第二章

在前一章中，我们学习到了如何不爬上大树而测得大树的高度，同样的，我们可以不渡过河流而得知河流的宽度。在测量河流宽度的过程中，我们使用的方法也是用一个便于直接量出的距离来代替那些我们需要测量的距离。

其实不渡过河流而测得河流宽度的方法很多，下面我们将给大家介绍四种简单易操作的方法。这几种方法不但容易操作而且准确性较高。

第一种方法：

这种方法需要利用三角形的特性：如果直角三角形的一个锐角为30°，那么这个锐角所对应的直角边的长度应该是斜边长度的一半。这个定理是很容易证明的。请看图16中的左图。假设直角三角形ABC中角B等于30°，我们需要证明的就是AC= AB。我们以BC为轴，把三角形ABC翻转到和原来位置对称的位置，构成了新的图形ABD，其中ACD是一条直线。 ，所以在三角形ABD中，角A为60°，角ABD是两个30°角的和，所以也是60°。根据三角形等角对等边的性质，可知AD=BD，又因为 。现在，我们就能根据三角形的这个性质来测量河流的宽度了。

我们先准备好一块木板，在上面将大头针放置好——三枚大头针构成了直角三角形，其中一个直角边恰好等于斜边的一半。请看图17，我们将这个仪器带到河边，放置在C点处，使AC方向上与木板上的大头钉ac构成的直线相重合。沿着三角形abc较短的一条直角边bc过去，在CD上找到一个点E，这个E点能够使EA刚好与CD垂直，此时，角A为30°，根据前文，我们容易得知，直角边CE的长度是AC的一半；那么，我们只需要知道CE的距离，然后乘以2就能得到AC的长度，用AC的长度减去BC的长度，就能得到我们所想知道的河流的宽度了。

第二种方法：

利用这种方法的时候，我们需要先制作一个简易的小仪器。我们需要一块木板和三个大头针，我们将大头针放置在木板上，使大头针的三个点构成一个等腰直角三角形。请看图18，我们将这个简单的小仪器带到河边。就像图中的小伙子那样将它举起来。

请见图19，图中河流AB的宽度就是我们要测量的数值。人站在河岸边的C点，将小仪器放在眼睛前面，眼睛顺着大头针的方向望过去，当A、B两点完全被木板上大头针的a、b两点完全遮住的时候就调整好了。此时，人站立的位置就刚好在直线AB的延长线上。不要挪动仪器，木板上大头针的b、c两个点构成的直线是和刚才人眼睛望过去的方向是垂直的。沿着b、c点望过去，就能找到D点，它刚好被b、c点挡住。这同样也说明，这个D点就在与AC垂直的这条直线上。将C点固定起来，然后带着小仪器沿着直线CD往前走，直到找到一点E，请看图20。在这个E点上，木板上的大头针a点刚好把A点遮住，木板上的大头针b点刚好把C点遮住，此时新的三角形ACE就形成了。在这个三角形中，∠C为直角，∠E是 直角，∠A也是 直角，所以AC=CE。如果此时我们能够知道CE的距离，然后减去BC的距离，我们就能知道AB的距离，这就是我们想要测量的河流的宽度了。

在运用这个方法的时候，有一点需要特别注意，那就是一定要拿稳，保持不动！或者可以将这个小仪器放在一根杆子上，然后把杆子插进地面。

第三种方法：

这种方法与第二种方法类似。请看图21，先沿着AB延长线找到点C，然后借助方法二中的小仪器找到点D，保证AC与CD垂直。

在直线CD上找到任意一点E，这点E能使CE=EF，分别再用钉子给E点和F点做标记。然后在F点使用小仪器，在与FC垂直的方向FG上寻找一个点H，从点H望过去，点A刚好被点E遮住了。此时，H、E、A三点刚好在同一条直线上了。

