1.2.1　角分辨率和大气扰动

望远镜的角分辨率，或空间分辨率，是指望远镜分开两个相邻天体位置能力的指标。影响望远镜角分辨率的因素有三个，它们分别是望远镜口径的衍射，光学系统的像差和大气扰动。

现代光学是从理想的高斯光学发展起来的。在高斯光学中，一个单独的物点经过这种理想光学系统成像以后，会形成一个单独的完美像点。高斯光学实际是真实的光学系统的第一次近似，所以它又被称为近轴光学或者一阶光学系统。在高斯光学系统中不存在任何像差。

在光学系统中什么是像差呢？所谓像差是指一个实际光学系统所形成的像和一个理想的高斯系统所形成的像在几何形状上的差别。这种像差也被称为几何像差。几何像差可以用多项式形式表示，如果仅仅考虑像差表达式中的前几项，即物点和像点的坐标展开式的三次方项，这时存在的像差称为初级像差，又称为三级（三次方）像差。这种仅仅考虑初级像差光学系统的第二次近似就是经典光学系统。在经典光学系统中，不存在任何高级像差。

几何光学是在经典光学基础上对实际光学系统的第三次近似，几何光学严格遵循光的直线传播和折反射定理，它实际上考虑了光学系统的所有几何像差。但是它没有考虑由于光的波动性，即光的干涉和衍射所引起的像斑特点。如果把光的波动特性同时考虑进来，则形成对实际光学系统的第四次近似。这次近似被称为物理光学。在物理光学系统中，不但存在几何像差，而且入射光瞳的衍射效应也被包含在内。对于常用的光学望远镜来说，第四次近似似乎已经是足够的了。

对光学系统的第五次近似将包括量子光学在内的光的所有特点。在这次近似中，光是作为一个个量子化的光子来进行探讨和研究的。这些光子具有各自固定的不连续的能量。同时单个光子在空间的位置和动量不可能同时准确地被测量，我们所能获得的仅仅是它出现在某一位置或状态上的概率。光子的这种量子特点在杨氏双缝干涉仪中曾经引起过很大的争论。单个光子在双缝干涉中还具有路线和位置不确定（delocalized）等一些奇怪的波动特点（粒子波）。它可能会同时通过双缝中的两个缝隙，而只有在到达了成像面以后才会具有确定的位置。同时根据量子理论，电磁场具有零点能量（zero point energy）。根据不确定原则，场的真空能量相当于半个光子的能量。因为是半个光子，它既不能被吸收，又不能被消除。所以在对光子的测量中，不可避免地总是存在噪声。量子光学在光学天文干涉仪中起着非常重要的作用。在射电领域，光子能量低，光子数多，量子效应不明显，则不需要考虑它的量子效应。

望远镜光学系统的误差包括几何像差和口径衍射两个部分。几何像差会导致星像能量分散，星像中心点亮度降低。像差种类和分布将在后面讨论，这一节主要讨论望远镜中的口径场衍射和地球大气扰动对望远镜角分辨率的影响。

1.2.1.1　口径场传播和夫朗和费衍射

如果存在一个均匀照明的口径场以及平面电磁波的传播方向，当口径面尺寸远大于电磁波的半个波长时，沿着前进方向，将会产生几个辐射区域（图1.2）。开始是近场区，近场区的起点距口径场大于一个波长，近场区的最远点连接菲涅尔（Fresnel）区，距口径面距离为

式中 d 是口径面直径， λ 是波长。在近场区，口径场上的辐射能量在空间将重新分配，波束范围将有所扩大，原来十分均匀的能量分布变得起伏不平。在近场区前面，是菲涅尔区。菲涅尔衍射区分为两个部分：接近近场区的部分和距离口径面很远的部分。前者也常常被称为近场区，距离口径面很远的则被称为远场区或者夫朗和费（Fraunhofer）衍射区。夫朗和费衍射区距口径面的距离为

