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布尔代数由英国数学家乔治·布尔于1849年创立，是数字电路设计理论中重要的组成部分。逻辑变量之间的因果关系，以及依据这些关系进行的布尔逻辑推理可用代数运算表示，这种代数称为逻辑代数，它是一个由逻辑变量集合、常量“0”和“1”，以及逻辑与、逻辑或和逻辑非三种运算所构成的代数系统。
参与逻辑运算的变量叫作逻辑变量，用字母 A 、 B 等表示，每个变量的取值非0即1。0和1不表示数的大小，而是代表两种不同的逻辑状态。
（1）正逻辑体制。当采用正逻辑体制时，规定高电平为逻辑“1”，低电平为逻辑“0”。
（2）负逻辑体制。当采用负逻辑体制时，规定低电平为逻辑“1”，高电平为逻辑“0”。
除非有特殊说明，本书采用正逻辑体制。
如果有若干个逻辑变量（如 a 、 b 、 c 、 d ）按逻辑与、逻辑或和逻辑非三种基本运算组合在一起，得到一个表达式 L ，对逻辑变量的任意一组取值（如0000、0001、0010）， L 都有唯一的值与之对应，则称 L 为逻辑函数。由逻辑变量 a 、 b 、 c 、 d 所表示的逻辑函数记为
L = f （ a ， b ， c ， d ）
两个主要的二元运算的符号定义为∧（逻辑与）和∨（逻辑或），把单个一元运算符号定义为
（逻辑非），并且还使用“0”（逻辑假）和“1”（逻辑真）。逻辑代数有下列性质。
a ∧（ b ∧ c ）=（ a ∧ b ）∧ c
a ∨（ b ∨ c ）=（ a ∨ b ）∨ c
a ∨ b = b ∨ a
a ∧ b = b ∧ a
a ∨（ a ∧ b ）= a
a ∧（ a ∨ b ）= a
a ∨（ b ∧ c ）=（ a ∨ b ）∧（ a ∨ c ）
a ∧（ b ∨ c ）=（ a ∧ b ）∨（ a ∧ c ）
a ∨ a = a
a ∧ a = a
a ∨0= a
a ∨1=1
a ∧1= a
a ∧0=0
为了兼容目前各种数字逻辑/数字电路教科书的表示方法，本书后面将逻辑与表示成“·”、逻辑或表示为“+”、逻辑非表示为“-”、逻辑异或表示为“⊕”。
任何一个含有变量 X 的等式，如果将所有出现变量 X 的位置都用一个逻辑函数 F 进行替换，此等式仍然成立。例如，等式：
B ·（ A + C ）= B · A + B · C
将所有出现变量 A 的地方都用函数 E + F 代替，则等式仍然成立：
B ·[（ E + F ）+ C ]= B ·（ E + F ）+ B · C = B · E + B · F + B · C
设 F 是一个逻辑函数式，如果将 F 中的所有的符号“·”变成“+”、符号“+“变成符号“·”、“0”变成“1”、“1”变成“0”，而变量保持不变，那么就得到了一个逻辑函数式 F′ ，这个 F′ 就称为 F 的对偶式。如果两个逻辑函数 F 和 G 相等，则它们各自的对偶式 F′ 和 G′ 也相等。例如：
F = A + B
使用对偶规则将等式改写为
F′ = A · B
吸收律
成立，则它们的对偶式：也是成立的。
当已知一个逻辑函数
F
求
时，只要把
F
中的所有符号“·”变成“+”、符号“+”变成“·”、“0”变成“1”、“1”变成“0”、原变量变成反变量、反变量变成原变量即得
。例如，等式：
使用反演规则，得到
表示为
反演规则也可通过德·摩根定律得到。
所有的逻辑函数表达式，不管逻辑关系多复杂，一定可以使用“与或”表达式或者“或与”表达式表示。由于在逻辑函数表达式中，逻辑与关系用符号“·”表示，逻辑或关系用符号“+”表示。所以，“与或”表达式也称为积之和（Sum of Product，SOP）表达式，“或与”表达式也称为和之积（Product of Sum，POS）表达式。