到目前为止，我们已经达到我们的目的了。根据全等三角形的性质，我们知道FH的长度等于AC的长度，所以我们只需从FH中减去BC就能求得河流的宽度AB了。

不难发现，这种方法需要很大的面积才能够实施，如果现场条件不允许，我们只能采用其他方法了。

第四种方法：

这种方法是在第三种方法上的略微改变。这种方法与第三种方法相比，需要的场地面积要小得多，所以更加实用一些。这一次我们在CD上寻找的并不是两条相等长度的线条，而是找到长度不相等的线段，但是其中一段的长度要是另一段长度的整数倍。

请看图22，EC的长度是FE的四倍，我们接着要做的事情和方法二是相同的。在F点使用小仪器，在与FC垂直的方向FG上寻找一个点H，从点H望过去，点A刚好被点E遮住了。只不过此时的FH的长度不再与AC的长度相等，而是AC长度的四分之一。这是因为ACE和EFH两个三角形是相似三角形，根据相似三角形的性质，我们可以知道：

AC︰FH=CE︰EF=4︰1

所以，用测量出来的FH的长度乘以4就是AC的长度了，然后减去BC的长度得到的就是我们需要测量的河流的宽度。

在某次战斗中，一个部队中的班长巧妙利用帽檐估算出了一条河流的大致宽度，立下了大功。

当时，那支小分队接到了一个重要任务，需要估算出一条河流的宽度。于是，班长带领部队悄悄来河边，躲在河岸边的树丛中。他和一名战士偷偷地爬到岸边，在那儿他们可以清楚地看到河对岸敌人的堡垒。这样看来，他们只能用不暴露自己的方法来测得河流的宽度。聪明的班长决定利用自己的帽檐来计算河流的宽度。他的方法是这样的：

首先，测量者面向对岸，头戴帽子，帽子必须是这样戴着的：帽子的帽檐在眼睛的正上方，眼睛向前望的时候，帽檐的底边正好与对面的河岸线重合。请看图23。头部保持不动，测量者全身向左转或向右转，甚至可以向后转。找到从帽檐下可以看到的最远的点，而从测量者到这个点的距离就是这条河流的大约宽度。

聪明的班长就是用这个办法获得了那条河流大约的宽度——105米，顺利完成了上级交代的任务。你知道其中的数学原理吗？

请看图23，测量者从帽檐投射出视线，最开始的时候是将视线对准了对面的河岸线。请看图24，当测量者转身的时候，他的视线就好像圆规一样在空间中画了一个圆，这时AC和AB都是这个圆的半径，所以AC和AB的长度是相等的。

假设你站在湖边或海边，你看到水当中有一座小岛，如果你不离开岸边，你能顺利测量出这座小岛的长度吗？

在不能离开岸边的前提条件下，我们显然是无法到达小岛的左右两端，但是别担心，我们完全可以完成这个任务，而且不需要太复杂的仪器。

请看图25，首先，我们在岸边任意选取两个点——P和Q，并分别在这两个点上用木桩做标记。在P点和Q点连成的直线上找到两点M和N，使M点与A点连接得到的线段AM垂直于PQ，使N点与B点连接所得到的线段BN也垂直于PQ，这个工作可以使用我们之前提到的小仪器来进行。然后用木桩在MN的中点O处做记号，并在AM的延长线上找到点C，使从C点望过去的时候，O点刚好挡住了B点。同样的，在BN的延长线上找到点D，使从D点望过去的时候，O点刚好挡住了A点。这样，CD的长度就是我们想要测量的小岛的长度AB。

这个证明过程并不复杂，我们运用基本的几何知识就能证明。请看△AMO和△ODN这两个直角三角形，△AMO的直角边MO和△ODN的直角边NO相等。不仅如此，∠AOM和∠DON也是相等的。△AMO和△ODN这两个三角形是全等三角形，所以，AO=OD。我们可以用类似的方法证明，BO=OC。我们再看看△ABO和△CDO，我们会发现它们也是全等三角形。这样很容易得出，AB和CD也是相等的。

