第一章

小时候，发生在我身上的一件事情一直令我记忆犹新：一个秃顶的守林人站在一株大树旁边，用一个小小的仪器测量大树的高度。我以为他要爬到树顶上，然后用尺子测量大树的高度，结果老头并没有这样做，他用那个小工具对着大树瞄了一下，然后旁人告诉我，测量已经结束了，而我以为还没有开始呢。

那个时候我还年幼，我觉得这种既不需要把大树砍倒，也不需要爬到树顶上去测量高度的方法非常神奇，就像魔术一样。这个疑问一直萦绕在我心中，直到后来，我上学学习到了数学知识，才知道这个魔术的原理竟然如此简单，而且有各种各样的计算方法。

最简单最古老的方法当属公元前六世纪古希腊人泰勒斯利用阴影来测量金字塔高度的方法。法老、祭祀和人们聚集在一起，迫切地想要看到这个希腊人如何测量他们雄伟的金字塔的高度。

传说公元前六百年的激动人心的那个时刻，泰勒斯在太阳底下的影子和他人的高度正好相等。泰勒斯通过测量阴影的长度得到了金字塔的高度。

也许我们今天学过几何的孩子们都觉得这个问题很容易解答，但是不要忘记，在那个年代，泰勒斯的举动被埃及人认为是惊为天人的。泰勒斯用三角形的特性解决了测量金字塔高度的问题，而在他之后的三百年，也就是公元前300年，希腊数学家欧几里得发现了三角形的其他特性，并将其结集成书。在他死后直到今天，我们一直在学习他的几何知识，今天我们所熟知的很多定理和知识都来自这本书。

现在我们的学生都知道，其实泰勒斯利用的是三角形的两个特性：

1.等腰三角形的两底角相等；反过来说，等角所对应的边也必然相等；

2.任意三角形的三个角之和等于180度。

泰勒斯正是因为知道这两点，所以他才能够确定，当他的影子长度等于他的身高时，太阳光以45度角射向地面的。因此，金字塔的顶点、塔底的中心点以及塔的阴影的端点三者之间刚好形成了一个等腰直角三角形。

在阳光灿烂的日子，利用泰勒斯的这种测量方法来测量大树的高度是相当方便的，但大树只能是一株孤零零的大树，旁边没有别的树木，因为别的树木的阴影会和这株大树重叠在一起，影响测量结果。泰勒斯的这种方法还有一个限制，那就是在高纬度的地区，太阳经常距离地平线很近，因此很难找到合适的测量时机，只有在夏季正午左右才能使用这个方法来测量大树的高度。

但是这个局限是容易克服的，我们并不一定非要在那个特殊的时间才能测量。我们在测量高度的时候，除了要测量出测量对象的阴影长度之外，我们还需要另外测量出自己的身体或者一根杆子的阴影长度，这样就可以根据它们之间的比例计算出所要测量对象的高度：

AB：ab=BC：bc

我们能够这样操作的原因是利用三角形ABC和三角形abc的相似性。也就说，树影的长度是杆子或身体长度的几倍，树的高度也就是你身高的几倍。

死记硬背这个规则是没有什么真正的意义的，我们需要做的是了解其中的几何学原理，因为在有些情况下，这个规则是不适用的。

请看图2，在路灯灯光投射出来的阴影下，木柱AB的高度比木桩ab高出大约两倍，但是木柱AB的阴影BC却是木桩ab的阴影bc多出七倍。这是为什么呢？因为太阳光线和路灯照射出来的光线是不一样的，路灯的光是点式的，所以它的光线是发散的，而太阳光的光线是平行的。

也许亲爱的你会发出质疑，如何判断出太阳光线是平行的？确实，从精确测量的角度来讲，太阳光线是有角度的，但是这个角度对于粗略测量来说，基本可以忽略不计。

我们来举一个简单的例子。假定太阳上某一点发出了两道光线，它们落到地面上相距1000米的某两点，假如我们有一把巨大的圆规。我们可以把圆规的一只脚放在太阳发出光线的那一点上，另外一只脚以太阳到地球的距离（即150000000千米）为半径画一个圆。我们计算得知，两道光线（两条半径）之间的弧长是1000米，而这个巨大的圆周长应该等于2×π×150000000千米=940000000千米。