在望远镜焦点上的辐射分布就等于口径场在远场区的辐射情况。如果应用量子理论，可以为口径场的衍射像斑做出一个初步估计。在测不准定理中海森伯格提出光子动量误差和位置误差的乘积将大于或者等于普朗克常数，即Δ p Δ x≥h 。而在口径面上光子之间的最大位置误差等于口径直径Δ x=D 。由于光子动量是普朗克常数和波长的比 p=h/λ 。则有动量误差Δ p≥h/D 。由于动量和动量误差相互正交，所以光子可能的速度方向应该等于动量误差和动量的矢量差，即 θ =Δ p/p≥λ/D 。这个值应该就是口径场在远场的像斑角直径，即口径场的最小角分辨率。

应用经典方法求解远场衍射斑大小，需要引入衍射的概念。根据物理光学，光的传播不但具有几何光学的特性，而且具有波动光学的特性。当光作为波传播的时候，它遵循矢量叠加的原理。当两束从同一个光源发出的光波（即相干光）同相位传播时，波峰和波峰会叠加起来，使它们的总强度即振幅的平方，会超过每束光线的强度和。而当两束光波的相位正好相差180度时，波峰和波谷会叠加起来，使它们的和处处等于零。这种特有的现象就称为干涉。

一般地讲，当两束同一光源的光波经过不同的路径后再会合起来而产生的效应称为干涉；而在连续的光波中因为遇到边界、障碍或者小孔时，其中光波的一部分和另一部分会合起来而产生矢量叠加就称之为衍射。干涉和衍射之间没有严格分界。衍射中的一个特例是光栅衍射，光栅衍射实际和干涉非常类似。

由于存在衍射，点光源通过望远镜所形成的像，即使在没有像差的情况下，也并不是一个高斯像点，而是一个斑。这个衍射斑的大小决定了望远镜的分辨极限。这个衍射斑有很多不同的名称，如夫朗和费斑、远场方向图、点分布函数、艾里斑，或者能量分布函数。光波在口径场上的分布具有振幅和相位，衍射斑也包括振幅和相位。

在光学系统中，口径（即入瞳）一般是指空间中决定进入焦点的光束大小的平面区域。它常常是主镜面沿光轴方向上的投影。简单地说，口径场的夫朗和费衍射斑就是该口径场函数的傅立叶（Fourier）变换。

考虑一个口径场 S 的夫朗和费像斑， S 中任一面积元d S =d x d y 的辐射会对空间中某一方向 P 产生一定作用（图1.3）。这个作用包括两个部分：第一是将这部分场强 F（x，y） d x d y 进行传递，第二是产生一个附加的相位值（2π/ λ ）（ lx+my ）。这里 F（x，y） 是口径场函数， （l，m，n） 为矢量P的方向余弦， λ 为电磁波波长。这样在（ l，m ）方向上的衍射斑复数函数即（Graham Smith and Thompson，1988）

公式中i ² =-1， C 是一个常数，量纲是[长度] ^-2 。公式中振幅部分的贡献为 F（x，y） d x d y ，相位部分为 F（x，y） d x d y 的原有相位加上因光程 QQ′=lx+my 所引起的附加相位。这一公式就是二维复数函数 F（x，y） 的傅立叶变换公式。口径场中 x/λ 和 y/λ 是以波长为单位的长度变量，在衍射斑上 l 和 m 是以与口径场法线方向的夹角正弦值为单位的角度变量。

对于一个长方形口径，如果边长为 a 和 b ，口径场振幅均匀分布并且有 F（x，y）=F ₀ ，则它的衍射斑为

对于一个半径为 a 的圆形口径场，常常用极坐标（ r，θ ）表示。同样在衍射图中的极坐标为（ w，φ ），其中 r cos θ = x ； r sin θ=y；w cos φ = l；w sin φ = m ； 是方向 P（l，m，n） 与口径法线方向夹角的正弦值。圆形口径场的衍射斑函数为

式中 A （0，0）是衍射斑中心点的振幅， J ₁ （ x ）是 x 的第一阶贝塞尔函数。衍射斑的能量分布则是振幅分布的平方，即

式1.7表明圆形口径场的衍射斑是以中心点为圆心的一组明暗相间的图形。这一图形在光学上称为艾里斑（Airy Disk）。艾里斑的振幅和能量曲线如图1.4所示，它的第一圈暗环的半径为1.22 λ/d 。

