第一章

小时候，发生在我身上的一件事情一直令我记忆犹新：一个秃顶的守林人站在一株大树旁边，用一个小小的仪器测量大树的高度。我以为他要爬到树顶上，然后用尺子测量大树的高度，结果老头并没有这样做，他用那个小工具对着大树瞄了一下，然后旁人告诉我，测量已经结束了，而我以为还没有开始呢。

那个时候我还年幼，我觉得这种既不需要把大树砍倒，也不需要爬到树顶上去测量高度的方法非常神奇，就像魔术一样。这个疑问一直萦绕在我心中，直到后来，我上学学习到了数学知识，才知道这个魔术的原理竟然如此简单，而且有各种各样的计算方法。

最简单最古老的方法当属公元前六世纪古希腊人泰勒斯利用阴影来测量金字塔高度的方法。法老、祭祀和人们聚集在一起，迫切地想要看到这个希腊人如何测量他们雄伟的金字塔的高度。

传说公元前六百年的激动人心的那个时刻，泰勒斯在太阳底下的影子和他人的高度正好相等。泰勒斯通过测量阴影的长度得到了金字塔的高度。

也许我们今天学过几何的孩子们都觉得这个问题很容易解答，但是不要忘记，在那个年代，泰勒斯的举动被埃及人认为是惊为天人的。泰勒斯用三角形的特性解决了测量金字塔高度的问题，而在他之后的三百年，也就是公元前300年，希腊数学家欧几里得发现了三角形的其他特性，并将其结集成书。在他死后直到今天，我们一直在学习他的几何知识，今天我们所熟知的很多定理和知识都来自这本书。

现在我们的学生都知道，其实泰勒斯利用的是三角形的两个特性：

1.等腰三角形的两底角相等；反过来说，等角所对应的边也必然相等；

2.任意三角形的三个角之和等于180度。

泰勒斯正是因为知道这两点，所以他才能够确定，当他的影子长度等于他的身高时，太阳光以45度角射向地面的。因此，金字塔的顶点、塔底的中心点以及塔的阴影的端点三者之间刚好形成了一个等腰直角三角形。

在阳光灿烂的日子，利用泰勒斯的这种测量方法来测量大树的高度是相当方便的，但大树只能是一株孤零零的大树，旁边没有别的树木，因为别的树木的阴影会和这株大树重叠在一起，影响测量结果。泰勒斯的这种方法还有一个限制，那就是在高纬度的地区，太阳经常距离地平线很近，因此很难找到合适的测量时机，只有在夏季正午左右才能使用这个方法来测量大树的高度。

但是这个局限是容易克服的，我们并不一定非要在那个特殊的时间才能测量。我们在测量高度的时候，除了要测量出测量对象的阴影长度之外，我们还需要另外测量出自己的身体或者一根杆子的阴影长度，这样就可以根据它们之间的比例计算出所要测量对象的高度：

AB：ab=BC：bc

我们能够这样操作的原因是利用三角形ABC和三角形abc的相似性。也就说，树影的长度是杆子或身体长度的几倍，树的高度也就是你身高的几倍。

死记硬背这个规则是没有什么真正的意义的，我们需要做的是了解其中的几何学原理，因为在有些情况下，这个规则是不适用的。

请看图2，在路灯灯光投射出来的阴影下，木柱AB的高度比木桩ab高出大约两倍，但是木柱AB的阴影BC却是木桩ab的阴影bc多出七倍。这是为什么呢？因为太阳光线和路灯照射出来的光线是不一样的，路灯的光是点式的，所以它的光线是发散的，而太阳光的光线是平行的。

也许亲爱的你会发出质疑，如何判断出太阳光线是平行的？确实，从精确测量的角度来讲，太阳光线是有角度的，但是这个角度对于粗略测量来说，基本可以忽略不计。

我们来举一个简单的例子。假定太阳上某一点发出了两道光线，它们落到地面上相距1000米的某两点，假如我们有一把巨大的圆规。我们可以把圆规的一只脚放在太阳发出光线的那一点上，另外一只脚以太阳到地球的距离（即150000000千米）为半径画一个圆。我们计算得知，两道光线（两条半径）之间的弧长是1000米，而这个巨大的圆周长应该等于2×π×150000000千米=940000000千米。

这个圆周上每一度的弧长是圆周的 ，约为2600000千米；每一分的弧长是每一度的 ，约为43000千米，而每一秒的弧长又是每一分的 ，约为720千米。而我们假设的弧长只有1千米，因此，我们知道，与它对应的角只有 秒。即使是精密的仪器也很难测量出如此微小的角度。所以，在测量的实际经验中，我们可以将太阳发出的光线视为平行的直线。