这个圆周上每一度的弧长是圆周的 ，约为2600000千米；每一分的弧长是每一度的 ，约为43000千米，而每一秒的弧长又是每一分的 ，约为720千米。而我们假设的弧长只有1千米，因此，我们知道，与它对应的角只有 秒。即使是精密的仪器也很难测量出如此微小的角度。所以，在测量的实际经验中，我们可以将太阳发出的光线视为平行的直线。

在这个阴影测量法中还有一个问题，因为太阳并不是点状光源，而是一个巨大的、四散的发光体，太阳光投射出来的每一个阴影的尽头都有一圈轮廓不明的影子，我们很难清晰的画出它的界线，因此也无法完全精准的测量出阴影的长度。

在图3中就能看到，树影BC会多出一段逐渐消失的半影CD, C、D两点与树顶A所形成的∠CAD与我们平常看太阳圆面所夹的角是相同的，我们称之为半度。因此，即使太阳的位置较高，因为阴影的原因所带来的在精确性上的误差也可能达到5%或者更多。再加上地面有起伏等无法避免的因素，也增大了误差。因此在山峦地带，这样的阴影测量法也不适用。

除了我们在上一章中介绍的阴影测量法外，还有没有什么别的便捷的测量高度的方法吗？只要我们掌握了一定了几何学知识，就会发现这种测量方法还真不少，现在先向大家介绍如下两种。

第一种方法：

我们制作一种简单的测量仪，它的原理就是等腰直角三角形的性质。制作这种简易测量仪的材料很容易获得：一块木板和三个大头针。首先在木板上画一个等腰直角三角形。如果没有工具，可以用一张纸对折两次就能得到一个直角。当等腰直角三角形画好之后，将三个大头针分别置于这个等腰直角三角形的顶点，这样，简单的测量仪就做好了。

我们再用这个工具测量树木高度时，应该与树木保持一定的距离，手拿仪器，在a点上用一根细线吊上一个小重物，使三角形的一条直角边始终与地面垂直。之后，手持测量仪的人往树木方向靠近或远离，通过不断移动找到A点，当你从A点经过大头针a和c向树顶C方向望去时，树顶C刚好被挡住了。这就说明，直角三角形的斜边ac的延长线通过点C，因为∠a=45°，所以，距离aB显然跟CB是相等的。同时，AD=aB，因此只需测量出在地面上拿测量仪的人与树木之间的距离AD，再加上BD，就能得到树的高度CD了。

还有一种更加简便的方法，你只需要找一根长杆子，把它垂直插到地下，长杆露在地面上的部分应该等于你站立时眼睛离地面的距离。但是插杆地点的选择需要特别注意。请看图6，当你仰面朝天躺在地上时，你应该看到长杆顶端和树的顶端在一条直线上。因为三角形Aba是等腰直角三角形，所以通过测量AB的长度就能得到想要测量的树的高度了。

我们有时可能想要测量一株我们无法靠近的大树，这个时候应该怎么办呢？不用担心，我们还是能够办到的。

聪明的人们特地为了这种情况设计出了一种测量仪器，这种仪器虽然很巧妙，但是并不复杂，自己都能制作成功。请看图7，将两条长条板保持互相垂直并钉在一起，使ab等于bc, db等于ab的一半，这样仪器就做好了，或者还有一种方法，不需要长条板，直接将四个大头钉钉在一块木板的a, b，c, d四个点上，效果也是相同的。

测量高度的时候，将有一个悬锤的仪器拿在手中，使长条板cd保持垂直，然后分别站在两个地方进行测量：首先在A点测量，此时需要将仪器的c端向上；测量完后，来到A′点进行测量，此时需要将仪器的d端向上。这样的A点和A′点的选择有什么特殊的要求呢？对于这两个点的选择要求是这样的：对于A点来说，从点a朝着点c望过去的时候，a, c以及大树的顶端B刚好在一条直线上，如图7所示；对于A′点来说，从点a′朝着点d′望过去的时候，a′，d′以及大树的顶端B刚好在一条直线上。

在这个测量实践中的关键就是对于A点和A′点的选择定位。因为需要测量的大树的高度的BC部分刚好等于AA′。这是为什么呢？我们从下面的等式中很容易理解BC等于AA′的原因：

因此，在我们无法靠近所需测量高度的大树时，我们可以通过这种办法来测量大树的高度。如果我们能够走到大树那儿的话，这种测量当然就更加简单，只要找到点A或点A′的其中一点，我们就可以知道大树的高度了。

