规则的柏拉图立体

到目前为止，我们遇到的都是二维的问题。在下个问题中，我们将离开平面，进入三维空间。你以前肯定听说过柏拉图立体，正四面体（三角形组成的棱锥体）和正立方体这些规则的立体都属于柏拉图立体。

柏拉图立体由规则的多边形组成。例如，正四面体中的等边三角形或者正立方体中的正方形。此外，每个顶点上的棱边数相同。世界上只有5种柏拉图立体，命名方式提示了它们各自有几个面：

正四面体（4个正三角形组成4个面）

正六面体（6个正方形组成6个面，即正立方体）

正八面体（8个正三角形组成8个面）

正十二面体（12个正五边形组成12个面）

正二十面体（20个正三角形组成20个面）

问题来了：为什么只有这5种柏拉图立体？

这个问题乍看很复杂。为什么我用60个或80个正三角形不能构成一个封闭空间的立体？ 为什么正七边形也不行？

解答跟之前一样，非常简单。我们仔细观察一下柏拉图立体的顶点，一个顶点至少由3个侧面组成。正四面体、正立方体和正十二面体（五边形）正好是3个侧面组成一个顶点，正八面体是4个侧面，正二十面体则为5个侧面组成一个顶点。

我们可以把组成一个这样顶点的侧面，像折纸一样展开，展开后的形状如下页图形所示。

我们可以稍微折一下所有的棱边，在白色条状纸面上涂一些胶水，再把它粘在对面棱边的下面，这样，我们就构成了一个顶点。

如果你仔细观察这些以顶点为中心展开的图形，你就会发现这5个图形都有缺口。它们也必须有缺口，否则无法将这些多边形组成一个空间上的顶点。组成顶点的棱边，必须轻微折一下，这样才能封闭缺口。换句话说：各个n边形相交于一个顶点的内角和必须小于360°。

也许你已经明白了：为什么等边三角形只能组成3个柏拉图立体。在正四面体中，3个三角形组成一个顶点，内角和为3×60°=180°；在正八面体中，有4个三角形，即4×60°=240°；正二十面体有5个三角形，即5×60°=300°。如果再加一个三角形，内角和则达到了360°，这就太多了。

我们用正方形只能构建一个正立方体，3个正方形组成一个顶点，其内角和为3×90°=270°。4个正方形的内角和为360°，这对柏拉图立体来说也是太多了。正五边形的每个内角为108°。3个这样的五边形的内角和仍然小于360°，4个五边形则超过了限制，因此用正五边形就无法再构建其他的柏拉图立体。

但是，不仅有正三角形、正方形和正五边形，如果用正六边形会怎么样？正六边形的每个内角正好是120°，因此构成一个顶点的3个正六边形之间就没有空隙了，它们完全可以铺成一个平面，见下一页的图。所以，这样就不能构成柏拉图立体所必需的空间上的顶点了。

正七边形就更加不会产生空隙了。正七边形的内角大于120°。如果我们将3个正七边形放在能构成顶点的一个平面上，就会产生重叠，这样就自然不会构成空间上的立体。n≥7的所有正n边形都是这样的。

我们以上所用的折纸技巧就可以证明，除了这五个已知的柏拉图立体之外，没有其他的柏拉图立体。这个证明比毕达哥拉斯定理稍难理解一些，但是它让我们运用了空间思维，还让我们充分利用了小时候玩折纸模型的经验。这就是我爱它的原因。

不过，当我最近参观哥本哈根附近的方舟现代艺术博物馆时，我曾有过短暂的怀疑，有没有可能存在更多的柏拉图立体。你可以仔细观察一下下面的照片。

这个可以攀爬的支架看似由正六边形组成，它由来自冰岛的奥拉维尔·埃利亚松（Olafur Eliasson）设计，就在博物馆旁边。这些六边形构成了球体表面的一部分，另一大部分球体则位于地面以下——至少看起来是的。我甚至不用数这个架子是由几个六边形组成的，就能很快清楚它不可能是柏拉图立体。

这些六边形不可能是正六边形，因为如果是正六边形，就不会形成弯曲的球体表面。正六边形的六条边长度相同，不过，这里的六边形与正六边形之间有极其细小的差别，使我们根本察觉不到。此外，这个架子还包含五边形，不过在这张照片上几乎无法辨认。 n5++BUlHQUx8bQdMq9EUVVtyRW2GsdWpmUe/kS5KMP9up6brXw9ejsVxY005ARCr