有位英国物理学家刘易斯曾在他的一本名为《肥皂泡》的书中写道：

我曾经做过这样一个试验：我将一小勺橄榄油倒在水面上，观察会发生什么。我发现，橄榄油很快就扩散开来，形成很大的一层圆形的膜，直径甚至达到了二三十米，这个直径可是我勺子直径的一千多倍。这样一来，我就可以算出，水面橄榄油膜的厚度约为0.000002毫米，厚度大约为放在勺子中的油滴厚度的百万分之一。

在排放废料的工厂周围的河面上经常会出现刘易斯提到的这种现象。在离工厂排污管很近的河面上经常可以看到闪闪发光、五颜六色的薄膜，那就是工厂废弃物中的油性物质。油漂浮在水面上，是因为油比水轻的缘故。但是你知道刘易斯是用什么方法计算出水面上油膜的厚度的吗？

这个问题看起来很复杂，其实你知道了其中的窍门就知道其实很简单。你肯定知道，我们不可能直接用尺子去量，这么小的厚度，尺子也是无法测量出来的。我们还是需要利用几何知识。我们用10克的机油来做实验。我们将10克的机油倒入水中，当机油扩散开来，在水的表面形成了大大的圆斑时，我们能够测量出圆斑的直径，从而能够计算出圆斑的面积。我们已经知道了机油的重量——10克，因此能够计算出它的体积。得到了这些数据之后，我们就能轻而易举的算出这个油膜的厚度了。

如果你还没有弄明白，我们一起来看看下面这个例子。

问题：

将重量为1克的煤油放在水面上，扩散开来后形成了直径为30厘米的圆斑，每立方厘米煤油重0.8克，那么请问，水面上油膜的厚度是多少？

回答：

煤油油膜的体积是不变的，和初始的状态是一样的，我们已知每立方厘米煤油重0.8克，那么1克煤油的体积就是 =1.25立方厘米，即是1250立方毫米。一个直径300毫米（=30厘米）的圆斑，面积约为70000平方毫米，油膜的厚度用油膜的体积除以油膜的面积就可以获得：

由我们的计算结果可以看出，油膜的厚度大约是1毫米的五十分之一，这根本是用普通的测量工具无法测量出来的。如果是肥皂泡，它在水面上会扩散得更薄，厚度甚至还不到0.0001毫米。

我们把一块石头丢到水中，水面会泛起涟漪。就如图26中的一样。对于这个现象，你感到理所当然，从未感到困惑。石头落入水面，激起的波浪以石头为中心，向四周扩散。每层波浪都处于同一个圆周上。

这是在平静的水面中发生的事情，那么换作流动的水面呢？会发生什么情况呢？在流动的河水中投入一块石头，激起的波浪也是圆圈吗？会变成椭圆形或者其他别的形状吗？

你在脑海中想象着湍急的河流中投入一块石头，因为水流速度的作用，你可能会觉得这个圆圈不再规整，而会被扭曲，被拉扯。但实际情况和你所想的并不相同，石头激起的波纹依旧是规规整整的圆形波纹，和在平静的河水中投入一块石头形成的波纹并无两样。这是为什么呢？

如图27所示，圆形的波纹被河水的流动所吸引，每个点都被吸引到图上箭头所标示的对应位置上，而且所有点移动的距离都是相等的，彼此互相平行的，它们移动的速度也是一样的，这样的移动当然不会改变图形的形状。

请看图27，原来的四边形1234经过平行移动之后，变成了新的四边形1′2′3′4′——1点移到了1′点，2点移到了2′点，3点移到了3′点，4点移到了4′点。如果我们在圆周上选取更多的点，移动后就会得到全等的多边形，如果我们在圆周上取无数多个点，那么我们等于得到了整个圆周，这样在移动之后，我们会得到一个全等的圆周。

经过这番解释，你现在知道了为什么水流不会改变波纹的形状了吧？

作家果戈里曾经对第聂伯河有一段描写，“群星在黑色的夜幕中闪闪发光，它们的倒影全部落入了第聂伯河中，第聂伯河拥抱着它们，没有一颗星星能够逃脱，除非它们自己幻灭。”果戈里对于第聂伯河的描写既真实也富有文学性。当人们站在河岸边时，会感觉漫天的繁星都映照在河流中，但是河流中真的能看到所有的星星吗？