问题：

你知道如何利用镜子来测量树木的高度吗？请看图8，将一面镜子放在点C，这与需要测量高度的大树之间有一定的距离。然后测量者不断往后退，直到刚好可以在镜子中看到大树顶端A的位置，我们将测量者此时站立的位置称为点D。此时，树高AB是测量者身高ED的多少倍？从树的位置B到镜子的距离BC是镜子到测量者距离CD的多少倍？通过计算，你可以发现，它们是相等的。为什么呢？

回答：

如图9所示，由光的反射定律得知，树顶端A在镜子中的成像是点A′，AB=A′B。又因为三角形BCA′和DCE是相似三角形，所以我们可知：

A′B：ED=BC：DC

因为AB=A′B，所以我们就能得到比值的答案。

这种利用镜子测量树木高度的方法不像前文介绍的方法那样受到天气条件的局限，它可以在任何天气情况下应用，但是同样的，它只能测量一株一株的树木，而不能测量森林中的树木。

我们继续探讨利用镜子来测量树木高度的问题。

问题：

我们是否可以利用镜子来测量无法靠近的树木的高度？

回答：

这个问题在六百多年前就已经有人提出了，现在依然很经典。1400年，数学家安东尼·德·克雷蒙氏曾经在他的著作中详细探讨过这个问题。

我们可以通过两次使用镜子来解决这个问题。如图9所示，先把镜子分别放在两个地方进行测量，根据相似三角形的比例关系可以推算出，所要测量的树的高度等于测量者眼高乘以两个距离的比，这两个距离一个是两次放置镜子间的距离，另一个是两次测量时测量者与镜子间的距离的差。

到目前为止，我们已经讨论了不少如何测量树木高度的问题，我们将继续在森林中寻找有关数学的乐趣。

现在你在树林中散步，可能发现自己已经可以运用多种方法来测量树木的高度了。但这也许已不能满足你，也许你已经开始好奇如何能够通过数学知识算出一棵大树的体积，知道它到底有多重，它能变为多少根木材呢？到底多少辆卡车才足以把这些木材运走呢？你的脑海中会浮现出形形色色类似的问题，可惜的是，这类问题的答案并不像测量树木的高度那么简单，哪怕是满腹学识的数学家也难以求得这个问题的精确答案，他们也只能通过自己的数学知识获得一个近似值。

这是因为，无论哪棵树，都不会完全平滑，没有任何的凸凹不平，哪怕将树皮剥去，这棵树也不会是一个正规的圆柱体或圆锥体。有人可能觉得大树是一个圆柱体，又有人觉得它会是一个圆锥体，其实它们都不是。总而言之，树干不是一种可以通过公式能够计算出精确体积的几何体。

我们无法利用简单的几何知识计算出树干的体积，我们只能运用高等数学中的微积分知识得到树干的相对精准的体积数值。很多人认为，高深的高等数学只属于象牙塔，但并非如此，测量一根圆木的体积也需要它的帮忙；同样，初等数学也不仅仅运用于日常生活，天文学家们有时候会利用初等数学计算恒星或行星的体积，得出的结果反而是精确的，是否觉得不可思议呢？

在这本书中，我也不打算向读者介绍高等数学的知识来计算树干精确的体积，我会告诉你们用初等数学粗略计算树干体积的方法。

我们在此做出这样的假设：假设树干与圆台的体积相近；如果有树梢，那么我们假设，它与圆锥的体积相近；而很短的一截树干，我们可以将之视为圆柱。以上三种几何体的体积都能通过公式计算出来。那么，是否存在一个体积公式同时适用于以上三种几何体呢？如果存在，我们就不用费心琢磨树干的形状到底更接近于哪种几何体了，我们就能直接计算出这个树干的体积的近似值了。

对于这个问题，真的存在一个万能的公式吗？答案是肯定的。并且这个公式不仅适用于上面提到的圆台、圆锥和圆柱，它还普遍适用于任何的棱柱、棱锥和棱台，甚至还能适用于球体。这到底是怎样一个神奇的公式呢？——这就是著名的万能公式“辛普森公式”：

