数学就像踢足球

我们都知道，练得越多，好处越多。职业人员会比业余足球运动员、业余数学爱好者掌握更多的专业技术，他在踢球或论证时就会更有把握。但我们不是非要跟巴萨俱乐部签了合同才能享受足球的乐趣。哪怕是在丙级联赛，球员们也会因一个进球或一记精妙传球而激动不已。同样的道理，人人都能享受数学的乐趣。

然而，当一谈到对美的判断时，足球和数学就没有什么共同点了。球迷们对谁踢球踢得最漂亮，很少会达成一致。当然，多数人都会说：当然是我支持的球队。但即使是内心没有支持某支球队的业内专家，对于一场漂亮比赛的看法也各有不同。第一个专家喜欢快速、直接的比赛。第二个专家喜欢彩虹式过人技巧和巴西花式足球。第三个专家偏爱无穷无尽的传球，在过去几十年里，西班牙队用这种传球快把对手逼疯了。

美是什么？这个问题，不仅足球迷们在争论，哲学家、艺术家、艺术科学家和心理学家也在争论，都争了好几千年了。但在数学领域，问题却有所不同。当一个数学家说“这是一则特别漂亮的证明”时，几乎不会有同行反驳。这不是很奇怪吗？

很明显，数学家们对什么是美，有着共识。然而，我们要寻求美的明确标准是徒劳的。有些人喜爱极其简单，有些人则追求清晰明了或短小精悍。对柏林的数学家马丁·艾格纳（Martin Aigner）来说，美就是由透明性、一致性和简便性组成的三重和弦，是它们使数学证明变得漂亮。跟外行相比，艾格纳对透明、简便的证明的概念肯定会略有不同，但总的来说，你基本无法反驳他。

证明就是展示某一陈述的正确性。冗长而复杂的证明并不少见。我想通过一个简单的比喻来说明，我心目中一个漂亮优雅的证明是什么样的。请想象一下，你站在一座山上，你要把你旁边的一块巨石滚下山去。问题是：你的力量根本不足以搬动这块巨石。不管你如何推动和摇晃，这块巨石几乎没有移动过一毫米。

你沮丧地围绕着这块巨石走来走去，突然在它背面看到，有一块小石头被卡在它下面，就是这东西使得巨石无法滚动。而这块小石头就是解决问题的关键！你不再试图用自身的力量把巨石滚动起来，而是将巨石摇动一点点，同时快速地抽出小石头。之后，巨石自己就滚动起来。你不要让巨大的岩石滚过一个小的障碍物，而是要直接把小的障碍物拿走。这个方法很聪明，因为它节省了很多力气。对于我来说，一个漂亮的证明就是同理。看似困难或无法解决的问题，突然就变得容易了。

英国数论学家戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）甚至宣称，数学普遍都是美的。在他看来，不美的事物根本不能持久：“世上没有一个永久的地方容纳丑陋的数学。”

那么哈代所说的“丑陋的数学”，到底是什么意思？我认为，我们所有人的定义都一样：关联不清楚、论证缺失条理和阐释冗繁的数学。 iNLI4VpTIQh9tyV2WOaX2NOO5FphUOldnDf3Z4c88GvOXNq7qscEIYi0PR4NgBl4