《武器装备体系原理与工程方法》

2.4 武器装备体系不确定性分析

武器装备体系在论证、研制、开发和维护等过程中需要处理各种各样的不确定性问题。同时体系对抗过程中更加需要对复杂战场物理环境对武器装备体系影响不确定性、对抗双方零和博弈不确定性、武器装备体系内部认识与决策不确定性等进行处理。

2.4.1 武器装备体系不确定性分析过程框架

武器装备体系的复杂性和不确定性的产生和影响十分复杂，对于武器装备体系涉及的多来源、多类别的不确定性因素，为了有效进行武器装备体系不确定性分析，需要根据不同应用场景和技术层面采用的不同理论和方法进行分析，为此，形成了多层次的不确定性分析过程框架，如图2.1所示。

图2.1 武器装备体系不确定性分析过程框架

武器装备体系不确定性分析过程可以分为数据层、表示层和应用层三个层次，这三个层次形成自顶向下分解细化和自底向上聚合相结合的过程。

（1）在数据层分析中，基于知识图谱理论和技术，对武器装备体系不确定性因素及其参数进行概念抽象、属性界定、类型辨识和关联分析等，形成针对特定武器装备体系的不确定性元素集。

（2）在表示层分析中，需要对不确定元素或参数的类别进行分析，将不确定性类别分为固有不确定性（也称为客观不确定性）和认识不确定性（主观不确定性）两大类，并确定这些不确定性元素描述方法，以及不确定性参数估计理论等。

（3）在应用层分析中，针对不同的应用场景和对象特点，对于武器装备体系所涉及的环境不确定性、目标不确定性、任务不确定性等这些使用者直接关注的方面，要形成合适直接友好的呈现方式，在这种呈现方式的背后，需要有合适的不确定性影响的评估分析方法做支撑。

不确定性因素及其参数描述是开展武器装备体系不确定性分析的基础。对于不确定性参数需要从多个维度进行分析，包括不确定性参数名称及描述、分类、影响，以及不确定性参数数值表示形式、取值范围和获取方式等。不确定性参数描述如图2.2所示。

图2.2 不确定性参数描述

武器装备体系不确定元素和参数很多，总体上可以分为两大类别：固有不确定性和认知不确定性。固有不确定性（客观不确定性）是事物（环境、系统或武器等客观存在实体）本身所固有的，例如复杂电磁环境导致雷达探测距离、精度的不确定性，复杂水声环境对声呐探测范围的影响具有很大不确定性等。认知不确定性（主观不确定性）则是以人作为认识事物的主体，在认识事物过程中表现出来的不确定性。

目前已经有很多理论方法对固有不确定性和认知不确定性进行分析度量，例如概率论、随机过程等理论都是广泛应用于固有不确定参数的分析中；粗糙集、模糊集、熵、灰色理论等都可以用于分析认识不确定性。然而复杂系统和体系的不确定性分析难度大的原因在于，不确定性参数之间存在复杂关联，并且不确定性随着复杂系统或体系流程而传播。不确定性传播分析过程如图2.3所示。

图2.3 不确定性传播分析过程

不确定性传播需要从固有不确定性和认识不确定性两个方面一起进行分析。在带有不确定性的物理模型中，从模型的输入/输出关系上进行传播分析；在带有不确定性的离散时间/人为事件上，从流程状态转移关系进行传播分析；然后综合这两个方面，对不确定性的耦合传播进行综合分析。

2.4.2 认知不确定性理论

在武器装备体系对抗过程中，对抗双方零和博弈充满了不确定性，这些不确定大多属于认识不确定性（主观不确定性）的范畴。由此，认识不确定性在武器装备体系中具有非常重要的地位和作用。目前对于认识不确定性研究过程中，基于概率理论，Liu ^[7-9] 建立了不确定理论，形成了基于规范性、对偶性、次可列可加性和乘积公理的数学系统。该理论可用于对武器装备体系的认知不确定性进行测度，本节主要介绍该理论。

与概率论类似，不确定理论中的不确定测度、不确定变量及不确定分布也是三个最基本的概念。首先，给出不确定测度 ^[7] 的定义。

设 Γ 是一个非空集合， L 是 Γ 上的 σ -代数，其中的每个元素 Λ 称为事件。如果从 L 到实数集 ℜ 的一个集函数 M 满足以下条件：

公理2.1：（规范性公理）对于全集 Γ ，有 M { Γ }=1；

公理2.2：（对偶性公理）对于任意的事件 Λ ∈ L ，有 M { Λ }+ M { Λ ^c }=1；

公理2.3：（次可列可加性公理）对于可数的事件序列，有

则称集函数 M 为 Γ 上的不确定测度，此时称三元组（ Γ ， L ， M ）为一个不确定空间。

公理2.4：（乘积公理）设（ Γ _i ， L _i ， M _i ）， i =1，2，…为一列不确定空间。乘积不确定测度 M 定义为

其中，事件 Λ _i ∈ L _i ， i =1，2，…。

称三元组（ Γ ， L ， M ）为乘积不确定空间，其中 Γ = Γ ₁ × Γ ₂ ×···， L = L ₁ × L ₂ ×···和 M = M ₁ × M ₂ ×···。