其中，h是立体的高度，

b ₁ 是下底面积，

b ₂ 是中间截面面积，

b ₃ 是上底面积。

问题：

请证明这个公式能够计算出圆台、圆锥、圆柱、棱柱、棱锥、棱台和球体这七种几何体的体积。

回答：

将公式一一代入计算上述七种几何体的体积即可得到验证。

应用于棱柱和圆柱（图10.a），得到：

应用于棱锥和圆锥（图10.b），得到：

应用于圆台（图10.c），得到：

棱台体积也能使用相同方法求证。

最后，应用于球体（图10.d），得到：

问题：

这个万能公式不仅适用于各种立体几何形状，它还能用于计算各种平面图形的面积，如平行四边形，梯形，三角形。我们所需要做的仅仅是把公式中的字母替换一下（请看图11）：

h是高度，

b ₁ 是下底长度，

b ₂ 是中间线长度，

b ₃ 是上底长度。

请对此进行证明。

回答：

将万能公式应用于上面所说的三种平面图形中，应用于平行四边形（包括正方形和矩形）（图11.a），得到：

应用于梯形（图11.b），得到：

应用于三角形（图11.c），得到：

由此可见，万能公式是名副其实的。

对于已被砍倒在地的树干，只要知道四个数值：树干的长度、上底面的面积、下底面的面积和中间截面的面积，无论它是圆柱、圆锥，还是圆台，你现在都已能够轻松运用上面介绍的“万能公式”来计算出它的体积了。

上底面的面积、下底面的面积以及树干的长度这三个数值比较容易测量得出，而测量中间截面的面积需要使用一种名为“量径尺”的特殊设备，请见图12。如果没有这种专业设备，我们也能够找到替代的方法。我们可以用绳子测量出树干的圆周长，然后再除以3.14（圆周率），就可以得出圆周的直径了。其实很多时候，这样计算得出的数值的精确度已经足够了。

如果我们完全把树干看作圆柱体，把树干中间处截面的直径等同于圆柱的直径，这样得出来的结果常常会比实际数值偏小约12%。但是如果我们采用分段计算的方式，将树干分为一段一段的、作为圆柱体分别计算，然后将计算出来的结果相加，这样计算得出的树干总体积相对来说要准确得多，通常与实际数值相差2%～3%。

但要注意的是，上面介绍的这些方法只适用于已被砍倒的大树，对于长在地面上的大树是不适用的。如果你不想爬树，那么你只能得到大树底部的直径，以此计算得出的结果只能是一个粗略的近似值。在日常生活中，我们的林业工作者也就是这样操作得到一个大约的数值的。

专业的林业工作者有一张“材积系数表”，通过查阅这张表，工作人员可以得知在130厘米处测量的数值计算出的树木体积是同一高度和直径的圆柱体体积的百分之几。因为大树的形状是各种各样的，“材积系数表”理所当然会因为种类、高度的不同而有所变化。但是这些区别很细微，对于松树和柏树，这个系数的差别大约是0.5。

知道了树木的体积，想要估算出树木的重量那就容易得多了。我们只需要知道每立方米的松树或柏树的重量为600-700千克就够了。如果你已经知道了一棵松树或柏树的高度是28米，130厘米处树干的周长是120厘米，这样通过计算就能知道这个圆柱体的截面积大约是1100平方厘米或0.11平方米，树干的体积大约是×0.11×28，约等于1.5立方米。假设松树或柏树的木材平均每立方米的重量为650千克，那么，1.5立方米的木材重约一吨（1000千克）。

问题：

自然界有一个有趣的想象，在一株高大白杨树底下生长的小树的叶子，反而比大白杨树的叶子大得多，这是因为叶子需要阳光，树荫下的叶子只有增大自己的面积才能获得足够的阳光。虽然这些知识是植物学家告诉我们的，但是我们可以利用几何知识算出这些小树叶子的面积是大树叶子面积的多少倍。你知道如何解答吗？

回答：

我们可以分别计算出每片叶子的面积，然后算出它们的比例。而对于每片树叶的面积，我们可以这样计算：把叶子放在一张透明的方格纸上，并数出叶子占据了多少个方格。假设每个方格是4平方毫米，那么我们就可以算出这个叶子的面积。这个方法虽然比较麻烦，但是很精确。