双反射面望远镜由于副镜的遮挡，衍射斑图形是两个函数的差即

式中 ε 为中央遮挡的相对比例。由1.8式可获得衍射斑的能量分布为

表1.1和1.2列出当 λ =550纳米时各种中心遮挡比对第一圈暗环直径和各环能量分配的影响。和圆形口径衍射斑相比，随着中心遮挡的增大，衍射斑第一圈暗环条纹逐渐向中心移动，中心亮斑的总能量也逐渐减少。

利用傅立叶变换可以求出各种组合口径场的衍射像斑形状，图1.5为一干涉望远镜阵的口径分布以及其所对应的衍射像斑图形。该望远镜阵由7个子镜面组成。在光学中，通过改变口径场函数中振幅和相位来改变望远镜衍射像斑的形状和大小的方法被称为切趾法（apodization）。这种方法对地外行星的观察有着十分重要的意义。切趾法将在后面进行讨论。

1.2.1.2　分辨率判别准则

望远镜的分辨率是望远镜所能够分辨的最小空间角度。根据口径场强度衍射斑的图形，就可以基本确定望远镜的理论空间分辨率。如何决定这个很小的空间角度呢？一种经典的判断办法是利用两个强度相等的衍射斑，使这两个像斑之间的距离逐渐地减小，而达到一个刚刚可以分辨开的距离。在现代光学理论中由于引进了空间截止频率的概念，它所定义的理论空间分辨率和经典天文学中的空间分辨率有所不同。口径的空间截止频率将在第1.4节中讨论。

经典的分辨率判别准则有三种，即瑞利（Rayleigh）准则，斯佩罗（Sparrow）准则和道斯（Dawes）准则。

瑞利准则影响最大，应用最广。瑞利1879年建议当两个等强像斑中的一个主强度极大正好与另一个像斑的第一圈暗环相重合，就称这两个像斑刚刚被分辨开（图1.6（a））。这就是瑞利准则。在瑞利准则条件下，复合像斑中心点的亮度是单个像斑最大亮度的0.735倍。

斯佩罗准则不很严格。他将两个等强像斑尽量接近，当接近到像中心的暗淡点刚刚消失而不能再靠近的时候，就称作两个像斑刚刚被分开（图1.6（c））。这时如果再继续靠近，则复合像斑只有一个明亮峰值。斯佩罗准则是人为可分辨像斑的极限情况。道斯准则与前两种准则不同，是天文学家道斯经过长时间研究确定的，它介于两种分辨准则之间。在这种准则条件下，复合像斑中心点刚刚有一个暗淡的斑点，可以为人眼所觉察（图1.6（b））。事实上，道斯准则的分辨能力和口径的空间截止频率十分吻合。对于圆形口径来说，瑞利、道斯和斯佩罗准则所对应的分辨率 q _r 、 q _d 、 q _s 分别为

对于具有中心遮挡的环形口径，由于中心亮斑直径的减小，相应的空间分辨率也将有所提高。原则上这些分辨准则也适用于非等强像斑的分辨，图1.7是两个亮度相差1.5星等的星，在瑞利极限下复合像斑的亮度分布。这时在主次极大之间有一明显的暗淡点，可以很容易地进行分辨。应该指出由于数字图像处理技术的发展，望远镜成像的理论分辨率已经高于一般接受的瑞利准则，而接近于在目视观察中不易达到的斯佩罗准则。而更高的空间分辨率则要求望远镜有更大的口径，更合理的口径场分布以及特别的图像处理方法。

1.2.1.3　大气宁静度

应用普遍接受的瑞利准则，可以计算出各种口径所对应的理论空间分辨率。对于波长为550纳米的可见光，帕洛玛山天文台5米海尔光学望远镜的理论分辨率为 ω =0.028角秒。然而实际上5米海尔望远镜仅仅能够分辨角距离为1角秒左右的相邻天体。这是什么原因呢？原来在地面光学天文望远镜中，望远镜的衍射极限通常是不能实现的。大气扰动，即大气宁静度（seeing），是影响地面天文光学望远镜分辨能力的最主要限制因素。大气宁静度是描述经过大气层后星像不规则运动和弥散范围大小的物理量。与之密切相关的另一个概念是大气闪烁（scintillation）。大气闪烁是指经过大气层后星像亮度迅速变化，忽明忽暗的现象。大气宁静度和大气闪烁都是因为地球大气扰动而形成的。

