1.2.2　聚光本领和极限星等

望远镜的聚光本领，即灵敏度，是衡量望远镜穿透能力的重要指标。聚光本领强的望远镜能够探测到非常微弱的星光。在光学天文中天体亮度是用星等来表示的。依巴谷（Hipparchus）在公元前二世纪把人眼看到的星依其视亮度分为6个等级。每一等星的视亮度均是下一等星视亮度的两倍。在十九世纪，天文学家应用现代光度测量方法，对所有星进行了重新校对。星等与星的辐射能强度之间建立了确定的对数关系，即

式中 m 是星等， f 是星的辐射能强度。星等越大，它发出的到达地球表面的光子数就越小。只有聚光本领很大的望远镜才能够探测到星等很大的星所发出的微弱辐射。

当光子数目少时，光的量子特性就会显露出来。这时光子会在随机时间点上降落到接收器一些毫不相关的位置上。这时，仅仅能够计算出光子落到某一特定位置的平均概率，而不能推算出下一个光子会在什么时间，什么位置上出现。这就和刚下雨时，从地面上出现的雨点分布上是完全看不出在哪个位置的上方有一把雨伞一样。当人眼在很黑的环境下完全适应时，就相当于处在这种情况下。这时在视觉停留期内进入眼睛的光子数大约只有10个，人眼在这时无法判断光子源的具体方位。当光子数目渐渐增大后，就如同雨点渐渐增多，地面上会显示出上方雨伞的形状，光子源的方向就会明晰起来。因此当光子数太少时，天文望远镜的分辨率是不可靠的。这也是天文学家不断地追求更多光子数的原因。在下面讨论中，均假设在接收器中存在足够多的光子。

在天文观察中，光学望远镜对空间某一天体的聚光本领可以用下式表示，即

式中 A 是望远镜的口径面积， t 是天文观察的积分时间，Δ λ 是观察的频谱宽度， n _p 是单位时间、单位面积、单位频宽目标天体发出的到达地球表面的光子数，函数 Q 表示望远镜和接收器的综合量子效率。对于天体中的零等星，在标准可见光V频段内，每平方厘米、每秒到达大气外层空间的光子数为Δ λ·n _p =1007。

从1.14式可以看出望远镜的聚光本领是口径面积和积分时间的线性函数。在望远镜观察中积分时间常常是有限制的，所以除了提高望远镜和接收器的效率以外，增大望远镜的口径面积是增大聚光本领的根本途径。这也是天文学家不断提出建造新的更大口径的天文望远镜的主要原因。

1.14式中函数 Q 包括望远镜本身和接收器的量子效率。相比于照相底片，现代电荷耦合器件（CCD）有非常高的量子效率。影响望远镜本身量子效率的因素包括反射和透射损失。反射望远镜中反射损失是影响望远镜量子效率的主要因素。新鲜的铜合金镜面，反射损失约45％。随着反射面的锈蚀，它的反射损失不断增加，这种反射损耗是影响早年光学望远镜量子效率的重要因素。早期接收器（人眼和底片）的量子效率也极低。应用化学镀银方法获得的玻璃镜面，反射损耗只有5％左右（图1.10）。但是由于空气中硫化物的作用，镀银面将很快暗淡，使反射效率急剧降低。现代反射望远镜几乎无一不采用真空镀铝的镜面。镀铝膜是在小于0.007帕斯卡（Pascal）压强的真空室内进行的，镀膜厚度控制在黄光波长的二分之一左右。在这种条件下反射损失在可见光区域将略高于10％，在250纳米的紫外区域，反射损耗约12％。反射损耗在红外波段不断改善，当波长为1000纳米时，反射损耗仅仅为9％，在波长为50000纳米时，反射损耗仅仅为1％。镀铝的镜面在离开真空室后将迅速氧化，这使镜面的反射损耗略有增加。长时间使用以后，由于灰尘、空气的作用会使反射损耗增加到15％左右，影响望远镜的正常观察。为了降低镜面的反射损耗，镀铝镜面应该每三至六个月冲洗一次，每隔一两年重镀一次。对于双镜面望远镜，总反射效率是单个反射面效率的乘积。折轴焦点由于多次镜面的反射，使用一般的镀铝镜面将使反射损耗高达60％以上，因此必须采用更高效率的反射镀层。在紫外和远紫外区域，大部分反射镀膜的反射率急剧下降，只有铂膜和铟膜反射率较高，其应用波长范围可在红外和紫外波段分别延伸至19微米和2.3微米。

一般来讲如果某镀膜层对可见光具有吸收作用，则该膜层的复数折射率为

式中 k 为膜层的消光系数， n 为膜层的折射系数。根据这一公式可以确定普通厚反射膜的反射效率为

为了提高镜面的反射效率，可以采用多层电介质干涉薄膜。如果周期性的多层电介质膜是由厚度 A 和 B 各 N 个的周期膜层组成，其 A 和 B 层的折射率分别为 n _A 和 n _B ，镜面的折射率为n，空气的折射率为 n′ ，则最高的反射率将发生在每一层介质的光学厚度均等于波长四分之一的奇数倍的地方，这时总反射率为（图1.11）