还有一种比较简单的方法，就是运用几何学中的相似性来解决这个问题。我们知道，这样两个图形的面积的比，等于它们直线尺寸平方的比，所以，只要知道了一片叶子比另一片长（或宽）多少倍，就可以由它们的平方算出两者面积的比值。比如说，小树叶子长15厘米，而大白杨树叶子长4厘米，那么它们直线尺寸的比就是 ，这样可以得出前者是后者的 ，大约为14。也就是说，小树叶子的面积大约是大白杨树叶子面积的14倍。

问题：

再提一个类似的题目，一朵在树荫下生长的蒲公英的叶子长31厘米，阳光下生长的蒲公英的叶子长3.3厘米。请问前者的面积是后者面积的多少倍？

回答：

如前文介绍的方法，两片树叶的面积之比是：

我们可以看出，树荫下的树叶的面积约是阳光下叶子面积的88倍。

我们经常可以在林子里面看到一些形状相似但是大小不同的树叶，你都可以利用它们是相似图形的性质进行研究比较。仔细计算后，你会惊奇地发现，两片长和宽很相近的叶子的面积的差距却很大。举个例子，两片形状相似的树叶，一片比另一片长约20%，但是它们之间的面积比竟然可以达到1.2 ² ≈1.4。

通过计算可以得出，大叶子比小叶子的面积多约40%。如果两片叶子的宽相差40%，那么大叶子的面积大约是小叶子面积的2倍：

1.4 ² ≈2。 IsIYOu6XaNPgq7xDx3ZAlbtHTePsQyXBEKUTXYf9mURGtfSahtuRUobj0PbeaJyj

第二章

在前一章中，我们学习到了如何不爬上大树而测得大树的高度，同样的，我们可以不渡过河流而得知河流的宽度。在测量河流宽度的过程中，我们使用的方法也是用一个便于直接量出的距离来代替那些我们需要测量的距离。

其实不渡过河流而测得河流宽度的方法很多，下面我们将给大家介绍四种简单易操作的方法。这几种方法不但容易操作而且准确性较高。

第一种方法：

这种方法需要利用三角形的特性：如果直角三角形的一个锐角为30°，那么这个锐角所对应的直角边的长度应该是斜边长度的一半。这个定理是很容易证明的。请看图16中的左图。假设直角三角形ABC中角B等于30°，我们需要证明的就是AC= AB。我们以BC为轴，把三角形ABC翻转到和原来位置对称的位置，构成了新的图形ABD，其中ACD是一条直线。 ，所以在三角形ABD中，角A为60°，角ABD是两个30°角的和，所以也是60°。根据三角形等角对等边的性质，可知AD=BD，又因为 。现在，我们就能根据三角形的这个性质来测量河流的宽度了。

我们先准备好一块木板，在上面将大头针放置好——三枚大头针构成了直角三角形，其中一个直角边恰好等于斜边的一半。请看图17，我们将这个仪器带到河边，放置在C点处，使AC方向上与木板上的大头钉ac构成的直线相重合。沿着三角形abc较短的一条直角边bc过去，在CD上找到一个点E，这个E点能够使EA刚好与CD垂直，此时，角A为30°，根据前文，我们容易得知，直角边CE的长度是AC的一半；那么，我们只需要知道CE的距离，然后乘以2就能得到AC的长度，用AC的长度减去BC的长度，就能得到我们所想知道的河流的宽度了。

第二种方法：

利用这种方法的时候，我们需要先制作一个简易的小仪器。我们需要一块木板和三个大头针，我们将大头针放置在木板上，使大头针的三个点构成一个等腰直角三角形。请看图18，我们将这个简单的小仪器带到河边。就像图中的小伙子那样将它举起来。

请见图19，图中河流AB的宽度就是我们要测量的数值。人站在河岸边的C点，将小仪器放在眼睛前面，眼睛顺着大头针的方向望过去，当A、B两点完全被木板上大头针的a、b两点完全遮住的时候就调整好了。此时，人站立的位置就刚好在直线AB的延长线上。不要挪动仪器，木板上大头针的b、c两个点构成的直线是和刚才人眼睛望过去的方向是垂直的。沿着b、c点望过去，就能找到D点，它刚好被b、c点挡住。这同样也说明，这个D点就在与AC垂直的这条直线上。将C点固定起来，然后带着小仪器沿着直线CD往前走，直到找到一点E，请看图20。在这个E点上，木板上的大头针a点刚好把A点遮住，木板上的大头针b点刚好把C点遮住，此时新的三角形ACE就形成了。在这个三角形中，∠C为直角，∠E是 直角，∠A也是 直角，所以AC=CE。如果此时我们能够知道CE的距离，然后减去BC的距离，我们就能知道AB的距离，这就是我们想要测量的河流的宽度了。