定义2.1：从不确定空间（ Γ ， L ， M ）到实数集 ℜ 的可测函数 τ 称为不确定变量，即对于任意的Borel实数集 B ，集合：

{ τ ∈ B }={ γ ∈ Γ | τ ( γ )∈ B }

是 L 中的一个事件。

不确定变量的定义是由抽象的不确定空间和Borel集描述的。如果仅从定义出发，在理解和应用不确定变量时都会遇到困难。为了更好地理解不确定变量，给出如下的不确定分布的概念。

定义2.2：对于不确定变量 τ ，它的不确定分布 Υ 定义为

Υ ( x )= M { τ ≤ x }, ∀x ∈ ℜ

定理2.1：函数 Υ ： ℜ →[0,1]是一个不确定分布，当且仅当它是一个不满足 Υ ≡0或 Υ ≡1的增函数 ^[10] 。

正则的不确定变量是一类特殊的不确定变量，定义如下：

定义2.3：对于不确定变量 τ ，如果它的不确定分布的反函数 Υ ^-1 （ α ）在 α ∈（0，1）上存在且唯一，那么称 τ 是正则的。此时，称 Υ ^-1 为 τ 的逆不确定分布。

不确定变量的分布函数是单调递增的，它在直观上给出了不确定变量在 ℜ 上的分布情况。

常见的不确定变量的分布有线性不确定分布、之字形不确定分布和正态不确定分布等。

下面是不确定变量独立性的定义。

定义2.4：设 τ ₁ ， τ ₂ ，…， τ _n 是 n 个不确定变量，如果对于实数集 ℜ 中任意 n 个Borel集 B ₁ ， B ₂ ，…， B _n 都有

成立，那么称不确定变量 τ ₁ ， τ ₂ ，…， τ _n 是相互独立的。

下面给出 n 元实值函数单调性的定义。

定义2.5：设 f （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）是一个 n 元实值函数，当 s _i ≤ t _i （ i =1，2，…， n ）时，有 f （ s ₁ ， s ₂ ，…， s _n ）≤ f （ t ₁ ， t ₂ ，…， t _n ）；当 s _i ＜ t _i （ i =1，2，…， n ）时，有 f （ s ₁ ， s ₂ ，…， s _n ）＜ f （ t ₁ ， t ₂ ，…， t _n ），称 f 为严格单调增函数。

定义2.6：类似地，设 f （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）是一个 n 元实值函数，当 s _i ≤ t _i （ i =1，2，…， n ）时，有 f （ s ₁ ， s ₂ ，…， s _n ）≥ f （ t ₁ ， t ₂ ，…， t _n ）；当 s _i ＜ t _i （ i =1，2，…， n ）时，有 f （ s ₁ ， s ₂ ，…， s _n ）＞ f （ t ₁ ， t ₂ ，…， t _n ），称 f 为严格单调减函数。

如果函数 f 满足严格单调条件，且不确定变量 _i ξ 是正则的，则有下面的运算法则。

定理2.2：如果 τ ₁ ， τ ₂ ，…， τ _n 是一列独立的正则的不确定变量，且不确定分布分别为 Υ ₁ ， Υ ₂ ，…， Υ _n ，那么 τ=f （ τ ₁ ， τ ₂ ，…， τ _n ）为一个正则的不确定变量。如果 f （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）是关于 x ₁ ， x ₂ ，…， x _m 严格单调递增的，关于 x _m ₊₁ ， x _m ₊₂ ，…， x _n 严格单调递减的，那么 τ 的逆不确定分布为

例：令 τ ₁ ， τ ₂ 是两个独立的正则的不确定变量，且不确定分布分别为 Υ ₁ ， Υ ₂ ，根据定理2.2，不确定变量 τ = τ ₁ -τ ₂ 的逆不确定分布为

不确定变量 τ = τ ₁ ∧ τ ₂ 的逆不确定分布为

定理2.3： τ ₁ ， τ ₂ ，…， τ _n 是一列独立的不确定变量，它们的不确定分布分别为 Υ ₁ ， Υ ₂ ，…， Υ _n ，如果函数 f （ x ₁ ， x ₂ ，…， x _n ）关于 x ₁ ， x ₂ ，…， x _m 是严格增加的，关于变量 x _m ₊₁ ， x _m ₊₂ ，…， x _n 是严格减少的，那么不确定变量 τ = f （ τ ₁ ， τ ₂ ，…， τ _n ）的不确定分布为