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幸运的是，这并不难证明。当我们从10的 n 次幂中减去1时，我们将得到一个 n 位数，而且它的每位数都是9，比如 n =3，1 000-1=999。每位数都是9的数一定能被3整除，同时也能被9整除。
为什么我们要用10的整数幂的这一特性呢？因为我们的数字系统是建立在10的整数幂的基础上的。以35 648这个数为例，我们可以将它写成下面这种形式：
3 × 10 4 + 5 × 10 3 + 6 × 10 2 + 4 × 10 1 + 8 × 10 0
35 648的每位数在10的 n 次幂前面作为因数，而且我们已经知道了每个10的 n 次幂除以3后都余1。
现在，我们来看一下如果把一个10的整数幂与相对应的因数相乘，它的可整除性和余数会发生什么。仍以35 648为例，它的左起第二个数是5，10 3 除以3后的余数是1，那么5×10 3 的余数是多少呢？
如果我们把10 3 写成3×333+1，那么5×10 3 则可以写成下面这种形式：
由此可见，5×10 3 的余数恰好是5。
我们可以用同样的方法证明 m ×10 n 除以3的余数正好是 m ，其中 m 和 n 均为任意自然数。
上面我们推导了10的 n 次幂除以3的乘法法则。同样，该法则也适用于任意被除数 a 除以数字 c 后得到的余数。当我们将 a 和自然数 b 相乘，并且想知道它们的乘积除以 c 的余数是多少时，只需要求 a 除以 c 的余数，然后将其乘以 b 即可：
（b × a）的余数 = b的余数 × a的余数
我们马上就要完成对横加数规则的证明了。不过还需要证明的一点是，每位数相加时只需看余数就可以了。在这里，我们以3×10 4 +5×10 3 为例：
从上面的等式可以看出，3×10 4 和5×10 3 的和被表示为两部分相加的形式，一部分为两个余数的和，即3×1+5×1，另一部分为一个可以被3整除的数。我们可以将其表达为：
（3 × 10 4 + 5 × 10 3 ）的余数 = （3 × 10 4 ）的余数 + （5 × 10 3 ）的余数
如此一来，我们就可以得出下面这个普遍适用的结论：（ a + b ）的余数=（ a 的余数+ b 的余数）的余数。