在运用这个方法的时候，有一点需要特别注意，那就是一定要拿稳，保持不动！或者可以将这个小仪器放在一根杆子上，然后把杆子插进地面。

第三种方法：

这种方法与第二种方法类似。请看图21，先沿着AB延长线找到点C，然后借助方法二中的小仪器找到点D，保证AC与CD垂直。

在直线CD上找到任意一点E，这点E能使CE=EF，分别再用钉子给E点和F点做标记。然后在F点使用小仪器，在与FC垂直的方向FG上寻找一个点H，从点H望过去，点A刚好被点E遮住了。此时，H、E、A三点刚好在同一条直线上了。

到目前为止，我们已经达到我们的目的了。根据全等三角形的性质，我们知道FH的长度等于AC的长度，所以我们只需从FH中减去BC就能求得河流的宽度AB了。

不难发现，这种方法需要很大的面积才能够实施，如果现场条件不允许，我们只能采用其他方法了。

第四种方法：

这种方法是在第三种方法上的略微改变。这种方法与第三种方法相比，需要的场地面积要小得多，所以更加实用一些。这一次我们在CD上寻找的并不是两条相等长度的线条，而是找到长度不相等的线段，但是其中一段的长度要是另一段长度的整数倍。

请看图22，EC的长度是FE的四倍，我们接着要做的事情和方法二是相同的。在F点使用小仪器，在与FC垂直的方向FG上寻找一个点H，从点H望过去，点A刚好被点E遮住了。只不过此时的FH的长度不再与AC的长度相等，而是AC长度的四分之一。这是因为ACE和EFH两个三角形是相似三角形，根据相似三角形的性质，我们可以知道：

AC︰FH=CE︰EF=4︰1

所以，用测量出来的FH的长度乘以4就是AC的长度了，然后减去BC的长度得到的就是我们需要测量的河流的宽度。

在某次战斗中，一个部队中的班长巧妙利用帽檐估算出了一条河流的大致宽度，立下了大功。

当时，那支小分队接到了一个重要任务，需要估算出一条河流的宽度。于是，班长带领部队悄悄来河边，躲在河岸边的树丛中。他和一名战士偷偷地爬到岸边，在那儿他们可以清楚地看到河对岸敌人的堡垒。这样看来，他们只能用不暴露自己的方法来测得河流的宽度。聪明的班长决定利用自己的帽檐来计算河流的宽度。他的方法是这样的：

首先，测量者面向对岸，头戴帽子，帽子必须是这样戴着的：帽子的帽檐在眼睛的正上方，眼睛向前望的时候，帽檐的底边正好与对面的河岸线重合。请看图23。头部保持不动，测量者全身向左转或向右转，甚至可以向后转。找到从帽檐下可以看到的最远的点，而从测量者到这个点的距离就是这条河流的大约宽度。

聪明的班长就是用这个办法获得了那条河流大约的宽度——105米，顺利完成了上级交代的任务。你知道其中的数学原理吗？

请看图23，测量者从帽檐投射出视线，最开始的时候是将视线对准了对面的河岸线。请看图24，当测量者转身的时候，他的视线就好像圆规一样在空间中画了一个圆，这时AC和AB都是这个圆的半径，所以AC和AB的长度是相等的。

假设你站在湖边或海边，你看到水当中有一座小岛，如果你不离开岸边，你能顺利测量出这座小岛的长度吗？

在不能离开岸边的前提条件下，我们显然是无法到达小岛的左右两端，但是别担心，我们完全可以完成这个任务，而且不需要太复杂的仪器。

请看图25，首先，我们在岸边任意选取两个点——P和Q，并分别在这两个点上用木桩做标记。在P点和Q点连成的直线上找到两点M和N，使M点与A点连接得到的线段AM垂直于PQ，使N点与B点连接所得到的线段BN也垂直于PQ，这个工作可以使用我们之前提到的小仪器来进行。然后用木桩在MN的中点O处做记号，并在AM的延长线上找到点C，使从C点望过去的时候，O点刚好挡住了B点。同样的，在BN的延长线上找到点D，使从D点望过去的时候，O点刚好挡住了A点。这样，CD的长度就是我们想要测量的小岛的长度AB。