在这个阴影测量法中还有一个问题，因为太阳并不是点状光源，而是一个巨大的、四散的发光体，太阳光投射出来的每一个阴影的尽头都有一圈轮廓不明的影子，我们很难清晰的画出它的界线，因此也无法完全精准的测量出阴影的长度。

在图3中就能看到，树影BC会多出一段逐渐消失的半影CD, C、D两点与树顶A所形成的∠CAD与我们平常看太阳圆面所夹的角是相同的，我们称之为半度。因此，即使太阳的位置较高，因为阴影的原因所带来的在精确性上的误差也可能达到5%或者更多。再加上地面有起伏等无法避免的因素，也增大了误差。因此在山峦地带，这样的阴影测量法也不适用。

除了我们在上一章中介绍的阴影测量法外，还有没有什么别的便捷的测量高度的方法吗？只要我们掌握了一定了几何学知识，就会发现这种测量方法还真不少，现在先向大家介绍如下两种。

第一种方法：

我们制作一种简单的测量仪，它的原理就是等腰直角三角形的性质。制作这种简易测量仪的材料很容易获得：一块木板和三个大头针。首先在木板上画一个等腰直角三角形。如果没有工具，可以用一张纸对折两次就能得到一个直角。当等腰直角三角形画好之后，将三个大头针分别置于这个等腰直角三角形的顶点，这样，简单的测量仪就做好了。

我们再用这个工具测量树木高度时，应该与树木保持一定的距离，手拿仪器，在a点上用一根细线吊上一个小重物，使三角形的一条直角边始终与地面垂直。之后，手持测量仪的人往树木方向靠近或远离，通过不断移动找到A点，当你从A点经过大头针a和c向树顶C方向望去时，树顶C刚好被挡住了。这就说明，直角三角形的斜边ac的延长线通过点C，因为∠a=45°，所以，距离aB显然跟CB是相等的。同时，AD=aB，因此只需测量出在地面上拿测量仪的人与树木之间的距离AD，再加上BD，就能得到树的高度CD了。

还有一种更加简便的方法，你只需要找一根长杆子，把它垂直插到地下，长杆露在地面上的部分应该等于你站立时眼睛离地面的距离。但是插杆地点的选择需要特别注意。请看图6，当你仰面朝天躺在地上时，你应该看到长杆顶端和树的顶端在一条直线上。因为三角形Aba是等腰直角三角形，所以通过测量AB的长度就能得到想要测量的树的高度了。

我们有时可能想要测量一株我们无法靠近的大树，这个时候应该怎么办呢？不用担心，我们还是能够办到的。

聪明的人们特地为了这种情况设计出了一种测量仪器，这种仪器虽然很巧妙，但是并不复杂，自己都能制作成功。请看图7，将两条长条板保持互相垂直并钉在一起，使ab等于bc, db等于ab的一半，这样仪器就做好了，或者还有一种方法，不需要长条板，直接将四个大头钉钉在一块木板的a, b，c, d四个点上，效果也是相同的。

测量高度的时候，将有一个悬锤的仪器拿在手中，使长条板cd保持垂直，然后分别站在两个地方进行测量：首先在A点测量，此时需要将仪器的c端向上；测量完后，来到A′点进行测量，此时需要将仪器的d端向上。这样的A点和A′点的选择有什么特殊的要求呢？对于这两个点的选择要求是这样的：对于A点来说，从点a朝着点c望过去的时候，a, c以及大树的顶端B刚好在一条直线上，如图7所示；对于A′点来说，从点a′朝着点d′望过去的时候，a′，d′以及大树的顶端B刚好在一条直线上。

在这个测量实践中的关键就是对于A点和A′点的选择定位。因为需要测量的大树的高度的BC部分刚好等于AA′。这是为什么呢？我们从下面的等式中很容易理解BC等于AA′的原因：

因此，在我们无法靠近所需测量高度的大树时，我们可以通过这种办法来测量大树的高度。如果我们能够走到大树那儿的话，这种测量当然就更加简单，只要找到点A或点A′的其中一点，我们就可以知道大树的高度了。

问题：

你知道如何利用镜子来测量树木的高度吗？请看图8，将一面镜子放在点C，这与需要测量高度的大树之间有一定的距离。然后测量者不断往后退，直到刚好可以在镜子中看到大树顶端A的位置，我们将测量者此时站立的位置称为点D。此时，树高AB是测量者身高ED的多少倍？从树的位置B到镜子的距离BC是镜子到测量者距离CD的多少倍？通过计算，你可以发现，它们是相等的。为什么呢？