在温度300K、一个标准大气压的条件下，地球大气层中所有气体的厚度大约是8千米，大气层中氮气和氧气最多。标准大气压是指海平面上的大气压，从海平面向上，每上升约18千米，大气压就降低到原来的1/10。同样大气密度也不断降低，大气密度是温度和气压的函数。一般气体的折射率和1之间的差值与气体密度成正比。大气扰动是由于大气层中温度、压力和湿度存在差别，而引起大气密度和折射率改变，形成扰动的结果。大气扰动会产生不同频率的风，而不同的风频又激发了不同线尺度的湍流。在同一个湍流旋涡内温度是相同的，但是在不同的湍流旋涡内温度是不同的。这种温度的分布引起了大气折射率的变化。折射率变化的线尺度可以是几毫米、几米、十几米甚至达到几百米，形成了大气层对星光折射的随机影响。大气扰动的时间尺度为毫秒级，它和光的时间周期10 ^-15 秒相差很大。大气层在很短的时间尺度内是固定不变的，而且大气扰动所引起的绝对的光程差和电磁波的频率基本上没有关系。在光学波段，大气扰动的影响很大；而在射电频段，大气扰动的影响很小。

来自天空的星光可以用光线表示，光线表示光的传播方向。星光也可以用光波表示。用光波表示时，空间中具有相同相位的点的结合就被称为光的波阵面，光的波阵面和光线传播方向相垂直。在临近点光源的区域，理想波阵面是一个个围绕着光源的同心球面。当距离点光源非常远的时候，理想波阵面是一个个和光线方向相垂直的平面。图1.8表示从大气层外射入的一束星光，当星光穿透扰动的大气层后，原始的平面波阵面将发生畸变。从较大的线尺度范围看波前的畸变幅度较大，但星光的偏转角小。从较小的线尺度范围看星光偏转角较大，但波前的畸变幅度小。即大口径望远镜像斑弥散大，但像点的位置稳定；而小口径望远镜则像斑比较明锐，但像点位置会不断跳动。由于风力的影响，大气湍流会迅速移入或移出望远镜的上方，波阵面的形状就会发生变化。当这种湍流旋涡距离望远镜很远时，波阵面形状的变化将引起光程差较大的起伏。对于小口径望远镜来说这种光程差的起伏会使星光不连续，产生像点位置的跳动，这就是大气闪烁。对于大口径望远镜来说所产生波阵面的倾斜相对较小，而畸变则较大，使星像弥散范围扩大，这就是大气宁静度的影响。

小尺度的高层大气的湍流对大气闪烁有较大的影响。而大尺度的中、低层大气，包括地面附近，圆顶室内的大气湍流对大气宁静度有较大的影响。大气宁静度一般用星像弥散斑的直径来表示。地球上不同地点，大气宁静度的数值各不相同，因此大气宁静度数值是衡量天文台台址优劣的最重要的指标。对于高度低的台址，星光要经过比较厚的大气层，大气宁静度较差。这也是天文台台址一般都选在高山顶上的原因。

优秀天文台台址的大气宁静度应在0.5角秒以内，较差的台址的这一数值可能达到3到5角秒（图1.9）。地球上最好的天文台台址可能是在南极的高原，南极高原的大气宁静度甚至可以达到0.15角秒。地球大气扰动与光线传播方向有关，当入射方向接近于地平线时光线穿透大气层的距离很大，大气宁静度会下降。对于大口径望远镜来说，大气宁静度是影响望远镜分辨率的最大限制因素。为了努力提高望远镜的分辨率，必须选用优良的台址，同时要改善望远镜圆顶内的宁静度（第1.2.4节和2.4.1节）。提高望远镜分辨率的根本方法是采用自适应光学系统来补偿大气扰动的影响，采用光学天文干涉仪，采用其他高分辨率技术（第四章），或者将光学天文望远镜直接送入轨道空间（第六章）。