这个证明过程并不复杂，我们运用基本的几何知识就能证明。请看△AMO和△ODN这两个直角三角形，△AMO的直角边MO和△ODN的直角边NO相等。不仅如此，∠AOM和∠DON也是相等的。△AMO和△ODN这两个三角形是全等三角形，所以，AO=OD。我们可以用类似的方法证明，BO=OC。我们再看看△ABO和△CDO，我们会发现它们也是全等三角形。这样很容易得出，AB和CD也是相等的。

有位英国物理学家刘易斯曾在他的一本名为《肥皂泡》的书中写道：

我曾经做过这样一个试验：我将一小勺橄榄油倒在水面上，观察会发生什么。我发现，橄榄油很快就扩散开来，形成很大的一层圆形的膜，直径甚至达到了二三十米，这个直径可是我勺子直径的一千多倍。这样一来，我就可以算出，水面橄榄油膜的厚度约为0.000002毫米，厚度大约为放在勺子中的油滴厚度的百万分之一。

在排放废料的工厂周围的河面上经常会出现刘易斯提到的这种现象。在离工厂排污管很近的河面上经常可以看到闪闪发光、五颜六色的薄膜，那就是工厂废弃物中的油性物质。油漂浮在水面上，是因为油比水轻的缘故。但是你知道刘易斯是用什么方法计算出水面上油膜的厚度的吗？

这个问题看起来很复杂，其实你知道了其中的窍门就知道其实很简单。你肯定知道，我们不可能直接用尺子去量，这么小的厚度，尺子也是无法测量出来的。我们还是需要利用几何知识。我们用10克的机油来做实验。我们将10克的机油倒入水中，当机油扩散开来，在水的表面形成了大大的圆斑时，我们能够测量出圆斑的直径，从而能够计算出圆斑的面积。我们已经知道了机油的重量——10克，因此能够计算出它的体积。得到了这些数据之后，我们就能轻而易举的算出这个油膜的厚度了。

如果你还没有弄明白，我们一起来看看下面这个例子。

问题：

将重量为1克的煤油放在水面上，扩散开来后形成了直径为30厘米的圆斑，每立方厘米煤油重0.8克，那么请问，水面上油膜的厚度是多少？

回答：

煤油油膜的体积是不变的，和初始的状态是一样的，我们已知每立方厘米煤油重0.8克，那么1克煤油的体积就是 =1.25立方厘米，即是1250立方毫米。一个直径300毫米（=30厘米）的圆斑，面积约为70000平方毫米，油膜的厚度用油膜的体积除以油膜的面积就可以获得：

由我们的计算结果可以看出，油膜的厚度大约是1毫米的五十分之一，这根本是用普通的测量工具无法测量出来的。如果是肥皂泡，它在水面上会扩散得更薄，厚度甚至还不到0.0001毫米。

我们把一块石头丢到水中，水面会泛起涟漪。就如图26中的一样。对于这个现象，你感到理所当然，从未感到困惑。石头落入水面，激起的波浪以石头为中心，向四周扩散。每层波浪都处于同一个圆周上。

这是在平静的水面中发生的事情，那么换作流动的水面呢？会发生什么情况呢？在流动的河水中投入一块石头，激起的波浪也是圆圈吗？会变成椭圆形或者其他别的形状吗？

你在脑海中想象着湍急的河流中投入一块石头，因为水流速度的作用，你可能会觉得这个圆圈不再规整，而会被扭曲，被拉扯。但实际情况和你所想的并不相同，石头激起的波纹依旧是规规整整的圆形波纹，和在平静的河水中投入一块石头形成的波纹并无两样。这是为什么呢？

如图27所示，圆形的波纹被河水的流动所吸引，每个点都被吸引到图上箭头所标示的对应位置上，而且所有点移动的距离都是相等的，彼此互相平行的，它们移动的速度也是一样的，这样的移动当然不会改变图形的形状。

请看图27，原来的四边形1234经过平行移动之后，变成了新的四边形1′2′3′4′——1点移到了1′点，2点移到了2′点，3点移到了3′点，4点移到了4′点。如果我们在圆周上选取更多的点，移动后就会得到全等的多边形，如果我们在圆周上取无数多个点，那么我们等于得到了整个圆周，这样在移动之后，我们会得到一个全等的圆周。

