11法则

我们已经了解除数为2、3、4、5、8、9和10的规则，那我们该如何判断一个数是否是11的整数倍呢？其实，这也有一个简单的判断技巧。不过，我们不再是单纯的计算横加数的和，而是交替计算横加数。这里仍以35 648为例，它的交替横加数是：

3 - 5 + 6 - 4 + 8 = 8

由上面的等式可以看出，这里的加法和减法是交替的，因此我们称它为“交替横加数”。由于等式最终的结果8不能被11整除，所以35 648不是11的整数倍。在你还不知道这个技巧的时候，你一定会觉得那就像变魔术一样。接下来，我将为你解释这个11法则的计算原理。

10的偶数次幂，即10 ² 、10 ⁴ 、10 ⁶ ，等等。在除以11时，余数总是1，要证明这一点并不难。数字10 ^{2 n} -1的结果始终由2 n 个9组成，即999…999。将该数除以11得到的数为（2 n -1）位数，其形式为90 909…909，这个数以9开始，以9结束，其间的其他数字在0和9之间循环。你可以试着计算一下99、9 999或999 999除以11的结果。

10的奇数次幂除以11时，余数是10。在此我们需要借助前面推导的余数的乘法规则。由上文我们得知，10 ^{2 n} 除以11的余数为1，那么乘法10×10 ^{2 n} =10 ^{2 n +1} 的结果的余数是10×1=10。在这里，我们把余数10替换成余数-1，因为10和-1之间的差恰好是11。由此表明，10的奇数次幂除以11时，余数为-1。

既然我们已经知道10的偶数次幂（比如1、100或10 000）除以11时的余数是1，10的奇数次幂（比如10、1 000或100 000）除以11时的余数为-1，那么在求交替横加数时，我们只需在每个数的前面匹配正确的运算符号就可以了。比如35 648，计算得出它的交替横加数为3-5+6-4+8=8。其实，不管你是以加法还是减法开始计算交替横加数，结果都是一样的。所以你也可以计算-3+5-6+4-8，结果为-8，答案也是正确的。对于这个技巧来说，其中最重要的是判断这个交替横加数的最终结果能否被11整除，而数字前面的符号完全不影响判断结果。

那么，如何判断一个数能否被7、13、17或19整除呢？你一定会感到惊讶的，因为这些数也有类似的整除规则。

首先，我想向大家演示一种方法：只要除数既不包含质因数2也不包含5，就可以用它来判断除数是否可以整除被除数。在这里，我们以308为例，判断它能否被7整除。 x1BT347RXweEA195Thz0yfcvQhdeaWnV6lZxaFEunbNK0ma/hNWOiW7fU43BsDXU