“与或”表达式是指由若干“与项”进行“或”运算构成的表达式。每个“与项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相“与”组成。例如，
均为“与项”。“与项”又被称为“乘积项”。将这3个“与项”相“或”便可构成一个3变量函数的“与或”表达式，表示为
用真值表准确地表示“与或”表达式如表1.20所示。
对于SOP表达式来说：
（1）对于包含3个输入变量 A 、 B 和 C 的真值表，可以使用3输入变量的逻辑与门。对于真值表中 Y 输出为“1”的每一行，要求一个3输入的逻辑与门。
（2）如果该行中某个输入变量的输入为“0”，则表示对该输入变量取反。
（3）所有的逻辑“与项”连接到具有一个 M 个输入的逻辑或门（ M 为 Y 输出为“1”的行的个数，此处 M =3）。
（4）逻辑或门的输出是该逻辑函数的输出。
所以， Y 的输出用下面的逻辑等式表示：
“或与”是指由若干“或项”进行“与”运算构成的表达式。每个“或项”可以是单个变量的原变量或者反变量，也可以由多个原变量或者反变量相“或”组成。例如，
A
+
B
、
B
+
C
、
、
D
均为“或项”，将这4个“或项”相“与”便可构成一个4变量函数的“或与”表达式，表示为
用真值表准确地表示“或与”表达式如表1.21所示。
表1.20 由3个变量构成的真值表（1）
表1.21 由3个变量构成的真值表（2）
对于POS表达式来说：
（1）对于包含3个输入变量 A 、 B 和 C 的真值表，可以使用3输入变量的逻辑或门。对于真值表中 Y 输出为“0”的每一行，要求一个3输入的逻辑或门。
（2）如果该行的某个变量的输入为“1”时，表示对该输入取反。
（3）所有的逻辑“或项”连接到一个具有 M 输入的逻辑与门（ M 为 Y 输出为“0”的行的个数，此处 M =5）。
（4）逻辑与门的输出是该逻辑函数的输出。
所以，最后 Y 的输出用下面的逻辑等式表示：
通常，逻辑函数表达式可以表示成任意的混合形式。例如：
该逻辑函数既不是“与或”式也不是“或与”式。但不论什么形式，都可以变换成SOP或者POS这两种最基本的形式。
在上面的SOP表达式中，每个乘积项包含所有3个输入变量。同样，在POS表达式中，每个和项包含所有3个输入变量。包含3个输入变量的乘积项称为最小项，包含3个输入变量的和项称为最大项。如果将一个给定行上的输入“1”或者“0”当作一个二进制数，则最大项或者最小项的数字可以分配到真值表中的每一行。因此，上面的SOP等式包含最小项1、3和5；POS等式包含最大项0、2、4、6和7。在SOP等式内的最小项中，输入变量为“1”表示取输入变量的原值，而输入变量为“0”表示对该输入变量取反。如表1.22所示，为上面的真值表加入完整的最小项和最大项。
表1.22 用最小项和最大项表示
对最小项和最大项编码，这样将SOP和POS等式用简化方式表示。SOP等式使用符号∑，表示乘积项求和；POS等式使用Π，表示和项求积。真值表内输出为“1”的一行定义了一个最小项，输出为“0”的一行定义了最大项。下面给出使用最小项和最大项的简单表示方法：
F= ∑ m （1，3，5）
F= Π M （0，2，4，6，7）
思考与练习1-25： 请画出下面等式所表示的逻辑电路。
F= ∑ m （1，2，6）
G= Π M （0，7）
思考与练习1-26： 请画出下面等式所表示的逻辑电路。
F= ∑ m （1，5，9，11，13）
G= Π M （0，4，7，10，14）