经过这番解释，你现在知道了为什么水流不会改变波纹的形状了吧？

作家果戈里曾经对第聂伯河有一段描写，“群星在黑色的夜幕中闪闪发光，它们的倒影全部落入了第聂伯河中，第聂伯河拥抱着它们，没有一颗星星能够逃脱，除非它们自己幻灭。”果戈里对于第聂伯河的描写既真实也富有文学性。当人们站在河岸边时，会感觉漫天的繁星都映照在河流中，但是河流中真的能看到所有的星星吗？

请看图28，MN是河水的水面，A是站在河岸边的观察者的眼睛位置，观察者从A点望向河面，可以看到哪些星星呢？

为了回答这个问题，我们从点A做一条垂直于MN的直线AD，并将AD延长到A′，使AD=DA′。如果观察者的眼睛位于点A，从A点仰望星空，他能看到的实际上是∠BA′C以内的星空，位于∠BA′C以外的星星，观察者实际上是看不到的。

我们应该如何证明这一点呢？如何证明观察者在河中其实看不到∠BA′C之外的星星呢？比如，如何证明我们无法看到星星S呢？

我们根据光的反射定律，将S投射到离河岸比较近的M点的光线路径作为研究对象，S点的光线在MP的角度从水面发生反射，沿着和MP相等的入射角SMP的角度从水面上发射出去。从△ADM、△A′DM两个三角形是全等三角形可以得知，∠SMP的角度要小于∠PMA的角度，这证明了星星S反射的光线并不在∠BA′C的范围内，而是从A点旁经过。如果星星S的光线被河水反射的地点离河岸的距离比M点离岸更近，那么反射光线与观察者的距离也更远。

我们分析到这里，你就可以知道果戈里对于星空的描写带有文学性的夸张成分，第聂伯河中的星星并不是天空中所有的星星，事实上，天空中的星星比映照河中的要多得多。而且更加出乎人意外的是，并不是越宽广的河流看到的星星就越多。在河岸低矮、河道狭窄的河岸边，你俯下身来，找到一个合适的角度，你会发现，你看到的星空更为广阔，正如图29中所示。你可以试着证明一下，会发现结果令你惊叹。

问题：

请看图30，有一条河流，两边的河岸基本是平行的，现在要在这条河上建造一架与河岸垂直的桥，使A到B的路程最短，这座桥应该建在哪里呢？

回答：

从A点作一条和河流方向垂直的直线，在这直线上截取和河面等宽的线段AC，连接B和C，这样就能找到D点，在这个D点建桥，能够使AB之间的距离最短。

当我们从D点出发，垂直于河岸建起桥DE，如图32所示，我们将E和A连接起来，得到一条从A出发的路径AEDB，其中，AE和CD是互相平行的，ACDE是一个平行四边形，两边AC和ED的长度相等而且互相平行。因此，AEDB的长度与ACB的长度相等。我们现在很容易证明任何一条别的路都要长于这条路。

假设存在一条这样的路AMNB（图33），它的距离要比AEDB短，选取一个点M，我们已知，AEDB的长度与ACB的长度相等，那么就是说，它的距离要比ACB短。我们先将C和N连接，可知CN等于AM，这就说明AMNB等于ACNB。但显然，路径CNB比路径CB长，也就是ACNB比ACB长，所以也比AEDB长。通过这个不成立的假设，我们知道，AMNB并不比AEDB短，而是比它长。

如果你还不服气，认为一定存在一个这样的M点能使距离更短，那么你还可以用这种证明方法多证明几次，你最终会发现，AEDB始终是最短的一条路径。

这一次我们要考虑一下更为复杂一些的情形，而这种情形在实际中经常也会出现。请看图34，我们还是需要找到A到B之间最短的路径来修建桥梁，这次要跨过两条河流，请问应该如何修建桥梁呢？

从A点出发作一段与第一条河流等宽并与河岸垂直的线段AC，同样的，从B点出发作一段与第二条河流等宽并与河岸垂直的线段BD。连接C、D两点，我们就能得出，在E点修建桥EF，在G点修建桥GH。从A点出发的AFEGHB路线将是从A到B之间最短的路径。具体的证明过程与上一节介绍的方法相同。 IsIYOu6XaNPgq7xDx3ZAlbtHTePsQyXBEKUTXYf9mURGtfSahtuRUobj0PbeaJyj