请看图28，MN是河水的水面，A是站在河岸边的观察者的眼睛位置，观察者从A点望向河面，可以看到哪些星星呢？

为了回答这个问题，我们从点A做一条垂直于MN的直线AD，并将AD延长到A′，使AD=DA′。如果观察者的眼睛位于点A，从A点仰望星空，他能看到的实际上是∠BA′C以内的星空，位于∠BA′C以外的星星，观察者实际上是看不到的。

我们应该如何证明这一点呢？如何证明观察者在河中其实看不到∠BA′C之外的星星呢？比如，如何证明我们无法看到星星S呢？

我们根据光的反射定律，将S投射到离河岸比较近的M点的光线路径作为研究对象，S点的光线在MP的角度从水面发生反射，沿着和MP相等的入射角SMP的角度从水面上发射出去。从△ADM、△A′DM两个三角形是全等三角形可以得知，∠SMP的角度要小于∠PMA的角度，这证明了星星S反射的光线并不在∠BA′C的范围内，而是从A点旁经过。如果星星S的光线被河水反射的地点离河岸的距离比M点离岸更近，那么反射光线与观察者的距离也更远。

我们分析到这里，你就可以知道果戈里对于星空的描写带有文学性的夸张成分，第聂伯河中的星星并不是天空中所有的星星，事实上，天空中的星星比映照河中的要多得多。而且更加出乎人意外的是，并不是越宽广的河流看到的星星就越多。在河岸低矮、河道狭窄的河岸边，你俯下身来，找到一个合适的角度，你会发现，你看到的星空更为广阔，正如图29中所示。你可以试着证明一下，会发现结果令你惊叹。

问题：

请看图30，有一条河流，两边的河岸基本是平行的，现在要在这条河上建造一架与河岸垂直的桥，使A到B的路程最短，这座桥应该建在哪里呢？

回答：

从A点作一条和河流方向垂直的直线，在这直线上截取和河面等宽的线段AC，连接B和C，这样就能找到D点，在这个D点建桥，能够使AB之间的距离最短。

当我们从D点出发，垂直于河岸建起桥DE，如图32所示，我们将E和A连接起来，得到一条从A出发的路径AEDB，其中，AE和CD是互相平行的，ACDE是一个平行四边形，两边AC和ED的长度相等而且互相平行。因此，AEDB的长度与ACB的长度相等。我们现在很容易证明任何一条别的路都要长于这条路。

假设存在一条这样的路AMNB（图33），它的距离要比AEDB短，选取一个点M，我们已知，AEDB的长度与ACB的长度相等，那么就是说，它的距离要比ACB短。我们先将C和N连接，可知CN等于AM，这就说明AMNB等于ACNB。但显然，路径CNB比路径CB长，也就是ACNB比ACB长，所以也比AEDB长。通过这个不成立的假设，我们知道，AMNB并不比AEDB短，而是比它长。

如果你还不服气，认为一定存在一个这样的M点能使距离更短，那么你还可以用这种证明方法多证明几次，你最终会发现，AEDB始终是最短的一条路径。

这一次我们要考虑一下更为复杂一些的情形，而这种情形在实际中经常也会出现。请看图34，我们还是需要找到A到B之间最短的路径来修建桥梁，这次要跨过两条河流，请问应该如何修建桥梁呢？

从A点出发作一段与第一条河流等宽并与河岸垂直的线段AC，同样的，从B点出发作一段与第二条河流等宽并与河岸垂直的线段BD。连接C、D两点，我们就能得出，在E点修建桥EF，在G点修建桥GH。从A点出发的AFEGHB路线将是从A到B之间最短的路径。具体的证明过程与上一节介绍的方法相同。 G4LVBtX22jYgNE6L14gCU1Eb3W0hGjWJDKA9jOzZ1gmy6hD+EImNS0rgiPf5CGUu