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期权的诞生虽然可上溯至3000年前，但真正意义上的期权定价研究却只有100余年的历史。这是因为现代期权定价理论发展的至关重要的问题，是定义期权的基础资产——股票的价格运动形式。从千变万化的股价运动中寻找到规律，需要随机过程理论的帮助，而这一深奥理论通常用以描述气体分子运动。一个随机过程是一组随机变量，随机变量X（t）是随机过程在时刻t的状态。随机过程是与确定性过程相对的。在一个确定性过程中，只要给定初始位置，未来的整个路径都会是确定的，例如函数x（t）=x（t-1）2，t为时间且只能为正整数。如果知道x（0）=a，则可以确定无疑序列将展开如下：a, a 2 ，a 4 ，a 8 ，……，依次类推。然而，随机过程却大不一样。假定今天的上证指数收于3123.14点，你能够确定今后每一天的指数点位吗？也许你是一位出色的技术分析大师，仔细分析阻力位、支撑位、均线等各类技术指标后，你依然最多只能做出诸如如下表述“上证指数明天将以80%的概率收于3130点至3150点之间”。随机过程即是如此，对于变量的未来路径，只能以概率分布来描述，而不能完全确定。正是因为这种不确定性，随机过程才如此复杂和引人入胜。
随机过程中最基础的一种形式是布朗运动，金融学理论中常以布朗运动描绘股价变化。包括爱因斯坦等名人都曾对布朗运动的探索做出过贡献，然而事关期权定价，我们只介绍一个人的成果：维纳。维纳是第一个从严格的数学角度来定义什么是布朗运动的人，为了纪念他，物理学上所称的布朗运动的数学模型常被称为维纳过程。1923年，维纳首次对布朗运动进行了严格的数学定义：第一，这个过程开始于同一起点0；第二，每一步必须相互独立，即每一步的大小和方向都不能根据前面的步来预测；第三，每一步的大小必须服从正态分布；第四，这一过程的路径必须连续。
有必要略微展开，介绍一下维纳过程的一些性质。首先，服从维纳过程的变量，它的每一步变化必须服从正态分布。那么，什么是正态分布呢？我们回忆这样一个游戏，有一个小球从最上方落下，经过三角排列的小钉，小球触及钉子时向左右方向落下的可能性各为50%，可以想象小球将以“之”字形下落，并最终落在某个凹槽中。试想我们有无数层小钉、并有无数个小球挨个落下，最终会是怎样呢？读者想到的答案也许与图1.1相同。
图1.1 小球游戏
小球游戏趋于无穷时，凹槽中的小球分布将形似一条钟形曲线，这就是大名鼎鼎的正态分布。之所以称为“正态”，是因为它的形态合乎常态。正态分布在现实生活中有大量应用，通常测算大量数据时——如人群的智商分布、考试的成绩、男性的身高等——人们都会期望看到正态分布。这是因为中心极限定理的作用，该定理认为当一系列相互独立的随机变量组合到一起时，只要随机变量的数量够大，那么它们之和将服从正态分布。人群的智商、成绩、身高符合中心极限定理，毕竟人类个体相互独立是个较好接受的假设。
正态曲线是一条中间高，两头渐渐降低并完全对称，曲线两端永远不与横轴相交的钟形曲线。曲线下的面积即为变量的发生概率，因而曲线与横轴间的总面积等于1。正态分布意味着变量的取值越接近平均值（即曲线中心），那么出现的概率越高。约68%的观测值会落在距离均值左右一个标准差（与平均值的距离）的范围之内，95%的观测值会落在2个标准差之内，仅有约0.3%的观测值会落在曲线尾部，即3个标准差之外。例如2015年中国男性平均身高为1.67米，那么身高2.26米的姚明当在3个标准差外（见图1.2）。
图1.2 正态分布概率密度函数曲线