图1.12给出了一部分多层电介质镀膜的反射率曲线，它们均可以在很广阔的频段达到96％以上的高反射率。在同一图表中也列出了一些极低反射率的多层电介质增透膜的反射率曲线。

当在望远镜中引入透镜时，在透镜与空气的表面会因为反射而产生能量损失。在透明介质之间的折射效率可以用下式表示

式中 n 和 n′ 分别为第一和第二介质的折射率，当光线从空气中直接进入玻璃透镜时，对 n =1.74的玻璃因表面反射而引起的损失约等于7.3％（当 n =1.51时约等于4.1％）。由于折射率 n 对各种波长略有差异，所以这种透射损耗在蓝光波段较红光波段略高。通过在透镜表面涂镀四分之一波长的氟化镁（MgF ₂ ）层（ n =1.38），这种透射损耗可减少到1.3％～1.9％。多层介质增透膜的透射率可以达到99.7％。对于一个或两个很狭窄波段，多层介质增透膜的透射率几乎可以达到100％。

除了反射和透射的损耗外，望远镜的量子效率还受到在透明介质内部吸收损耗的影响，如果介质的吸收系数为 τ ，则介质的透射率为

式中 l 为介质厚度。透射率的倒数叫不透明度，不透明度的以10为底的对数被称为光学密度。

当望远镜的口径、望远镜和接收器的综合量子效率决定以后，一般就可以确定望远镜的聚光本领。对于天文学家来说这是衡量望远镜穿透能力的主要指标。但是聚光本领和穿透能力，与观察方法也紧密相关。不同的观察方法决定了望远镜不同的穿透能力，也就是说使用不同的观察方法，所探测到的极限星等是不相同的。遵循鲍姆（Baum，1962）、布朗（Brown，1964）、迪斯尼（Disney，1972，1978）的讨论方法，我们在表1.3中定义了讨论所使用的参数，同时假定星光的能量分布是一个明锐的正方形面积，省略π/4的因子。讨论共分为三个方面：（1）光电测光，（2）CCD探测，和（3）分光测光。

1.2.2.1　光电测光

望远镜在光电测光时，时间 t 内所探测到的星光光子总数为

由于天文探测量的随机（泊松）分布性质，星光测量所引起的误差或测量噪声为

同时探测到的天空背景光的光子数为

天空背景光的噪声为

如果 B 为天文观察中可以允许的相对误差值，则

考虑以下两种情况：第一，如果星光亮度远远大于天空背景光的亮度（ n _p ≫ β ² S ），则望远镜所能够探测到的极限星等（即星的亮度）为

第二，如果天空背景光的亮度远远大于星光亮度，则有

式1.25和1.26表明，应用光电测光的方法，望远镜所能获得的极限星等在天空背景暗的条件下与望远镜口径的平方成比例，但对于暗星的探测，即天空背景光的亮度远远大于星光亮度时则仅仅与口径的一次方成比例。这就是说对于暗星的探测，望远镜穿透能力的增长小于望远镜聚光本领的增长。

在光电测光观测中由于大气宁静度的影响，光阑直径一般取为10角秒左右。因此对恒星进行光度观测时，穿透能力从 D ² 变为 D 时所对应的星等一般约为16.5等，对于更暗的恒星光电测光工作，望远镜的穿透能力与口径的一次方成比例。

1.2.2.2　CCD成像

CCD成像和照相类似，是一种光子成像过程。实际上它的探测原理和光电测光并无实质的差异。上面公式1.25或1.26对于照相和CCD探测也同样是适用的，这时只是目标的立体角相应地要比光电测光时小得多。当望远镜的分辨率以大气宁静度为极限时， β 则相当于1角秒。因此穿透能力从 D ² 变为 D 时所对应的星等也大大上升，一般在20等左右。当然这是假定大气宁静度的像尺寸正好与CCD的像元尺寸相匹配，并且穿透能力的变化是在相同积分时间的条件下进行比较的。在实际上由于动态范围的限制，CCD并不可能将曝光时间无限制延长，因此总存在一个最佳曝光时间，如果天空背景的曝光强度超过某一最优值时，CCD的效率就会迅速下降，同样如果达不到这一最优值时，对于暗天体的对比度也会下降。假设 m 是使CCD达到最优曝光时单位面积底片所记录的光子数，则

式中 t ₀ 是CCD的最优曝光时间，

将 t ₀ 代入1.26式内，可以得到在最优曝光情况下的极限星等1/ n _p 为

式1.29表明在最优曝光条件下，CCD的极限星等与望远镜的口径无关，仅仅是望远镜焦距的线性函数，不过由于 t ₀ ∝ D ^－2 ，因此过小口径的望远镜将需要不实际的过长的曝光时间。

对于较小的焦距，如果以像元大小作为分辨极限，则相应的星光面直径为 β=p/f， 将此关系式代入式1.29中，有

同样在这种情况下，极限星等也与望远镜口径无关，仅仅是望远镜焦距平方的线性函数。根据式1.29和1.30，假设 β =1.25角秒， p =0.18毫米，可以得出望远镜的照相星等和焦距的关系，如图1.13所示。图中折线的斜率变化大约发生 在f =3米的地方，前半段的斜率等于5，后半段的斜率为2.5。