回答：

如图9所示，由光的反射定律得知，树顶端A在镜子中的成像是点A′，AB=A′B。又因为三角形BCA′和DCE是相似三角形，所以我们可知：

A′B：ED=BC：DC

因为AB=A′B，所以我们就能得到比值的答案。

这种利用镜子测量树木高度的方法不像前文介绍的方法那样受到天气条件的局限，它可以在任何天气情况下应用，但是同样的，它只能测量一株一株的树木，而不能测量森林中的树木。

我们继续探讨利用镜子来测量树木高度的问题。

问题：

我们是否可以利用镜子来测量无法靠近的树木的高度？

回答：

这个问题在六百多年前就已经有人提出了，现在依然很经典。1400年，数学家安东尼·德·克雷蒙氏曾经在他的著作中详细探讨过这个问题。

我们可以通过两次使用镜子来解决这个问题。如图9所示，先把镜子分别放在两个地方进行测量，根据相似三角形的比例关系可以推算出，所要测量的树的高度等于测量者眼高乘以两个距离的比，这两个距离一个是两次放置镜子间的距离，另一个是两次测量时测量者与镜子间的距离的差。

到目前为止，我们已经讨论了不少如何测量树木高度的问题，我们将继续在森林中寻找有关数学的乐趣。

现在你在树林中散步，可能发现自己已经可以运用多种方法来测量树木的高度了。但这也许已不能满足你，也许你已经开始好奇如何能够通过数学知识算出一棵大树的体积，知道它到底有多重，它能变为多少根木材呢？到底多少辆卡车才足以把这些木材运走呢？你的脑海中会浮现出形形色色类似的问题，可惜的是，这类问题的答案并不像测量树木的高度那么简单，哪怕是满腹学识的数学家也难以求得这个问题的精确答案，他们也只能通过自己的数学知识获得一个近似值。

这是因为，无论哪棵树，都不会完全平滑，没有任何的凸凹不平，哪怕将树皮剥去，这棵树也不会是一个正规的圆柱体或圆锥体。有人可能觉得大树是一个圆柱体，又有人觉得它会是一个圆锥体，其实它们都不是。总而言之，树干不是一种可以通过公式能够计算出精确体积的几何体。

我们无法利用简单的几何知识计算出树干的体积，我们只能运用高等数学中的微积分知识得到树干的相对精准的体积数值。很多人认为，高深的高等数学只属于象牙塔，但并非如此，测量一根圆木的体积也需要它的帮忙；同样，初等数学也不仅仅运用于日常生活，天文学家们有时候会利用初等数学计算恒星或行星的体积，得出的结果反而是精确的，是否觉得不可思议呢？

在这本书中，我也不打算向读者介绍高等数学的知识来计算树干精确的体积，我会告诉你们用初等数学粗略计算树干体积的方法。

我们在此做出这样的假设：假设树干与圆台的体积相近；如果有树梢，那么我们假设，它与圆锥的体积相近；而很短的一截树干，我们可以将之视为圆柱。以上三种几何体的体积都能通过公式计算出来。那么，是否存在一个体积公式同时适用于以上三种几何体呢？如果存在，我们就不用费心琢磨树干的形状到底更接近于哪种几何体了，我们就能直接计算出这个树干的体积的近似值了。

对于这个问题，真的存在一个万能的公式吗？答案是肯定的。并且这个公式不仅适用于上面提到的圆台、圆锥和圆柱，它还普遍适用于任何的棱柱、棱锥和棱台，甚至还能适用于球体。这到底是怎样一个神奇的公式呢？——这就是著名的万能公式“辛普森公式”：

其中，h是立体的高度，

b ₁ 是下底面积，

b ₂ 是中间截面面积，

b ₃ 是上底面积。

问题：

请证明这个公式能够计算出圆台、圆锥、圆柱、棱柱、棱锥、棱台和球体这七种几何体的体积。

回答：

将公式一一代入计算上述七种几何体的体积即可得到验证。

应用于棱柱和圆柱（图10.a），得到：

应用于棱锥和圆锥（图10.b），得到：

应用于圆台（图10.c），得到：

棱台体积也能使用相同方法求证。

最后，应用于球体（图10.d），得到：

问题：

这个万能公式不仅适用于各种立体几何形状，它还能用于计算各种平面图形的面积，如平行四边形，梯形，三角形。我们所需要做的仅仅是把公式中的字母替换一下（请看图11）：

h是高度，

b ₁ 是下底长度，

b ₂ 是中间线长度，

b ₃ 是上底长度。

请对此进行证明。

回答：

将万能公式应用于上面所说的三种平面图形中，应用于平行四边形（包括正方形和矩形）（图11.a），得到：

应用于梯形（图11.b），得到：

应用于三角形（图11.c），得到：

由此可见，万能公式是名副其实的。

对于已被砍倒在地的树干，只要知道四个数值：树干的长度、上底面的面积、下底面的面积和中间截面的面积，无论它是圆柱、圆锥，还是圆台，你现在都已能够轻松运用上面介绍的“万能公式”来计算出它的体积了。