对随机过程进行建模，并据此对期权进行定价的尝试始于巴舍利耶1900年的博士论文。巴舍利耶提出的期权定价公式中，已出现了关键的股价和波动率，并应用了“公平游戏”的思想，这一思想是现代期权定价理论无套利条件的前身。然而，巴舍利耶的论文在其在世之时，并未得到正确评价，直到20世纪50年代中期，萨缪尔森于图书馆中找到这一尘封的著作，才将其应得的荣光归还于他。萨缪尔森的另一贡献是指出了巴舍利耶论文中的一个错误：假设股价变化服从正态分布。萨缪尔森认为，正态分布下部分数值小于0，相应地意味着股价可能取到负值，然而这在现实中是不可能的，因为“我今天以100美元的价格购买通用公司的股票，它最多跌到零，到时我只需撕掉股东凭证并大步离开”。萨缪尔森将目光重新投注到投资者行为身上，发现投资者真正在乎的不是股价变动的绝对金额，而是相对的幅度。比如说，对于部分价格高于100元的创业板高价股，股价上涨1元简直微不足道，而对于部分只有10元的银行股，1元的涨幅足以达到涨停。萨缪尔森假设股票的涨跌幅度服从正态分布。根据对数正态分布的定义，当一个随机变量的对数服从正态分布时，这个随机变量就称为服从对数正态分布。由于到期股价与期间涨跌幅的关系正好是对数的关系，因此若假设股价涨跌幅服从正态分布，股价就服从对数正态分布。假设股价服从对数正态分布有许多优点，首先，服从对数正态分布的股票价格始终为正数，这与公司股票的有限负债特征一致；其次，在对数正态分布下，不论股价是高是低，用百分比表示的价格变化会存在相同的分布；最后，当时观察到的交易所的数据与对数正态分布模型也相当的一致。相应的，如果股票价格作为一个随机变量服从对数正态分布而非正态分布的话，那么其价格变化也应被认为服从几何布朗运动而非算数布朗运动（见图1.3）。
图1.3 对数正态分布概率密度函数曲线
至此，期权定价所需的理论基础在20世纪中叶已基本完备，然而在寻找到正确的道路前，学界依然走过了一段歧途。根据当时的微观经济学传统，任何定价公式中都需要加入投资者效用，而投资者效用难以观测和度量，且在不同投资者间差异巨大。许多一流经济学家都深陷于效用函数的泥潭之中，1968年，当时还声名不显的费希尔·布莱克（Fischer Black）与迈伦·斯科尔斯（Myron S.Scholes）另辟蹊径，最终成功地寻找到通往“圣杯”之路（见图1.4）。
图1.4 布莱克、斯科尔斯和默顿（自左至右）
1968年至1969年间，布莱克和斯科尔斯开始对期权定价产生兴趣。当时已有的研究成果并不能使他们满意，在他们看来，为了描述投资者效用而加入的太多变量和假设并无多大意义。因此，他们转而去繁就简，删去那些难以度量的变量，最终公式中仅保留了那些所有人都认可将对期权价格产生影响的变量：股价、股价波动率、合约期限、利率和风险程度。所有变量都可以被量化，只除了一个：风险程度。布莱克和斯科尔斯使用了一个非常聪明的想法：通过构建股票和期权的对冲组合来消除风险。
对冲是一个古老的赌场技巧。例如，在轮盘赌桌上，你押1元红色的同时再押1元黑色。当轮盘停止时，你会在一边输掉1元，但在另一边赢得2元。无论球落在哪里，你都是毫无风险的，因为你的最终结果将为2元，正是此前带上赌桌的金额。在股票和期权的例子中，问题更为复杂一些。股票的价格是一个不断变化的随机变量，难以判定其在未来的位置。期权的价格虽然与股价有密切的关系，但是这一关系也是动态变化的。理论上可以构建股票和期权的组合，完全对冲风险，然而对冲比例却很难确定，并且需要实时调整。为此，布莱克和斯科尔斯加入了一些用以简化推导、实现实时对冲的假设，例如市场没有交易费用、证券可以无限分割等等。在一系列前提假设下，他们成功地构建了这样的组合。