当望远镜的观察是在空间进行或者是在地面应用了自适应光学技术以后，因为艾里斑直径与望远镜口径成反比，所以对于点光源来说，望远镜的穿透能力无论是在背景极限或者是高亮度对比的条件下都与望远镜口径的四次方成正比；而对于面光源来说，则仍然与望远镜口径的二次方成正比。从这一点上看，发射空间望远镜以及应用自适应光学技术对于天文学研究有着十分重要的作用。

1.2.2.3　分光测光

图1.14是一台分光仪的基本布局。其中准直镜与照相机都是由透镜构成的，色散元件采用光栅。对于角直径为 β 的天体，其在探测器上的单色光的线尺度为 DF _c β 。为了保证分光测光的角分辨率，则应保证

当 f _c Δ θ ＜ DF _c β 时光谱像就会发生重叠（图1.15）。这时就必须使狭缝投影宽度 W=f _c Δ θ ，从而切去像斑的两侧，使分光仪效率降低。为了使公式1.31的条件满足，则往往需要大的光栅尺寸和准直镜口径，实际上这是不容易满足的。从而就产生了下列两种情况：（a）非光栅极限的分光观察和（b）光栅极限的分光观察。在光栅极限情况下，狭缝宽度减小，从而引起分光仪效率降低，新的效率是原有效率的 e 倍 ，即

式中 W 和 O _g 是光栅指标，从这里开始Δ λ 是光谱分辨率。在以上两种分光观测的条件下，所能探测的极限星等与在光电测光情况下的公式基本一致，只是在光栅极限情况下，公式1.20应该写作

在上面公式中，Δ λ 是光谱分辨率，而不再是光谱频段。同样公式1.22应写作

在星光亮度大于天空背景亮度的情况下，观察的极限星等为

当星光亮度小于天空背景亮度的情况下，观察的极限星等为

当然如果在光栅极限情况下应用星光分束器或者应用光纤，将会使因狭缝宽度减小而损失的星光导入缝隙中，则观测的极限星等会有所提高。从上面的分析可以知道光栅指标 WO _g 对于分光测光效率有很大的影响，因此改善光栅指标是提高分光测光效率和极限星等的重要手段。要改善 WO _g ，重要的是增大光栅尺寸 W 。由于 W～d ，因此也必须相应增大准直镜的口径，这在实际上是有一定困难的。图1.16是取光栅指标 WO _g =100时，不同口径望远镜进行分光测光时 β 和Δ λ 的关系。大气宁静度极限和光栅极限分别分割了 β -Δ λ 平面，给出了高效率分光测光的特定区域（图中的阴影区）。这个区域从望远镜口径3米起一直到大约5米处止。但是为了获得很高的光谱分辨率，望远镜的最佳口径则应该在2米到3米之间。所有这些都决定了分光测光中的效率、极限星等和光谱分辨率的增长均远远小于聚光能力的增加。

上面三种情况的分析并不包括在衍射极限情况下以及接收器噪声为主要噪声来源的天文观察情况。表1.4共列出了九种天文观察情况下，望远镜的穿透能力、口径和积分时间的关系。很明显在衍射极限情况下，由于星像面积随着望远镜的口径增长而减小，所以穿透能力是口径面积高次方的函数。但是除了空间望远镜，这种情况只适用于特小口径（小于10厘米）望远镜，应用斑点遮挡干涉或自适应光学的情况。同样在光学波段接收器噪声常常不是主要问题。这样就剩下了四种最基本的情况。即

（1）星光极限情况（∝ D ² t ）；（2）天空背景极限情况（∝ Dt ^1/2 ）；（3）光栅极限情况（∝ Dt ）；（4）光栅与天空背景的共同极限情况（∝ D ^1/2 t ^1/2 ）。

在上述四种观测状态中，状态（1）包括星等亮于16.5等时的光电测光、星等亮于20等时的CCD观测、星等亮于20等时的低色散分光和亮的星系核的光谱扫描。状态（2）包括低于20星等的照相及CCD观测、暗星的低色散光谱工作、低于16.5等的光电测光和暗星系的低色散光谱扫描。状态（3）包括亮于20星等的中色散和高色散分光以及暗星系的明亮发射线的低色散分光。状态（4）包括所有低亮度天体的光谱工作。通过对表1.4的分析可以看出：地面望远镜探测能力的增加并不是与望远镜的聚光本领成正比的。这种探测能力的增长对于大口径仪器比小口径仪器要慢得多。对于给定聚光能力的望远镜，并没有一个明确的极限星等，通过增长曝光时间总可以探测到更暗的天体。另外对于光谱工作、照相工作，中等口径望远镜常常可以发挥很大的集光效率，而大口径望远镜则受到种种其他条件的限制。 lrlEl6DDnk/ow1f0iDvL1YM0Q6BgcPKOjPiL0fDRE6gmjoR9tXNiFFRr4FCE7Kcs