横加数的原理

判断一个数能否被8整除的方法也同上文相似。如果一个数的后三位数可以被8整除，那么这个数就能被8整除，比如35 648就可以被8整除，因为它的后三位数是648（=81×8）。这个方法行得通是因为1 000及它的所有整数倍都可以被8整除（125×8=1 000）。

3的整除规则前面已经说过了：只要一个数的横加数能被3整除，那么这个数就能被3整除。上面例子中的35 648就不符合3的整除规则，因为它的横加数是26。

利用横加数的这一技巧，我们可以在几秒钟之内判断一个多达10位的数能不能被3整除，我在这里举例说明一下。例如，数字1 234 567 890，它的横加数是45（=1+2+3+4+5+6+7+8+9+0），45可以被3整除。此外，如果一个数的横加数本身就比较大，而且你也无法直接判断出这个横加数是否是3的倍数，这时你可以继续计算这个横加数的横加数，然后判断稍小一点的那个横加数，以此判断它是否可以被3整除。

比如上面的这个例子，我们已经得出一个横加数为45，而在此基础上计算45的横加数为9，显然，9可以被3整除。

解释横加数的这一规则为什么成立稍微有些困难。如果你想自己证明整个过程，请你先不要读下面的内容。

对横加数原理的证明包含两部分。我们首先来看一下所有10的整数幂（注：这里仅指0和正整数的指数幂，不包括负整数的指数幂。后文同，不再一一标注）被3整除后的余数都有哪些。之后，我们再去证明一个数的横加数确实可以帮助我们找到其他的余数。

从10的整数幂开始，我们通常将它表示为10 ⁿ ：从10 ⁰ =1、10 ¹ =10、10 ² =100、10 ³ =1 000…到10 ⁿ =100 000…0000（ n 是等号右侧1后面0的数量）。由此可见，每个10的整数幂除以3后都余1。 Vh9At3cmsBRFuWnaRvIsf0pGHLmKljZbBHzQ/hSzSZ1u/4XsTDKSWpGwnjRfomxJ