一个在任何市场情况下价值都相同的组合意味着什么呢？由于这个组合可以给予确定的收益，如果其收益率高于无风险收益率，如储蓄账户利率或短期国债的回报，那么人们将大量借入资金购买这个组合，毫无风险地赚取收益；如果其收益率低于无风险收益率，那么人们将大量卖出这个组合。根据现代金融学理论惯常假设的市场有效性，布莱克和斯科尔斯同样假设市场是不存在无风险套利机会的，因而这个组合的收益率必然等于无风险收益率，否则市场上的投资者的买卖力量将修正任何偏离。
现在，布莱克和斯科尔斯得到了一个随机微分方程，只要解开它就能得到珍贵的宝藏：期权的价格。然而这个方程非常复杂难解。最初布莱克曾独自冲击期权定价问题，但被方程求解问题卡住而暂时放弃，直至1969年秋天才与斯科尔斯重新开启了研究。这一次，在两人的共同努力下，历经诸多困难，最终成功了。1970年7月，布莱克和斯科尔斯在一次会议上发布了题为“期权、权证和其他证券的一个理论定价公式”的报告，陈述了他们的成果。
期权定价公式发现的故事至此当告一段落了吗？不，还有一位重要人物尚未介绍。他因为睡过头错过了布莱克和斯科尔斯的报告，但是当天下午他在同一个会议上发表题为“资产市场的一个动态一般均衡模型和它在公司资本结构定价方面的应用”的演讲时，惊讶地发现自己正与布莱克和斯科尔斯研究同一个课题。他就是罗伯特·默顿（Robert C.Merton）。默顿一开始并不相信布莱克和斯科尔斯的模型，质疑他们的结果是否稳健及准确，尤其对于组合是否可以通过对冲完全消除风险心存怀疑。因此，默顿在之后的几周里继续完善他的期权定价公式。默顿采用了一种新的方法，他发现通过买入一定数量的股票，并以无风险利率借入资金，可以构建一个组合，使得股价无论如何变动，该组合的现金流都与期权相同，那么创建该组合的成本就是期权的价值。默顿的组合同样需要连续不断地调整资产比例，而他的数学基础有了用武之地。默顿使用了布莱克和斯科尔斯闻所未闻的伊藤引理，以一种更为优美的方式解出了自己的方程。星期六早上，默顿给斯科尔斯拨打了电话，告诉他布莱克和他是正确的，自己通过另一种方法证明了这一点。至此，时近百年的通往“圣杯”之路终于走到了终点！
B-S模型的提出是百年努力的结束，却也是一个新的开始。在B-S模型之后，其他各种期权定价模型也被纷纷提出，有的是针对B-S模型存在的问题展开研究，例如默顿自己就发展了B-S模型，使其亦可运用于支付红利的股票。又如更为关键的关于标的资产的价格分布，学界尝试了各种其他假设，在这个方向上衍生出的著名模型包括扩散模型、跳跃—扩散模型、纯跳跃模型等。再如针对波动率为常数的假设，改进并发展出随机波动率模型等。也有学者另辟蹊径，提出其他模型，其中最著名的是1979年由考克斯、罗斯和鲁宾斯坦三人提出的二叉树模型。然而，随着期权市场发展越来越迅速、交易策略越来越复杂，美式期权、奇异期权的诞生，像传统欧式期权那样能用解析解定价的期权已经越来越少，伴随着计算机技术的进步，学界和业界都开始运用各类数值方法对各种期权进行定价，最常用的方法包括蒙特卡罗方法和有限差分方法等。蒙特卡罗方法主要适用于衍生品收益与标的资产的历史价格有关或者有多个标的资产的情形，基于风险中性理论，用算术平均代替理论的期望值，用离散代替连续，起到简化近似的效果。有限差分方法则适用于期权持有者可以提前行权的美式期权或其他需要在到期日之前做出某种决定的衍生产品，通过数值求解微分方程（用差分方程替代微分方程）的方式达到定价的目的。
限于篇幅，我们能介绍的期权定价模型非常有限，在后文中我们会选择B-S模型和二叉树模型这两个最为常用和重要的期权定价模型进行重点介绍。对于大部分读者而言，为满足日常交易需求，掌握1—2种经典期权定价模型，了解其形式已经足够。然而对于学界，期权定价的探索之路却仍未走到终点。