上底面的面积、下底面的面积以及树干的长度这三个数值比较容易测量得出，而测量中间截面的面积需要使用一种名为“量径尺”的特殊设备，请见图12。如果没有这种专业设备，我们也能够找到替代的方法。我们可以用绳子测量出树干的圆周长，然后再除以3.14（圆周率），就可以得出圆周的直径了。其实很多时候，这样计算得出的数值的精确度已经足够了。

如果我们完全把树干看作圆柱体，把树干中间处截面的直径等同于圆柱的直径，这样得出来的结果常常会比实际数值偏小约12%。但是如果我们采用分段计算的方式，将树干分为一段一段的、作为圆柱体分别计算，然后将计算出来的结果相加，这样计算得出的树干总体积相对来说要准确得多，通常与实际数值相差2%～3%。

但要注意的是，上面介绍的这些方法只适用于已被砍倒的大树，对于长在地面上的大树是不适用的。如果你不想爬树，那么你只能得到大树底部的直径，以此计算得出的结果只能是一个粗略的近似值。在日常生活中，我们的林业工作者也就是这样操作得到一个大约的数值的。

专业的林业工作者有一张“材积系数表”，通过查阅这张表，工作人员可以得知在130厘米处测量的数值计算出的树木体积是同一高度和直径的圆柱体体积的百分之几。因为大树的形状是各种各样的，“材积系数表”理所当然会因为种类、高度的不同而有所变化。但是这些区别很细微，对于松树和柏树，这个系数的差别大约是0.5。

知道了树木的体积，想要估算出树木的重量那就容易得多了。我们只需要知道每立方米的松树或柏树的重量为600-700千克就够了。如果你已经知道了一棵松树或柏树的高度是28米，130厘米处树干的周长是120厘米，这样通过计算就能知道这个圆柱体的截面积大约是1100平方厘米或0.11平方米，树干的体积大约是×0.11×28，约等于1.5立方米。假设松树或柏树的木材平均每立方米的重量为650千克，那么，1.5立方米的木材重约一吨（1000千克）。

问题：

自然界有一个有趣的想象，在一株高大白杨树底下生长的小树的叶子，反而比大白杨树的叶子大得多，这是因为叶子需要阳光，树荫下的叶子只有增大自己的面积才能获得足够的阳光。虽然这些知识是植物学家告诉我们的，但是我们可以利用几何知识算出这些小树叶子的面积是大树叶子面积的多少倍。你知道如何解答吗？

回答：

我们可以分别计算出每片叶子的面积，然后算出它们的比例。而对于每片树叶的面积，我们可以这样计算：把叶子放在一张透明的方格纸上，并数出叶子占据了多少个方格。假设每个方格是4平方毫米，那么我们就可以算出这个叶子的面积。这个方法虽然比较麻烦，但是很精确。

还有一种比较简单的方法，就是运用几何学中的相似性来解决这个问题。我们知道，这样两个图形的面积的比，等于它们直线尺寸平方的比，所以，只要知道了一片叶子比另一片长（或宽）多少倍，就可以由它们的平方算出两者面积的比值。比如说，小树叶子长15厘米，而大白杨树叶子长4厘米，那么它们直线尺寸的比就是 ，这样可以得出前者是后者的 ，大约为14。也就是说，小树叶子的面积大约是大白杨树叶子面积的14倍。

问题：

再提一个类似的题目，一朵在树荫下生长的蒲公英的叶子长31厘米，阳光下生长的蒲公英的叶子长3.3厘米。请问前者的面积是后者面积的多少倍？

回答：

如前文介绍的方法，两片树叶的面积之比是：

我们可以看出，树荫下的树叶的面积约是阳光下叶子面积的88倍。

我们经常可以在林子里面看到一些形状相似但是大小不同的树叶，你都可以利用它们是相似图形的性质进行研究比较。仔细计算后，你会惊奇地发现，两片长和宽很相近的叶子的面积的差距却很大。举个例子，两片形状相似的树叶，一片比另一片长约20%，但是它们之间的面积比竟然可以达到1.2 ² ≈1.4。

通过计算可以得出，大叶子比小叶子的面积多约40%。如果两片叶子的宽相差40%，那么大叶子的面积大约是小叶子面积的2倍：

1.4 ² ≈2。 p0z9jW37jgOnTDOjO8Sx+F8tzh8MkbEMLiiM6E83vykPeQmLBNPKwp0NAG2h6s/R