1.3.2　像差和基本计算公式

高斯光学，即一阶光学或近轴光学，有一个基本的假设，就是所有通过光学系统的光线都是横向尺寸小的近轴光线。但是在实际光学系统中，如果 P 点是物空间的一点， P′ 点是它的像点，那么从 P 点发出的通过光阑的所有光线，并不严格地通过 P′ 点，它们将会聚于接近 P′ 点的一个小区域。实际光学系统即使不考虑衍射，所获得也不是一个点像。这种实际光学系统形成的像和高斯像的差别就称为像差，即几何像差。高斯像点所对应的波阵面叫高斯波阵面。实际波阵面和高斯波阵面之差称为波阵面差，即波像差。由于光线垂直于波阵面，所以几何像差和波像差的斜率成正比。对于一个旋转对称的光学系统，如果 Oηξ 为物空间坐标平面， O′yz 为像空间坐标平面，则可以得出波像差表达式中可能出现的各项及它们所对应的像差规律。对于物空间的任意一点 P（η，ξ） 发出最后通过 P′（y，z） 光线的波像差 W ，它必然是 P，P′ 两点坐标的函数，即

由于系统的旋转对称性，实际上只有矢径 和两个极角 φ 与 ψ 之差会影响波像差的值。取下列的三个变量项，即

因此，波像差 W 可以表达成上述三变量的幂级数，取幂级数中含 R，R′ 和 u 的平方的六项，记为

这是光学系统像差数值的第一组，称为初级像差。在波像差 W 的幂级数展开式中，含 R、R′ 和 u 的零次方和一次方的项则表示光学系统成完善高斯像，而三次方以上的项就称为系统的高级像差。根据几何像差和波像差的关系：

式中 k 为常数。假设物点处在子午面内（轴外物点的主光线与光学系统主轴所构成的平面，称为光学系统成像的子午面。）， ξ =0，则可得初级几何像差的表达式为

公式1.51中系数 A 消失，同时各项均是坐标的三次项。因此初级像差又称为三级像差。 B，C，D，E，F 是英美澳光学界通常使用的像差系数。式1.51的另一种表达式为

式1.52中系数 S _I 到 S _V 分别被称为球差、彗差、像散、场曲和畸变系数，各对应项也就表示相对应的像差。 S _I 到 S _V 是俄，中和欧洲大陆光学界通常使用的像差系数。

光学系统由于不同波长的光具有不同的折射率，因此在波像差表达式中应该还有下列的平方项，即

式中 C _I 和 C _II 分别是轴向和横向色差系数，横向色差即倍率色差。初级像差和色差构成了几何像差的最主要贡献。

1.3.2.1　球差

在几何像差式1.52中第一项是球差，由于该项不出现物坐标 η ，因此在视场内球差的影响是一个常数。换句话说球差是轴上物点成像所形成的像差。用极坐标表示几何像差中的这一项，有

由上式有

式1.55表示像的球差是一组半径迅速增长的同心圆，像斑半径与 S _I 成正比，与 r ^′3 成正比。如果将像斑等分为五个间隔相等的圆环，则光阑中所有光线的34％将集中于面积仅为像斑总面积4％的第一圆环中，其他各环的光线将分别为20％、17％、15％和14％。这里没有考虑像的衍射效应。如果像平面沿光轴来回移动，则像斑大小将不断变化。

图1.29中 F 为高斯近轴像点，则像的轴向球差 δ 就等于光瞳边缘光线与光轴的交点到高斯像点的距离。当像平面沿光轴移到 H ₁ 时，像斑尺寸最小，该点距高斯像点平面的距离为3 δ /4。移动像平面位置相当于在球差分布公式1.54中增加一个线性项。图1.30左侧表示在高斯像平面上的球差弥散情况，图1.30右侧则表示增加了一个线性项后其曲线的变化。选择恰当的线性量贡献可以大大减小像斑的尺寸（像斑尺寸可以减小到原来的 ）。不过球差中像斑最明亮的位置并不是像斑尺寸最小的位置，而是图1.29中的 H ₂ 点。

1.3.2.2　彗差

几何像差表达式中的第二项就是彗差的贡献，为

类似地进行坐标变换可得

上式表示对应于 r′ 等于常数的光线，所得的像仍然分布在同一个圆周上，该圆周的半径与 r ^′2 成正比，其圆心和高斯像点的距离为 。因此彗差图形是一个密集于60°夹角内的一个个圆周上的光斑。彗差最明显的特点是它的不对称性。和球差不同，彗差的像斑不能通过移动像平面位置的方法来加以改善。轴对称系统的彗差是视场角的线性函数。图1.31所示为具有彗差的像斑宽度分布的情况。在子午面上彗差的值称为子午彗差，在弧矢面上的则称为弧矢彗差。所谓弧矢面就是同时垂直于像平面和子午面的平面。一般子午彗差的数值是弧矢彗差的三倍。另一个衡量彗差的指标是彗差系数，其值为

1.3.2.3　像散和场曲

公式1.52中如果 S _I ， S _II 和 S _V 同时等于零，则几何像差是 y 或 z 的线性函数，经过简化合并后可得

这时的像斑是一个亮度均匀的椭圆，椭圆的长轴和短轴都与 η ² 和 r ′成正比。如果成像面沿光轴前后移动，通过选择轴向移动量可以分别使 T _Ay =0或者 T _Az =0，从而得到互相垂直的两根焦线：子午与弧矢焦线。像散的最小弥散斑就位于子午和弧矢焦线之间。轴对称系统的像散是视场角的二次方函数。如果 S _III =0，这时的子午与弧矢焦线相重合成为一个点，像散消失。而 S _IV 项称为场曲系数，它主要影响理想焦面的曲率。专门用于改正场曲的改正镜称为场镜。

1.3.2.4　畸变

当 S _V ≠0而其他像差系数均为零时，几何像差表达式中的一项 kT _Az 为零，而另一项为

这个公式表明成像点产生了位移，移动量是 η ³ 的函数。这并不是简单的放大率变化，而是一种像差，称为畸变。图1.32分别表示两种畸变的影响，图中正方形是物的形状，而具有畸变的像有两种：（a）桶形畸变和（b）枕形畸变。