 AC 被二等分于 G 且不等分于 E ，由 AE 、 EC 围成的矩形与 EG 上的正方形的和，等于 GC 上的正方形，[II. 5]
将 GF 上的正方形加在以上两边，
那么：矩形 AE 、 EC 与 GE 、 GF 上的正方形的和等于 CG 、 GF 上的正方形的和。
又因： FE 上的正方形等于 EG 、 GF 上的正方形的和，
且 FC 上的正方形等于 CG 、 GF 上的正方形的和，[I. 47]
所以：矩形 AE 、 EC 与 FE 上的正方形的和等于 FC 上的正方形。
又因： FC 等于 FB ，
所以：矩形 AE 、 EC 与 EF 上的正方形的和等于 FB 上的正方形。
同理可证：矩形 DE 、 EB 与 FE 上的正方形的和等于 FB 上的正方形。
但已证明，矩形 AE 、 EC 与 EF 上的正方形之和已被证明了等于 FB 上的正方形，
所以：矩形 AE 、 EC 与 FE 上的正方形之和等于矩形 DE 、 EB 与 FE 上的正方形之和。
由以上两边各减去 FE 上的正方形，
所以：余下的由 AE 、 EC 围成的矩形等于由 DE 、 EB 围成的矩形。
证完。
设：在圆 ABC 外取一点 D ，由点 D 向圆上作两条直线，即 DCA 、 DB ；
DCA 截圆 ABC ，而 BD 切于圆，
那么可以说：由 AD 、 DC 围成的矩形等于 DB 上的正方形，
因此： DCA 可能经过圆心，也可能不经过。
先设 DCA 经过圆心。
设： F 是圆 ABC 的圆心，连接 FB 。
那么： FBD 是直角。[III. 18]
因为： F 二等分 AC ， CD 是加在它上的线段，
且矩形 AD 、 DC 与 FC 上的正方形的和等于 FD 上的正方形，[II. 6]
又因： FC 等于 FB ，
所以：矩形 AD 、 DC 与 FB 上的正方形的和，等于 FD 上的正方形。
因为： FB 、 BD 上的正方形的和等于 FD 上的正方形，[I. 47]
所以：矩形 AD 、 DC 与 FB 上的正方形的和等于 FB 、 BD 上的正方形的和。
设：由以上两边各减去 FB 上的正方形，
那么：余下的矩形 AD 、 DC 等于切线 DB 上的正方形，
再设 DCA 不经过 ABC 的圆心。
取圆心 E ，由 E 作 EF 垂直于 AC ；连接 EB 、 EC 、 ED 。
那么：角 EBD 是直角。[III. 18]
因为：一条直线 EF 经过圆心，并交不经过圆心的弦 AC 成直角，且二等分它，[III. 3]
所以： AF 等于 FC 。
因为：线段 AC 被 F 二等分，把 CD 加在它上边，
由 AD 、 DC 围成的矩形与 FC 上的正方形的和，等于 FD 上的正方形，[III. 6]
将 FE 上的正方形加在以上各边，
那么：矩形 AD 、 DC 与 CF 、 FE 上的正方形的和等于 FD 、 FE 上的正方形的和。
而 EC 上的正方形等于 CF 、 FE 上的正方形的和，是因为角 EFC 是直角，[I. 47]
且 ED 上的正方形等于 DF 、 FE 上的正方形的和，
所以：矩形 AD 、 DC 与 EC 上的正方形的和等于 ED 上的正方形。
又因： EC 等于 EB ，
所以：矩形 AD 、 DC 与 EB 上的正方形的和等于 ED 上的正方形。
又因：角 EBD 是直角，
所以： EB 、 BD 上的正方形的和等于 ED 上的正方形，[I. 47]
所以：矩形 AD 、 DC 与 EB 上的正方形的和等于 EB 、 BD 上的正方形的和。
由以上两边各减去 EB 上的正方形。
那么余下的矩形 AD 、 DC 等于 DB 上的正方形。
证完。
设：在圆 ABC 外取一点 D ，由点 D 作两条直线 DCA 、 DB 落在圆 A C B 上；
DCA 截圆， DB 落在圆上。
又设：矩形 AD 、 DC 等于 DB 上的正方形。
那么可以说： DB 切于圆 A BC 。
为此，作 DE 切于 ABC ，设 ABC 的圆心为 F 。连接 FE 、 FB 、 FD 。
则角 FED 是直角。[III. 18]
因为： DE 切圆 ABC 且 DCA 截此圆，
矩形 AD 、 DC 等于 DE 上的正方形，[III. 36]
又因：矩形 AD 、 DC 等于 DB 上的正方形，
所以： DE 上的正方形等于 DB 上的正方形，
所以： DE 等于 DB 。
因为： FE 等于 FB ，
所以：两边 DE 、 EF 等于两边 DB 、 BF ，
且 FD 是三角形的公共底，
所以：角 DEF 等于角 DBF 。[I. 8]
又因：角 DEF 是直角，
所以：角 DBF 也是直角。
将 BF 延长成一直径，由圆的直径的端点作一直线与该直径成直角，那么这个直线切于圆，[III. 16，推论]
所以： DB 切于此圆。
同理可证：圆心在 AC 上的情况。
证完。