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有一位伟大的数学家，对美丽的证明特别感兴趣，他就是匈牙利人保罗·厄多斯（Paul Erdős，1913—1996）。他说过，有些证明特别美妙，但也有小小的瑕疵，而最遗憾的是，这些证明就错了。
像哈代一样，厄多斯坚信世界上一定有既正确又美丽的证明。他甚至还提到要编写一本书，书里的“上帝”收集了所有最完美的证明。“你没必要相信上帝，”他认为，“但作为数学家，要相信一定有这本书。”
厄多斯在写完这本书之前去世了。君特·齐格勒（Günter Ziegler）和马丁·艾格纳在2002年将这位匈牙利数学家的想法变成现实。他们把作品命名为《证明之书》（Das Buch der Beweise）。可惜这里面收集的大部分证明对非专业读者来说都太难了，大部分都要求读者具备大学数学基础。但是在本章，我想向你们介绍这本书里的一个证明，也是一则经典证明：
定理：有无限多个质数。
什么样的证明才是最佳的呢？也许我可以尝试，挨个数清楚所有的质数。但在证明过程中，我可能会发现这事没有尽头。这得花多长的时间啊？如果确实有无限多个质数，时间就会无限延长。这样就证明不出来，这点我们都很清楚，那接下来该怎么办？
不要直接解决问题，而是间接证明——从后面迂回过来。我们用间接证明来证明论点，也就是反驳论点的对立面。由于数学的逻辑一致性，间接证明是完全可行的。一个论点要么正确，要么错误。两个互相矛盾的论点不可能同时为真。
谁懂得几何学，谁就能理解这世界上的一切。
——伽利略
我们回到质数问题。我们不要试图直接解答问题，因为这样我们会面临无穷多数量的困境。相反，我们假设这个论点是错误的，也就是假设只存在有限多个质数。然后我们再看看，这个假设是否真的正确。
如果只存在有限多个质数，数学家们则喜欢说成：存在n个质数。n有多大，并不重要。我们将这n个质数设为p 1 、p 2 、p 3 、 ……、p n 。
我们把这些质数相乘：
p 1 × p 2 × p 3 × …… × p n
就会得到一个有趣的自然数：它可以被n个质数p 1 、p 2 、p 3 、……、p n 里的任意一个质数整除，因为这个数是所有这些质数的乘积。例如，2×3×5=30当然可以被2、3和5整除。
现在就是这个间接证明的真正窍门：我们在n个质数的乘积之上再加1：
p 1 × p 2 × p 3 × …… × p n + 1
所得之数同样也是一个自然数，但是它不能被这n个质数里的任何一个质数整除，确切地说，在做除法之时总是会余1。我们再回到例子2、3、5：2×3×5+1=31。得到的数31既不能被2 和3整除，也不能被5整除。
从上述思考中，会得出什么结论呢？由于p 1 ×p 2 ×p 3 ×……×p n +1不能被这n个质数里面的任何一个质数整除，所以这个数本身就一定是一个质数，它不包含在p 1 、p 2 、p 3 、……、p n 里面；或者它是多个质数的乘积，但这多个质数不属于前面给出的n个质数。
这就与我们假设的只存在n个质数互相矛盾了。也就是说，只存在有限多个质数的假设是错误的。我们刚刚展示了如何将n个质数组合为一个新的质数。这也说明，确实存在无限多个质数。这样一来，我们就成功证明了这个定理。
这个证明简短得出乎意料。这个证明美妙的地方是，你不必纠结无限多个质数，反正都是不可能的。相反，我们只需要用两行数：
p 1 × p 2 × p 3 × …… × p n
和
p 1 × p 2 × p 3 × …… × p n + 1
就能证明存在无限多个质数。这太美妙了！