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先从一个关于三角形的游戏开始吧。大家可以怎么摆弄一个三角形呢？我们可以旋转它、翻折它，或让它只靠一个顶点立起来。你也可以像我这样，把它放进一个大小合适的矩形里。
你认为三角形面积占矩形面积的多少？三分之一？一半？还是一多半？请你设想一下，三角形的边是由橡胶制成的，橡胶围绕着三颗钉子，这三颗钉子就形成了三角形的顶点。然后我们将最上面的一个顶点沿着上方的矩形边向左侧移动，会产生什么样的变化？三角形会占更多的面积吗？
如果你还记得三角形的面积公式，你就可以轻轻松松地回答出这道问题。但是这里并不是在讨论你学过的公式，我想跟你说的是真正的数学，它通常始于一个简单、巧妙的想法。
让我们在三角形中画一条额外的线。它垂直于底边，并将其与三角形上方的顶点相连。我们看看发生了什么？
我们最早的三角形被分成了两个较小的三角形。包围着三角形的矩形，也被分成了两个小的矩形。这两个小的矩形又分别被对角线分成了两半。两条对角线就是我们三角形上方的两条边。现在，你也知道三角形所占矩形的面积了——正好一半。因为两条对角线分别将两个小的矩形对半分了。
我们刚才所做的，实际上就是数学。我们提出问题，再依靠一个好的点子，就漂亮地解答了问题。
我们怎样才能想出这样的好点子呢？是凭巧合、直觉、尝试、经验还是凭运气？我们也可以问一个画家同样的问题：为什么要画这一笔？是什么促使你想在这儿画一笔呢？洛克哈特的回答就很清楚：三角形中像这样的一条线和画布上的一笔——两者都是一种艺术。绘画和数学，都是为了创造出更美好的事物。
当然，也不要忘记，在矩形里有三角形的游戏中，我们还推导出了三角形面积公式：
g是三角形底边的长度，h是高。
但是，我们的论证还不够周全，因为还存在与上面的三角形不一样的三角形。三角形最上方的顶点，还有可能位于矩形的外部，如下图所示。
画线的诀窍是否仍然有效呢？原则上是的。但是，我们必须把矩形向右延伸，直到刚好将三角形包围住为止。
之后，这就跟我们的第一个三角形一样容易了。我们必须从整个矩形的面积（g+m）×h里减去两个灰色三角形的面积。左边的灰色三角形的面积，正好是矩形的一半，即（g+m）×h/2。右边的灰色三角形的面积，则是边长为m和h的矩形的一半。因此，我们得出：
对于第二个三角形来说，这个面积公式也是成立的。
下一个例子会更惊艳。同样，这是一个简单、清楚的问题。我们现在有两点和一条直线。两个点位于直线的同一侧，即为右图中的右边。两个点到直线的距离不相同。
这道题就是要找出从一点到直线再到另一点的最短路径。当然，这样的路径有很多，但哪条是最短的呢？
我建议你先不要看答案。开动脑筋想一会儿这个问题吧，好好玩一玩。
在这道题里，也是靠一个很简单的点子就解决了所有困难。也许，你想过用勾股定理来计算路径的长度，这也是我的第一反应，但这样就会产生十分复杂的方程。
其实还有更简单的，甚至算都不用算。请你画出两点中下面那个点关于这条直线的对称点，然后看看会怎么样。
显然，由于两个点呈轴对称，所以垂直线到右下角点的距离与到左边对称点的距离正好相等。
这时，我们就可以用不同的文字来表述这道题了：请你找出从右上角的点到直线另一侧下面的对称点的最短路径。连接同一平面上两个点的最短路径是什么？当然是一条直线。我们将这些都用笔画下来，就完成了这道题。
你发现这个解答方法的巧妙和简明的地方了吗？有趣的不是答案，而是找出答案的方法。这就是一个创造性思维的过程，可惜这样的过程，在学校课堂教育中往往既没有实践，也没有人去理解。与此同时，不断尝试去寻找这样的解答思路，就是数学的基础。自己发现用轴对称的窍门的感觉，简直太棒了！